Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva 1. El porcentaje de algodón en una tela utilizada para elaborar camisas para hombre se presenta en la siguiente tabla. Calcular los estadísticos más importantes y realícese el histograma de frecuencias. porcentaje de algodón 32.1 32.5 32.6 32.7 32.8 32. 33.1 33.1 33.4 33.5 33.6 33.6 33.6 33.6 33.6 33.8 33.8 34 34.1 34.1 34.1 34.2 34.3 34.3 34.4 34.5 34.5 34.6 34.6 34.6 34.6 34.6 34.7 34.7 34.7 34.7 34.7 34.7 34. 35 35 35.1 35.1 35.1 35.2 35.3 35.4 35.4 35.5 35.6 35.7 35.8 35. 36.2 36.4 36.6 36.8 36.8 36.8 37.1 37.3 37.6 37.8 37. (a) Diseñar la distribución de frecuencias con un cambio de variable. (b) Calcular los estadísticos: media, moda, mediana, Q 1, Q 3, c 0.6, varianza y desviación típica. (c) A partir del diagrama anterior determinar la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil y compárese los resultados con los obtenidos a partir de la distribución de frecuencias. (d) Representar los histogramas de frecuencias absolutas y acumuladas. (e) Representar el diagrama de caja y determinar los valores extremos. 2. La siguiente tabla registra en diferentes horas la temperatura (T) del agua de un río y su contenido en oxígeno disuelto (DO): T DO T DO T DO T DO T DO 2,57,88 2,48 6,67 28,43 2,0 31,68 13,80 28,51 2,58 2, 12,14 2,06 5,2 28,64 3,4 31,34 12,32 28,30 2,41 30,58 13,66 28,81 4,23 2,02 5,52 31,00 11,00 28,0 2,51 31,00 14,1 28,60 3,56 2,52 7,83 30,7 10,00 28,00 2,71 31,34 14,50 28,51 2,8 30,07 10,68 30,45 8,45 28,13 3,48 31,26 13,72 28,51 2,58 30,67 12,8 30,07 6,48 28,30 4,36 31,17 12,54 28,43 2,32 31,17 14,26 2,6 4,1 28,72 5,71 30,6 11,48 28,34 2,14 31,55 14,3 2,36 3,8 2,14 7,1 30,50,2 28,34 2,0 31,76 14,1 2,02 3,21 2,74 10,61 2, 8,32 28,26 2,27 31,81 14,61 28,76 2,83 30,37 12,66 Se pide: (a) Construir una distribución conjunta de frecuencias para las dos variables T y DO tomando 5 intervalos. (b) Dibujar un diagrama de dispersión conjunto de las dos variables. (c) Hacer un estudio de las distribuciones marginales. (d) Calcular la matriz de varianzas-covarianzas. 1

Estadística Descriptiva 3. En diferentes dias se ha observado el número de veces que ha sonado la alarma en un servicio de bomberos, obteniéndose los siguientes datos: {5, 3, 1, 5, 3, 6, 4, 2, 5, 6, 3, 6, 5, 2, 6, 7, 3} Se pide: (a) Obtener la moda, la mediana, Q 1, Q 3 y el cuantil 0.40. (b) Obtener la media y la desviación típica. (c) Efectuar un diagrama apropiado. Solución (a) Para las medidas de posición conviene ordenar los datos {1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, } La moda corresponde al valor mas repetido, este caso corresponde a los tres valores M o = 3, 5, 6. Decimos que es multimodal. La mediana acumula el 50% de los datos N = 17. Como 0.5 (N + 1) = Me = 5 El primer cuartile Q 1 acumula el 25% de los datos N = 17. Como 0.25 (N + 1) = 4.5 Q 1 = 3 + 0.5(3 3) = 3 El tercer cuartile Q 3 acumula el 75% de los datos N = 17. Como 0.75 (N + 1) = 13.5 Q 3 = 6 + 0.5(6 6) = 6 El cuantil c 0.40 acumula el 40% de los datos N = 17. Como 0.40 (N + 1) = 7.2 c 0.40 = 3 + 0.2(4 3) = 3.2 (b) Cálculo de la media, varianza y la desviación típica. n i=1 x = x if i = 72 N 17 = 4.235 Para el cáculo de la varianza se aconseja el método abreviado n Sx 2 i=1 = x2 i f i x 2 = 354 N 17 4.2352 = 2.8 (c) Efectuar un diagrama apropiado. S x = S 2 x = 2.8 = 1.70 2

