MATEMÁTICAS 2º ESO. BLOQUE 9. FUNCIONES, ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (En el libro Temas 8, 9 y 10, páginas 141, 159 y 177) 1. Funciones. 1.1. Coordenadas en el plano. 1.2. Definición de función. 1.3. Intervalos. Semirectas. Propiedades de las funciones (Dominio, Recorrido, Puntos de corte con los ejes, Continuidad, Periodicidad, Simetría, Monotonía, Extremos, Curvatura, Puntos de inflexión y Asíntotas). 1.4. Principales funciones. Función de proporcionalidad directa. Función afín. Rectas horizontales y verticales. 1.5. Posición relativa de dos rectas. 2. Estadística. 2.1. Definiciones estadísticas: estadística, población, muestra, carácter estadístico, clasificación. 2.2. Recuento y agrupación de datos. Tablas de frecuencias. 2.3. Gráficos estadísticos: histogramas, diagramas de barras, polígonos de frecuencias, diagramas de sectores, diagramas de barras comparadas. 2.4. Parámetros estadísticos: media, moda, mediana, rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación. 3. Probabilidad. 3.1. Definiciones. Sucesos. 3.2. Probabilidad de sucesos equiprobables. Regla de Laplace. 3.3. Propiedades de la probabilidad. 0 p 1 p ( E) 1, p ( ) 0 p( A) 1 p( A) 1
1. Funciones. 1.1. Coordenadas en el plano. Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares, llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas: El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas. El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas. El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y) La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto. La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante. 2
Ejemplo: representa gráficamente los puntos A(3, 4), B(-5, 3), C(-4, -3), D(4, -5), E(0,3), F(0, -2), G(-3, 0) y H(3, 0) 1.2. Definición de función: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde como máximo un solo valor de la segunda, llamada imagen. Ejemplo: El precio de un viaje en taxi viene dado por: y = 3 + 0.5 x Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje. Como podemos observar la función relaciona dos variables ( varían ) x e y. x es la variable independiente. y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje). Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento. x 10 20 30 y= 3 + 0.5x 8 13 18 1.3. Intervalos. Semirectas. Propiedades de las funciones: Intervalos: conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo. Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. 3
(a, b) = {x / a < x < b} Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = {x / a x b} Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] = {x / a < x b} Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. [a, b) = {x / a x < b} Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo ( unión) entre ellos. Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.x > a x > a 4
x a x < a x a Los puntos aislados se representan entre llaves Las propiedades de las funciones son: 1ª Dominio: es el conjunto de valores de x para los que está definida la función. Se representa como Dom(f(x)). 2ª Rango o Recorrido: es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, y. Se representa como Im f. Es, por tanto, el conjunto de puntos del eje y al que corresponde algún punto del eje x Ejemplo: Halla el dominio y el recorrido de la siguiente función: Dom(f(x))= Imf= (los valores de 4 5 y 3 2 son aproximados observando la gráfica) 5
3 ª Puntos de corte con los ejes: a) Gráficamente (nos dan el dibujo): Ejemplo: Indica el punto de corte con los ejes de las siguientes funciones: En el dibujo vemos que la parábola corta a ambos ejes en el punto (0,0) La recta corta al eje x en el punto (-2, 0) y al eje y en el punto (0,1) b) Numéricamente: -Con el eje x: la coordenada y debe ser 0 (explicarlo con un ejemplo general). Sustituimos la y por 0 y hallamos el valor de x. Las coordenadas del punto intersección con el eje x serán (x,0). -Con el eje y: la coordenada x debe ser 0 (explicarlo con un ejemplo general). Sustituimos el valor de x por 0 y hallamos el valor de y. Las coordenadas del punto intersección con el eje y serán (0,y) Ej: Halla el punto de corte con los ejes de la función y=-2x+3 -Con el eje x: y=0. Sustituimos en la ecuación de la función y por 0 y despejamos x: 0=-2x+3, despejamos x= 3/2, luego el punto de corte con el eje x será (3/2, 0) -Con el eje y: x=0. Sustituimos en la ecuación de la función x por 0 y despejamos y: y=-2 0+3= 3, por tanto el punto de corte con el eje y será (0,3) 4 ª Continuidad: una función es continua si se puede representar si levantar el lápiz del papel 6
