CURSOS DE MATEMÁTICAS

CURSOS DE MATEMÁTICAS Relaciones de equivalencia FERNANDO REVILLA http://www.fernandorevilla.es Jefe del Departamento de Matemáticas del IES Santa Teresa de Madrid y profesor de Métodos Matemáticos de la Universidad UAX, Madrid (hasta el curso 2008-2009). Prólogo La primera parte de cada curso consta de una colección de problemas en donde se usan los correspondientes conceptos y teoremas. En la segunda (sección Problemas diversos), aparecen problemas de variada dificultad. Índice 1. Concepto de relación binaria 2 2. Relación de equivalencia, conjunto cociente 3 3. Partición de un conjunto 6 4. Problemas diversos 6 c All rights reserved, Safe Creative, cód. 1401299963431. 1

1 CONCEPTO DE RELACIÓN BINARIA Nota. Los problemas que llevan el símbolo corresponden a demostraciones de resultados teóricos. 1. Concepto de relación binaria 1. Analizar si son reflexivas las relaciones en A = {a, b, c} : R = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, a)}, S = {(a, b), (b, b), (c, a)}. La relación R es reflexiva pues para todo x A se verifica xrx. Sin embargo, la relación S no es reflexiva pues por ejemplo a Ra. 2. Analizar si son simétricas las relaciones: a) En el conjunto de las rectas del plano, rrs r es perpendicular a s. b) En Z, xry x y. a) Es simétrica, pues si r es perpendicular a s entonces s es perpendicular a r. Es decir, rrs. implica srr. b) No es simétrica, pues por ejemplo 0R1, pero 1 R0. 3. Analizar si son transitivas las relaciones: a) En Z, xry x y. b) En A = {1, 2, 3}, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 1)}. a) Es transitiva pues si xry e yrz, entonces x y e y z y por tanto x z. Es decir xrz. b) No es transitiva pues por ejemplo 1R2, 2R3, y 1 R3. 4. Analizar si son antisimétricas las relaciones: a) En Z, xry x y. b) En R, xry x = y. a) Es antisimétrica pues si xry e yrx, entonces x y e y x y por tanto x = y. b) No es antisimétrica, pues por ejemplo ( 1)R1, 1R( 1) y sin embargo, 1 1. 5. En el conjunto P(U) (partes de U), se define la relación ARB A B. Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica. Reflexiva. Se cumple, pues para todo A P(U) se verifica A A. Simétrica. No se verifica, si A B con A B, entonces B A. Transitiva. Se cumple, si A B y B C, entonces A C. Antisimétrica. Se cumple, si A B y B A entonces A = B. 2

2 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA, CONJUNTO COCIENTE 6. En el conjunto R se define la relación xry x = y. Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica. Reflexiva. Se cumple, pues para todo x R se verifica x = x. Simétrica. Se cumple, pues si x = y entonces y = x. Transitiva. Se cumple, pues si x = y y y = z entonces x = z. Antisimétrica. No se verifica, por ejemplo 1 = 1, 1 = 1 y sin embargo 1 1. 7. Sea R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (1, 2), (2, 3)} una relación definida en A = {1, 2, 3, 4}. Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica. Reflexiva. No se verifica, pues 4 R4. Simétrica. No se verifica, pues 2R3 pero 3 R2. Transitiva. No se verifica, pues 1R2 y 2R3 pero 1 R3. Antisimétrica. No se verifica, pues 1R2, 2R1 pero 1 2. 2. Relación de equivalencia, conjunto cociente 8. En un conjunto A formado por bolas de colores, demostrar que la relación xry si y sólo si x tiene el mismo color que y, es de equivalencia. En efecto, toda bola tiene el mismo color que ella misma (reflexiva). Si x tiene el mismo color que y, entonces y tiene el mismo color que x (simétrica). Si x tiene el mismo color que y e y tiene el mismo color que z, entonces x tiene el mismo color que z (transitiva). 9. Sea A un conjunto formado por siete bolas numeradas del 1 al 7 y tales que las bolas 1,2,3 son rojas, la 4 y 5 azules, y la 6 y 7 verdes. Se considera en A la relación de equivalencia xry, si y sólo si x e y tienen el mismo color. Determinar las clases de equivalencia y el conjunto cociente. Las clases de equivalencia son: y por tanto, el conjunto cociente es: C[1] = C[2] = C[3] = {1, 2, 3} C[4] = C[5] = {4, 5} C[6] = C[7] = {6, 7}, A/R = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7}}. Nota. A veces se identifica cada clase de equivalencia, con lo que tienen en común los elementos de la clase. En la relación de equivalencia de este problema sería A/R {rojo, azul, verde}. 3

