Olimpiada Estatal de Matemáticas 2014 Primer problemario A continuación, presentamos una serie de 60 problemas de opción múltiple, que son parte de los temas que se presentan en los exámenes de la 1ra, 2da y 3ra etapa de la Olimpiada Estatal de Matemáticas. Para resolverlos, son suficientes los conocimientos adquiridos hasta tercero de secundaria. Sin embargo, requieren de una gran cantidad de ingenio. 1. La suma de todos los enteros entre 50 y 350, los cuales terminan en 1, es: (a) 5880 (b) 5208 (c) 4877 (d) 4566 2. El arco es un cuarto de una circunferencia de centro y radio 10 cm. Los arcos y son semicircunferencias. Cuál es el área de la región sombreada? 3. Consideremos los números de 5 cifras formados por los dígitos 1 y 2. En cuántos de ellos aparece el 1 más veces que el 2? (a) 20 (b) 16 (c) 32 (d) 18 4. Cuántos de los siguientes 60 números son múltiplos de 60? (a) 18 (b) 30 (c) 15 (d) 12 5. Observé la hora un poco después de la 6 AM y las agujas formaban un ángulo de. Volví a Observarla antes de las 7 AM y nuevamente se formaba un ángulo de. Cuántos minutos habían pasado? (a) 40 (b) 30 (c) 60 (d) 45 6. En la figura, el rectángulo está en el interior de la circunferencia de tal manera que el vértice B es el centro de la circunferencia. Si y cuánto mide su diámetro?
(a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 12 7. Pablo eligió tres dígitos distintos y escribió todos los números de 3 cifras que se forman con ellos (sin repeticiones). Después sumó todos los números que obtuvo. Encuentra la suma de Pablo, sabiendo que la suma de los dígitos originales es 14. (a) 4662 (b) 4800 (c) 3108 (d) 3200 8. Un triángulo rectángulo de catetos 12 y 16 está inscrito en una circunferencia. Cuál es el radio de dicha circunferencia? (a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 12 9. En un número de tres cifras, la suma de las mismas es 18. La cifra de las unidades es el doble de las decenas. Por último, la diferencia que se obtiene restando el número dado y el formado al invertir el orden de sus cifras es 297. Cuál es el número inicial? (a) 684 (b) 648 (c) 936 (d) 963 10. Por cuál número se debe sustituir la letra para que el número sea divisible entre 4? (a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 8 11. Tres cuadrados cuyos lados tienen longitud: 10 cm, 8 cm y 6 cm, respectivamente, se colocan uno al lado del otro como se muestra en la siguiente figura. Cuál es el área de la parte sombreada?
12. Juan ha decidido repartir 35 canicas entre sus primos. Si nadie puede tener la misma cantidad de canicas, cuál es la máxima cantidad de primos a los que les puede repartir sus canicas? (a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 9 13. Cuál es la suma de los dígitos del número (a) 13 (b) 14 (c) 15 (d) 2014 14. Cuántos números hay entre 100 y 300 (sin contar el 100 y el 300) que no sean divisibles entre 3 ni entre 5? (a) 106 (b) 107 (c) 108 (d) 140 15. Cuánto es? 16. Evaristo quiere formar 2 números de 5 cifras usando cada uno de los dígitos 0,1,2,3,3,5,7,8,8,9 solamente una vez, de tal manera que cuando al número formado mayor, se le reste el otro, la diferencia sea