1.3. Principios del Análisis Real En este tema recogemos lo que bajo el nombre de Principios se presenta como herramienta esencial en nuestro camino. 1.3.1 Principio de Inducción Con este principio vamos a introducir el bien conocido conjunto Í de los números naturales. Lo haremos introduciendo una muy útil definición, la de conjunto inductivo, que dará nombre a un método de demostración que usaremos cada vez que queramos probar un resultado que involucre fórmulas donde aparezcan números naturales. Definición 1 Sea A un cto de números reales. Se dice que A es inductivo si se verifican las dos condiciones siguientes i) 1ŒA, y ii) Si xœa, x entonces x+ 1ŒA1
Definiciones Definición 2 Llamamos cto Í de los números naturales al cto intersección de todos los subctos inductivos de Ñ, es decir: Í:=»{AÕ Ñ / A es inductivo} Í es inductivo, aunque lo realmente importante es que Í es el cto inductivo más pequeño; eso es lo que nos dice la siguiente Proposición 1 Si A es un cto inductivo tal que AÕ Í, entonces A= Í La prueba es evidente, puesto que por ser Í inductivo, se tiene que Í Œ A. Teniendo esto en cuenta, obtenemos un principio, el cual nos proporciona un método matemático para demostrar la validez de una propiedad para todo número natural Página 2
Principio de Inducción Principio de Inducción Supongamos que para cada natural n podemos enunciar una proposición p(n) Entonces, si p(1) es verdadera y la veracidad de p(n) implica la veracidad de p(n+1) tendremos que p(n) es cierta para todo n natural Por ejemplo Ñ y Ñ + son inductivos, mientras que Ñ - y Ñ * no lo son La función potencia real de exponente natural (Fotocopias) Corolario 1 i) n 1, para todo nœí ii) Dados m,nœí se tiene que m+n,mnœí iii) nœífi-nœí iv) Si nœí y 1/nŒÍ fin=1. v) Si nœí y nπ1fin-1œí vi) Dados m,nœí se tiene que n<m m-nœí vii) Dados m,nœí se tiene que n<m n+1 m Página 3
Principios de Arquímedes y Buena Ordenación 1.3.2 Principio de Arquímedes El cto Í de los números naturales no está mayorado, es decir, dado x ŒÑ, existe nœí tal que x<n. Presentamos ahora otro resultado relativo a Í de crucial importancia : Í es discreto, esto es, cada número natural tiene su siguiente a salto de uno, es lo que viene a decir la siguiente proposición: Proposición: Si nœí y x ŒÑ es tal que n<x<n+1fixœí. 1.3.3. Principio de la Buena ordenación Todo cto no vacío de números naturales tiene mínimo. Página 4
1.4. Conjuntos distinguidos En este tema recogemos contenidos que amplian la gama de conjuntos de números reales que son de interés por sí mismos. Llamamos conjunto Ù de los números enteros al conjunto Ù:=Í«{-n:nŒÍ}«{0} Es fácil probar que la diferencia de dos números naturales es siempre un número entero y que, recíprocamente, todo número entero se puede expresar como diferencia de dos naturales. Esta forma de expresar los números enteros es útil para probar el siguiente resultado: Página 5
Proposición Si pœ Ù fi -pœ Ù i) La suma y el producto de dos numeros enteros son números enteros. iii) Si pœ Ù\{0} y p -1 Œ Ù, entonces p=1 ó p=-1. iv) Ù no tiene ni máximo ni mínimo v) p, qœ Ù con p<qfip+1 q vi) Todo cto de números enteros no vacío y mayorado (resp. minorado) tiene máximo (resp. mínimo). Vemos tb que el orden de los enteros es discreto, como cabía esperar en vista de su definición a partir de los naturales. Página 6
Definición (Potencias de exponente entero) Sea x un número real. Las potencias de exponente natural de x vienen dadas por recurrencia del siguiente modo: x 1 =x,,x n+1 =x n x, para todo n natural Si xπ0, definimos además x 0 =1 y x -n =1/x n para todo n natural. Es inmediato a partir de esta def. que para cualesq. x en Ñ* y pœ Ù, se verifica que x p =1/x -p. Propiedades de las potencias de exponente entero Sean x,y en Ñ* y p,q Œ Ù. Entonces i) x p+q =x p x q ii) (xy) p =x p y p iii) (x/y) p =x p /y p iv)(x p ) q =x pq =(x q ) p. Si x,y ŒÑ + y p ŒÍ, se tiene además v) x<y x p <y p vi) Finalmente, para x>1: p<q x p <y q Página 7
La función parte entera Llamamos función parte entera a la función f de Ñ en Ù dada por E(x):={kŒ Ù :k x} Llamamos cto Ð de los números racionales al cto Ð:= {x ŒÑ tal que x=p/q con pœ Ù y qœí} El orden de los racionales no es discreto y existen muchos racionales que no son enteros Ð es un cuerpo conmutativo ordenado (con las operaciones y la relación heredada de Ñ ). Además, ÍÃÙÃÐÃÑ. Sabemos que las dos primeroas inclusiones son estrictas. Para comprobar la tercera hacemos uso del axioma del supremo. Dedicamos el resto del tema a poner de manifiesto que Ñ es más grande que Ð Página 8
Es fácil comprobar que no existe un número racional r tal que r 2 =2. En cambio, el axioma del Supremo permite probar que la situación es muy distinta en el caso real: Proposición Sea a ŒÑ, con a 0, y sea n un natural. Entonces existe un único número real x 0 tal que x n =a. El real x se llama raiz n-ésima no negativa de a y se denota por n a o bien a 1/n. Dados dos números reales no negativos a y b se tiene que ab= a b Es obvio, que cualquiera que sea n natural, la raiz n-ésima de cero es cero, y la de 1 es 1. Por otro lado, dado a Ñ + 0, costumbre en lugar de Ya tenemos garantizada la existencia de números reales que no son racionales. Tal es el caso de 2 2 1 a = a a = a es Página 9
Proposición i) Existe un número real positivo x tal que x 2 =2. Este número se notará por 2 ii) 2œÐ Estamos en condiciones de afirmar que los Irracionales son muy abundantes. Piensese que La suma de racional +irracional=irracional, y el producto de un Racional (π0) Irracional=irracional La primera parte del siguiente enunciado nos habla tb de la abundancia de irracionales Teorema Sean x e y dos números reales tales que x<y. Entonces i) Existe un número irracional a tal que x< a <y. ii) Existe un número racional r tal que x< r <y. Solemos referirnos al contenido del Teorema anterior diciendo que los ctos Ñ y Ñ\Ð son densos en Ñ Página 10
Definición Llamamos un intervalo cerrado y acotado de extremos a y b, con a y b en Ñ y a b, al conjunto siguiente : [a,b]:={xœñ ; a x b} Además de éstos existen otros de la forma : [a,b[:={xœñ ; a x<b} ]a,b]:={xœñ ; a<x b} ]a,b[:={xœñ ; a<x<b} ]-,a]:={xœñ ; x a} ]-,a[:={xœñ ; x<a} [a, + [:={xœñ ; a x} ]a, + [:={xœñ ; a<x} Intervalo semiabierto a derecha de extremos a y b Intervalo semiabierto a izquierda de extremos a y b Intervalo abierto de extremos a y b Semirrecta cerrada de extremo a Semirrecta abierta de extremo a Semirrecta cerrada de origen a Semirrecta abierta de origen a Ejemplos: Ñ + 0:= [0, + [, Ñ - 0:= ]-,0] Ñ + := ]0, + [, Ñ - := ]-,0[ Página 11