MATEMÁTICA 8 BÁSICO MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Transcripción

1 MATEMÁTICA 8 BÁSICO ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Material elaborado por: Héctor Muñoz Adaptación: Ernesto Alabarce V.

2 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD La unidad aborda desde el empleo de letras en la formación de expresiones matemáticas pasando por la traducción de expresiones de lenguaje cotidiano a simbólico y viceversa, la resolución de ecuaciones usando propiedades de las operaciones y propiedades de la igualdad, la validación de las soluciones encontradas hasta llegar a la resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita. 2. DURACIÓN APROXIMADA 4 semanas. 3. CONTENIDOS Ecuaciones de primer grado con una incógnita Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita 4. OBJETIVO DE APRENDIZAJE Modelar situaciones de la vida diaria y de otras asignaturas, usando ecuaciones lineales de la forma: ax = b ; x b a = ; x ax + b = c ; + b = c ; a ax b cx a( x b) = c ; ax + b = cx + d ; y a 0 2

3 1. Profundización de contenidos MATERIAL DE APOYO COMPLEMENTARIO PARA EL DOCENTE Convenciones en relación con las expresiones algebraicas Entre las principales convenciones que rigen en el álgebra es valioso que los estudiantes asimilen las siguientes: Representación de la multiplicación y la división. Mirando desde la grafología del lenguaje conviene evitar el empleo de una cruz (x) para representar la multiplicación, ya que puede confundirse fácilmente con la letra x usada en el álgebra que es usada en el modelamiento de múltiples situaciones, por ejemplos e suele utilizar para designar la cantidad desconocida en una ecuación. Es por esto que la multiplicación se denota por un punto; por ejemplo: 2 3 = 6 Si uno de los factores de la multiplicación es una letra, se puede omitir el punto de multiplicación. Así, por ejemplo, el producto de a por b puede escribirse como a bo como ab. De igual forma 2 x = 2x. De acuerdo con la equivalencia que existe entre las fracciones y la operación de división, una división puede expresarse mediante los habituales dos puntos, por ejemplo x : 4o utilizando la notación de fracciones, por ejemplo 4 x. Prioridad de las operaciones. Una expresión que incluye más de una operación debe abordarse de acuerdo al siguiente orden: o Paréntesis o Potencias y raíces o Multiplicaciones y divisiones o Adiciones y sustracciones Un importante error conceptual relacionado con el significado del signo igual Es común que muchos estudiantes consideren el signo = como una invitación al cálculo y no como una relación de equivalencia. Así, por ejemplo, interpretan la expresión = x + 3 como a 5 se le suma 8 y al resultado se le suma 3. Por tal razón, consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresión debería completarse así: = x + 3 = 16 3

4 Es importante, en este sentido, hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que está a la izquierda del signo igual (en este caso, 5 + 8) representa la misma cantidad que lo que está a su derecha (en este caso, x + 3). Para que ello se cumpla, x debe ser 10. Ecuaciones como modelo que representa una situación problemática En la resolución de problemas, las ecuaciones que se planteen constituyen un modelo de las relaciones que existen entre las diferentes cantidades que intervienen. Supongamos, a modo de ejemplo, que se quiere resolver el siguiente problema: Las entradas al circo del Tony Pirata cuestan $4.000 para mayores de 10 años y $2.500 para menores de 10 años. En la primera función, el cajero informó que se habían vendido 210 entradas con una recaudación total de $ Pero no sabía cuántas de estas 210 entradas eran entradas de $2.500 y cuántas eran de $ Podrías ayudarle a salir de su duda?. Si representamos por x el número de espectadores mayores de 10 años, podemos plantear 4.000x x = la ecuación: ( ) Es muy importante que, antes de tratar de resolver la ecuación, nos aseguremos que los estudiantes entiendan qué representa cada número y cada letra en esta ecuación y por qué se establecen las operaciones que allí aparecen. Por ejemplo: Qué representa la letra x? A qué corresponde el número 4.000? Por qué se multiplica por x? Qué representa ese producto?, etc. Sólo después de tener claro qué representa la ecuación y cómo ella expresa la situación en estudio podemos buscar formas de resolver la ecuación. Y una vez resuelta la ecuación, es decir, una vez que hemos encontrado el valor que debe tener x para que se cumpla la igualdad, será necesario interpretar esa solución en términos de la situación problemática inicial. Y establecer, asimismo, si esta solución responde a lo que se quiere averiguar y si la respuesta es razonable. Las propiedades de la igualdad en la resolución de ecuaciones En la resolución de ecuaciones se utiliza con frecuencia la idea de pasar términos o cantidades de un lado al otro de la igualdad. Esta operación no está definida en matemáticas y suele inducir a errores o indeterminaciones. Por ejemplo, en la ecuación: x 3 = 8 es común que los alumnos pasen el 3 como negativo al lado derecho argumentando (erróneamente por supuesto) que el signo negativo a la izquierda del 3 corresponde al signo de la sustracción, por ende el 3 es positivo. Las confusiones aumentan cuando la incógnita aparece multiplicada o dividida por una cantidad. Luego, es preferible apoyarse en las propiedades de la igualdad o en alguna otra metáfora que priorice la comprensión del procedimiento por sobre la memorización de rutinas carentes de sentido. Una forma de aplicar el concepto de igualdad se propone a continuación: 4

