Tema IV. Comunicaciones digitales.

Tema IV. Comunicaciones digitales. IV.1. INTRODUCCIÓN. IV.2. TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.3. ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE SEÑALES. IV.4. TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.5. COMPARATIVA DE MODULACIONES DIGITALES. IV.6. TRANSMISIÓN N DIGITAL POR CANALES DE ANCHO DE BANDA LIMITADO. Teoría de la Comunicación, www.eps.uam.es/~tco 2º Ing. de Telecomunicación Escuela Politécnica Superior, Universidad Autónoma de Madrid Jorge A. Ruiz Cruz (jorge.ruizcruz@uam.es, www.eps.uam.es/~jruiz) Teoría de la Comunicación. 1 IV.6. TRANSMISIÓN DIGITAL POR CANALES DE ANCHO DE BANDA LIMITADO IV.6.1. Planteamiento del problema. IV.6.2. Interferencia Entre Símbolos (IES) en PAM banda base. IV.6.3. Receptor óptimo en PAM banda base sin IES. IV.6.4. Diagrama de ojos. IV. Comunicaciones digitales. 2

IV.6.1. Planteamiento del problema Sistema ya estudiado: Error! 111 Flujo de símbolos (k bits) cada periodo de símbolo T Modulador digital Por cada símbolo se emite una señal s m (t) Ruido n(t) De-modulador digital (receptor digital) 1111 Por cada señal s m (t)+n(t) se decide un símbolo - Hasta ahora se ha hecho un análisis símbolo a símbolo del sistema suponiendo que el canal tenía un ancho de banda ilimitado y la única perturbación del sistema era el ruido blanco gaussiano aditivo (AWGN). - Se suponía una señal enviada s m (t) y se veía que sucedía a la señal recibida perturbada por el ruido: r(t)=s m (t)+n(t). - Este análisis símbolo a símbolo, sólo es válido para canales LTI del tipo h c (t)=aδ(t-t o ) H c (f)=ae -j2πft o. El efecto de otro tipo de canales es el objeto de este tema. IV.6. Transmisión digital por canales de ancho de banda limitado. 3 Sistema a estudiar: Error! 111 Flujo de símbolos (k bits) cada periodo de símbolo T Modulador digital Canal LTI Paso bajo ó Paso banda Ruido n(t) De-modulador digital 1111 - Si el canal se puede seguir modelando como un sistema LTI, pero tiene un ancho de banda limitado y/o hay distorsión de amplitud ( H c (f) no es cte.) y/o fase (t g (f) no es cte.) para la banda de frecuencias de la señal transmitida: la señal de cada símbolo interactúa con las demás y la detección de un símbolo no se puede estudiar de manera aislada: el análisis símbolo a símbolo no es suficiente y hay que tener en cuenta la Interferencia entre Símbolos (IES). - Se pasa de hacer un análisis con las señales definidas entre [,T] s m (t) y r(t)= s m (t)+n(t) a un análisis con las señales de duración completa (-, ): y(t) y y r (t)= y c (t)+n(t). IV.6.1. Planteamiento del problema. 4

En general, cualquier no idealidad del canal se traduce en el fenómeno de IES: Canal Filtro o Correlador Muestreo cada t=t Decisor 111 Retardo de propagación Las colas de cada símbolo pueden extenderse incluso hasta varios símbolos posteriores Definición de IES: Cuando en el demodulador digital se está procesando la señal correspondiente al símbolo k, al muestrar aparece la contribución de su señal asociada más las contribuciones (interferencias) de las señales de otros símbolos q k, las cuales pueden provocar errores en la transmisión incluso en ausencia de ruido. IV.6.1. Planteamiento del problema. 5 Fuentes de error típicas en un sistema digital (suponiendo sincronización perfecta): - F1: El efecto del ruido (interferencias,...) que se suelen modelar mediante una fuente n(t). - F2: El efecto del canal (distorsión,...), por ejemplo porque tenga un ancho de banda limitado. Escenarios de estudio al que dan lugar las fuentes de error F1 y F2: Temas IV.2,IV.4 Este Tema - A) El canal es ideal pero hay ruido (AWGN). (Si F1, No F2) - B) El canal tiene un ancho de banda limitado que provoca IES, aunque no haya ruido. (No F1, Si F2) - C) Se tiene ruido y ancho de banda limitado a la vez. (Si F1, Si F2). - Estudio de diferentes tipos de receptores (con filtros adaptados, correladores) y su P e asociada - Criterio de Nyquist para no IES, características en coseno alzado, - Recetores con filtros adaptados a la señal incluyendo la respuesta del canal, raíz de coseno alzado en transmisor y receptor, diagrama de ojo IV.6.1. Planteamiento del problema. 6

