IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 01 ['5 puntos] Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triangulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima. Función a optimizar Área área triángulo área cuadrado (1/)a h b Relaciones: perímetro: a a /; 4b 10 - b (10 )/4. Mi función A() (1/)(/) El mínimo anula A () A () 18 - Altura: h a - (a/), de donde h (10 - ), de A () 0 8 ((10 )/4) 6 18 - (10 - ) 8 18 8 180 (18 8 ) 180 Veamos que es mínimo, es decir A () > 0 A () 18 1 8 a (/) a - a /4 6 6 0 180 18 8 (10 - ) 16 18 5 65 m. > 0, luego es mínimo independientemente del valor de (10 - ) 8 8 180 18 180 Dimensiones pedidas: 18 8 m. y 10 180 18 8 80 18 8 m. Ejercicio opción A, modelo Septiembre 01 [ puntos] Determina la función f: R R tal que f () ( 1)e - y su grafica pasa por el origen de coordenadas. [0'5 puntos] Calcula la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa 0. Por el Teorema Fundamental del Cálculo Integral (T.F.C.I): Si f() es continua en [a,b] entonces la función F() a [ f(t) ]dt es derivable y su derivada es F () ( a [f(t)]dt ) f(). En nuestro caso f() f ()d f() f ()d ( 1)e d {Integral por partes por partes udv uv - vdz. En nuestro caso u 1 y dv e - d, de donde du d y v dv e - d -e - } ( 1)(-e - ) - -e - d - e - ( 1) e - d -e - ( 1) - e - K; es decir f() -e - ( 1) - e - K Como pasa por el origen (0,0), f(0) 0 -e 0 (1) - e 0 K 0 - K 0, de donde K y la función pedida es f() -e - ( 1) - e - Sabemos que la recta tangente de f en 0 es y f(0) f (0).( 0) f() -e - ( 1) - e -, luego f(0) 0. Nos han dicho que pasa por (0,0). f () ( 1)e -, luego f (0) (1)e 0 1, por la recta tangente es y 0 1.(). Operando sale y. Ejercicio opción A, modelo Septiembre 01 1 0 1 Considera las matrices A 1 1 0 y B 0 0 0 0-1 [1 punto] Halla, si es posible, A -1 y B -1. gjrubio@hotmail.com 1
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna [0'5 puntos] Halla el determinante de AB 01 A t siendo A t la matriz traspuesta de A. c) [1'5 puntos] Calcula la matriz X que satisface AX - B AB. 1 0 1 Considera las matrices A 1 1 0 y B 0 0 0 0-1 Halla, si es posible, A -1 y B -1. Para que eista B -1 su determinante det(b) B tiene que ser 0. -1 1 0 Adjuntos Como det(b) tercera 0 0-1 fila 0 0 (-1)(1 1) 0, no eiste B -1. Para que eista A -1 su determinante det(a) A tiene que ser 0. Como det(a) 1 0 1 Adjuntos 1 1 0 tercera 0 0 fila 0 0 ()(1 0), eiste A -1. Sabemos que A -1 (1/ A ) Adj(A t ). 1 1 0 0-1 0-1 A t 0 1 0 ; Adj(A t ) - 1 ; A -1 (1/ A ) Adj(A t ) (1/) - 1 1 0 0 0 1 0 0 1 Halla el determinante de AB 01 A t siendo A t la matriz traspuesta de A. Sabemos que B B B {n veces} B B B B B B {n veces} B B B ( B ) n, además A A t. Luego AB 01 A t A B 01 A t () B 01 () 0 01 0 0. c) Calcula la matriz X que satisface AX - B AB. De AX - B AB, tenemos AX B AB. Como eiste A -1 multiplicamos la epresión AX B AB por la izquierda por A -1. A -1 AX A -1 B A -1 AB I X A -1 B I B X A -1 B B Luego X A -1 B 0-1 B (1/) - 1 0 0 1 0 0-1 0 0-1 - -1 1 / - 5/ (1/) 4-4 -1 - -1/ - 1/ 0 0-1 0 0-1 0 0-1/ 0 0-1 0 0 -/ Ejercicio 4 opción A, modelo Septiembre 01 Considera el plano π de ecuación y z - 6 0. [1'5 puntos] Calcula el área del triangulo cuyos vértices son los puntos de corte del piano π con los ejes coordenados. [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el piano π y los planos coordenados. Considera el plano π de ecuación y z - 6 0. Calcula el área del triangulo cuyos vértices son los puntos de corte del piano π con los ejes coordenados. Ponemos el plano π y z - 6 0 en la forma segmentaria /6 y/6 z/6 6/6, es decir / y/6 z/ 1, con lo cual los cortes con los ejes son los puntos A(,0,0), B(0,6,0) y C(0,0,). También podemos calcular los puntos A, B y C resolviendo los sistemas; π 0, y z 0; π 0, z 0 y también π 0, y 0. gjrubio@hotmail.com