5 ª Periodicidad: Una función es periódica cuando su valor se repite cada vez que la variable x recorre un cierto intervalo. Su gráfica se repite cada cierto intervalo. Ejemplo de una función periódica sería: Su periodo sería 4 6ª Simetría: a) Par o respecto al eje y. Ejemplo: b) Impar o respecto al origen de coordenadas 7º Monotonía (Crecimiento y decrecimiento): una función es creciente cuando al aumentar una magnitud también aumenta la otra y es decreciente cuando al 7
aumentar una magnitud disminuye la otra. Una función puede tener tramos crecientes y decrecientes. Ejemplo: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: (-, - 1): creciente. (Es decir, al aumentar la x, aumenta la y. SUBE ) (- 1, 1): decreciente. (Es decir, al aumentar la x, disminuye la y. BAJA ) (1, ): creciente. 8º Extremos (Máximos y mínimos): Un máximo es un punto tal que a su izquierda la función crece y a su derecha decrece. Un mínimo es un punto tal que a su izquierda la función decrece y a su derecha crece. Los máximos relativos son los Picos de la función. El mayor de todos ellos es el máximo absoluto 8
9ª Curvatura: Una función es cóncava en un intervalo cuando para cualquier par de puntos de la curva (dentro del intervalo), el segmento que los une queda por debajo de la gráfica. Cuando el segmento queda por encima de la gráfica, la función es convexa en dicho intervalo. 10ª Puntos de inflexión: son aquellos puntos donde la función pasa de ser cóncava a convexa o de convexa a cóncava 11ª Asíntotas: Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente pero sin llegar a tocarlas. Pueden ser horizontales (paralelas al eje x), verticales (paralelas al eje y) u oblicuas (inclinadas). Si una función no puede tener a la vez asíntotas horizontales y oblicuas. Ejemplos de asíntotas horizontales y verticales: 9
Ejemplos de una función con una asíntota vertical y otra oblicua: 1.3. Principales funciones: -Función de proporcionalidad directa: son del tipo y=mx, donde m es la pendiente de la recta. Pasan por el origen de coordenadas. Si m>0 la función es creciente. Si m<0 es decreciente. Ejemplos: 10
-Función afín: : son del tipo y = mx + n. m es la pendiente y n es la ordenada en el origen (= valor de y cuando la x es 0). Al igual que antes, si m>0 es creciente y si m<0 es decreciente. Ejemplos: -Función de proporcionalidad inversa: relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales. Su expresión es de la forma y=k/x con k#0. Ejemlo: -Rectas horizontales: paralelas al eje x. Son del tipo y= k R. Ejemplos: y= -2, y= 3 -Rectas verticales: paralelas al eje y. Son del tipo x= k R. Ejemplos: x= -4, y= 5. NO SON FUNCIONES Ejemplos de rectas verticales y horizontales: 11
1.4. Posición relativa de dos rectas: (poner ej dibujando sus gráficas) 1ª) Coincidentes: Tienen todos sus puntos en común. Misma pendiente y ordenada en el origen. m=m. n= n. Ejemplos de funciones concidentes: y= (2x+6)/2 e y= x+3 2ª) Paralelas: no se cortan en ningún punto. Tienen la misma pendiente, distinta ordenada en el origen. m=m, n n. Ejemplos de funciones paralelas: y= -7x+5 e y= -7x+10 3ª) Secantes: se cortan en un punto. Sus pendientes son distintas. m m. Puede hallarse su punto de corte resolviendo el sistema de ecuaciones que forman. Ejemplo de funciones secantes: y= -8x+1 e y= 5x. Si quisiésemos hallar el punto de corte de las rectas anteriores resolveríamos el sistema de ecuaciones que forman: Solución del sistema: x= 1/13, y= 5/13, por tanto el punto de corte de las rectas será: C (1/13, 5/13) (PONER EJEMPLOS DE OBTENCIÓN DE LA EC DE UNA RECTA A PARTIR DE SU DIBUJO O DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE) 2. Estadística: 2.1. Definiciones estadísticas: Estadística: trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Población: conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico. Muestra: conjunto representativo de la población de referencia. El número de individuos de una muestra es menor que el de la población Carácter estadístico: Cada una de las propiedades (aspectos) que pueden estudiarse en los individuos de una población. Pueden ser: a) Cuantitativos: se pueden medir. Ejemplos: número de asistentes a una reunión, número de personas de cierta edad b) Cualitativo: no se pueden medir. Ejemplos: lugar de residencia de una persona, color preferido 12
