Ayudantía 1 Cargas eléctricas y fuerza de Coulomb Aviso: Siempre calcular primero con variables para obtener una formula. Después insertar numeros con unidades y correctamente combinar unidades. El resultado tiene que estar dado con unidad física. Problema 1: Un átomo consiste de un núcleo con carga total de Q = 3,2 10 19 C y de electrones (carga del electron q e = e con carga elemental e = 1,6 10 19 C; masa del electron m e = 9,11 10 31 kg) rodando. 1. Cuántos protones contiene el nucleo? Como se llama este átomo? 2. Cuál es la velocidad del electron en una trayectoria circular con distancia r = 31pm al núcleo? 3. De qué tamaño es la fuerza de Coulomb que actua sobre el electrón a esta distancia? Problema 2: Cuatro cargas q 1 = q 3 = q y q 2 = q 4 = q con q = 7µC se encuentran en las escinas de un cuadrado con largo a = 1,9m. 1. Cuál es el vector de la fuerza resultante actuando a la carga q 4? 2. Cuál sería la fuerza a una carga de prueba Q = 0,6µC que se encontraría en la mitad entre cargas q 2 y q 3? Problema 3: Se acerca una bola cargada negativamente a una bola conductora, que se encuentra colgada y además esta electricamente aislada. Se observa lo siguiente: la bola conductora que esta siendo atraida toca la otra bola, y es repelida. Explique este comportamiento.
Ayudantía 2 Densidad de carga y campo eléctrico Problema 4: La superficie de un disco de plástico con radio R = 2cm fue frotado con un pellejo y contiene ahora una carga Q = 2,5C distribuida homogeneamente en esta superficie. En el eje de simetría del disco se encuentra a una distancia d una bola de plástico muy pequeña (casi puntual) que esta cargada con q = 0,1C. 1. Cuál es la fuerza que actúa sobre la bola cargada? 2. Cómo depende esta fuerza de la distancia d, si ella es mucho más grande que el radio del disco, d R? 3. Qué tamaño tiene el campo eléctrico en el lugar de la bola cargada, si ella tiene una distancia al disco d = 0,5m? Problema 5: Se encuentran tres cargas en una línea recta con distancia entre las cargas a = 0,7cm. La carga en el centro es negativa q = 8,2µC y las otras dos cargas son positivas con q = 4,1µC cada una. 1. Construir el campo eléctrico de esta configuración. 2. Aproximar el campo eléctrico para lugares mucho más lejanos que el largo de la configuración de cargas, es decir para l a donde l es la distancia entre el lugar de observación y el centro de las cargas. Qué tiene que ver eso con dipolos eléctricos? 3. Qué tamaño tiene el campo eléctrico a una distancia l = 1m si el punto de observación se encuentra en la continuación de la línea recta en que se encuentran las cargas?
Ayudantía 3 Ley de Gauss Problema 6: Una carga puntual q = 3µC se encuentra en el centro de un cascarón esférico metálico con una distancia a la superficie interior de 2cm. El radio de la superficie exterior del cascarón es 3cm. El cascarón tiene carga total Q = 5µC. 1. Donde se encuentra la carga Q (en la superficie interior o exterior, en ambas superficies, en el volumen entre las superficies)? 2. De qué tamaños son las densidades de carga en la superficie interior y exterior del cascarón? 3. Cuál es el campo eléctrico (tamaño y dirección) en una distancia del centro del cascarón de r = 1cm, r = 2,5cm, y r = 6cm? Dibuje con estos datos una interpolación del tamaño del campo eléctrico en dependencia de la distancia al centro del cascarón. Problema 7: Una carga puntual q = 3µC se encuentra en el centro de un cascarón muy delgado e aislante con radio 0,15m. El cascarón tiene una densidad superficial de carga σ = 1µC/m 2. Un otro cascarón conduciendo de radio interior 0,4m y radio exterior 0,5m esta alrededor del cascarón delgado en manera concéntrica. Este cascarón tiene carga 6µC. 1. Cuál es la carga total del cascarón aislante? 2. Cuál es el campo eléctrico en una distancia r de la carga puntual, para valores r = 0,04m, 0,25m, 0,43m, y 1,5m? 3. Cuales son las densidades superficiales de carga en la superficies interior e exterior del cascarón conduciendo?