2 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA, CONJUNTO COCIENTE 10. En R se define la relación arb a 2 b 2 = a b. (a) Demostrar que R es relación de equivalencia. (b) Determinar la clase a la que pertenece 5. (c) Determinar el conjunto cociente R/R. (a) Reflexiva. Para todo a R se verifica a 2 a 2 = a a, en consecuencia ara. Simétrica. Para todo a, b R : arb a 2 b 2 = a b b 2 a 2 = b a bra. Transitiva. Para todo a, b, c R : { { arb a brc 2 b 2 = a b b 2 c 2 = b c (sumando) a2 c 2 = a c arc. La relación R es por tanto de equivalencia. (b) La clase a la que pertenece 5 es: Resolvemos la ecuación: C[5] = {x R : xr5} = {x R : x 2 5 2 = x 5}. x 2 5 2 = x 5 (x + 5)(x 5) = (x 5) (x + 5)(x 5) (x 5) = 0 (x 5)(x + 4) = 0 x = 5 o x = 4. La clase pedida es por tanto C[5] = {5, 4}. (c) Sea a R. La clase a la que pertenece a es: Resolvemos la ecuación: C[a] = {x R : xra} = {x R : x 2 a 2 = x a}. x 2 a 2 = x a (x + a)(x a) = (x a) (x + a)(x a) (x a) = 0 (x a)(x + a 1) = 0 x = a o x = 1 a. Es decir, C[a] = {a, 1 a}, y el conjunto cociente es: R/R = {{a, 1 a} : a R}. Nótese que cada clase tiene dos elementos, salvo en el caso a = 1 a (es decir, a = 1/2) que sólo tiene un elemento: C[1/2] = {1/2}. 11. En el conjunto A = {0, 1, 2,..., 20} se considera la relación xry si y sólo si x y es múltiplo de 2, es decir xry si y sólo si existe k Z tal que x y = 2k. Determinar las clases C[0] y C[1] y a partir de ellas deducir el conjunto cociente. 4

2 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA, CONJUNTO COCIENTE Reflexiva. Para todo x A se verifica x x = 0 = 2 0 con 0 Z, en consecuencia xrx. Simétrica. Para todo x, y A : xry k Z : x y = 2k y x = 2( k) yrx (pues k Z). Transitiva. Para todo x, y, z A : { { xry k Z : x y = 2k yrz k Z : y z = 2k (sumando) x z = 2(k + k ) xrz (pues k + k Z). La relación R es por tanto de equivalencia. Determinemos C[0] y C[1] : C[0] = {x A : xr0} = {x A : x 0 es múltiplo de 2} = {x A : x es múltiplo de 2} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}. C[1] = {x A : xr1} = {x A : x 1 es múltiplo de 2} = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Dado que C[0] C[1] = A, no hay más clases de equivalencia y el conjunto cociente es por tanto A/R = {C[0], C[1]} = {{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}, {1, 3, 5, 7, 9, 11}}. 12. En el conjunto E = R R se define la relación: (x, y)r(z, t) x 2 +y 2 = z 2 +t 2. Demostrar que R es relación de equivalencia y determinar el conjunto cociente E/R. Reflexiva. Para todo (x, y) E se verifica x 2 +y 2 = x 2 +y 2, en consecuencia (x, y)r(x, y). Simétrica. Para todo (x, y), (z, t) E : (x, y)r(z, t) x 2 + y 2 = z 2 + t 2 z 2 + t 2 = x 2 + y 2 (z, t)r(x, y). Transitiva. Para todo (x, y), (z, t), (u, v) E : { { (x, y)r(z, t) x (z, t)r(u, v) 2 + y 2 = z 2 + t 2 z 2 + t 2 = u 2 + v 2 x 2 + y 2 = u 2 + v 2 (x, y)r(u, v). La relación R es por tanto de equivalencia. Determinemos una clase genérica, para ello elijamos (x 0, y 0 ) E fijo. La clase a la que pertenece (x 0, y 0 ) es: C[(x 0, y 0 )] = {(x, y) E : (x, y)r(x 0, y 0 )} = {(x, y) E : x 2 +y 2 = x 2 0+y 2 0}. Dado que x 2 0 + y2 0 0, la clase C[(x 0, y 0 )] representa una circunferencia de centro el origen y radio r = x 2 0 + y2 0. En consecuencia, E/R = {C r : r 0} (C r circunf. de centro (0, 0) y radio r). Nótese que para r = 0, la circunferencia consta de un único punto: el (0, 0). 5

