Tema 1: Teoría de la decisión bajo incertidumbre Microeconomía Avanzada II Iñigo Iturbe-Ormaeche U. de Alicante 2008-09
Anomalías Introducción Formalización Utilidad esperada Actitud frente al riesgo Aplicaciones
Un billete de lotería Hasta ahora hemos estudiado decisiones sin incertidumbre En este tema vamos a considerar decisiones bajo incertidumbre: Los objetos de elección son distribuciones de probabilidad sobre resultados Un billete de lotería cuesta 5 euros. Con una probabilidad de 1/100 podemos ganar un premio de 400 euros. Debemos elegir entre: COMPRAR EL BILLETE: Con una probabilidad de 1/100 ganamos 400 5 = 395 euros, y con una probabilidad de 99/100 ganamos 5 euros. NO COMPRAR EL BILLETE: Con una probabilidad de 1 obtenemos 0 euros.
Una decisión de cartera Hay dos fondos de inversión. El fondo A invierte 1/3 en renta ja y el resto en renta variable. El fondo B invierte 2/3 en renta ja. La renta ja tiene un rendimiento ( jo) del 6 % anual. La renta variable tiene un rendimiento de 0 % con 1/2 de probabilidad o de un 21 % con 1/2 de probabilidad. Debemos decidir en qué fondo invertimos: Si invierto 1 euro en el fondo A, con 1/2 obtengo (1/3)(6 %) + (2/3)(0 %) = 2 % y con 1/2 obtengo (1/3)(6 %) + (2/3)(21 %) = 16 % Si invierto 1 euro en el fondo B, con 1/2 obtengo (2/3)(6 %) + (1/3)(0 %) = 4 % y con 1/2 obtengo (2/3)(6 %) + (1/3)(21 %) = 11 %
El valor esperado Cómo eligen los individuos entre este tipo de alternativas? Durante algún tiempo se pensó que el criterio para elegir es el de comparar los valores esperados Una alternativa que ofrece los pagos (x 1,.., x n ) con las probabilidades (p 1,.., p n ) tiene un valor esperado de: x = p 1 x 1 +.. + p n x n = n p i x i i=1 En el ejemplo de la decisión de cartera podemos calcular los valores esperados de las dos carteras: Cartera A: (1/2)(2 %) + (1/2)(16 %) = 9 % Cartera B: (1/2)(4 %) + (1/2)(11 %) = 7,5 %
Una alternativa actuarialmente justa Una alternativa con incertidumbre cuyo valor esperado es 0 se dice que es actuarialmente justa Por ejemplo, si hay 20 estudiantes y a cada uno le vendo un billete de lotería por 1 euro, cuál debe ser el valor del premio para que la lotería sea actuarialmente justa? Otro ejemplo: Podemos apostar cualquier cantidad x al resultado de lanzar un dado. Si acertamos el resultado del dado, obtenemos un premio igual a 5 veces la cantidad apostada. Es un juego actuarialmente justo? Ahora la cuestión a la hora de evaluar un juego es: Es razonable jarse sólo en el valor esperado?
La Paradoja de San Petersburgo Lanzamos una moneda al aire hasta que salga cara. En cuanto salga cara se acaba el juego Si sale cara en la tirada m, el premio que obtenemos es 2 m Cuánto pagarías por participar en este juego? Cuánto pagarías si valoras el juego de acuerdo a su valor esperado? Problema: Los individuos no se comportan de acuerdo a la predicción de la teoría: Hay que buscar una nueva teoría Propuesta de Gabriel Cramer y Daniel Bernoulli: Ganar 200 no tiene necesariamente un valor doble que ganar 100
La Paradoja de San Petersburgo-2 Los individuos usan una función u() con la que evalúan los resultados monetarios. En lugar de emplear x = i p i x i para evaluar las alternativas, usan i p i u(x i ), donde u es estrictamente cóncava Una ganancia de 200 tiene un valor de menos del doble que una ganancia de 100 Por ejemplo, si usamos u(x) = ln(x), tenemos u(100) = 4,6 y u(200) = 5,3. El valor de ganar 200 es un 15 % mayor que el valor de ganar 100 Si usamos u(x) = p x, tenemos u(100) = 10 y u(200) = 14,14, un 41 % mayor En el ejemplo de la Paradoja de San Petersburgo, si usamos la función ln(x), lo máximo que estaríamos dispuestos a pagar por jugar es 4 euros (aprox.)