4 Número de avisos 3 2 1 0 1 2 3 4 avisos 5 6 7 3

4. El porcentaje de algodón en una tela utilizada para elaborar camisas para hombre se presenta en la siguiente tabla. Calcular los estadísticos más importantes y realícese el histograma de frecuencias. porcentaje de algodón 32.1 32.5 32.6 32.7 32.8 32. 33.1 33.1 33.4 33.5 33.6 33.6 33.6 33.6 33.6 33.8 33.8 34 34.1 34.1 34.1 34.2 34.3 34.3 34.4 34.5 34.5 34.6 34.6 34.6 34.6 34.6 34.7 34.7 34.7 34.7 34.7 34.7 34. 35 35 35.1 35.1 35.1 35.2 35.3 35.4 35.4 35.5 35.6 35.7 35.8 35. 36.2 36.4 36.6 36.8 36.8 36.8 37.1 37.3 37.6 37.8 37. (a) Diseñar la distribución de frecuencias con un cambio de variable. (b) Calcular los estadísticos: media, moda, mediana, Q 1, Q 3, c 0.6, varianza y desviación típica. (c) Representar el diagrama de tallo y hojas. (d) A partir del diagrama anterior determinar la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil y compárese los resultados con los obtenidos a partir de la distribución de frecuencias. (e) Representar los histogramas de frecuencias absolutas y acumuladas. (f) Representar el diagrama de caja y determinar los valores extremos. Solución (a) Tomamos 7 intervalos de longitud 1. Como x max x min = 37. 32.1 = 5.8 y 7-5.8=1.2, desplazamos el extremo inferior a 32.1-0.6=31.5 y el extremo superior a 37.+0.6=38.5. Efectuamos el cambio de variable y i = x i 35 para realizar los cálculos con la variable y. Algodón x i f i F i y i y i f i yi 2 f i [31.5, 32.5) 32 1 2-3 -3 [32.5, 33.5) 33 8 10-2 -16 32 [33.5, 34.5) 34 16 27-1 -16 16 [34.5, 35.5) 35 23 4 0 0 0 [35.5, 36.5) 36 7 55 1 7 7 [36.5, 37.5) 37 6 61 2 12 24 [37.5, 38.5) 38 3 64 3 27 64-7 113 Tabla 1: Distribución de frecuencias (b) Cálculo de los estadísticos: yi f i ȳ = N = 7 64 = 0.11 y Sy 2 2 = i f i N ȳ2 = 115 64 0.112 = 1.78 4

x = ȳ + 35 = 34.8 y S x = S y = 1.78 = 1.336 A continuación se explica cómo calcular la Moda, y los cuartiles Q 1 y Q 3. Con el mismo método se hallan los deciles y los cuantiles. Aunque hay fórmulas explícitas para ello, dichas expresiones se obtienen por interpolación de los histogramas de frecuencias. Dicha interpolación se basa en la comparación de triángulos semejantes. 23 23 16 7 x 34.5 35.5 La Moda Mo, se calcula por interpolación en el intervalo modal. Por semejanza de triángulos se tiene x 23 16 = 1 x 23 7 x = 7 23 Luego y M o = 34.5 + x = 34.8 Figure 1: Cáculo de la Moda 25 El primer cuartil Q 1 acumula N/4 = 16, luego 34.5 33.5 = 1 16 Q 1 33.5 = x 7 16 x Q 1 = 33.5 + 7 16 = 33.4 33.5 Q 1 34.5 (c) Gráfico de tallo y hojas. Obsérvese el diagrama de este tipo que se obtiene a partir del paquete estadístico Minitab. Es interesante y fácil de calcular a partir del mismo la Mediana y los cuartiles Q 1 y Q 3. Comparar los resultados, con los obtenidos por interpolación de la distribución de frecuencias en el apartado anterior. Diagrama de árbol 5

48 38,4 25 x El tercer cuartil Q 3 acumula 48, luego Q 3 = 35.5. El cuantil c 0.60 acumula 0.6 N = 38.4, por interpolación de los triángulos semejantes de la figura se tiene 34.5 c 0.6 35.5 35.5 34.5 = 1 23 c 0.60 34.5 = x 13.4 c 0.60 = 34.5 + 13.4 23 = 35.08 32 1 5 6 7 8 6 33 1 1 4 5 6 5 33 6 6 6 6 8 8 6 34 0 1 1 1 2 2 3 3 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 22 35 0 0 1 1 1 2 3 4 4 5 6 7 8 14 36 2 4 6 8 8 8 6 37 1 3 6 8 5 (d) Con el gráfico de tallos y hojas, donde los datos están ordenados y sin agrupar determinamos: La mediana acumula el 50% de los datos N = 64. Como 0.5 (N + 1) = 32.5 Me = 34.6 + 0.5(34.7 34.6) = 34.65 El primer cuartile Q 1 acumula el 25% de los datos N = 64. Como 0.25 (N + 1) = 16.25 Q 1 = 33.8 + 0.25(0) = 33.8 El tercer cuartile Q 3 acumula el 75% de los datos N = 64. Como 0.75 (N + 1) = 48.75 Q 3 = 35.4 + 0.75(0.1) = 35.475 (e) A continuación se muestran los Histogramas de frecuencias absolutas y acumuladas. El lector puede detallar sobre los mismos, los poligonos de frecuencias, tanto para las frecuencias absolutas como las acumuladas. (f) Salida de estadísticos con Minitab. Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean Algodon 64 34,770 34,650 34,738 1,351 0,16 Minimum Maximum Q1 Q3 2,100 37,00 33,800 35,47 (g) Mostramos el diagrama de caja (Boxplot) para el cálculo del rango intercuartil. La medida de variabilidad amplitud intercuartil AIC = Q 3 Q 1 = 1.67. Si queremos detectar valores extremos en un sentido u otro, se calculan los valores de referencia dados por Q 1 1.5 AIC = 31.25 Q 3 + 1.5 AIC = 37.75 6

