1. Derivadas e Integrales

Cátedra de Matemática Matemática Facultad de Arquitectura Universidad de la República 2013 Primer semestre Hoja 4. Derivadas e integrales. Teorema fundamental y fórmula de Barrow 1. Derivadas e Integrales 1.1. Introducción. La eterna lucha del hombre contra la gravedad Vamos a recorrer la modelización matemática de un fenómeno simple: el que tiene lugar cuando tiramos un objeto hacia arriba en la superficie de la Tierra. Para eso, definamos bien la situación. Por alguna razón, en el instante inicial t = 0 estamos en el techo de un edificio de tres pisos, a 10 metros de altura respecto al suelo y lanzamos una pelota hacia arriba con velocidad vertical de v 0 = 10 m/s. Asumiremos que podemos despreciar el rozamiento del aire y que la aceleración de la gravedad. Mediremos la altura desde el techo, en metros, con una variable y que crece a medida que subimos. Con esta convención, en el instante inicial t = 0 tenemos una altura inicial y 0 = 0. Con la elección de unidades que hemos hecho, como la aceleración de la gravedad tiene a hacer caer a los objetos, consideraremos una aceleración constante a = 10. Qué le pasará a la pelota? Ejercicio 1 1. Graficar la aceleración en función del tiempo. Cuál será la formula de a(t)? 2. Calcular y graficar la velocidad v(t), en función del tiempo. 3. Calcular y graficar la altura y(t) en función del tiempo. 4. Si tuvieras que contarle a alguien que le paso a la pelota, Qué le dirias? Para resolver el ejercicio seguramente hemos usado que la velocidad v(t) resulta de sumar a la velocidad el efecto de la aceleración acumulado por el paso del tiempo: v(t) = 10 + t 0 ( 10)dt = 10 10t (1) Para la altura y(t) habremos hecho algo análogo, como es sumar a la posición inicial el efecto acumulado de la velocidad: y(t) = t 0 (10 10s)ds = 10t 5t 2. (2) No es ningún secreto que la velocidad es la derivada de la posición. Derivando (2) encontramos y (t) = 10 10t. Lo interesante es que en este cálculo aparece la derivada respecto a t de la integral que está en el segundo término de (2), y encontramos que la derivada es exactamente la misma función que está dentro de la integral. Ejercicio 2 Un observador que está en el suelo mira desde su posición como arrojamos la piedra y mide la altura de la piedra desde el suelo, con una variable z. Para él, la posición inicial es z(0) = 10. Calcular z(t) y la derivada z (t). Qué diferencia hay entre z(t) e y(t)? Qué diferencia hay entre z (t) e y (t)? 1

A su vez, la aceleración es la derivada de la velocidad a(t) = v (t). Ejercicio 3 Derivar la fórmula (1). Qué se obtiene al derivar la constante 10 y la integral que aparecen en el miembro de la derecha? 2. Dos caras de la misma moneda Hay realmente alguna conexión entre la integral y la derivada o el ejemplo que acabamos de ver en la sección anterior es sólo una coincidencia?. Las integrales tienen que ver con áreas, las derivadas con tangentes, por dónde podrían relacionarse? La derivada estudia variaciones y la integral se encarga de acumulaciones. Hemos venido poniendo atención al efecto acumlativo de las integrales, relacionando la imagen geométrica de áreas con desplazamientos, consumos de energía y cargas en estructuras. Ahora nos concentraremos en las variaciones. 