De nición de lotería simple Z = fz 1,.., z K g : conjunto de resultados Una lotería simple L es una distribución de probabilidad sobre el conjunto de resultados: L = (z 1, p 1 ; z 2, p 2 ;..; z K, p K ), donde p k 0 y p 1 + p 2 +.. + p K = 1 Llamamos L al conjunto de todas las loterías simples Si jamos el conjunto de resultados, una lotería queda descrita sólo por las probabilidades L = (p 1, p 2,.., p K ).
Ejemplos de loterías simples Ejemplo 1: Hay sólo dos resultados, Z = fz 1, z 2 g z 1 : ganar 100 euros z 2 : perder 50 euros L = f(p, 1 p) j 0 p 1g Qué lotería pre eres, (1/2, 1/2) o (2/3, 1/3)? Ejemplo 2: Hay tres resultados posibles, Z = fz 1, z 2, z 3 g L = f(p 1, p 2, 1 p 1 p 2 ) j 0 p 1, p 2 1g Ejemplo 3: Hay un conjunto in nito de resultados, por ejemplo, Z = R Ahora L es el conjunto de distribuciones de probabilidad sobre R
Lotería compuesta Lotería degenerada: La que da un resultado jo (toda la probabilidad se concentra en un resultado) En el caso en el que sólo hay tres resultados posibles, hay tres loterías degeneradas: (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) Lotería compuesta: Es una lotería en la que los resultados son a su vez loterías. Ejemplo: Lanzamos una moneda al aire. Si sale cara, lanzamos a continuación un dado y ganamos lo que sale en el dado. Si sale cruz, lanzamos un dado y ganamos 1 euro si sale 1, 2, 3 o 4 en el dado o 10 euros si sale 5 o 6 Vemos que Z = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 10g Si sale cara ganamos la lotería es f1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 0g Si sale cruz ganamos la lotería f2/3, 0, 0, 0, 0, 0, 1/3g
Reducción de loterías compuestas a loterías simples En general, si tomamos dos loterías M, N 2 L y un número α 2 [0, 1] la lotería compuesta αm + (1 α)n es la lotería con la que ganamos M con probabilidad α o N con probabilidad 1 α Las loterías compuestas se pueden reducir a loterías simples En el ejemplo, tenemos nalmente la lotería simple: f5/12, 1/12, 1/12, 1/12, 1/12, 1/12, 2/12g Supondremos que el individuo sólo se preocupa por las loterías reducidas sobre resultados nales
Preferencias sobre loterías Suponemos que el individuo tiene una relación de preferencias % sobre el conjunto L Esta relación de preferencias es COMPLETA y TRANSITIVA También de nimos y En concreto, si L % M, pero M L, entonces L M Si L % M y a la vez M % L, entonces L M CONTINUIDAD Tomamos tres loterías cualesquiera L, M, N 2 L tales que L % M % N Entonces existe un número α 2 [0, 1] tal que αl + (1 α)n M
Propiedad de independencia Las tres propiedades que suponemos sobre % (COMPLETA, TRANSITIVA, CONTINUA) garantizan que existe una función de utilidad que representa % Esto es, existe U : L! R tal que: L % M, U(L) U(M) La siguiente propiedad (INDEPENDENCIA) nos garantiza que la función que representa las preferencias % tiene una forma particular, llamada UTILIDAD ESPERADA INDEPENDENCIA Para cualesquiera L, M, N 2 L y α 2 [0, 1] : L % M, αl + (1 α)n % αm + (1 α)n