70 Frecuencias absolutas 20 10 0 Frecuencias acumuladas 60 50 40 30 20 10 0 32 33 34 35 Algodón 36 37 38 31,5 32,5 33,5 34,5 35,5 Algodón 36,5 37,5 38,5 Figure 2: Histogramas de frecuencias absolutas y acumuladas y apreciamos que en nuestra distribución no hay valores extremos en ninguno de los sentidos. La siguiente tabla registra en diferentes horas la temperatura (T) del agua de un río y su contenido en oxígeno disuelto (DO): Se pide: T DO T DO T DO T DO T DO 2,57,88 2,48 6,67 28,43 2,0 31,68 13,80 28,51 2,58 2, 12,14 2,06 5,2 28,64 3,4 31,34 12,32 28,30 2,41 30,58 13,66 28,81 4,23 2,02 5,52 31,00 11,00 28,0 2,51 31,00 14,1 28,60 3,56 2,52 7,83 30,7 10,00 28,00 2,71 31,34 14,50 28,51 2,8 30,07 10,68 30,45 8,45 28,13 3,48 31,26 13,72 28,51 2,58 30,67 12,8 30,07 6,48 28,30 4,36 31,17 12,54 28,43 2,32 31,17 14,26 2,6 4,1 28,72 5,71 30,6 11,48 28,34 2,14 31,55 14,3 2,36 3,8 2,14 7,1 30,50,2 28,34 2,0 31,76 14,1 2,02 3,21 2,74 10,61 2, 8,32 28,26 2,27 31,81 14,61 28,76 2,83 30,37 12,66 (a) Construir una distribución conjunta de frecuencias para las dos variables T y DO tomando 5 intervalos. (b) Dibujar un diagrama de dispersión conjunto de las dos variables. (c) Hacer un estudio de las distribuciones marginales. (d) Calcular la matriz de varianzas-covarianzas. 7

38 Figure 3: Diagrama de Caja. Es un artificio que muestra la mediana, los cuartiles y la amplitud, todo en el mismo gráfico. Muestra que la mayor parte de los datos es menor que 35.47, y que el 50% de los datos estan comprendidos entre 33.8 y 35.47 Algodón 37 36 35 34 33 Q3=35.47 Me=34.65 Q1=33.8 32 T DO 2.00-4.5 4.60-7.1 7.20-.7.80-12.3 12.40-15 27.0-28.70 15 0 0 0 0 15 28.71-2.50 4 4 1 0 0 2.51-30.30 0 2 2 4 0 8 30.31-31.10 0 0 1 4 4 31.11-31.0 0 0 0 1 8 1 6 4 12 50 T f i 27.0-28.70 15 28.71-2.50 2.51-30.30 8 30.31-31.10 31.11-31.0 50 Estadísticos de T T 2.70 Me T 2.55 Ŝ T 1.20 Q 1 28.00 Q 3 30.83 DO g i 2.00-4.5 1 4.60-7.1 6 7.20-.7 4.80-12.3 12.40-15.00 12 50 Estadísticos de DO DO 7.78 Me DO 7.25 Ŝ DO 4.57 Q 1 3.15 Q 3 12.37 Se tiene que x i y i = 11806. La matriz de varianzas-covarianzas y coeficiente de correlación: 8

1 6 4 12 31, Figure 4: Diagrama bivariado. En la parte superior aparece el histograma de la variable DO y en la parte lateral el histograma de la variable temperatura T Temperatura 31,1 30,3 2,5 28,7 8 15 27, 2,0 4,6 7,2,8 12,4 15,0 Contenido en oxígeno La matriz de varianzas-covarianzas y coeficiente de correlación: ( ST 2 ) ( ) Cov(T, DO) 1.43 5.16 = Cov(T, DO) 5.16 20.85 S 2 DO r T,DO = Cov(T, DO) S T S DO = 0.44