5 Si a los dos lados de la igualdad se adiciona o sustrae una misma cantidad, la igualdad se mantiene. Si los dos lados de la igualdad se multiplican por una misma cantidad, la igualdad se mantiene. Si los dos lados de la igualdad se dividen por una misma cantidad distinta de 0, la igualdad se mantiene. La primera propiedad suele ilustrarse utilizando la metáfora de la balanza. Si dos cantidades están en equilibrio en una balanza, el equilibrio se mantendrá si agrego o quito la misma cantidad en ambos lados de la balanza. Esta metáfora es muy comprensible para los estudiantes. 2. Sugerencias metodológicas El docente debiera intentar por todos los medios evitar mecanizar a sus estudiantes con el método de pasar de un lado a otro. Tal como se mencionaba en la sección de profundización, este procedimiento tiene muchos inconvenientes y trae consigo una serie de anclajes conceptuales erróneos que después es muy difícil de corregir. Por el contrario, existen variados métodos de resolución que apuntan a la comprensión por sobre la memorización. Por ejemplo un método que el docente podría ocupar en ecuaciones sencillas es el siguiente: 2x + 3 = 15 2x + 3 = x + 3 = x = 6 Como se puede ver en la secuencia anterior, el procedimiento consiste en formar en ambos lados de la ecuación expresiones iguales. La estrategia anterior funciona incluso para valores incógnitos racionales, por ejemplo: 5x + 1 = 17 5x + 1 = x + 1 = x = 5 Existen también otros procedimientos usando material concreto que pueden resultar prácticos y útiles dependiendo el contexto y la realidad de los estudiantes con los cuales se trabaje. 5

6 Sin lugar a dudas que la recomendación más importante es realizar una correcta lectura del Objetivo de Aprendizaje. Como mínimo los estudiantes deben ser capaces de modelar situaciones de la vida diaria y de otras asignaturas usando ecuaciones de primer grado. Esto quiere decir que si los estudiantes resuelven cientos de ecuaciones sin contexto alguno, por muy bien que lo hagan, no estarán cumpliendo ni con lo mínimo requerido. Por lo tanto los interminables listados de ejercicios de aquellos libros de álgebra que han acompañado a los docentes por años no son suficientes para dar cumpliendo a las bases curriculares. Lo anterior no quiere decir que los alumnos y alumnas no deban saber cómo se resuelve una ecuación, por el contrario, deben saber hacerlo bien para poder modelar diversas situaciones y resolver problemas por medio de ellas. Se sugiere también que el docente realice un esfuerzo en relacionar las actividades enfocadas a la resolución de problemas y el establecimiento de modelos por medio de ecuaciones con los énfasis en las evaluaciones tanto formativas como sumativas, ya que los estudiantes tienden a valorar aquello que es evaluado por sobre lo que no se incluye en las evaluaciones. De esta forma si las evaluaciones apuntan a medir sólo procedimientos de resolución de ecuaciones, se estará situando un valor en sí que por cierto estará desalineado con las bases curriculares y por ende con las evaluaciones externas del nivel. 6

7 MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL). EMPLEO DE LETRAS PARA REPRESENTAR CANTIDADES En esta guía se muestran ejemplos de uso de letras para representar números. En especial, se destaca el uso de letras para representar propiedades de las operaciones, el uso de letras en fórmulas para el cálculo de magnitudes geométricas y el uso de letras para representar cantidades desconocidas. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO GRUPAL). SIGNIFICADO Y PROPIEDADES DE LA IGUALDAD En esta guía se analizan algunas situaciones que suelen originar errores en los estudiantes en relación con el significado del signo igual. En especial se considera el error mencionado en la sección anterior. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL). CONVENCIONES EN EL LENGUAJE ALGEBRAICO En esta guía se ejercitan algunas convenciones relevantes en el lenguaje algebraico. En especial, se menciona la forma de escribir una multiplicación cuando uno o más de los factores son letras, y las prioridades de las operaciones en expresiones que incluyen más de una operación. GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL). REPRESENTACIÓN DE SITUACIONES MEDIANTE ECUACIONES Esta guía pone el énfasis en la representación de una situación problemática mediante una ecuación en que la cantidad desconocida se designa mediante una letra. Las distintas actividades propuestas buscan clarificar la relación que existe entre la ecuación y la situación representada por esa ecuación. GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO INDIVIDUAL). LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN En esta guía se introduce la noción de solución para una ecuación. Asimismo se trabaja sobre el hecho de que una ecuación de primer grado tiene, en general, una solución, pero en algunos casos puede plantearse condiciones para las cuales ningún número es solución o casos en que cualquier número hace verdadera la ecuación. GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL). PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES (I) En esta guía se ven algunos procedimientos de resolución de ecuaciones en casos simples. En especial se muestra la aplicación del carácter inverso de las operaciones y la aplicación de la invariancia de la igualdad si se suma o se resta a ambos lados de ella una misma cantidad. GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL). PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES (II) En esta guía se ven nuevos procedimientos de resolución de ecuaciones en casos simples. Esta vez se muestra la aplicación de la invariancia de la igualdad si se multiplican o se dividen ambos lados de ella por una misma cantidad. La guía se inicia con un breve repaso de 7

8 conocimientos acerca de la multiplicación y división de fracciones en casos atingentes al contenido que se está estudiando. GUÍA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO GRUPAL). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON AYUDA DE ECUACIONES En esta guía se formulan algunas situaciones problemáticas y se espera que el estudiante las resuelva usando ecuaciones. Las preguntas que se plantean en cada caso apuntan a aclarar la relación que existe entre la ecuación y la situación problemática, así como la relación que existe entre lasolución de la ecuación y la pregunta del problema. 8