Intuición de la propiedad de independencia Supongamos tres resultados, Z = fcerveza, pastel, manzanag Además pre eres una cerveza a un pastel Cuál pre eres de las dos loterías compuestas siguientes? Con 1/2 ganas una cerveza y con 1/2 ganas una manzana Con 1/2 ganas un pastel y con 1/2 ganas una manzana Independencia dice que debes preferir la primera
Teorema de la utilidad esperada Si una relación de preferencias % es COMPLETA, TRANSITIVA, CONTINUA y cumple INDEPENDENCIA, entonces existe una función de utilidad U : L! R tal que: (i) Para cualesquiera loterías L, M 2 L : L % M, U(L) U(M) (ii) Para cualesquiera loterías L, M 2 L y α 2 [0, 1] : U(αL + (1 α)m) = αu(l) + (1 α)u(m) Asignamos a cada lotería una utilidad que es la media ponderada de las utilidades de los diferentes resultados. Las ponderaciones son las probabilidades
Transformaciones admisibles de la función de utilidad Si U representa las preferencias %, la función de utilidad U 0 = au + b (con a > 0) también representa las preferencias % y además preserva la propiedad de la utilidad esperada Ejemplo: Sólo hay tres resultados posibles y jamos u 1 = 1, u 2 = 2/3, u 3 = 0 Para cualquier lotería L = (p 1, p 2, p 3 ) tenemos U(L) = p 1 + 2 3 p 2 Consideramos U 0 (L) = au + b (con a > 0). Ahora u1 0 = a + b, u0 2 = (2/3)a + b, u0 3 = b. Para cualquier L = (p 1, p 2, p 3 ): U 0 (L) = au(l) + b = a(p 1 + 2 3 p 2) + b U 0 tiene la forma de la utilidad esperada, ya que coincide con p 1 u 0 1 + p 2u 0 2 + p 3u 0 3 (Comprobarlo)
Aversión al riesgo A partir de ahora todos los resultados son cantidades de dinero Sea una lotería L = (x 1, p 1 ;..; x K, p K g, donde x representa cantidades de dinero La utilidad esperada de L es: U(L) = p 1 u(x 1 ) +.. + p K u(x K ) Suponemos que si x > x 0, entonces u(x) > u(x 0 ) El valor esperado de L es L E = p 1 x 1 +.. + p K x K Decimos que un individuo es averso al riesgo si entre L E y L, pre ere L E Qué nos dice esto respecto a la Paradoja de San Petersburgo?
Aversión al riesgo 2 Ejemplo L es una lotería con la que ganamos 300 euros con 1/2 o 100 euros con 1/2 Calculamos L E = 200 Si un individuo es averso al riesgo, pre ere 200 euros (L E ) frente a la lotería L Si el individuo pre ere la lotería, decimos que es amante del riesgo Si el individuo está indiferente entre L y L E, decimos que es neutral frente al riesgo. Un individuo neutral frente al riesgo sólo se preocupa por el valor esperado
Equivalente cierto El equivalente cierto de una lotería L, al que llamamos c L, es aquella cantidad de dinero para la que se cumple: U(L) = U(c L ) Entonces, si alguien me ofrece una cantidad mayor que c L por la lotería, estaré dispuesto a venderla? Y si me pagan menos que c L? Ejemplo: En la lotería de arriba con 1/2 gano 300 y con 1/2 gano 100. Además U(x) = ln(x). Calculamos c L : Calculamos que c L = 173,205 ln(c L ) = 1 2 ln(300) + 1 2 ln(100) (Ejercicio: Calcular que si U(x) = p x, entonces c L = 186,6)
Equivalente cierto-2 Vemos que c L = 173,205 < L E = 200 De hecho esto siempre es cierto para un averso al riesgo. Por qué? Como es averso, U(L E ) > U(L) Por la de nición de c L, U(L) = U(c L ) Por lo tanto, U(L E ) > U(L) = U(c L )! L E > c L