la menor posible. Cuánto valdrá dicha diferencia? (a) 28 (b) 14 (c) 7 (d) 4 17. Isaac quiere escribir los números del 1 al 12 en un círculo de forma que cada dos números consecutivos difieran por 2 o por 3. Cuáles de los siguientes números deben estar juntos? (a) 5 y 8 (b) 6 y 8 (c) 3 y 5 (d) 7 y 9 18. Cuántos números primos de 2 cifras cumplen con la propiedad de que los dos dígitos que lo conforman difieren entre sí por 2 unidades? (a) 2 (b) 6 (c) 4 (d) 8 19. En cada partido de fútbol de un torneo, se le otorgan 3 puntos al ganador, 0 al perdedor, y 1 a cada equipo en caso de empate. En 38 partidos, el equipo Atlético del Cubo sumaba 80 puntos. Cuál es el máximo número de partidos que pudieron haber perdido? (a) 9 (b) 10 (c) 11 (d) 12
20. 4 triángulos isósceles rectos del mismo tamaño se recortan de cada una de las esquinas de un cuadrado de lado 10 como se muestra en la figura. Cuánto tiene que medir la hipotenusa de los triángulos que se quitaron para que la suma de sus perímetros sea igual al perímetro de la figura que quedo después de recortar el cuadrado? (a) 5 (b) 2.5 (c) 2 (d) 2.75 21. Encuentre el número que está en el lugar número 100 de la siguiente sucesión: 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7,... (a) 10 (b) 7 (c) 14 (d) 19 22. Cuántos números de cuatro dígitos existen que tengan al 1 como primer dígito y con al menos tres dígitos iguales? (a) 9 (b) 27 (c) 37 (d) 42 23. En un cajón hay 1 papelito rojo, 2 verdes, 3 amarillos y 4 azules. Un jugador va a extraer papelitos sin ver y sin regresarlos. Cuántos necesita extraer para garantizar que obtiene tres de colores distintos? (a) 3 (b) 4 (c) 8 (d) 10 24. Cuántos dígitos tiene el número? (a) 9 (b) 12 (c) 60 (d) 100 25. Alex no hizo su tarea, por lo que su profesor de castigo le pidió escribir todos los números del 1 al 2014. Si Alex sí cumplió con el castigo, cuántas veces escribió el dígito 1? (a) 2014 (b) 2237 (c) 1607 (d) 1835 26. Si hoy es viernes 14 de febrero de 2014, cuándo volverá a ser viernes 14 de febrero? (a) 2019 (b) 2020 (c) 2021 (d) 2022
27. En el triángulo,, y es un punto sobre el segmento tal que y. El ángulo mide: (a) 45 (b) 50 (c) 55 (d) 60 28. Para qué entero positivo n se satisface la ecuación siguiente? (a) 2003 (b) 2004 (c) 2005 (d) 2006 29. Inicialmente, las casillas 1 y 3 del tablero mostrado están pintadas de blanco, mientras que las casillas 2 y 4 están pintadas de negro. Cada determinado tiempo, una de las casillas cambia su color al color opuesto. Si las casillas cambian en este orden: 1,2,3,4,1,2,3,4, etcétera, Cuál será el aspecto del tablero después del cambio número 2013? 30. Israel, David, Gonzalo, Gerardo, Iván y Mario se sentaron alrededor de una mesa circular en un restaurante. Ni Israel, ni Gerardo, ni Mario se sentaron junto a otro de ellos tres. Además, los nombres de cualesquiera dos personas que estaban sentadas juntas empezaban con letras distintas. Quién estaba sentado en la posición opuesta a Mario? (a) David (b) Gonzalo (c) Gerardo (d) Iván 31. Cuántas cantidades diferentes de dinero puedes pagar con cambio exacto si tienes 2 monedas de $1 y 2 monedas de 50 centavos?