2.1. Variaciones Estudiar las variaciones de las funciones es una parte esencial del trabajo para comprenderlas. En realidad, la principal razón para estudiar funciones es que varían. Si todas las funciones fueran constantes seguramente no merecerían la atención que reciben. Es una operación corriente. Por ejemplo, para medir el consumo de electricidad UTE no computa el gasto momento a momento, en cambio se fija la variación del contador entre un mes y el otro. Dada una función cualquiera f y un intervalo [x 0, x 1 ], en el que el argumento de f varía de x 0 a x 1, llamaremos incremento o variación de f a f = f(x 1 ) f(x 0 ). Naturalmente, el incremento puede ser un decrecimiento si f está disminuyendo y x 1 es mayor que x 0. No hay ningún problema, el incremento resultará ser negativo. También podemos considerar los casos en que x 1 x 0. En definitiva, no estamos haciendo más que poner nombre a la diferencia de los valores de f entre dos puntos prefijados. En nuestro ejemplos nos interesará estudiar variaciones de altura y en intervalos de tiempo [t 0, t 1 ]. Ejercicio 4 Calcular la variación de altura y de la pelota del ejercicio 1 entre los siguientes tiempos: 1. entre los 0, 2 segundos y los 0, 3 segundos; 2. entre los 0, 6 segundos y los 0, 9 segundos; 3. entre los 0, 9 segundos y el primer segundo. Qué observación merece el hecho de que el resultado de las partes 1 y 2 sea el mismo, aunque el intervalo de tiempo transcurrido en la segunda sea el triple que en la primera? Qué observación merece el hecho de que el resultado de las partes 2 y 3 sean tan diferentes, aunque en ambas el tiempo transcurrido sea el mismo? Ejercicio 5 Por qué si la pelota es lanzada con una velocidad de 10 m/s, en el primer segundo sólo recorre 5 metros, en la primera décima de segundo no alcanza a recorrer un metro, en la primera centésima no alcanza a recorrer un decímetro y en la primera milésima no alcanza el centímetro? Qué está pasando? Qué significa que tenga una velocidad inicial de 10 m/s? La velocidad no mide sólo cambios de posición: relaciona los cambios de posición con los cambios en el tiempo. En efecto, todos sabemos que la misma distancia puede ser recorrida en tiempos muy diferentes, si el trayecto se hace con velocidades diferentes. La velocidad mide la relación entre el desplazamiento en nuestro caso y y el tiempo transcurrido t. 2

Ejercicio 6 Calcular los intervalos de tiempo t correspondientes a cada una de las partes del ejercicio 4 El cociente y t entre la variación de altura y y la variación de tiempo en un cierto intervalo de tiempo [t, t+ t] es la velocidad media en ese intervalo. Alejándonos de este contexto, propio de la cinemática, se denomina cociente incremental a este cociente, que también podemos escribir como Ejercicio 7 y t y(t + t) y(t) =. t 1. Para cada uno de los intervalos de tiempo del ejercicio 4 calcular la velocidad media correspondiente. 2. Hacer un gráfico de la altura y(t) en función del tiempo, para t 0. Para los tiempos t = 0,2,;t = 0,3, t = 0,6, t = 0,9 y t = 1 ubicar en el gráfico los puntos (t, y(t)). Identificar el significado geométrico que en ese gráfico tienen las velocidades medias calculadas en la parte anterior. Ejercicio 8 A partir del instante inicial t = 0, calcular para cada uno de los valores de t que aparecen en la primera columna de la tabla, la variación de altura y ocurrida entre t = 0 y t = t. Calcular el correspondiente cociente incremental. Completar la tabla con estos datos. t (s) y (m) y/ t (m/s) 0,001 0,01 0,1 1 2 3 La altura y(t) es una cantidad que tenemos muy controlada y conocemos su valor en todo momento. No tenemos por qué conformarnos con una tabla que sólo contenga algunos valores. Podemos dar el lujo de tomar cualquier t y de hacerlo mucho más pequeño que 0,001 para tener mejor resolución y estudiar que es lo que pasa cerca de t = 0 con todo detalle. Ejercicio 9 Calcular el cociente incremental (velocidad media) para la función y(t) en cada intervalo [0, t], con t > 0. Qué tan chicos podemos hacer los t?. Podemos hacer que se aproximen a cero todo lo que queramos. Ejercicio 10 Identificar a qué valor se aproximan los cocientes incrementales del ejercicio 9 cuando t se aproxima a 0. El valor límite al que se aproximan los cocientes incrementales cuando t tiende a cero es la velocidad instantánea. En el contexto general de funciones cualesquiera, se trata de la derivada. Es usual indicar la derivada de una variable y con la notación y. Tenemos entonces v(t) = y y (t) = lím t 0 t 3