Concavidad de la función de utilidad Si un individuo es averso al riesgo, la función U es cóncava. Para verlo pensemos en una lotería que paga 100 euros si al lanzar una moneda sale cara, o nada si sale cruz Fijamos U(100) = 1 y U(0) = 0 Qué pre eres, la lotería o un billete de 50 euros? Para la mayoría, es mejor el billete de 50. Entonces: U(50) > 1 2 U(100) + 1 2 U(0) = 1 2. Si U(50) > 1/2, la función U es necesariamente cóncava
Figura 1
Prima del riesgo La prima del riesgo de la lotería L es: p R (L) = L E c L La prima del riesgo es la cantidad máxima que el individuo está dispuesto a pagar para obtener la cantidad segura L E en lugar de la lotería L. Para un averso U(L E ) > U(L) = U(c L ) Supongamos que le hacemos pagar la cantidad m y le damos L E. Su utilidad será U(L E m) Si m es pequeño, U(L E m) > U(L) = U(c L ) Si m es grande, U(L E m) < U(L) = U(c L ) p R (L) es el valor que hace U(L E p R (L)) = U(L) = U(c L ) (Ejemplos: Si u(x) = ln(x), p R = 26,8; si u(x) = p x, p R = 13,3)
Ejemplo de cálculo de la prima del riesgo u(x) = p x Sea una lotería L con la que podemos ganar 900 euros con 1/3 o nada con 2/3 Calculamos L E = 300 euros El equivalente cierto es la cantidad c L tal que: p cl = 3p 1 2p 900 + 0 3 Es decir, p c L = 10, por lo tanto c L = 100 euros La prima del riesgo es L E c L = 200 euros (lo máximo que pagaría por evitar el riesgo)
De niciones alternativas de aversión al riesgo TEOREMA Los siguientes enunciados son equivalentes: (i) U presenta aversión al riesgo (ii) U es cóncava (iii) p R (L) > 0 para toda lotería L no constante
Cuánto apostar Un individuo averso al riesgo tiene una riqueza W y puede apostar cualquier cantidad a cierto evento (por ejemplo, que un equipo de fútbol gane la Liga) cuya probabilidad es p Si apuesta α, gana 2α si el evento ocurre y 0 si no ocurre Por lo tanto, con probabilidad p acaba teniendo W α + 2α = W + α Con probabilidad 1 p acaba teniendo W α Para decidir cuánto apostar, resuelve el problema: m«ax [pu(w + α) + (1 p)u(w α)] α0 La condición de primer orden es (puede haber una solución esquina en α = 0): pu 0 (W + α ) (1 p)u 0 (W α ) 0, con igualdad si α > 0
Cuánto apostar 2 Podemos ver que α = 0 siempre que p 1/2 Para ello calculamos el valor esperado de la apuesta: p(w + α) + (1 p)(w α) = W + (2p 1)α Si p 1/2, para cualquier valor de α tenemos que: W + (2p 1)α {z } Valor esp. de apostar W {z} Valor esp. de no apostar Ahora supongamos que u(x) = exp( rx) con r > 0 Podemos resolver la condición de primer orden: α = 1 2r ln El resultado es independiente de W p 1 p
Cuánto apostar 3 Si tomamos u(x) = x 1 r 1 r, obtenemos: donde Ω = (p/1 p) 1 r α = Ω 1 1 + Ω W El individuo apuesta una fracción constante de su riqueza En concreto, si r = 1, tenemos que α = (2p 1)W
Seguros Supongamos que hay un suceso negativo (por ejemplo, un incendio) que puede ocurrir con probabilidad π Si se produce el incendio perdemos D euros Tenemos una riqueza W y suponemos que D W Por lo tanto se enfrenta a la lotería: W D con probabilidad π W con probabilidad 1 π La utilidad esperada es: πu(w D) + (1 π)u(w ) Supongamos que alguien vende seguros contra incendios. Cuánto seguro estará dispuesto a comprar? La respuesta dependerá del precio del seguro
