82 Analicemos ahora el siguiente ejemplo: (2x 4y) dx + (2y - 6x + ) dy = 0 Será ésta una ecuación diferencial reducible a homogénea? Si observamos la ecuación diferencial, tenemos que 2x 4y = 0 2y 6x + = 0 representan rectas. Por lo tanto, podría considerarse una ecuación diferencial reducible a homogénea. Qué debemos determinar para saber si podemos resolverla como una ecuación diferencial homogénea del Caso? Debemos determinar la posición relativa de las dos rectas involucradas. Muy bien. Cómo lo hacen? Buscando las pendientes de las rectas. Para la recta 2x 4y = 0, la pendiente es m = 2 ; para la recta 2y 6x + = 0, la pendiente es m2 = 2. Como m = m 2, resulta que las rectas son paralelas. Excelente. Observen que el procedimiento explicado anteriormente sólo funciona si las rectas se cortan, es decir, si tienen un punto en común. Cuando las rectas son paralelas Cómo son sus vectores normales? Los vectores normales de dos rectas paralelas son proporcionales. Correcto. Podrían decirme cuáles son los vectores de las rectas del ejemplo?
83 Los vectores normales son N = (2, -4) y N 2 = (-6,2) vectores? Cómo pueden expresar la relación de proporcionalidad entre los dos La relación de proporcionalidad entre N y N 2 se expresa como N 2 = -3 N, es decir, (-6,2) = -3 (2,-4). Si les pido escribir la ecuación de la recta 2y - 6x + = 0 usando el vector normal N.= (2,4) Cómo la escribirían? La escribiríamos -3(2x 4y) + = 0 Si sustituyen en la ecuación diferencial Cómo queda? La ecuación diferencial queda (2x 4y) dx + [(-3) (2x 4y) + ] dy = 0 Observen la ecuación diferencial que se obtuvo y díganme que característica común observan entre las funciones que multiplican a los diferenciales dx y dy respectivamente. Qué se repite el término 2x 4y. Exacto. Por eso se sugiere aquí realizar el cambio de variable: z = 2x 4y dz = 2dx 4dy dy = dx 2 dz 4
84 Cómo se transforma la ecuación diferencial con este cambio de variable? La ecuación diferencial se transforma en: zdx + (-3 z +) dx dz = 0 2 4 Qué sugiere hacer ahora? Sacar factor común dx. Así se tiene 3 z z + dx = 2 2 4 2 2 ( 3z + ) dz 0 o equivalentemente z + dx ( 3z + ) dz = 0 4 A qué tipo de ecuación diferencial hemos llegado? Hemos llegado a una ecuación diferencial de variable separable. Correcto. Por qué factor deben multiplicar para separar las variables? Se debe multiplicar por el factor z + 2 2 Cómo queda la ecuación al multiplicar por dicho factor? La ecuación queda.
85 o equivalentemente dx - 2 (3z ) dx + 4 dz = 0 ( z + ) 2 3z dz = 0 z Ya están separadas las variables Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es integrar cada término: dx - 3z 2 dz = C (#) z Cómo resuelven dx? Es inmediata dx = x 3z Cómo resuelven z dz? Cómo es un cociente de polinomios de igual grado, deberá efectuarse la división de polinomios, de donde resulta que integrando respecto de z ambas integrales inmediatas 3z 2 = 3 + z z 3z dz = z 3 dz + 2 dz z
86 3z dz = 3z + 2ln z z Muy bien. Ya resueltas las integrales Qué deben hacer? Debemos sustituir los resultados de las integrales en (#). Así: x - 2 [3z + 2 ln z - ] = C Correcto. Qué les falta hacer? Falta devolver el cambio de variables z = 2x 4y; al sustituir queda 2x 3(2x 4y) 2 ln 2x 4y = 2C esto es, 2x 6x + 2y ln 2x 4y 2 = 2C aplicando "e" de donde: e 2y 4x 2C = e 2 ln 2x 4y k e 4(3y x) = (2x 4y ) 2 Excelente. Cuál es la conclusión del problema? Que la función (2x 4y ) 2 = ke 4(3y x) es la solución general de la ecuación diferencial (2x 4y) dx + (2y 6x + ) dy = 0 Abran sus guías en la página 3 y leamos la información que allí aparece.
87 CASO 2: LA ECUACIÓN DIFERENCIAL TIENE LA FORMA (a x + b y + c ) dx + (a 2 x + b 2 y + c 2 ) dy = 0 CON a x + b y + c = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 RECTAS PARALELAS Este tipo de ecuación diferencial es reducible a variable separable. Para transformar dicha ecuación diferencial en una de variable separable, se deben realizar los siguientes pasos: - Obtener la constante k tal que (a 2, b 2 ) = k (a, b ) 2- Escribir la ecuación diferencial como (a x + b y + c ) dx + [k(a x + b y) + c 2 ] dy = 0 z a = + = x z ax by y b 3- Realizar el cambio de variables dz a = dx dy b 4- Resolver la ecuación diferencial de variable separable que resulta en el paso 3 5- Devolver los cambios de variables 6- De ser posible despejar "y" A continuación disponer de 0 minutos para resolver el Problema 3 que aparece en sus guías en la página 3 PROBLEMA 3: Obtenga la solución general de la ecuación diferencial: (2x + 3y + 4) dx + (4x + 6y + ) dy = 0 Revisemos como resolvieron el Problema 3.