Observación 2.0.1 También es corriente utilizar la notación dy dt para la derivada, que tiene la misma forma que la notación de los cocientes incrementales, con reemplazado por d. Veremos luego que esta notación es especialmente útil para muchos propósitos. En especial, para hacer cambios de variable en el cálculo de integrales. El próximo ejercicio nos propone repetir este tipo de cálculos para t = 0,5. Es decir, en intervalos de la forma [0,5, 0,5 + t]. Ejercicio 11 Calcular en función de t los incrementos y = x(0,5 + t) x(0,5), los cocientes incrementales y t e identificar a qué número se aproximan los cocientes incrementales cuando t 0. Cuanto vale y (0,5)? Cuál es el valor de la velocidad v(0,5), en t = 0,5? Observación 2.0.2 El velocímetro de un auto no calcula x y t, nos dice la velocidad instantánea momento a momento. De la misma forma le derivada no nos dice cuanto ha cambiado la variable, si no que tan rápido esta cambiando en determinado instante. El siguiente ejercicio retoma cálculos que ya hemos hecho, pero ahora en el contexto de hallar variaciones, cocientes incrementales y derivadas. Ejercicio 12 Se considera la función a partir de la que se define f(x) = (3 6 x ) F (x) = x 4 f(t)dt. 1. Para x = 5 y x = 2, hallar el valor del cociente incremental F/ x. 2. Para x = 5 y x próximo a 0, hallar la expresión del cociente incremental F/ x. 3. Para x = 5, hallar el valor al que se aproximan los cocientes incrementales F/ x cuando x se aproxima a 0. 4. Calcular F (5) y f(5). Explicar en términos de áreas bajo el gráfico de f la relación entre estos dos resultados. Ejercicio 13 Consideraremos la función f(x) = x 2 y a partir de x = 3 un incremento x de la variable x. 1. El incremento de f con respecto a su valor en 3, cuando se evalúa en 3 + x es f = x + ( x) 2. 2. Cuando x 0, los cocientes incrementales f/ x se aproximan a. Nota: Completar con números las casillas. 4

Ejercicio 14 Sea F : R R la función definida por la fórmula F (x) = x 3 ( 2t + 4 4) dt. 1. Para x = 2 y x cualquiera, hallar la fórmula del incremento F. Distinguir según x sea mayor o menor que 0. Calcular el cocientes incrementales cuando x se aproxima a 0. Atención que x puede tender a cero por dos caminos. Acercandose por la derecha, o sea, tomando valores positivos pero cada vez menores hasta que se anulen o acercandose por la izquierda, con valores negativos que crecen hasta volverse nulos (sí, aumentan hasta volverse nada). Cuando se aproxima por la derecha escribimos x 0 + y cuando es por la izquierda x 0 Cuál es entonces el valor de F (2)? 2. Para x = 3, hallar la fórmula del incremento F para valores de x próximos a 0. Está fórmula es válida para cualquier valor de x? Por qué? Si la respuesta es no, para qué valores de x es correcta y para qué valores no lo es? 3. Calcular F (5). 