2.2. Recuento y agrupación de datos. Tablas de frecuencias. La tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Contiene los siguientes elementos: 1º Valores de la variable (X i ) 2º Frecuencia absoluta (f i ) es el número de veces que aparece un determinado valor. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N 3º Frecuencia absoluta acumulada (F i ) es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. 4º Frecuencia relativa (h i ) es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. hi=fi/n 5º Frecuencia relativa acumulada (H i ) es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar también en tantos por ciento. Hi=Fi/N 6º Porcentaje (p i )= hi 100 7º Porcentaje acumulado (Pi)= Hi 100 8º xi fi (para calcular la media aritmética) 9º xi 2 fi (para calcular la varianza) La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. En este caso, se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente. Ejemplo: Nº de aprobados Ci (clase) Fi (frecuencia absoluta) [0, 5) 2,5 15 [5, 10) 7,5 12 Ejemplo de distribución de datos aislados: Las notas de un examen de matemáticas de 30 alumnos de una clase son las siguientes: 5, 3, 4, 1, 2, 8, 9, 8, 7, 6, 6, 7, 9, 8, 7, 7, 1, 0, 1, 5, 9, 9, 8, 0, 8, 8, 8, 9, 5, 7 Hacer la tabla de frecuencias x i f i F i h i = f i / N H i= Fi/n pi= hi 100 Pi=Hi 100 xi fi xi 2 fi 0 2 2 2/30 2/30 200/30 200/30 0 0 13
1 3 5 3/30 5/30 300/30 500/30 3 3 2 1 6 1/30 6/30 100/30 600/30 2 4 3 1 7 1/30 7/30 100/30 700/30 3 9 4 1 8 1/30 8/30 100/30 800/30 4 16 5 3 11 3/30 11/30 300/30 1100/30 15 75 6 2 13 2/30 13/30 200/30 1300/30 12 72 7 5 18 5/30 18/30 500/30 1800/30 35 245 8 7 25 7/30 25/30 700/30 2500/30 56 448 9 5 30 5/30 30/30 500/30 3000/30 45 405 30 1 100 175 1277 2.3. Gráficos estadísticos: A) Diagrama de barras: Se representan sobre unos ejes de coordenadas. En el eje x se colocan los valores de la variable, y sobre el eje y se colocan las frecuencias. Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia. Dichas barras se representan separadas. Ejemplo: la siguiente tabla muestra un estudio sobre los grupos sanguíneos de 20 personas distintas. Representar el diagrama de barras para esa tabla Grupo sanguíneo f i A 6 B 4 AB 1 0 9 20 14
B) Histograma: Representación gráfica de una variable en forma de barras. En el eje vertical se representan las frecuencias y en el eje horizontal los valores de las variables. A diferencia de los diagramas de barras, los histogramas dibujan rectángulos unidos entre sí. Los datos se agrupan en intervalos. En el ejemplo de debajo podemos ver un histograma en el que se muestra la distribución de edades de las personas que han acudido a un cursillo (eje x) y el número de personas que pertenecen a esa franja de edad (frecuencia absoluta, eje y) C) Polígono de frecuencias: Para representarlo se unen los puntos medios de los rectángulos del histograma. Ejemplo Haz el histograma y el polígono de frecuencias correspondientes a la siguiente tabla, donde se expresan los pesos de 65 personas adultas: f i [50, 60) 8 [60, 70) 10 [70, 80) 16 [80, 90) 14 [90, 100) 10 [100, 110) 5 [110, 120) 2 65 15
D) Diagrama de sectores: Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente. El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos (pero puede hacerse de manera aproximada) Ejemplo En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte. Representa esta información con un diagrama de sectores (explicar paso a paso cómo sacar el ángulo) Alumnos Ángulo Baloncesto 12 144 Natación 3 36 Fútbol 9 108 Sin deporte 6 72 Total 30 360 E) Diagrama de barras comparadas: Están compuestos por varias barras que corresponden a las características que se desea mostrar o comparar. El siguiente gráfico nos muestra el número de matriculados en un curso determinado en los años 2008, 2009, 2010 y 2011 clasificados por sexos (pintado- hombres), (sin pintar- mujeres) (Eje x, años; Eje y, nº de matriculados) 16