Ayudantía 4 Potencial eléctrico / Voltaje Problema 8: Dos discos de radio R = 20cm y ancho a = 1cm se encuentran a una distancia d = 0,5mm. Un disco es de metal e inicialmente esta eléctricamente neutro; el otro es de plástico y su superficie cercana al disco de metal esta cargada homogeneamente con densidad σ = 0,2µCm 2. 1. Cuales son las densidades de carga en las dos superficies grandes del disco de metal? (Asumir un campo eléctrico uniforme en el espacio entre los discos.) 2. El disco de metal se conecta a tierra. Cuales son sus densidades de carga ahora? 3. Uno desconecta el disco de metal de la tierra y después lo aleja a una nueva distancia d = 5cm del disco de plástico. Cuál es el voltaje entre el disco de metal y la superficie cargada del disco de plástico? Problema 9: Dos cargas con q = 15µC cada una se encuentran en la eje x a posiciones x = a y x = a con a = 4cm. 1. Qué tamaño tiene el potencial eléctrico en un lugar B en el eje y a y = 5cm. (El cero del potencial sea en el infinito) 2. Una partícula con masa m = 1,5 10 3 kg y carga Q = 4µC esta puesta en el lugar B y expuesta al campo eléctrico. Cuál es la velocidad de la partícula en el origen del sistema de coordenadas? 3. Es posible que la partícula se aleje infinitamente?
Ayudantía 5 Capacidad y condensadores Problema 10: A través de una pila se aplica un voltaje de U = 9V a dos placas idénticas y paralelas con radio r = 5cm que se encuentran a una distancia d = 1mm. 1. Cuáles son las cargas eléctricas en las placas? Estas cargas se distribuyen homogeneamente en las placas, o no? Explique su respuesta. 2. Se desconecta la pila y después se aleja las placas a una nueva distancia d = 3mm. Cuál es la capacidad de este sistema ahora? 3. Cuál es el voltaje entre las placas ahora? Problema 11: En la mitad de un condensador, que consiste en dos placas idénticas verticales con diámetro a = 1m y distancia d = 20cm, se encuentra una pequeña bola metálica con masa m = 0,5g y con carga q = 2 10 9 C, colgada de forma aislada con un hilo de largo l = 1m. Se conectan las placas con una fuente de voltaje y se aumenta adiabaticamente el voltaje hasta su valor maximo U, mientras la bola se mueve por una distancia de 4cm. 1. Qué capacidad tiene el condensador? 2. Cuál es la relación simple entre la fuerza resultante, actuando sobre la bola, y el ángulo de extensión? 3. Cuál es el campo eléctrico en el espacio entre las placas? 4. Qué tamaño tiene el voltaje? Aviso: Asumir campo eléctrico uniforme entre las placas, aceleración terrestre g = 9,8ms 2.
Ayudantía 6 Capacidad y dieléctricos Problema 12: Un condensador consiste de dos cascarones cilíndricos de aluminio con largo l = 10cm que se encuentran en forma coaxial y orientación vertical. Los dos cascarones tienen anchos muy delgados (despreciables) y radios r i = 1cm y r e = 1,1cm, respectivamente. Entre los cascarones se encuentra un tercer cascarón de plástico con mismo largo, ancho 1mm, y constante dieléctrica relativa ɛ r = 150. 1. Cuales son las capacidades del condensador con y sin el cascarón de plástico? 2. Ahora el cascarón de plástico es movíl. Cuál es el voltaje U que hay que aplicar al condensador, para que el cascarón de plástico no se caiga? (masa del plástico m = 100mg, acceleración terrestre g = 9,8ms 2 ) Problema 13: Un condensador consiste de dos placas idénticas de cobre con radio r = 10cm que se encuentran a una distancia d = 5mm. 1. Cuál es la capacidad del condensador? 2. Se inserta entre las placas de cobre una tercera placa de plástico (ɛ r = 30) con el mismo radio pero con ancho solo de 2mm. Ella esta encima de una placa de cobre. Cuál es la capacidad del condensador ahora? 3. Se corta la placa de plástico en dos mitades iguales y se inserta ahora solo una mitad en la misma manera que en la parte 2. Cuál es la capacidad del condensador ahora?