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Sabemos que el área de un triángulo ABC es la mitad del área del paralelogramo que determinan su lados AB y AC, es decir la mitad del módulo ( ) determinado por los vectores AB y AC, luego el Área del triángulo es (1/) ABAC. AB (-0, 0-6, 0-0) (, -6, 0) AC (-0, 0-0, 0-) (, 0, -) i j k ABAC -6 0 0 - i(1-0) - j(-6-0) k(018) (1,6,18) ABAC ( (1) (6) (18) ) (504) 6 (14) u Área del triángulo es (1/) ABAC (1/) 6 (14) (14) u Calcula el volumen del tetraedro determinado por el piano π y los planos coordenados. Sabemos que el volumen de un tetraedro es (1/6) del volumen del paralelepípedo que determinan tres vectores con el mismo origen, es decir (1/6) del valor absoluto del producto mito de OA, OB y OC ( lo indicaremos entre corchetes{ } ). Volumen (1/6). { OA, OB, OC } OA (, 0, 0), OB (0, 6, 0), OC (0, 0, ) 0 0 { OA, OB, OC } det(oa, OB, OC) 0 6 0 6 6. 0 0 Volumen (1/6). { OA, OB, OC } (1/6) 6 6 u. Opción B Ejercicio 1 opción B, modelo Septiembre 01 ln() Sea f: (0, ) R la función definida por f() (donde In denota el logaritmo neperiano). [1'75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [0'75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la grafica de f. ln() Sea f: (0, ) R la función definida por f() (donde In denota el logaritmo neperiano). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Para estudiar la monotonía veamos la 1ª derivada gjrubio@hotmail.com
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna ln() f() ; - ln() - 4ln() f '() ( ) 4 Resolvemos f () 0, luego - 4 ln() 0 ( 4ln()), de donde 0 (NO está en el dominio) y también 4ln() 0, de donde ln() 1/, con lo cual e 1/ e 1 65, que será el posible máimo ó mínimo relativo. Como f (1) ( - 0)/() > 0, f() es estrictamente creciente ( ր ) en (0, e ) Como f () (4 8ln())/() -1 54/() < 0, f() es estrictamente decreciente ( ց ) en ( Por definición e es un máimo relativo de f(), que vale f( e ) ( e ) e, ). 1/ ln( e) ln(e ) (1/) ln(e) e 1/e 0 7. Estudia y determina las asíntotas de la grafica de f. ln() Como lim f() lim - /0 - (1/0 ) - -, la recta 0 es una asíntota vertical de f. 0 0 ln() Como lim f() lim / [La regla de L Hôpital (L H) nos dice que si las funciones f() y g() son f '( ) f ( ) f '( ) continuas y derivables en un entorno de a, f( g( 0 y eiste lim, entonces lim lim. 0 g '( ) 0 g( ) 0 g '( ) La regla se puede reiterar, y se puede aplicar si sale 0/0, /, y si el límite tiende a ] ln() lim f() lim /, Le aplicamos L H ln() / 1 lim lim lim 0, la recta y 0 es una asíntota horizontal de f() en. Ejercicio opción B, modelo Septiembre 01 Sea g: R R la función definida por g() - 6-5. [0'75 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la grafica de g en el punto de abscisa 4. [1'75 puntos] Esboza el recinto limitado por la grafica de g y la recta - y 0. Calcula el área de este recinto. Sea g: R R la función definida por g() - 6-5. Halla la ecuación de la recta normal a la grafica de g en el punto de abscisa 4. La ecuación normal a g en 4 es y - g(4) [-1/(g (4))] ( - 4) g() - 6 5 g(4) -(4) 6(4) - 5 g () - 6 g (4) -(4) 6 -. La recta pedida es y - (-1/-) ( - 4) / -, es decir y / 1. Esboza el recinto limitado por la grafica de g y la recta - y 0. Calcula el área de este recinto. Si nos damos cuenta la recta - y 0, es la recta normal pedida en 4, es decir y / 1, y con dos puntos es suficiente dibujarla. Uno es el (4,), donde es normal a g y otro puede ser el (0,-1). La parábola g() - 6 5, tiene las ramas hacia abajo (el número que multiplica a es negativo), su vértice (es un máimo y anula la 1ª derivada, ( 6 5) -6 0, de donde ) en el punto V(,4), y los cortes con abscisas los obtenemos resolviendo - 6 5 0, ó - 6 5 0, obteniendo 5 y 1. El corte con ordenadas es (0,-5) Teniendo en cuenta el apartado anterior, un esbozo del recinto pedido es e gjrubio@hotmail.com 4