2.4 Parámetros estadísticos: Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística. Los más importantes son: -Media aritmética: es el valor promedio de la distribución. Se calcula sumando todos los valores de las variables y dividiendo por el número de datos. Se representa por. -Moda: es el valor que más se repite. Se representa por Mo -Mediana: valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. Es el valor central. Se representa por Me. Cálculo de la mediana 1º Ordenamos los datos de menor a mayor. Si son muchos, es necesario agruparlos en una tabla 2º Hay dos casos: a) Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Como son 9 datos: 9/2= 4,5 5 (la mediana es el que ocupa la 5ª posición) Me= 5 17
b) Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. 7, 8, 9, 10, 11, 12 Como son 6 datos, 6:2= 3. La mediana se halla calculando la media entre el que ocupa la posición 3 y la posición 4. Posición3= 9, Posición 4= 10. Me=(9+10)/2= 9.5 -Rango o recorrido: diferencia entre el mayor y el menor de los datos. Se representa por r. -Varianza: es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. Se representa por s 2 ó σ 2. s 2 = / N - 2, siendo xi los valores de la variable, la media aritmética y N el número total de datos. -Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza. Se representa por s ó σ -Coeficiente de variación: es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. Se representa por CV. CV= s 2 /. Se suele expresar en portentaje también como CV= (s 2 / )*100 (no dictar: expresa la homogeneidad de los datos) Ejemplo práctico: Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla: xi fi 61 5 64 18 67 42 70 27 73 8 N= 100 Calcular la media aritmética, moda, mediana, rango, varianza, desviación típica y el coeficiente de variación (en porcentaje) Media aritmética: 6745/100= 67,45 Moda: 67 (valor que más se repite) Mediana: como son datos pares, la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. 100/2 = 50, es decir, las puntuaciones centrales son la nº50 y la nº51. A la puntuación nº50 le corresponde un valor = 67 y a la nº51 también. Luego la mediana es: (67+67)/2= 67 18
Rango o recorrido: r= 73-61= 12 Varianza: s 2 = / N - 2 (61 2 *5+64 2 *18+67 2 *42+70 2 *27+73 2 *8)/100-67,452 2 = 455803/100-4549,5025= 4558,03-4549,5025 = 8,5275 8,53 Desviación típica: s= = 2,92 Coeficiente de variación: CV= (s 2 / )*100= (8,53/67,45)*100 0,1265*100= 12,65% 3. Probabilidad. 3.1. Definiciones. La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles. Un suceso es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Ejemplo: al lanzar un dado un suceso posible es que saliese un 5, un número par, etc El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E. Ejemplo: el espacio muestral si lanzamos una moneda al aire será: E={C, X} 3.2. Probabilidad de sucesos equiprobables. Regla de Laplace: Dos sucesos son equiprobables si tienen la misma probabilidad de que ocurran. Ejemplo: sacar una determinada carta de una baraja, sacar cara al lanzar una moneda Regla de Laplace: si hacemos un experimento aleatorio en el que todos los sucesos son equiprobables (como los anteriores), la probabilidad de que ocurra ese suceso es P= número de casos favorables/ número de casos posibles Ejemplos: -Si lanzo una moneda al aire, calcular la probabilidad de que salga cara: P= ½= 0,5= 50% -De una baraja de 40 cartas, calcular la probabilidad de sacar un as 19
P= 4/40=0,1= 10% -Si lanzo un dado al aire, calcular la probabilidad de sacar un múltiplo de 2. P= 3/6= 0,5= 50% 3.3. Propiedades de la probabilidad. 1ª) La probabilidad es positiva y menor o igual que 1 0 p(a) 1. Si la expresamos en porcentajes, también puede decirse que es menor o igual al 100% 2ª) La probabilidad del suceso seguro es 1. p(e) = 1. Ejemplo: Qué probabilidad hay de tirar un dado y sacar un número menor que 7? 3ª) La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es: Ejemplo: si tiramos un dado, hallar la probabilidad de no sacar un 5. P(A)= probabilidad de sacar un cinco P( = probabilidad de no sacar un 5 P( = 1- P(A)= 1-1/6= 5/6 20