a) El uso del lenguaje icónico de las balanzas: Un método algebraico que puede facilitar y permite visualizar el proceso de resolución de ecuaciones consiste en representar una igualdad por una balanza en equilibrio. Por ejemplo, se podría comenzar con la representación mediante una balanza de una igualdad numérica como la siguiente: 9 + 4 10 + 2 + 1 que una forma de representarla podría ser como: 9 4 10 2 1 Posteriormente, se podría proponer a los alumnos que representaran la ecuación 2 + 7 21. La cual se podría representar como: 2 21 7 Seguidamente, se podría proponer a los alumnos realizar transformaciones sobre esta representación que le permitan encontrar el valor de la incógnita. Algunas de las transformaciones pueden ser las que ilustramos a continuación. Una opción es dejar que los alumnos hagan conjeturas y demuestren posibles transformaciones, o por el contrario, en caso de que no lleguen a hacerlas se les puede presentar las siguientes representaciones para que argumenten y justifiquen las transformaciones que observan: 2 21 7 7 21 21
A partir de la balanza en desequilibrio se puede preguntar a los alumnos qué ocurrió y cómo se puede volver a la situación de equilibrio en la balanza. En general, los alumnos no tienen dificultad para llegar a argumentar los siguiente: si quito 7 del platillo izquierdo la balanza se desequilibrará. Por tanto, tendré que quitar la misma cantidad en el platillo de la derecha para que se equilibre. Igualmente, suelen a esta altura de la actividad representar la nueva situación de equilibrio en la balanza como: 14 Posteriormente, podemos pedir a los estudiantes si creen que hay otras representaciones posibles que sean equivalentes a la situación de la balanza anterior, obteniendo así: 7 7 Ya en estos momentos, la fuerza de la visualización de la actividad les permite a los alumnos llegar con facilidad a la solución del problema y encontrar el valor de la incógnita, argumentando de la siguiente manera: luego la balanza estará equilibrada si quito de la izquierda y 7 de la derecha: 7 Por tanto 7 es la solución de la ecuación 2+7 21 De esta forma nos damos cuenta que obtenemos la solución de una ecuación pasando de unas situaciones de equilibrio a otras. Sin embargo, no podemos olvidar que un paso importante en este proceso de resolución es la traducción de las representaciones icónicas de la situación al lenguaje algebraico. Por tanto, si traducimos estos gráficos al lenguaje algebraico tendríamos: 2 + 7 21 2 + 7 7 21 7 2 14 + 7 + 7 7
Esta plataforma facilita la traducción del lenguaje verbal al icónico y posteriormente al lenguaje algebraico. Y permite que los alumnos lleguen a generalizaciones como: 2 + 7 21 y 2 14 tienen la misma solución ( 7 ). Lo cual nos permite introducir la siguiente definición a partir de la refleión y análisis del proceso de solución de una situación problema en la que se utiliza la representación icónica para la traducción al lenguaje algebraico: De dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se dice que son ecuaciones equivalentes. b) Cuadrados mágicos: La construcción de cuadrados mágicos es un pasatiempo antiquísimo, que se remonta a la antigua China. Un cuadrado mágico consiste en un cuadro de números tal, que todas las filas, columnas y diagonales, que se suelen llamar líneas del cuadrado, dan la misma suma. Podríamos empezar proponiendo situaciones en el que las líneas del cuadrado mágico de orden 3, por ejemplo, sumen 15. El 15 recibe el nombre de número mágico del cuadrado. 8 3 4 1 5 9 6 7 2 Sorprendentemente, en los cuadrados de orden impar, el orden del cuadrado, multiplicado por el número central del cuadrado, es igual al número mágico: puedes comprobarlo en el ejemplo anterior. Todo lo anterior es muy interesante, pero lo clave es que los alumnos descubran que los verdaderos pasatiempos matemáticos, como en este caso los cuadrados mágicos, necesitan alguna estrategia para resolverlos. En el conteto en el que estamos, nos interesa que los alumnos utilicen el álgebra y la simbolización como uno de los métodos que les permite salir adelante en un el problema recreativo que le proponemos. Por tanto, debemos orientar a que la solución de las siguientes situaciones recreativas que proponemos se apoyen en el álgebra para poder llegar al resultado correcto.
