Nueva ley de Lorentz Manuel Hernández Rosales 26 de septiembre de 2013 Abstract En este artículo se propone una modicación a la expresión de la fuerza de Lorentz adecuada para explicar el experimento de Trouton Noble sin hacer uso de la herramienta de la relatividad especial. Introducción. El experimento de Trouton Noble consiste en medir la torca predicha por la electrodinámica clásica sobre dos cargas moviendose con velocidad constante v. Como es bien conocido el resultado de este experimento es que la torca es nula. Y esto se arma en completo acuerdo con la teoría de la relatividad. Si bien el resultado de Trouton-Noble para la teoría de la relatividad debería ser negativo el principio de relatividad no se mantiene en el caso de dos cargas no sujetas entre sí por alguna fuerza mecánica. Como bien se sabe el calculo del campo electrico para la carga e 1 en movimiento se calcula a partir de las ecuaciones de Maxwell que en terminos de sus potenciales son: Haciendo: A 1 c 2 t A = 4π 2 c ρ v ϕ 1 c 2 t ϕ = 4π 2 c ρ (1) 1
A = v c ϕ (2) se obtiene una solución para ambas ecuaciones cuando soluciones la segunda ecuación que aparece en 1. Tomando en cuenta para el potencial escalar: ϕ = v ϕ (3) t tendremos para la segunda ecuacion en 1: (1 v2 ϕ c 2 ) 2 x 2 + 2 ϕ x 2 + 2 ϕ = 4πρ (4) x2 cuya solución es (para una particula puntual, vease [1] pp. 270-273): ϕ(x, y, z) = e 1 x2 + (1 β 2 )(y 2 + z 2 ) (5) donde β = v c. Cuando calculamos la fuerza sobre la segunda partícula que ejerce e 1 tendremos de acuerdo a la expresión de la fuerza de Lorentz que es: F = e 2 ( E 1 + v c B 1 ) = e 2 ( ϕ + v c ( v c ϕ)) = e 2(1 β 2 ) ϕ (6) y ya que de acuerdo a la expresión 5 las supercies donde el potrencial es constante son: x 2 + (1 β 2 )(y 2 + z 2 ) = cte. (7) tendremos que la fuerza es perpendicular a elipsoides como es mostrado en la gura: 2
La torca generada en punto viene dada por la expresión: e 1 e 2 (1 β 2 ) T = r ( r2 ( r ( v/c) 2 ) ) (8) que a primer orden se puede calcular en valor absuluto como: T = e 1e 2 v 2 sen2θ (9) 2rc2 donde θ es el angulo que forma la linea de la segunda particula a la primera respecto a la dirección del movimiento. La explicación al resultado negativo del experimento de Trouton Noble la da la relatividad en estos términos: Debido a que en el experimento las cargas estan sujetas por un objeto mecánico (como una varilla que las conecte): La torca debida a las fuerzas electricas es exactamente compensada por iguales y opuestas torcas debido a fuerzas mecánicas. (vease [1]pp. 397-401). Los detalles de como se explican la presencia de estas fuerzas mecánicas estan bien explicitas en la referencia citada. El punto para nosotros es el siguiente: De acuerdo a un principio de relatividad del movimiento como el que enuncia la relatividad especial la torca no debiera observarse aun si no existiera un mecanismo sujetando las cargas. La fuerza de Lorentz en ese sistema debiera de predecir que las cargas se repelen justamente en la dirección de la linea que la une. Sin embargo al desaparecer el mecanismo las cargas debieran moverse de acuerdo a la ecuación 6 sin estar presente una torza que compense el efecto. Es por ello que se torna adecuado el modicar la expresión de la fuerza de Lorentz de tal modo que el efecto de la torca no se haga presente y reconsiderar los pensamientos asociados al movimiento de particulas para el cálculo de las interacciones entre las partículas electricas. Un principio de inercia para los campos electromagnéticos. Enunciaré un nuevo principio de la relatividad en movimientos inerciales aplicado a los campos electromagnéticos: Un campo electromagnético que no tiene inuencias externas se desplaza por el espacio en movimiento rectilineo uniforme o en reposo respecto de un marco de referencia inercial." Este principio parece de primera vista no generar cambios en la estructura de la teoria electromagnética pues es asumido que la relatividad especial pudiera tener esta consecuencia con su armación de que todos los sistemas inerciales son equivalentes para la formulación de las leyes electromagnéticas. Sin embargo esto no es así. Este principio es contradictorio con el cálculo de los campos electromagnéticos tal como lo propugnan tanto la teoria de la relatividad y la electrodinámica clásica. El principio que enunciamos arma que un campo electromagnético como el asociado a una particula en movimiento con velocidad v debería satisfacer las siguientes ecuaciones: 3