4 PROBLEMAS DIVERSOS 3. Partición de un conjunto 13. Escribir todas las particiones del conjunto A = {a, b, c}. Particiones con tres elementos: {{a}, {b}, {c}} (una partición). Particiones con dos elementos: {{a, b}, {c}}, {{a, c}, {b}} y {{b, c}, {a}} (tres particiones). Particiones con un elemento: {{a, b, c}} (una partición). 14. Sea R una relación de equivalencia en A y sea [a] la clase de equivalencia determinada por a A. Demostrar que: (i) Para todo a A se verifica a [a]. (ii) [a] = [b] arb. (iii) [a] [b] [a] [b] =. (i) Dado que R es reflexiva, ara para todo a A y por tanto a [a]. (ii) ) Si [a] = [b], entonces b [b] = [a], es decir arb. ) Si x [a], entonces xra. Pero por hipótesis tenemos arb, y por la propiedad transitiva se verifica xrb, lo cual implica que x [b]. Hemos demostrado que [a] [b]. El contenido [b] [a] se demuestra de manera análoga. (iii) Demostremos la implicación por reducción al absurdo. Supongamos que [a] [b] y sea c [a] [b]. Entonces, cra y crb y por las propiedades simétrica y transitiva, arb. Por (ii), deducimos [a] = [b] en contradicción con la hipótesis. 4. Problemas diversos 15. En el conjunto R de los números reales se considera la relación de equivalencia xry x = y. Determinar el conjunto cociente A/R. Sea a R. La clase de equivalencia determinada por a es: [a] = {x R : xra} = {x R : x = a } = { a, a} por tanto, el conjunto cociente es: A/R = {{ a, a} : a R}. 16. Sea X el conjunto de todas funciones de R en R. Dadas x(t), y(t) X se define la relación: x(t)ry(t) lím t 0 x(t) y(t) t 2 = 0. Demostrar que R es una relación de equivalencia. 6