Se empezará ahora con el escenario B: efecto de un canal de ancho de banda limitado en la transmisión digital. - De la teoría de la Transformada de Fourier se sabe que cuando una señal está acotada en el tiempo, su espectro en la frecuencia es infinito y que cuando una señal tiene un espectro acotado en la frecuencia, su duración en el tiempo es infinita. - Si cada señal s m (t) está limitada entre t T y pasa por un LTI, en general (a no ser que el canal tenga un ancho de banda infinito), su salida no estará acotada entre t T. Por tanto, cada símbolo se extenderá en el tiempo en las señales de los símbolos adyacentes, interfiriéndoles: habrá IES. - La IES provoca errores en el flujo de bits, aunque no haya ruido, ya que cada valor obtenido al muestrear en el receptor, está contaminado por las señales de otros símbolos. Se va a estudiar ahora un sistema particular para ilustrar la IES sobre diferentes canales. Se trata de un sistema PAM binario donde los pulsos g(t) son deltas. IV.6.1. Planteamiento del problema. 7 Caso ) Canal de ancho de banda ilimitado (B c ) 1 1 1 IV.6.1. Planteamiento del problema. 8

Caso 1) Canal de ancho de banda grande (B c >> 1/T) (Simulación con B c = 5.3 /T ) IES no es significativa 1 1 1 IV.6.1. Planteamiento del problema. 9 Caso 2) Canal de ancho de banda limitado (B c >~ 1/T) (Simulación con B c = 1.2 / T ) IES importante (excepto si B c =p / (2T), p=1,2,3,, que no hay IES) 1 1 1 IES! IES! IV.6.1. Planteamiento del problema. 1

Caso 3) Se diseña B c y/ó T para NO IES ( B c =p / (2T), p=1,2,3, ) (Simulación con B c =.5 / T ) Si se cumple B c =1 / (2T) no hay IES 1 1 1 IV.6.1. Planteamiento del problema. 11 Caso 4) Si B c < 1/(2T) seguro que hay IES (Simulación con B c =.2 / T ) IES inevitable 1 1 1 IES! IES! IV.6.1. Planteamiento del problema. 12

Del sistema anterior se pueden extraer las siguientes conclusiones (extensibles a otros sistemas/modulaciones digitales, como después se verá): - Siempre que el canal tenga un ancho de banda limitado, habrá fenómeno de IES, a no ser que se diseñe el sistema para evitarlo. - A1) Si se tiene una velocidad de símbolo de V simb =1/T, el mínimo ancho de banda necesario en banda base para trasmitir sin IES es B c,min =V simb /2=1/(2T) Este es el resultado que se utilizó para definir la eficiencia espectral de PAM en banda base, Tema IV.4, pag. 17. - A2) Si se tuviera modulación de canal para trasmitir por canales paso banda, se puede demostrar que el ancho de banda de canal mínimo será el doble de banda base. Por tanto, si se tiene una velocidad de símbolo de V simb =1/T, el mínimo ancho de banda necesario para trasmitir en paso banda sin IES es B c,min =V simb =1/T Este es el resultado que se utilizó para definir la eficiencia espectral de ASK, QAM, PSK, Tema IV.4, pags. 22,28,33. - Las relaciones anteriores A1,A2 son pensando que se tiene una V simb =1/T dada y se estudia como tiene que ser el ancho de banda mínimo del canal B c,min. IV.6.1. Planteamiento del problema. 13 Consecuencias de la IES (cont.): - También se pueden enunciar las misma ideas suponiendo que se tiene un ancho de banda de canal fijo B c y se estudia lo que pasa con la V simb,max. - B1) Si se tiene un canal de ancho de banda B c en banda base, por el se podrá transmitir una velocidad de símbolo máxima sin IES de V simb,max =2B c. - B2) En paso banda, si B c es el ancho de banda del canal paso banda, la máxima velocidad de símbolo sin IES será V simb,max =B c. - Las relaciones anteriores hacen referencia la velocidad de símbolo (baudios), que puede ser distinta de la velocidad binaria (bps) dependiendo del número de señales empleadas: R b =(log 2 M)V simb. - Para un ancho de banda de canal fijo, aumentando el número de señales en PAM, ASK, QAM, PSK se puede aumentar el R b sin tener IES. En FSK la situación es distinta, ya que al aumentar el número de señales (para T fijo), se aumenta también el ancho de banda usado. - Ahora se van a a demostrar estos resultados de manera rigurosa para PAM. Para ASK, QAM, PSK la demostración sería formalmente idéntica (salvo que los anchos de banda se medirían en paso banda alrededor de la portadora). IV.6.1. Planteamiento del problema. 14

IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM 1 Mod. Dig. PAM bandabase con pulsos básicos: Canal Decisión 1 Pulso filtrado por el canal Pulso en el receptor Valor muestreado que se utiliza para tomar la decisión en el detector (T s =): IV.6. Transmisión digital por canales de ancho de banda limitado. 15 Señales en el sistema PAM anterior con canal LTI arbitrario y sin ruido (escenario B de la pag. 6): - Las señales PAM se forman multiplicando un pulso básico g(t) por distintas amplitudes: - La señal que se transmite por el canal es una secuencias de pulsos básicos g(t-qt), donde la amplitud A q correspondiente al periodo de símbolo q, sólo puede ser una de las M posibles: -La señal y(t) al atravesar el canal queda filtrada por h c (t) H c (f): pulso filtrado por el canal : - La señal a la salida del canal es una secuencia de pulsos filtrados x c (t-qt) con amplitudes A q. - La arquitectura del receptor es la misma que se ha visto en temas anteriores; por ahora no hace falta especificar cual es la respuesta al impulso h r (t), que se detallará después. IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM. 16

Señales en el sistema PAM (cont.): - A la salida del filtro del receptor se tendrá una expresión equivalente a la de y c (t), donde la señal será una secuencia de pulsos básicos en el receptor x(t-qt): Se denomina pulso en el receptor a la señal x(t)=x c (t)*h r (t). - Cuando se muestrea en el instante t=t k =kt+t s, buscando la contribución de la señal asociada al símbolo k, el valor obtenido tiene dos términos: la parte deseada y la interferencia de todos los símbolos restantes (IES): Información IES - Si se consigue que el pulso en el receptor verifique: se habrá conseguido evitar la IES. Esta condición tiene una forma equivalente en la frecuencia (ver pag. sig.). IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM. 17 Eliminación de la IES: Primer Criterio de Nyquist para no IES. - Para simplificar las expresiones, ahora se va a elegir T s = (T s es un retardo que se luego se puede volver a considerar fácilmente). En este caso, para evitar la IES valdría con encontrar un pulso en el receptor que se anule en los instantes de muestreo distintos de t=: - Evitar la IES equivale a: - Calculando las TF de cada uno de los dos miembros de la última igualdad: (La transformada en f de una delta es la constante 1) - Se llega a las dos condiciones equivalentes (una en el tiempo y otra en la frecuencia) para evitar la IES, conocidas como primer criterio de Nyquist para evitar la IES: IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM. 18

Relación en el tiempo entre el pulso en el receptor y la IES: -El pulso en el receptor x(t) es la señal que se obtendría al transmitir únicamente el pulso g(t), pasarlo por el canal y el filtro del receptor. Canal Filtro del receptor -El pulso en el receptor x(t) es una señal muy importante porque sirve para ver si un determinado sistema tendrá IES: se calcula x(t) y si no se anula en los instantes de muestreo correspondientes a otros símbolos, habrá IES. 1.8.6.4 -Ejemplo: Puesto que estos valores no son cero, habrá IES.2 -.2-3 -2-1 1 2 3 IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM. 19 Relación en la frecuencia entre la transformada del pulso en el receptor X(f) y la IES. Consecuencias del primer criterio de Nyquist. - Matemáticamente, la condición de no IES se especifica sobre x(t), bien en el tiempo sobre los valores x(nt), bien en la frecuencia con X(f). - Condición de no IES (primer criterio de Nyquist): - X(f) se forma multiplicando los espectros del pulso básico G(f), y las funciones de transferencias del canal H c (f) y del receptor H r (f) - Si se quiere evitar la IES, la suma de X(f) y sus réplicas desplazadas múltiplos enteros de la velocidad de símbolo (1/T) debe ser constante para todas las frecuencias. - Si se considera que X(f) está limitada a f <B x (limitación debida al efecto de ancho de banda finito del canal) se tienen las tres posibilidades representadas a continuación. IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM. 2

