Ecuaciones

Transcripción

1 Ecuaciones Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax+b=cx+d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Ecuafrutas son retos que promueven el razonamiento divergente para desarrollar el pensamiento matemático, ya que a partir del análisis y razonamiento para la resolución de problemas algebraicos se involucra el uso de estrategias no convencionales, despertando la creatividad para pensar lógicamente y encontrar soluciones novedosas. Los retos nivel básico están diseñados para ser aplicados a partir de cuarto grado de educación primaria, pero no están exentos de su uso en secundaria. Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax+b=cx+d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación. La intención de los retos es encontrar el valor de cada una de las frutas para sustituirlo y hallar el valor numérico de la igualdad, utilizando la adición, sustracción y/o multiplicación, donde el estudiante pone en juego ciertas habilidades matemáticas como: calcular, estimar, inferir, observar y la reversibilidad de pensamiento, entre otras. Estos retos tienden un puente entre lo concreto y lo abstracto, es decir, el paso del conteo aritmético a su generalización en forma algebraica, la cual se hace de manera gradual. Podemos constatar cómo un alumno Fotocopias de los retos. Inferir, deducir, anticipar, estimar, calcular y resolver. Programa Estatal de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático Complejo Administrativo de la Secretaría de Educación Pública Carretera Federal Tlaxcala - Puebla km. 1.5 No. 5 Colonia Las Ánimas C.P , Tlaxcala, Tlax. Tel 01(246) Extensión

2 El siguiente paso es sustituir el número 1 por la letra m, que corresponde a la primera letra con la que se escribe manzana, quedando de la siguiente manera: 1=m, por lo tanto m + m = 2m. A partir de este momento podemos generalizar utilizando cualquier otra letra que en lo sucesivo se denominará literal. Comúnmente se utilizan las tres últimas letras del alfabeto, por ejemplo, x + x = 2x, y + y = 2y. Cuadros de doble entrada Estos retos consisten en una serie de tarjetas que contienen tablas de doble entrada, las cuales se resuelven al hallar el valor numérico de cada una de las frutas, en el entendido que a frutas iguales corresponden los mismos valores; y dichos valores deberán igualarse con el número que se indica al final de cada fila y de cada columna. Por ejemplo, en la siguiente tarjeta, los alumnos comenzarán por deducir el valor numérico de las frutas que les resulten fáciles de inferir, en este caso pueden ser las peras y posteriormente la fila o columna que tiene peras y manzanas. Con estos valores podrá inferir el valor numérico de las frutas restantes y finalmente resolver el reto. Equivalencias y su valor numérico Estos retos consisten en una serie de tarjetas que contienen igualdades representadas con frutas. Cada fruta representa un valor numérico, por lo tanto, a frutas iguales corresponden los mismos valores; estas igualdades están relacionadas con las operaciones de adición, sustracción y/o multiplicación y que al operarse permiten obtener un resultado numérico. Por ejemplo, en la siguiente tarjeta, los alumnos comenzarán por deducir el valor numérico de las frutas que les resulten fáciles de inferir, en este caso pueden ser los mangos o las peras y posteriormente resolver la igualdad para hallar el valor numérico de la manzana y finalmente solucionar el reto. Un segundo momento que se propone para aprovechar estas tarjetas en clase, es que el docente modifique o asigne nuevos valores numéricos a las frutas o al resultado de la igualdad, de acuerdo a las características de su grupo, por ejemplo la tarjeta anterior se puede modificar asignando valores a algunas frutas y plantear la situación de la siguiente manera: Un segundo momento que se propone para aprovechar estas tarjetas en clase, es que el docente modifique o asigne nuevos valores numéricos a las frutas o al resultado de las filas o columnas, de acuerdo a las características de su grupo, por ejemplo, la tarjeta anterior se puede modificar asignando valores a algunas frutas y plantear la situación de la siguiente manera: a) Cada mango vale 14 y dos peras valen 12, encuentra los valores faltantes: b) O bien, un ejemplo con decimales: Programa Estatal de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático Complejo Administrativo de la Secretaría de Educación Pública Carretera Federal Tlaxcala - Puebla km. 1.5 No. 5 Colonia Las Ánimas C.P , Tlaxcala, Tlax. Tel 01(246) Extensión