Ayudantía 7 Dieléctricos II Problema 14: En su casa Ud. construye un condensador de dos hojas de aluminio y dos hojas de celofán (ɛ r = 10, ancho d = 20µm); cosas que se usan en la cocina. Ud. corta pedazos de 5cm 10cm y lo pone como sandwich, dejando conexiones a las dos placas de aluminio. 1. Cuál es la capacidad (ɛ 0 9 10 12 F/m)? 2. Arrollar las placas aumenta o disminuye la capacidad? Cuál es la capacidad en forma arrollada? 3. Se conecta el condensador con una pila de U = 9V. Después de algun tiempo se desconecta la pila y se conectan las dos placas del condensador con un cable. Qué pasa? Cuál es la energía que se libera en este proceso? 4. Imaginese ahora un condensador electrolítico con capacidad 33,000µF que se encuentra en una fuente de poder de un computador. La fuente de poder estabiliza voltajes de 5V y 12V para uso en la placa madre. Le parece inteligente conectar los dos puntos de conexión del condensador con un cable? Qué orden de magnitud tiene la energía acumulada en el condensador?
Ayudantía 8 Polarización y vector de desplazamiento Problema 15: Considere el condensador de placas planas metálicas, llenado con tres tipos de dieléctricos como en la figura. d/2 d/2 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 A/2 A/2 000000000000000000000 111111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111110 1 00000000000000000000 11111111111111111111 ɛ r,2 00000000000000000000 11111111111111111111 ɛ r,1 000000000000000000000 111111111111111111111 ɛ r,3 00000000000000000000 11111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111110 1 U Los valores numéricos son: d = 6mm, A = 100cm 2, ɛ r,1 = 12, ɛ r,2 = 30, ɛ r,3 = 24, U = 9V. 1. Cuál es la capacidad de este condensador (ɛ 0 9 10 12 Fm 1 )? 2. Cuales son las densidades de cargas libres en las placas metálicas? 3. Cuales son las densidades de cargas (ligadas) inducidas en las superficies de los dieléctricos? 4. Cuales son el campo eléctrico y el vector de desplazamiento entre las placas? 5. Como se ve el vector de polarización? Problema 16: Un cable coaxial consiste de un alambre metálico de radio a y un cascarón metálico de radio interior b y radio exterior c. Entre los dos conductores hay un cascarón aislante y dieléctrico de radio interior a y radio exterior b con permitividad relativa ɛ r. Los conductores están cargados con cargas libres ±q. 1. Calcule la densidad de carga ligada inducida de polarización en el dieléctrico y grafiquela como función del radio r. 2. Calcule la polarización eléctrica en el dieléctrico y grafique su magnitud como función del radio r. 3. Calcule el vector de desplazamiento y grafique su magnitud como función del radio r.
Ayudantía 9 Resistencia y potencia Problema 17: Un alambre metálico rectilineo tiene una resistencia eléctrica de 16Ω. De este alambre se dobla un rectangulo y se soldan los fines del alambre. 1. En que proporción estan los largos del rectangulo si la resistencia entre los fines de un lado del rectangulo es 2Ω? 2. Se estira un alambre del mismo tipo al largo doble y se dobla de nuevo un rectangulo con los fines soldados. En que proporción estan ahora los largos del rectangulo, si la resistencia entre los fines de un lado del rectangulo es 2Ω? Problema 18: En el arbol de navidad se encuentra un sistema de iluminación que consista de 10 ampolletas de 22V/1W y que se conecte directamente con el enchufe de 220V. En la noche uno se da cuenta que no se encienden las luces porque una ampolleta esta kaputt. Pero se encuentra una ampolleta de repuestos de 22V/10W de un sistema antiguo. 1. Que pasa con las otras ampolletas después conectar el repuesto y prender la iluminación? 2. Explicar porque pasa esto usando calculo.