dϕ dt = ϕ t + v ϕ = 0 da dt = ta + v A = 0 (10) (lo cual debe decirse que también aparece en las deducciones de la introducción) Sin embargo, al colocar una particula prueba en el campo de esta particula la fuerza que siente segun la electrodinámica clásica es: F = q( E + v c B) = q( ϕ 1 c t A + v c ( A)) (11) que depende de la velocidad v de la partícula de prueba respecto al observador y no de la velocidad relativa del campo de la partícula generadora del campo con la partícula de prueba. En este punto la electrodinámica clásica como en la mecánica cuántica el observador está metido en la interacción. Debería ser claro que si las dos particulas, la que genera el campo y la de prueba tienen exactamante la misma velocidad lo que se observa es una repulsión entre ellas segun la ley del inverso al cuadrado en el marco de referencia de las partículas y en cualquier marco de referencia inercial. Las razones anteriores nos obligan a modicar la ley de Lorentz por esta otra (Nueva ley de Lorentz): donde F = q( ϕ 1 c d dt A) (12) d dt = t + v q (13) es la derivada direccional con respecto la velocidad de la carga que recibe la interacción del campo externo. De este modo la ecuación 12dá: F = q( ϕ 1 A c t v q c A) = q( ϕ 1 A c t 1 c v q A+ v q c ( A) = q( E+ v q c B 1 c v q A) (14) de acuerdo a la convención de que: E = ϕ 1 c t A (15) B = A (16) Notemos que si la velocidad de la particula de prueba es igual a la de la particula que produce el campo tendremos por 10 que: F = ϕ (17) 4
Y ya que el movimiento de la particula que produce el campo es en realidad es el movimiento del campo electromagnético asociado tendremos: ϕ = que satisface la ecuación primera de 10. Igual que en el caso clásico tendremos que: A = v c ϕ = v c Pero en este caso la fuerza entre las partículas será: e (x vt)2 + y 2 + z 2 (18) e (x vt)2 + y 2 + z 2 (19) e F = r (20) ((x vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 donde r = (x vt, y, z) en perfecto acuerdo con el resultado de Trouton Noble y sin tener que considerar una torca mecánica. Consideraciones acerca de este cambio a la fuerza de Lorentz. El cambio introducido a la fuerza de Lorentz nos obliga a reconsiderar los fenómenos electromagnéticos y el cálculo apropiado para cada situación en términos de que la particula cuando se desplaza con movimiento uniforme desplaza al campo con ella en movimiento también rectilineo uniforme. De este modo el campo deja de estar anclado al observador y nos liberamos de la imagen de que cuando una carga se mueve en movimiento rectilineo uniforme tiene su campo deformado como se hace clasicamente. Lo que queremos decir es que: Debemos de liberarnos de la imagen de que el campo se mueve como consecuencia del movimiento de una partícula sino que es al campo al que se le debe asignar el movimiento y la partícula electrica es simplemente la región donde la divergencia del campo electrico es distinto de cero. Despues de todo cual es la imagen que podemos tener de la partícula libre de la información que tenemos de su interacción? Esto como se dará cuenta el lector es justamente contrario a la opinión de Einstein que armaba que no se le puede asignar un vector velocidad al campo. Yo armo justamente lo contrario. El vector velocidad debe asignarse al campo y esto tiene como consecuencia que en las interacciones entre particulas (o entre sus campos) solo tenga que ver las posiciones y velocidades relativas. Esto es: se sostiene el principio de relatividad para fenomenos electromagnétricos con la asignación de un vector velocidad al campo. Este esfuerzo de cambiar el punto de vista proviene del hecho de liberar toda ley física del inujo del observador. Los fenómenos son lo que son independientemente de quien los observe y solo depende de los agentes involucrados en la interacción. 5
References [1] Becker, Electromagnetic elds and interactions, Dover 6