4 PROBLEMAS DIVERSOS Reflexiva. Para todo x(t) X se verifica: es decir, x(t)rx(t). x(t) x(t) 0 lím t 0 t 2 = lím t 0 t 2 = lím 0 = 0, t 0 Simétrica. Para todo x(t), y(t) X se verifica: x(t) y(t) y(t) x(t) x(t)ry(t) lím t 0 t 2 = 0 lím t 0 t 2 x(t) y(t) = lím t 0 t 2 = 0 = 0 y(t)rx(t). Transitiva. Para todo x(t), y(t), z(t) X se verifica: { x(t) y(t) x(t)ry(t) y(t)rz(t) lím t 0 t 2 = 0 y(t) z(t) lím t 0 t 2 = 0, lo cual implica: x(t) z(t) x(t) y(t) + y(t) z(t) lím t 0 t 2 = lím t 0 t 2 x(t) y(t) y(t) z(t) = lím t 0 t 2 + lím t 0 t 2 = 0 + 0 = 0 x(t)rz(t). La relación R es por tanto de equivalencia. 17. Sea R[x] el conjunto de los polinomios p(x) en la indeterminada x y con coeficiente reales. En R[x] se define la relación: p 1 (x)rp 2 (x) q(x) R[x] : p 2 (x) p 1 (x) = q(x)(x 2 + 1). (a) Demostrar que R es relación de equivalencia. (b) Demostrar que cada clase admite un representante de grado < 2. (c) Encontrar dicho representante para la clase definida por el polinomio p(x) = x 3 + x 2 + 3x + 4. (d) Determinar el conjunto cociente R[x]/R. (a) Reflexiva. Para todo p(x) R[x] se verifica p(x) p(x) = 0 = 0(x 2 + 1), por tanto p(x)rp(x). Simétrica. Para todo p 1 (x), p 2 (x) R[x] se verifica: p 1 (x)rp 2 (x) q(x) R[x] : p 2 (x) p 1 (x) = q(x)(x 2 + 1) p 1 (x) p 2 (x) = ( q(x))(x 2 + 1) p 2 (x)rp 1 (x). 7

4 PROBLEMAS DIVERSOS Transitiva. Para todo p 1 (x), p 2 (x), p 3 (x) R[x] : { { p1 (x)rp 2 (x) q(x) R[x] : p 2 (x)rp 3 (x) p2 (x) p 1 (x) = q(x)(x 2 + 1) h(x) R[x] : p 3 (x) p 2 (x) = h(x)(x 2 + 1) (sumado) p 3 (x) p 1 (x) = (q(x) + h(x))(x 2 + 1). Como q(x) + h(x) R[x], se verifica p 1 (x)rp 3 (x). (b) Sea p(x) R[x], efectuando la división euclídea de p(x) entre x 2 + 1 obtenemos un cociente q(x) y un resto r(x) de grado < 2. Es decir: p(x) = q(x)(x 2 + 1) + r(x), grad r(x) < 2. Ahora bien, p(x) r(x) = q(x)(x 2 + 1), lo cual implica p(x)rr(x). Esto demuestra que cada clase admite un representante de grado < 2. (c) Efectuando la división euclídea de p(x) = x 3 + x 2 + 3x + 4 entre x 2 + 1, obtenemos inmediatamente el resto r(x) = 2x + 3. Por tanto: C[x 3 + x 2 + 3x + 4] = C[2x + 3]. (d) Toda clase de equivalencia tiene un representante de grado < 2. Además, si dos polinomios r 1 (x) y r 2 (x) de grados < 2 están relacionados, estos han de coincidir. En efecto, r 1 (x)rr 2 (x) quiere decir que r 2 (x) r 1 (x) = q(x) para algún q(x) R[x]. ( ) Dado que r 2 (x) r 1 (x) es de grado < 2, ha de ser q(x) = 0 para que se verifique la igualdad ( ), y como consecuencia r 1 (x) = r 2 (x). Concluimos que el conjunto cociente es: R[x]/R = {C[ax + b] : a, b R}, y el representante de cada clase con grado < 2 es único. 18. En el conjunto E = R R se define la relación (x, y)r(z, t) x = z. Demostrar que R es relación de equivalencia e identificar geométricamente el conjunto cociente E/R. Reflexiva. Para todo (x, y) E se verifica x = x, en consecuencia (x, y)r(x, y). Simétrica. Para todo (x, y), (z, t) E : (x, y)r(z, t) x = z z = x (z, t)r(x, y). Transitiva. Para todo (x, y), (z, t), (u, v) E : { { (x, y)r(z, t) x = z (z, t)r(u, v) z = u x = u (x, y)r(u, v). 8