Ayudantía 10 Potencia, fuerza electromotriz y batería realistica Problema 19: Por qué una ampolleta se detruye siempre en el momento de prenderla? Para responder a esa pregunta, use el siguente modelo: Si hay una corriente en el alambre, ello se calienta a través del efecto Joule. Como el calor esta disipado al ambiente, para cada potencia P se arregla después algún tiempo una temperatura T del alambre en el equilibrio. Esta temperatura depende linealmente de la potencia: T (P ) = T 0 + αp, donde T 0 es la temperatura cuando no hay corriente en el alambre, y α es una constante. El alambre es de metal, entonces su resistividad ρ sube con la temperatura T. Suponemos que esta dependencia es lineal: ρ(t ) = ρ 0 + ρ 1 (T T 0 ), donde ρ 0, ρ 1 0. El fabricante esta especificando sus ampolletas en el estado prendido, es decir, la potencia P a de la ampolleta es la potencia a una temperatura alta, cuando la ampolleta esta conectada con el voltaje del enchufe U. 1. Cuál es la temperatura del alambre de la ampolleta en el estado prendido? 2. Cuál es la potencia en el momento de prender la ampolleta? Qué temperatura alcanza el alambre en el momento de prender? 3. Por qué entonces las ampolletas se detruyen en el momento de prender? Qué pasa con el alambre en este momento? Problema 20: Con respecto al gasto de energía una radio se puede describir en una manera simplificada como una resistencia ohmica, ver figura. El receptor tiene una resistencia R r = 100kΩ fija, mientras el amplificador consiste de una resistencia variable R v en serie con la resistencia del parlante R p = 8Ω. Con la resistencia variable se controla el volumen del parlante. La radio se opera con tres pilas en serie, cada una tiene una FEM de U F EM = 1,5V, una resistencia interna R i = 1kΩ y una carga total de 2000mAh. La radio consiste de algunos 100 transistores y solo puede operar cuando el voltaje U AB entre los puntos de conexiones A y B es más grande o igual que 4,0V.
1. Como hay que dimensionar la resistencia variable, R v, para que la radio funciona con volumen maximal? 2. Con este volumen maximal, cuál es la potencia que se transforma en el parlante en potencia acustica y calor? 3. Ud. lleva la radio a la playa para una sonorización inapropiada a maximo volumen, que ciertamente molesta a alguna gente que no son fanaticos de su tipo de música. Después de cuanto tiempo esta gente pueden relajarse porque las pilas de su radio se echaron a perder? 4. En un modelo aun más realistico la FEM de la pila disminuye durante su descarga. Digamos la pila es como un condensador y una resistencia en serie, entonces la FEM depende de la carga almacenada en la pila como: U F EM (Q) = U F EM,0 ( Q Q 0 ), donde U F EM,0 = 1,5V es la FEM y Q 0 = 2000mAh es la carga de la pila nueva. U F EM (Q) U F EM,0 es entonces la FEM de la pila cuando contiene la carga Q Q 0. Después de cuanto tiempo la radio se apaga, si uno usa el mismo volumen maximal como en (1) y (2)?
A R i U F EM receptor R v amplificador R i U F EM R r R p R i U F EM B radio
Ayudantía 11 Circuito RC y fuerza de Lorentz Problema 21: Considere el circuito RC en la figura. Los condensadores y sus resistencias paralelas son iguales, respectivamente. 1. Obtenga el sistema de ecuaciones diferenciales para este sistema y resuelvalo. 2. Se conecta el interruptor. Con qué constante de tiempo se cargan los condensadores? Cuál es la corriente que sale de la pila? 3. Se desconecta el interruptor. Con qué constante de tiempo se descargan los condensadores? En qué caso hipotético esta constante se cambiaría? R C R U F EM C R Problema 22: En un televisor convencional (tubo de Braun) un haz de electrones entra en una zona con un campo eléctrico y magnetico uniforme E B. 1. Obtenga la ecuación de movimiento y resuelvala para un electron que entra en la zona al tiempo inicial t = 0 con velocidad inicial v 0 E, B. 2. Cómo se ve la trayectoria del electron? De que tipo de movimiento se trata? Como se usa eso para producir una imagen en el televisor? 3. Ponga en relación la velocidad en dirección del campo eléctrico con el movimiento ciclico perpendicular a los campos.