Cuadrado mágico algebraico. Podemos proponer a los alumnos el siguiente cuadrado y las siguientes preguntas que orienten el proceso de resolución: 2 + 2 + 1-2 + 2 5-6 3-3 2 + 1-1 a) Escribe las sumas de cada una de las ocho líneas de este cuadrado mágico. b) Como ves, todas las líneas no dan la misma epresión. Sin embargo, al tratarse de un cuadrado mágico, debe eistir un valor de que haga que todas esas epresiones tomen el mismo valor. Calcula el valor de. c) Otro método para hallar el valor de es utilizar la propiedad de los cuadrados mágicos de orden impar: El orden del cuadrado multiplicado por el término central es igual al número mágico. d) Si el número mágico de este cuadrado es 15, halla, con el término central, el valor que debe tener. e) Este valor de será también solución de cualquier ecuación obtenida, igualando entre sí las sumas de otras líneas del cuadrado. Compruébalo. Las anteriores preguntas, ayudan a que los alumnos progresivamente se vayan acostumbrando al manejo de epresiones algebraicas y vean las potencialidades que tiene el uso del lenguaje algebraico en la solución de determinados tipos de problemas. De igual forma, este tipo de actividades ayudan a reforzar la solución de ecuaciones equivalentes, que hemos iniciado con actividades como la balanza. c) Heágonos algebraicos: La figura que mostramos a continuación, está formada por dos heágonos regulares concéntricos y sus radios, lleva en sus lados y en sus vértices casillas
con números, epresiones con letras sencillas o casillas vacías, porque en ellas se han borrado los números que había. Las epresiones con letras esconden números que junto a los demás dan a los heágonos unas propiedades de figuras mágicas. En efecto, cada uno de los lados de los dos heágonos suma lo mismo. Este problema se plantea como un soporte de figura mágica, diferente de la de los cuadrados mágicos que propusimos en el apartado anterior. Para llevarla a cabo es necesario resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, pues se trata de una figura con casillas numéricas cuyo valor se ha escondido mediante una letra. Consideramos que es una actividad que puede proponerse a los estudiantes después de un tratamiento previo de las actividades de la balanza y el cuadrado mágico que consideramos introductorias para la introducción de las ecuaciones de primer grado. Al resolver las diferentes y variadas ecuaciones de primer grado que van apareciendo, se pueden obtener los valores iniciales de las casillas. El nivel de dificultad de las ecuaciones es mayor que las que se hicieron con las actividades de la balanza y de los cuadrados mágicos. En esta ocasión aparecen coeficientes
fraccionarios en los que es necesario en algunas de las ecuaciones reducir al mínimo común múltiplo para poder aislar las incógnitas. Otra dificultad añadida, es el manejo de signos menos delante de las fracciones algebraicas (Azarquiel, 2000) Las actividades que sugiere el grupo Azarquiel (2000) de plantear a los estudiantes a partir del heágono algebraico son las siguientes: 1. Sabemos que no podemos conocer el valor de los lados del heágono grande, pero si igualas dos lados, obtendrás una ecuación en. Resuélvela y halla todos los números de las casillas del heágono eterior. Con este apartado se trata de que los alumnos igualen los dos únicos lados del heágono grande en los que aparece la incógnita, obteniendo la siguiente ecuación: 19 + ( + 3) (4 - ) + /2 3 + 9/10 19 + 2/5 + (/2 + 2/23) - (3 ) + ( + 1) 9/10 4 2/5 + 21 5/10 25 50 Es importante señalar, que al obtener el valor de la incógnita, se obtiene también el número mágico del heágono, que es 185, y entonces se resuelve con más facilidad la siguiente ecuación que involucra a la incógnita z, así: (z + 4) (4 z) + 28 + (2z + 2) + 11z/5 185, obteniendo finalmente: z 25. 2. Haz lo mismo con el heágono pequeño y la incógnita y. De la misma forma en que se halló, se obtiene el valor de la incógnita y. Después de resolver se obtiene que y 30. Y, por tanto, se obtiene el valor mágico del heágono pequeño que es 111 y se obtiene el valor de la incógnita t 9. 3. Estas son las casillas de un lado del heágono grande escritas en función de una incógnita a. Halla a y averigua de qué lado se trata. En este caso, al resolver la ecuación de primer grado se obtiene el valor de a que es 5/2. Por tanto, los valores de los números de la casilla del heágono grande son los siguientes: 45, 24, 49, 44 y 23. que efectivamente, si los sumamos, corresponden a uno de los lados del heágono grande. 4. Haz lo mismo con esta otra ecuación escrita en función de la incógnita b.
Con esta ecuación, se encuentra que el valor de b 150. Por tanto, los números de las casillas son: 51, 50, 25, 30 y 29, que si los sumas dan el número mágico. d) Crucigrama algebraico: Finalmente, la última actividad lúdica que presentamos para el tratamiento de las ecuaciones de primer grado en el aula de secundaria es el crucigrama algebraico (Azarquiel, 2000). El objetivo de esta actividad es que los alumnos puedan repasar, consolidar y afianzar las técnicas de resolución de ecuaciones de primer grado. Esta actividad presenta diferentes niveles de dificultad en las ecuaciones de primer grado que se han de solucionar. Esto hace que el pasatiempo sea más llevadero y progresivo para los alumnos. En la mayoría de las epresiones que aparecen los alumnos tienen que tener en cuenta el cambio de signo de las ecuaciones debido a que en muchas les antecede al paréntesis un signo negativo. Por tanto, como no tener en cuenta esto es uno de los errores más frecuentes y generalizado en los alumnos de secundaria, se le da un tratamiento especial en esta actividad. El enunciado de la actividad que sugieren proponer a los alumnos es el siguiente: Utiliza las soluciones de las ecuaciones que aparecen en horizontal para llenar los huecos de este crucigrama. Las que están en vertical úsalas para comprobar si los números encontrados son correctos. En cada celda aparece un solo dígito, o el signo si alguna solución es negativa.
Las ecuaciones que están en verticales pueden ser utilizadas, o bien para comprobar las soluciones encontradas sustituyendo y realizando las operaciones, o bien para resolver algunas ecuaciones más y ver si por ambos lados se llega a los mismos resultados. Un aspecto interesante es que los estudiantes acaben reconociéndolas como epresiones equivalentes. Igualmente, puede se necesario aclarar que para los números en vertical deben leerse de arriba abajo, aunque esta notación resulte un poco etraña y complicada. Por ejemplo, si miramos el crucigrama acabado, en B vertical se debe interpretar como solución de la ecuación: -14.