No IES - No existe forma de conseguir que la suma de las réplicas sea constante. - Siempre habrá IES. - La única posibilidad para que se cumpla el criterio de Nyquist es que el espectro de X(f) sea rectangular: réplicas ajustadas una junto a otra. réplicas - En este situación se tiene el ancho de banda mínimo B x,min para conseguir la velocidad de símbolo 1/T. - En este situación las réplicas se solapan y se puede conseguir que la suma sea constante de varias maneras, siendo una de ellas la característica en coseno alzado (raised cosine). IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM. 21 Caso 2) B x =V simb /2=1/(2T). La única forma posible que puede tener X(f) para evitar la IES es la siguiente: - B x =1/(2T) es el ancho de banda mínimo que se puede utilizar para transmitir una velocidad de símbolo de V simb =1/T. Equivalentemente, si se tiene un canal de ancho de banda B x, la velocidad de símbolo máxima que se puede transmitir sin IES es V simb =2B x. - Equivalentemente, si se tiene un canal de ancho de banda B x, la velocidad de símbolo máxima que se puede transmitir sin IES es V simb =2B x. - Un ejemplo de esta situación ya se vió en el sistema de la pag. 11, donde x(t)= g(t)*h c (t)*h r (t) = δ(t)*sinc(t/t)*δ(t)=sinc(t/t). IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM. 22

Problemas del caso 2): - El sistema resultante no es causal y por lo tanto no es realizable (x(t), t<). Se puede introducir un retardo t tal que x(t)=sinc((t-t )/T) y conseguir x(t), t<. El instante de muestreo debería retardarse en consecuencia a t. -Las colas (la envolvente) de x(t) decrecen muy lentamente (como 1/t), lo que hace que el receptor sea muy sensible a errores en la temporización. Caso 3) B x V simb /2=1/(2T): - Una familia de funciones que cumple la condición de no IES son aquellas cuyo espectro tiene forma de coseno alzado (ver pag. sig.). Ejemplo de una de esas funciones: 1.8.6.4.2 -.2 -.4-3 -2-1 1 2 3 IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM. 23 - Si se consigue que el pulso en el receptor x(t) tenga la forma presentada a continuación, sea cual sea el valor del parámetro α 1 no habrá IES, y X(f) ocupará un ancho de banda de B x =(1+α)/(2T): Transf. Fourier Transf. Fourier Espectros en coseno alzado (α es el factor de redondeo) IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM. 24

Caso 3) B x V simb /2=1/(2T) (cont.) - Para cualquier α la suma de las réplicas es constante. - Cuanto mayor sea α 1, X ca (f) es mas suave y las colas (envolvente) de x(t) caen más rápido (hasta 1/t 3 ). - Para la realización práctica de x ca (t) también hay que introducir un retardo para que x ca (t) sea causal. - Como las colas caen ahora más rápido que en el caso de la sinc, esta solución es tanto más robusta cuanto mayor sea α (a expensas de gastar más ancho de banda). IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM. 25 IV.6.3. Receptor óptimo en PAM sin IES Sistema con canal LTI no ideal y ruido aditivo blanco y gaussiano (AWGN): Demod. digital Mod. Dig. PAM bandabase con pulsos básicos: Canal Detector - Hasta ahora, para un canal no ideal como el representado, el estudio se ha centrado en evitar la IES (escenario B de la pag. 6). - Sin embargo, como hay que modificar el receptor para que siga siendo óptimo en presencia de ruido y canales no ideales? (escenario C de la pag. 6). - Habrá que diseñar un sistema que persiga 1) minimizar el efecto del ruido y 2) evitar la IES. IV.6. Transmisión digital por canales de ancho de banda limitado. 26

1) Minimización del efecto del ruido - Se podría hacer el estudio del filtro minimiza la P e cuando a su entrada tiene el pulso básico filtrado por el canal (ya que para ese análisis g(t) se ha convertido ahora en x c (t)) - Sin embargo, la solución se puede obtener directamente de los temas IV.2-4: el filtro del receptor tendrá que estar adaptado al pulso básico filtrado por el canal (o ser proporcional a él) con un instante de muestreo T s =T: 2) Por otro lado, también se persigue que en el sistema no haya IES. - Se ha visto que se puede evitar la IES si se consigue que: No IES IV.6.3. Receptor óptimo en PAM sin IES. 27 2) Condiciones para evitar la IES (cont.): - Una posible opción es diseñar el pulso básico del transmisor g(t) para que el pulso a la salida del filtro del receptor x(t) tenga un espectro en coseno alzado: Para conseguir esta igualdad, el diseñador cuenta con g(t) y h r (t), ya que el canal h c (t) no se puede controlar - En general, para un instante de muestreo T s cualquiera (en la pag. 18 se hizo T s = para simplificar la operativa), una opción para evitar la IES es cumplir: - El parámetro α, el periodo de símbolo T, el régimen binario R b y el ancho de banda del canal B c deberán cumplir: La condiciones 1) y 2) se verifican con el siguiente diseño: IV.6.3. Receptor óptimo en PAM sin IES. 28