88 Qué es lo primero que deben hacer? Estudiar la posición relativa de las rectas involucradas en la ecuación diferencial 2x + 3y + 4 = 0 y 4x + 6y + = 0 Muy bien. Cómo lo hacen? Buscando sus vectores normales y chequeando si son o no proporcionales. Correcto. Qué obtenemos? El vector normal de la recta es N = (2,3) y el vector normal de la recta 2 es N 2 = (4,6). Se puede observar que N 2 = (4,6) = 2 N = 2 (2,3) Exacto. Cómo puede entonces escribir la ecuación diferencial? La ecuación diferencial puede escribirse: (2x + 3y + 4) dx + [2 (2x + 3y) + ] dy = 0 diferencial? Pueden identificar que expresión se repite en cada término de la ecuación Se repite el término 2x + 3y. Qué sugiere hacer en este caso? Se sugiere realizar un cambio de variable
89 z = 2z + 3y dz 2dx dy = 3 y = z 2x 3 se transforma? Muy bien. Sustituyan el cambio de variable en la ecuación diferencial Cómo Al sustituir el cambio de variable la ecuación diferencial se transforma en dz 2dx (z + 4) dx + (2z + ) = 0 3 Correcto. Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es sacar factor común dx, obteniendo o equivalentemente: esto es, 2 ( z + 4) (2z + ) dx + (2z + ) dz = 0 3 3 (3z + 2 4z - 2) dx + (2z + ) dz = 0 (0-z) dx + (2z + ) dz = 0 Qué tipo de ecuación diferencial resultó? Resultó una ecuación diferencial de variables separables. separadas? Cuál es el factor por el cual se debe multiplicar para que las variables queden
90 Se debe multiplicar por el factor dx + obteniéndose así 0 z 2z + 0 z dz = 0 Ya están separadas las variables. Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es integrar cada término de la última ecuación dx + 2z + dz = C (#) 0 z Cómo resuelven? dx Es inmediata dx = x Cómo resuelven 2z + dz? 0 z Cómo es un cociente de polinomios de igual grado, deben dividirse los polinomios. Exacto. Una vez efectuada la división de polinomios Cómo puede escribirse 2z + el cociente? 0 z Se puede escribir 2z + 2 = -2 + 0 z 0 z
9 Qué hacen ahora? Lo que hacemos es integrar cada término respecto de x. 2z + 0 z dz = - 2 dz + 2 dz 0 z = - 2z - 2 ln 0 z Resueltas ya las integrales. Cuál es el siguiente paso? Sustituir los resultados de las integrales en (#), obteniendo x 2z - 2 ln 0 z = C Qué falta por realizar? Falta devolver el cambio de variable z = 2x + 3y, así x 4x 6y 2 ln 0 2x 3y = C o equivalentemente: -3x 6y 2 ln 0 2x 3y = C Se podrá simplificar más? Si, se puede dividir todo entre 3 y sumar 3x + 6y, resultando así: o equivalentemente, aplicando "e": 7 ln 0 2x 3y = 3 C + x + 2y esto es, 0 2x 3y 7 = 3 C e e x+2y 0 2x 3y 7 = k e x+2y
92 Qué concluyen? Concluimos que la función 0 2x 3y 7 = k e x+2y es la solución general de la ecuación diferencial (2x + 3y +4) dx + (4x + 6y + ) dy = 0 El Problema 4 les queda como ejercicio. PROBLEMA 4: Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. - (x + y) dx + (3x + 3y 4) dy = 0 2- (2x + 2y + ) dx + (x + y + ) dy = 0 3- (x + y + ) y = (x + y ) 4- (2x + y) dx - (4x + 2y ) dy = 0 5- dy dx 2x 4y = 6x 2y CIERRE: Qué estudiamos en esta lección? Estudiamos un tipo de ecuación diferencial la cual puede reducirse a homogénea. Qué forma tiene este tipo de ecuación diferencial?
93 Tiene la forma (a x + b y + c ) dx + (a 2 x + b 2 y + c 2 ) dy = 0 donde a x + b y + c = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 son dos rectas que se cortan. diferencial? Podrían decirme que pasos se siguen para resolver dicha ecuación Lo primero que hacemos es buscar las coordenadas (h,k) del punto de intersección entre las dos rectas. Luego se realiza el cambio de variables: x = u + h dx = du y = v + k dy = dv obtiene? Al sustituir el cambio de variables Qué tipo de ecuación diferencial se Se obtiene una ecuación diferencial homogénea. Correcto. Qué otro aspecto estudiamos? Estudiamos las ecuaciones diferenciales de la forma (a x + b y + c ) dx + (a 2 x + b 2 y + c 2 ) dy = 0 donde a x + b y + c = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 son rectas paralelas. Qué debe hacerse en este caso? En este caso se debe escribir: a 2 x + b 2 y + c 2 = k (a x + b y) + c 2
94 donde k representa la constante de proporcionalidad entre los vectores normales de las dos rectas. Muy bien. Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es realizar el cambio de variable z = ax + by dz a = x dy b y = z a b : Al realizar este cambio Qué tipo de ecuación diferencial resulta? Resulta una ecuación diferencial de variables separables.