4 PROBLEMAS DIVERSOS La relación R es por tanto de equivalencia. Determinemos una clase genérica, para ello elijamos (x 0, y 0 ) E fijo. La clase a la que pertenece (x 0, y 0 ) es: C[(x 0, y 0 )] = {(x, y) E : (x, y)r(x 0, y 0 )} = {(x, y) E : x = x 0 }. La clase C[(x 0, y 0 )] representa la recta vertical r : x = x 0, por tanto podemos identificar A/R como el conjunto cuyos elementos son las rectas verticales del plano. 19. Sea X el conjunto de las aplicaciones de R en R. Dadas x, y X se define la relación xry c > 0 : x(t) = y(t) para t < c. Demostrar que R es una relación de equivalencia. Reflexiva. Para toda x X se verifica trivialmente x(t) = x(t) para todo x R, en particular para t < c siendo c > 0 cualquiera. Es decir, xrx. Simétrica. Para todo x, y X se verifica: xry c > 0 : x(t) = y(t) para t < c y(t) = x(t) para t < c yrx. Transitiva. Para todo x, y, z X se verifica: { { xry yrz c1 > 0 : x(t) = y(t) para t < c 1 c 2 > 0 : y(t) = z(t) para t < c 2. Esto implica que x(t) = z(t) si t < c siendo c = mín{ c 1, c 2 }, es decir xrz. La relación R es por tanto de equivalencia. 20. Sean A y B dos conjuntos y R y S relaciones de equivalencia sobre A y B respectivamente. Probar que la relación (a 1, b 1 )T (a 2, b 2 ) (a 1 Ra 2 y b 1 Sb 2 ) es de equivalencia sobre A B. Reflexiva. Para todo (a, b) A B se verifica ara y bsb por ser R y S relaciones de equivalencia (por tanto reflexivas). Es decir, (a, b)t (a, b). Simétrica. Para todo (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) A B y teniendo en cuenta que R y S son simétricas: (a 1, b 1 )T (a 2, b 2 ) (a 1 Ra 2 y b 1 Sb 2 ) (a 2 Ra 1 y b 2 Sb 1 ) (a 2, b 2 )T (a 1, b 1 ). Transitiva. Para todo (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ), (a 3, b 3 ) A B y teniendo en cuenta que R y S son transitivas: { { (a1, b 1 )T (a 2, b 2 ) (a 2, b 2 )T (a 3, b 3 ) a1 Ra 2 y b 1 Sb 2 a 2 Ra 3 y b 2 Sb 3 (a 1 Ra 3 y b 1 Sb 3 ) (a 1, b 1 )T (a 3, b 3 ). 9

4 PROBLEMAS DIVERSOS La relación T es por tanto de equivalencia. 21. Sea U un conjunto y A U. En P(U) (partes de U) se define la relación binaria XR A Y X A = Y A. Comprobar que es una relación de equivalencia. En el caso de ser U = {1, 2, 3, 4} y A = {1, 2} determinar el conjunto cociente P(U)/R A. Reflexiva. Para todo X P(U) se verifica X A = X A, por tanto XR A X. Simétrica. Para todo X, Y P(U) : XR A Y X A = Y A Y A = X A Y R A X. Transitiva. Para todo X, Y, Z P(U) : { { XRA Y X A = Y A Y R A Z Y A = Z A X A = Z A XR AY. La relación R A es por tanto de equivalencia. Si B P(U), la clase determinada por B es [B] = {X P(U) : X A = X B}. Para el caso concreto dado, y haciendo un recorrido por los elementos de P(U) : [ ] = {, {1}, {2}, {1, 2}} (cada elemento de [ ] unión con A es igual a A). [{3}] = {{3}, {1, 3}, {1, 3}, {2, 3}} (cada elemento de [{3}] unión con A es igual a {1, 2, 3}). [{4}] = {{4}, {1, 2}, {1, 4}, {1, 2, 4}} (cada elemento de [{4}] unión con A es igual a {1, 2, 4}). [{3, 4}] = {{3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, U} (cada elemento de [{3, 4}] unión con A es igual a U). El conjunto cociente es por tanto: P(U)/R A = {[ ], [{3}], [{4}], [{3, 4}]}. 10