3 Balanzas Estas tarjetas muestran igualdades con frutas, las cuales se representan en forma de balanzas en equilibrio, donde frutas iguales tienen el mismo peso. Estas igualdades se resuelven a través de sustituciones, para ir estableciendo relaciones hasta hallar la equivalencia que se pide. Por ejemplo, en la siguiente tarjeta, los alumnos deben hallar la equivalencia entre una manzana y cierto número de plátanos. El método de la balanza consiste en mantener en equilibrio ambos platillos de la balanza, lo que implica que si quitamos o agregamos una fruta en alguno de los platillos, la balanza se desequilibra, entonces se deberá agregar o quitar la misma fruta en el otro platillo, garantizando de esta manera el equilibrio de la balanza. Para resolverla, se puede observar en la segunda balanza que una manzana y dos plátanos equivalen a un mango: la equivalencia anterior se sustituye en el platillo izquierdo de la primera balanza: Algebraicamente esta estrategia se formaliza con el Axioma Fundamental de las Igualdades, el cual dice de manera sintética: para que la igualdad persista se deberán realizar las mismas operaciones aritméticas, con las mismas cantidades, en ambos miembros de la igualdad. Es decir si en el primer miembro se suma 5, entonces, se deberá sumar 5 en el segundo miembro. De manera análoga para la sustracción, multiplicación y división. Finalmente para la solución de la balanza anterior, se concluye que una manzana equivale a dos plátanos. Con lo que tendríamos que dos manzanas y seis plátanos equivalen a cinco manzanas. Las balanzas representan ecuaciones y el método de la balanza es una de las estrategias concretas donde se puede visualizar la solución para hallar el valor de una incógnita. Esta estrategia objetiva nos lleva a plantear la solución algebraica, empezando a sustituir cada una de las frutas por letras previamente convenidas, se recomienda utilizar la letra Programa Estatal de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático Complejo Administrativo de la Secretaría de Educación Pública Carretera Federal Tlaxcala - Puebla km. 1.5 No. 5 Colonia Las Ánimas C.P , Tlaxcala, Tlax. Tel 01(246) Extensión

4 inicial del nombre de cada fruta, por ejemplo: m de mango, p de plátano, m de manzana, en este caso podemos observar que hay dos letras m, por lo que se puede utilizar la letra a para las manzanas, quedando la igualdad de la siguiente manera: 2m + 2p = 5a a + 2p = m a = A cuántos p equivalen? Sustituimos en la primera balanza el valor de los mangos indicado en la segunda. 2m + 2p = 5a 2(a + 2p) + 2p = 5a 2a + 4p + 2p = 5a 2a +6p = 5a 6p = 3a 2p = a, que es la respuesta al reto. Por ultimo podemos sustituir por las letras convencionales en álgebra: 2x + 2y = 5z z + 2y = x z = a cuántos y equivale? Sustituyendo x = z + 2y en la primera ecuación, tenemos: 2(z+2y)+2y=5z aplicando la propiedad distributiva en la expresión 2(z+2y) tenemos: 2z+4y+2y=5z simplificamos términos semejantes en 4y + 2y, nos queda 6y + 2z = 5z como 5z = 2z + 3z, lo sustituimos en la anterior 6y + 2z = 2z + 3z luego, en ambos miembros de la ecuación quitamos 2z 6y = 3z como 6y = 3z, se infiere que cada z equivale a 2y Por lo tanto, 2y = z significa que z equivale a 2y, quedando solucionado el reto Programa Estatal de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático Complejo Administrativo de la Secretaría de Educación Pública Carretera Federal Tlaxcala - Puebla km. 1.5 No. 5 Colonia Las Ánimas C.P , Tlaxcala, Tlax. Tel 01(246) Extensión

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