2.2. Teorema fundamental Todos los ejemplos de la sección anterior son instancias de un mismo resultado, el Teorema Fundamental del Cálculo. Teorema 1 Si f : (a, b) R es una función continua, x 0 (a, b) y para cada x (a, b) definimos entonces F (x) = x x 0 f(t)dt, F (x) = f(x). El teorema fundamental alimenta nuestra interpretación de la integral como acumulación. Viene a decirnos que la variación que sufre una cantidad (la F ) que es el resultado de la acumulación de algo (la f), es justamente ese algo: la variación de la distancia (efecto acumulado de la velocidad) es la velocidad; la variación del cortante (efecto acumulado de una carga distribuida) es el valor de la carga; la variación de la cuenta de UTE es la potencia que estamos consumiendo, etcétera. Abre además la puerta a una manera sistemática de calcular integrales, que resultará útil para otras aplicaciones. Por ejemplo, para determinar el momento flector al que está sometida la viga de una estructura, una vez que veamos por qué la derivada de esta solicitación es justamente el cortante. 3. Nuestra tabla de derivadas es también una tabla de integrales El Teorema Fundamental asegura que la derivada de la función F es f. Es habitual referirse a la relación entre F y f, en que f es la derivada de F, diciendo que F es una primitiva de f. Hay tablas de derivadas y diversos procedimientos de cálculo que nos dicen, para cada función F, cuál es su derivada F. Ya que sabemos que F es una primitiva de f, podríamos intentar usar el teorema fundamental para leer la tabla al revés, yendo de la columna en la que aprecen las derivadas, a la columna donde aparecen las funciones, para pasar de f a la primitiva F. Antes de seguir discutiendo esta idea en general, veamos en un ejemplo cómo funciona. 5

Ejemplo 3.1 Sabemos que x = 1. De modo que podriamos intentar usar el truco para calcular integrales de la función constante 1, de la forma F (x) = 1dt. x 0 Con la idea de buscar una primitiva, esperaríamos que el resultado fuera x. Pero en este caso podemos calcularlo directamente: F (x) = x x 0. Aunque la derivada de F en x es F (x) = 1, la función F no es exactamente xs. Aparece en el juego la constante x 0, que tiene que ver con el lugar desde el que estamos integrando. Sólo obtenemos el resultado correcto si x 0 = 0, pero no para otros valores de x 0. Lo que pasa en el ejemplo anterior es completamente general: si conocemos una función F (x) cuya derivada es f(x), en realidad cualquier función de la forma x F (x) + k, donde k es una constante arbitraria, también tiene a f como derivada. Por lo tanto, la integral no puede determinarse completamente deshaciendo la operación de derivar. Para determinar el valor de esa constante hay que trabajar un poco más. Observación 3.1.1 Podemos retomar aquí la observación 2.0.2: aunque observemos el velocímetro de un auto durante un mes entero no podremos saber el kilometraje total del auto si no disponemos de ninguna lectura de su cuentakilómetros. Con una lectura y la información del velocímetro ya podríamos mantener un cálculo actualizado del kilometraje. Sin una lectura inicial del cuentakilómetros sólo podemos deducir variaciones de kilometraje, no kilometrajes totales. Esto mismo fenómeno aparece en el cálculo de integrales en la forma de una constante indeterminada en las primitivas. Por otra parte, dos primitivas diferentes F y G de f necesariamente tienen una diferencia constante. Porque para cualquier valor de x se tiene que (F G) (x) = F (x) G (x) = f(x) f(x) = 0. Esto implica que la derivada de F G siempre se anula, y por lo tanto es constante. Observación 3.1.2 Es obvio que la derivada de cualquier función constante es idénticamente nula, pero esto no implica que una función cuya derivada siempre existe y es igual a cero necesariamente tenga que ser constante. Esta última afirmación es cierta, pero requiere demostración. En el curso la aceptaremos sobre bases intuitivas, porque parece natural a la luz de la interpretación de los conceptos que estamos manejando, pero invitamos al lector interesado a examinar este asunto con más detalle. El hecho de que dos primitivas necesariamente difieran en una constante permite reducir el cálculo de integrales al cálculo de primitivas. Ejercicio 15 1. Mostrar que si F y G son dos primitivas de F entonces F (x) F (x 0 ) = G(x) G(x 0 ). Sugerencia: observar que F (x) G(x) tiene que ser igual a F (x 0 ) G(x 0 ). 