Seguros 2 Supongamos que comprar un euro de seguro cuesta q euros Es decir, por cada q euros que paga, recibirá 1 euro en caso de que haya un incendio Si q = 0,05, para recibir 1000 euros en caso de incendio, hay que pagar una prima de 0,05 1000 = 50 euros Llamamos α a la cantidad de seguro que compramos. Esta es la variable de elección Por lo tanto tiene que elegir entre loterías del tipo: W D αq + α con probabilidad π W αq con probabilidad 1 π donde α 2 [0, W q ] es el número de unidades de seguro que compra Las compañías de seguros maximizan sus bene cios esperados
Seguros 3 La compañía de seguros se enfrenta a la lotería: αq con probabilidad 1 π αq α con probabilidad π El bene cio esperado es: (1 π)αq + π(αq α) Suponemos que los bene cios esperados no pueden ser negativos Qué ocurre si q < π? (1 π)αq + π(αq α) 0 =) q π
Seguros 4 La utilidad esperada para un individuo que compra α unidades de seguro: m«ax α0 (1 π)u(w αq) + πu(w D + α(1 q)) Si α es una solución debe cumplir: q(1 π)u 0 (W α q) + π(1 q)u 0 (W D + α (1 q)) 0 A partir de ahora suponemos que el seguro es actuarialmente justo. Esto quiere decir que en promedio la empresa ni gana ni pierde: q = π
Seguros 5 Primero vemos que NO puede ocurrir α = 0 Si fuese α = 0 (y dado que q = π) sustituimos en la condición de primer orden: q(1 q)u 0 (W ) + q(1 q)u 0 (W D) 0 O simplemente: u 0 (W D) u 0 (W ) Esto es imposible ya que la función u es cóncava Por lo tanto, α debe resolver: q(1 π)u 0 (W α q) + π(1 q)u 0 (W D + α (1 q)) = 0
Seguros 6 Como q = π : u 0 (W D + α (1 q)) = u 0 (W α q) Al ser u cóncava: W D + α (1 q) = W α q Finalmente α = D En resumen, si el seguro es actuarialmente justo, un individuo averso al riesgo se asegura completamente contra la pérdida Y si q > π, es decir, el seguro no es actuarialmente justo?
Decisión de cartera Un individuo averso al riesgo tiene una riqueza W > 0 Puede invertir en: Un activo sin riesgo que paga 1 euro por cada euro invertido Un activo arriesgado que paga z euros por euro invertido, donde z es una variable aleatoria con función de densidad f (z) Suponemos que: Por qué? Z E (z) = zf (z)dz > 1 Llamamos x a la cantidad invertida en el activo arriesgado Suponemos 0 x W Nos interesa averiguar si x > 0 (recordar que es averso al riesgo)
El problema es: Decisión de cartera 2 m«ax x 2[0,W ] Z u(xz + W x)f (z)dz (Si invierte x en activo arriesgado se convierte en xz al nal del periodo Como invierte el resto en activo seguro, acaba con W x) La condición de primer orden es: Z u 0 (xz + W x)(z 1)f (z)dz Si evaluamos en x = 0 : Z Z u 0 (W )(z 1)f (z)dz = u 0 (W ) Pero esto es positivo, por lo que x > 0 (z 1)f (z)dz
Mercados de seguros Un averso al riesgo puede perder la totalidad del valor de un bien, valorado en M > 0 La probabilidad es π La lotería a la que se enfrenta tiene un valor esperado L E : L E = π 0 + (1 π)m = (1 π)m Si un seguro (completo) le cuesta x, estará dispuesto a comprarlo siempre que: U(M x) U(L) = U(c L ) Las empresas están dispuestas a ofrecer pólizas tales que: x πm 0 Es decir, los bene cios esperados deben ser positivos
Mercados de seguros 2 Vemos que hay posibilidad de contrato ya que ambas restricciones son compatibles Por un lado tenemos: M x c L o x M c L Por otro lado tenemos que πm x En total, el precio x debe cumplir: πm x M c L Esto puede ocurrir siempre que πm < M Es esto posible? c L