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Para calcular el área del recinto sólo nos queda calcular el punto de corte de tg con la recta normal, es decir las soluciones de la ecuación: - 6-5 / 1, de donde - 11-1 0, y soluciones son en 4 y / 1 5. El área pedida es Área 4 (- 6-5 - (/1))d / 4 (- 11/ - 6)d / - 11 /4-6 -(4) -(/) 11(4) /4-6(4) - 11(/) /4-6(/) -4/ (-6/16) 15/48 6 u.a. Ejercicio opción B, modelo Septiembre 01 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, - 4y 6z 6 my z m 1-6y - mz -9 [1'75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m. [0'75 puntos] Resuélvelo para m. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que y 0. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, - 4y 6z 6 my z m 1-6y - mz -9 Discute el sistema según los valores del parámetro m. -4 6 La matriz de los coeficientes del sistema es A 0 m y la matriz ampliada - 6 -m -4 6 6 * A 0 m m1. - 6 -m -9 Si det(a) A 0, rango(a) rango(a * ) nº de incógnitas. El sistema es compatible y determinado y tiene solución única. -4 6 Adjuntos A 0 m segunda - 6 -m fila 0 m(-6m18) (1-1) m(-6m18). Resolviendo la ecuación A 0, tenemos m(-6m18) 0, de donde m 0 y m. Si m 0 y m, det(a) A 0, rango(a) rango(a * ) nº de incógnitas. El sistema es compatible y determinado y tiene solución única. 4 /4 Si m 0-4 6 A 0 0-6 0 y -4 6 6. - 6 0-9 * A 0 0 1 gjrubio@hotmail.com 5
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna En A como -4 6-8 0, tenemos rango(a) 0 En A * como -4 6 6 Adjuntos 0 1 segunda 6 0-9 fila 0 (6-6) - (1)(-6) 6 0, tenemos rango(a * ), es decir rango(a) rango(a * ), luego el sistema es incompatible y no tiene solución. Si m -4 6 A 0-6 -9 y -4 6 6. - 6-9 -9 * A 0 4 En A como -4 6 0, tenemos rango(a) 0 En A * como -4 6 Adjuntos 0 4 segunda - 6-9 fila 0 (-1818) - (4)(1-1) 0, tenemos rango(a * ), es decir rango(a) rango(a * ) < nº de incógnitas, luego el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones. Resuélvelo para m. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que y 0. Hemos visto en el apartado anterior que si m, rango(a) rango(a * ) < nº de incógnitas, luego el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones. Como el rango es, tenemos ecuaciones con incógnitas. Tomamos las dos primeras, pues con ellas hemos formado el menor de orden dos distinto de cero. - 4y 6z 6 y z 4. Tomando z λ R, tenemos y λ 4, de donde y 4/ - λ/. Entrando en la primera: 4(4/ - λ/) 6(λ) 6 6λ/ 16/ 6 1λ/ 8/ 17/ - 1λ/ (,y,z) (17/ - 1λ/, 4/ - λ/, λ) con λ R. Me piden ver si hay una solución en la que y 0, es decir y 4/ - λ/ 0. Luego λ, y la solución pedida es (,y,z) (17/ 1()/, 0, ()) (-,0,). Ejercicio 4 opción B, modelo Septiembre 01 Considera los puntos A(1,0,), B(-1,,1), C(,1,) y D(1,0,4). [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C. [1'5 puntos] Halla el punto simétrico de D respecto del plano - y - 5z 9 0. Considera los puntos A(1,0,), B(-1,,1), C(,1,) y D(1,0,4). Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C. Para la ecuación del plano necesitamos un punto, el A(1,0,), y dos vectores independientes, el AB (-,,-1) y AC (1,1,0) La ecuación vectorial del plano es π (,y,z) OA λab µac (1,0,) λ(-,,-1) µ(1,1,0), con λ, µ R. -1 y z- Adjuntos La ecuación general del plano es π 0 det(ax, AB, AC) - -1 primera 1 1 0 fila (-1)(1) - y(1) (z-)(--) - y - 5z 9 0. Halla el punto simétrico de D(1,0,4) respecto del plano - y - 5z 9 0. gjrubio@hotmail.com 6
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Calculamos la recta r perpendicular al plano π (Nos sirve como vector director de la recta u el vector normal del plano n), que pasa por el punto D. Calculamos el punto M intercesión de la recta r con el plano π. El punto M es el punto medio del segmento DD, siendo D el punto simétrico buscado. Calculamos la recta r. Punto el D(1,0,4), vector director u n (1,-1,-5). Ecuación de r en vectorial r (, y, z) (1 λ, 0 - λ, 4-5λ) Punto M r π (punto de corte) De (1 λ) - (- λ) - 5(4-5λ) 9 0, obtenemos 7λ 10, de donde λ 10/7, y el punto M es M(1 (10/7), -(10/7), 4-5(10/7)) M(7/7, -10/7, 58/7) El punto M(7/7, -10/7, 58/7) es el punto medio del segmento DD, es decir (7/7, -10/7, 58/7) ( (1)/, (0y)/, (4z)/ ). De 7/7 (1)/, tenemos 47/7. De -10/7 (0y)/, tenemos y -0/7. De 58/7 (4z)/, tenemos z 8/7. El punto simétrico pedido es D (, y, z) D (47/7,-0/7,8/7). gjrubio@hotmail.com 7