(a) 1 (b) 3 (c) 6 (d) 7 32. Cuántos números enteros positivos son múltiplos de 5, pero no de 3 y son menores que 1000? (a) 134 (b) 133 (c) 67 (d) 200 33. Se quiere partir un pastel cuadrado en 52 pedazos con cortes rectos que lo atraviesen por completo y que sean paralelos a sus lados. Cuántos cortes hay que hacer, por lo menos? (a) 12 (b) 13 (c) 15 (d) 14 34. Abajo se muestra una cuadrícula en la cual se pintaron 3 renglones y 4 columnas de gris. Las casillas que se pintaron dos veces de gris se volvieron negras. Si en una cuadrícula más grande se pintan de gris 23 renglones y 31 columnas, cuántas casillas negras habrá? (a) 54 (b) 64 (c) 713 (d) 800 35. Utilizando dos piezas como ésta cuál de las figuras de abajo no se puede formar, dado que las piezas se pueden rotar, pero no voltear? 36. Cuántos números enteros existen tales que es un número entero? (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 8
37. Se vende el 20% de una finca de 40 hectáreas, se alquila el 50% del resto y se cultiva el 25% del nuevo resto. Hallar la proporción cultivada. (a) 4.5 hectáreas (b) 10 hectáreas (c) 2 hectáreas (d) 8 hectáreas 38. Cuántas veces aparece el factor 2 en la descomposición en primos de (a) 2011 (b) 2012 (c) 2013 (d) 2014 39. Un virus atacó el disco duro de una computadora. El primer día destruyó dos terceras partes, el segundo día, de lo que quedó destruyó una cuarta parte, finalmente el tercer día destruyó la quinta parte de lo que quedaba. Qué fracción del disco duro quedó sin dañar? 40 Los números positivos, satifacen las siguientes relaciones: Hallar 41. Cierto profesor de matemáticas realiza 5 exámenes a lo largo del año, en cada uno otorga a sus alumnos como calificación un entero entre 0 y 10. Cuál es el menor promedio que pudo haber obtenido Max, si, con tan sólo conocer este promedio, su mamá supo que su hijo había obtenido 10 en al menos dos de los exámenes? 42. Una recta parte al rectángulo como se muestra. Si el segmento mide 3 y el segmento mide 2, cuánto vale la longitud de menos la longitud de?
43. Compré un costal lleno de alpiste para alimentar a mi canario. El primer día mi canario se comió la mitad del total de alpiste. El segundo día se comió una tercera parte de lo que quedaba, y por último, el tercer día, se comió un cuarto del sobrante. Del total de alpiste que había en el costal, qué fracción queda? 44. Si, entonces el valor de es: 45. En la figura, los triángulos y son idénticos. Si el y el, cuánto mide el? (a) 29 (b) 31 (c) 38 (d) 39 46. En la siguiente figura, si ambos triángulos son equiláteros, Cuánto vale el ángulo? (a) 15 (b) 30 (c) 40 (d) 55 47. Luis y Estefanía cortaron a la mitad dos rectángulos iguales. Estefanía obtuvo dos rectángulos de 40 cm de perímetro cada uno, mientras que Luis obtuvo dos rectángulos con 50 cm de perímetro cada uno. Cuál era el perímetro de los rectángulos originales? (a) 40 (b) 60 (c) 80 (d) 100
48. Mi reloj digital marca ahora las 20:12 Dentro de cuantos minutos mi reloj volverá a mostrar los dígitos 0, 1, 2 y 2, en algún orden? (a) 45 (b) 50 (c) 55 (d) 60 49. El promedio de 5 números es igual a 40. Si retiramos 2 de estos números, el promedio de los 3 restantes es 36. Cuál es el promedio de los 2 números que fueron retirados? (a) 38 (b) 46 (c) 42 (d) 39 50. Cuántos números de cuatro dígitos existen tales que el digito de las unidades es igual al digito de las decenas más el digito de las centenas? (a) 495 (b) 490 (c) 505 (d) 500 51. Cuál es el área de un rombo de lado 13 cm tal que la suma de sus diagonales es 34 cm? 52. Cuántos son los números naturales tales que ningún digito es 1 y el producto de sus dígitos es 48? (a) 42 (b) (c) (d) 53. En la siguiente figura cuánto vale el ángulo, si las rectas y son paralelas? 54. Con los dígitos 1, 2, 4, 6 y 8 sin repetir, cuántos números pares de cuatro dígitos y mayores que 4,500 se pueden formar? (a) 60 (b) 44 (c) 36 (d) 24 55. Un autobús escolar con capacidad para 36 personas, en su primera parada recoge a un estudiante; en la segunda recoge dos; en la tercera, tres, y así sucesivamente. Si ningún estudiante se baja del autobús, en qué parada se llenará el autobús? (a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10
56. Los valores de x para los cuales se cumple la siguiente desigualdad son: 57. Los números y, son distintos y satisfacen la siguiente igualdad: Determine el valor de 58. Encuentra el valor de 59. Sea un rectángulo de base y altura. Si y son los puntos medios de y, respectivamente, determina el área del cuadrilátero. 60. Diga cuál es el dígito de las unidades de (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3