Ayudantía 12 Fuerza de Lorentz y campo magnético Problema 23: Un electrón con carga eléctrica q = 1,6 10 19 C y masa m = 9,11 10 31 kg entra con velocidad v en un campo magnético uniforme B = 0,01T hecho por un imán, ver figura. El campo magnético a fuera del espacio entre los polos norte y sur del imán sea cero. 1. Qué forma tiene la trayectoria del electrón en el campo magnético? Grafique la trayectoria. 2. Cuánto tiempo transcurre entre que el electrón entra al campo magnético y sale? (observe que este tiempo no depende de la velocidad) e v 45 00 11 0000 1111 000000 111111 00000000 11111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 000000000 111111111 00000000 11111111 000000 111111 0000 1111 00 11 N 00 11 0000 1111 000000 111111 00000000 11111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 000000000 111111111 00000000 11111111 000000 111111 0000 1111 00 11 B = const S
Problema 24: Un alambre de largo l y diametro d se dobla en forma de una bobina de largo L y con N vueltas, cada una con radio R L. El alambre es de metal con una resitividad de ρ. 1. Calcular la resistencia R de la bobina. 2. Se conecta la bobina con una pila de voltaje U. Después poco tiempo la corriente se estabiliza. Cuál es ahora aproximadamente el campo magnético B que se genera adentro de la bobina? 3. Cuál es la auto-inductancia L de este sistema? 4. Como el sistema tiene resistencia e auto-inductancia, cómo se ve el circuito eléctrico?
Ayudantía 13 Ley de Ampere, inductancia Problema 25: Dada dos bobinas de largo l igual, con números de vueltas N 1 y N 2, respectivamente, y con diámetros aproximadamente iguales d 1 d 2 = d. Las dos bobinas estan conectados como indica la figura (observe las direcciones de vueltas y corrientes). 1. Se aplica una corriente I. Cuál es el campo magnético (suponga que es uniforme) en el espacio interior de las bobinas? Use la ley de Ampere con un camino cerrado de integración como indica la figura. Suponiendo l d el campo magnético a fuera de las bobinas se puede despreciar. (3 pts) 2. La corriente I cambia en el tiempo y se genera el efecto de la inducción. Cuál es la auto-inductancia de este sistema? (3 pts) camino cerrado bobina 1 l bobina 2 I N 1 N 2
Problema 26: Dos inductancias, L 1 y L 2, se conectan en paralelo como muestra la figura. Entre los extremos A y B uno puede imaginarse ahora una sola inductancia equivalente. Cuál es el valor de esta inductancia equivalente? (6 pts) A L 1 L 2 B
Ayudantía 14 Inducción magnética, circuito RLC Problema 27: Una barra conductora de largo l está libre para deslizarse sin fricción sobre dos barras conductoras paralelas como muestra la figura. Dos resistencias, R 1 y R 2, están conectadas a través de las barras. Existe un campo magnético uniforme en la región donde se encuentran las barras (apuntando para dentro de la página). Suponga que un agente externo empuja la barra movíl para la izquierda a una velocidad v constante. 1. Determine el voltaje inducido (FEM) entre los extremos de la barra en movimiento. (2 pts) 2. Determine las corrientes a través de las resistencias. Indique claramente el sentido de estas corrientes. (1 pt) 3. Determine la potencia total disipada en las dos resistencias. (1 pt) 4. Dada esta potencia, cuál es la fuerza que necesita aplicar el agente externo sobre la barra movíl para mantenerla a velocidad constante? (2 pts) R 1 v 01 01 01 01 01 01 01 01 01 B R 2 l
Problema 28: Dado el circuito RLC en la figura. 1. Cuál es la impedancia entre los fines de conexión? 2. Se aplica el voltaje alterno U(t) = U 0 sin(ωt) a los fines de conexión. Calcule la corriente alterna I(t) que entra al circuito. 3. Cuál es la potencia que se disipa en un periódo de la oscilación del voltaje alterno? R R L C