Paradoja de Allais Hay tres posibles resultados: 500 euros, 100 euros y 0 euros Se trata de elegir entre las dos loterías siguientes: L = (0, 1, 0). Esto signi ca 100 euros seguros M = (0,10, 0,89, 0,01). Aquí ganas 500 con un 10 %, 100 con un 89 % o nada con un 1 % Ahora hay que elegir entre las loterías siguientes: L 0 = (0, 0,11, 0,89). Ganas 100 con un 11 % o nada con un 89 % M 0 = (0,10, 0, 0,90). Ganas 500 con un 10 % o nada con un 90 %
Paradoja de Ellsberg 1 Tengo dos urnas, ambas con 100 bolas: La urna A tiene 50 bolas rojas y 50 negras La urna B tiene x bolas rojas y 100 x bolas negras Yo voy a sacar una bola al azar de una de las dos urnas. Si saco una bola roja ganas 20 euros. Si saco una bola negra no ganas nada Tienes que elegir de qué urna saco la bola Quién pre ere que la saque de la urna A?
Paradoja de Ellsberg 2 Ahora cambiamos el juego. Saco una bola al azar de una de las dos urnas. Si es negra ganas 20 euros. Si es roja no ganas nada Tenéis que elegir de qué urna saco la bola Quién pre ere que la saque de la urna A?
Framing e ects Imagina que España se prepara para la aparición de una enfermedad inusual que se espera produzca la muerte de 600 personas Se han propuesto dos programas alternativos para combatir la enfermedad Las consecuencias de cada uno de ellos son: Con el programa A se salvarán 200 personas Con el programa B hay una probabilidad de 2/3 de que no se salve nadie y de 1/3 de que se salven los 600 Qué programa crees que se debería adoptar, el A o el B?
Framing e ects 2 Imagina que España se prepara para la aparición de una enfermedad inusual que se espera produzca la muerte de 600 personas Se han propuesto dos programas alternativos para combatir la enfermedad Las consecuencias de cada uno de ellos son: Con el programa C morirán 400 personas Con el programa D hay una probabilidad de 2/3 de que mueran 600 y de 1/3 de que no muera nadie Qué programa crees que se debería adoptar, el C o el D?
Ganancias y pérdidas Imagínate que te doy 1000 euros. A continuación tienes que elegir entre las alternativas siguientes: A: Ganar 1000 euros con 1/2, no ganar nada con 1/2 B: Ganar 500 euros seguros (probabilidad 1) Cuál eliges, A o B? Ahora imagínate que te doy 2000 euros. A continuación tienes que elegir entre las alternativas siguientes: C: Perder 1000 euros con 1/2, no perder nada con 1/2 D: Perder 500 euros seguros (probabilidad 1) Cuál eliges, C o D?
Ganancias y pérdidas 2 De acuerdo a la posición nal del individuo A = C y B = D. El patrón típico de resultados no es consistente con la utilidad esperada. En particular observamos que los individuos son aversos al riesgo respecto de las ganancias, pero amantes del riesgo respecto de las pérdidas Qué es lo que cambia entre las dos situaciones de arriba? El punto de partida o de referencia. En el primer caso las alternativas A y B contienen ganancias respecto a la situación inicial (1000 euros) En el segundo caso las alternativas C y D representan pérdidas respecto a la situación inicial (2000 euros)