Receptor óptimo para evitar la IES cuando el canal no es ideal y hay ruido AWGN: - Se escoge el pulso básico pre-distorsionado : - Pulso filtrado por el canal - Receptor óptimo (T s =T) : filtro adaptado al pulso a la salida del canal: Root Raised Cosine (RRC) - Pulso a la salida del filtro del receptor: cumple la condición de no IES para T s =T, ya que: - Con este diseño: - No hay IES - Se tiene el receptor óptimo (P e mínima) IV.6.3. Receptor óptimo en PAM sin IES. 29 El sistema anterior con señales cuyo espectro es la raíz de coseno alzado (Root Raised Cosine, RRC) tiene las mismas prestaciones que el receptor óptimo visto en los temas anteriores para PAM, ya que: - se tiene el receptor óptimo (filtro adaptado al pulso en el receptor, el cual incluye la respuesta del canal). - no hay IES. Se hace notar que el pulso básico g(t) se ha pre-distorsionado con la respuesta del canal, por eso este diseño también se llama receptor óptimo con pre-distorsión. Se podría hacer un desarrollo similar para ASK, QAM y PSK: - los resultados son idénticos a excepción de la forma de los espectros, que están centrados alrededor de la portadora. (ver p. ej. Proakis, Cap. 8) - el ancho de banda de canal paso banda ocupado es el doble del ancho de banda utilizado en banda base. Las conclusiones son las ya expuestas en las pags. 13-14. IV.6.3. Receptor óptimo en PAM sin IES. 3

IV.6.4. Diagrama de ojos Dado un determinado canal, el sistema que se acaba de ver proporciona la P e mínima de todos los sistemas digitales PAM posibles que utilicen ese canal. - Este diseño implica que el transmisor conoce la respuesta del canal, situación que puede ser difícil en entornos móviles. Otras técnicas que se pueden usar son: detectores de secuencias: son detectores de conjuntos de símbolos (por ej. con el algoritmo de Viterbi), no de símbolos aislados. ecualización de canal: filtro de respuesta H eq (f) 1/H c (f) que se pone en el receptor de tal manera que la señal atraviesa el conjunto H c (f)h eq (f) 1; se pueden hacer analógicos o en discreto y también adaptativos. - También, si la IES no es muy significativa (se tiene un canal de banda muy ancha con muy poca distorsión de amplitud y fase), se puede no tener en cuenta en el diseño y ver de manera práctica su efecto: reducción del umbral disponible frente al ruido. - En estos casos, para no aumentar la P e por la presencia de IES, algunos sistemas simplemente aumentan la potencia de señal transmitida para mantener constante la P e. IV.6. Transmisión digital por canales de ancho de banda limitado. 31 Desde un punto de vista práctico, el efecto de la IES se visualiza mediante el diagrama de ojos: y r (t) t Definición de Diagrama de ojos: superposición sincronizada de todos los intervalos posibles de una de las señales de interés (señal emitida, señal recibida,etc..), observada durante el periodo de un símbolo. - Se denomina diagrama de ojo porque, para señales binarias, se parece a una representación de un ojo humano. T IV.6.4. Diagrama de ojos. 32

El diagrama de ojos proporciona una gran cantidad de información acerca del rendimiento de un sistema de comunicación digital: - La apertura del ojo define el intervalo temporal en el cual la señal puede muestrearse. El instante en el que la apertura de ojo es máxima minimiza la probabilidad de error. - La sensibilidad del sistema a errores de temporización está determinada por la variación que experimenta la apertura del ojo al variar el instante de muestreo. IV.6.4. Diagrama de ojos. 33 Diagrama de ojos para x(t)=sinc(t/t) (= pulso en coseno alzado de α=) y M=4 Diagrama de ojos para x(t) pulso en coseno alzado con α=1 y M=4 (de Ronda, Muñoz, Jaureguizar, Comunicaciones Digitales, Publicaciones ETSIT-UPM, 3ª ed.) IV.6.4. Diagrama de ojos. 34