2. Mostrar que si G es una primitiva de f y entonces F (x) = G(x) G(x 0 ). F (x) = x x 0 f(t)dt, 3. Introducir en la notación los cambios necesarios, para mostrar a partir del enunciado anterior, la célebre Regla de Barrow: si F es una primitiva de f, entonces b a f(t)dt = F (b) F (a). (3) 6

La relación con el cálculo integral hace que sea corriente también llamar i ntegrales indefinidas a las primitivas, e indicarlas con el símbolo de integral, sin límites de integración. Es una notación corriente en la literatura, según la cual se escribe en la forma 1dx = x + k el hecho de que (x) = 1. La constante k recuerda que la integral indefinida (o primitiva) queda determinada por el integrando (o derivada) a menos de una función de integración. Ejemplo 3.2 Dado que tenemos que (3x 2 2x) = 6x 2 (6x 2)dx = 3x 2 2x + k. Ejercicio 16 Calcular dos primitivas diferentes de 6x 2 y emplearlas para evaluar 2 1 (6x 2)dx = usando la regla de Barrow. Se obtiene el mismo resultado en los dos casos? El ejercicio anterior llama la atención sobre un posible problema: si hay infinitas primitivas, cuál elegir para hacer las cuentas? Por suerte la regla de Barrow viene a salvarnos del abismo de la incertidumbre: la integral definida se calcula evaluando el incremento de una primitiva entre los límites de integracion: b a f(x)dx = F (b) F (a) Pero si en lugar de F (x) hubieramos elegido otra primitiva, por ejemplo F (x) + k las cuentas habrían sido b a f(x)dx = (F (b) + k) (F (a) + k) = F (b) F (a). Exactamente el mismo resultado! No importa cual primitiva utilicemos. La constante es irrelevante para el cálculo de integrales según la Fórmula de Barrow, porque en esa fórmula sólo intervienen incrementos de la integral indefinida, y las constantes se cancelan. Ejercicio 17 Sabiendo que (x n ) = nx (n 1), cómo será entonces Calcular: 1. x 2 dx 2. x 6 dx 3. x 42 dx x n dx? 7

3.1. Linealidad de la integral Al presentar las aproximaciones de la integral por sumas de Riemann habíamos discutido sus propiedades de lineales. También pueden deducirse de las propiedaes de linealidad de la derivada. La derivada del producto de una constante por una función es (cf) (x) = cf (x). Esto implica que (cf)(x)dx = c f(x)dx + k. Ejercicio 18 Calcular: 1. 6x 2 dx 2. 2x 5 dx La derivada de la suma de dos funciones es (f + g) = f + g, la suma de sus derivadas. Entonces (f(x) + g(x))dx = Ejercicio 19 Calcular 1. ( 2 3x x 2) dx 2. ( 7x 5 3x 3 + 12x ) dx 3. ( 2t 2 + 4t 1 ) dt 4. ( at 2 + bt + c ) dt f(x)dx + g(x)dx + k. 3.2. Cálculo de integrales con primitivas y la regla de Barrow La combinación de la Regla de Barrow, la linealidad de la integral y el manejo de una tabla de derivadas, permiten ampliar enormemente el universo de las integrales que podemos evaluare. Ejercicio 20 Calcular: 1. 5 ( 2 3x 2 4 ) dx 2. 3 ( 0 x 3 x 2 + 4x ) dx Ejercicio 21 Tengo que embaldosar parte de un patio de 20m por 10m de ancho. El dueño quiere que el piso sea el grafico de la parábola y = x2 5 + 20 en el primer cuadrante, tomando una esquina del jardín como el origen, el ancho como el eje horizontal y el largo como el vertical. El resto del espacio será reservado a césped y canteros para plantas. Pedí dos presupuestos. Alberto Álvarez contestó que la obra costaría $88000. Mientras que en Baldosas Báez me dicen que tienen un costo fijo de transporte de $6000 y luego $600 por metro cuadrado. Cuál de las dos opciones es la más barata? 8