Tema 3. Desarrollos Cilíndricos

Tema 3. Desarrollos Cilíndricos Alejandra Staller Vázquez a.staller@upm.es 1 TEMA 3.. 3.1. Desarrollos Cilíndricos Directos. a) Con Modelo de Tierra Esférica. 1. D.C.D. Equidistante de Meridianos Automecoicos. 2. D.C.D. Equivalente de Lambert. 3. D.C.D. Conforme de Mercator. b) Con Modelo de Tierra Elipsoidal. 1. D.C.D. Equivalente de Lambert. 2. D.C.D. Conforme de Mercator. 3.2. Desarrollos Cilíndricos Transversos. a) Universal Transversa de Mercator (U.T.M.) 2 1

Desarrollo: se obtiene al considerar una figura geométrica auxiliar tangente o secante a la esfera que pueda convertirse después en un plano; es decir, que sea desarrollable. Proyecciones cilíndricas: Utilizan el cilindro como figura de proyección, tangente o secante a la esfera o elipsoide, estableciendo análogamente entre los puntos de la esfera o elipsoide y el cilindro una correspondencia biunívoca. Ejemplos de esta proyección son: Proyección Mercator Proyección Transversa de Mercator (Proyección UTM). Proyección oblicua de Mercator. Proyección cilíndrica equivalente (Proy. de Peters). Proyección cilíndrica equidistante. Proyección cilíndrica de Miller. Proyección de Cassini. 3 Tipos de desarrollos cilíndricos Proyecciones analíticamente secantes (artificio de Tissot). Cilindro secante a la superficie de referencia (esfera o elipsoide). Reduce las deformaciones en los extremos de la representación. No altera la naturaleza de la proyección. 4 2

3.1. Desarrollos Cilíndricos Directos. a) Con Modelo de Tierra Esférica. 1. D.C.D. Equidistante de Meridianos Automecoicos. 2. D.C.D. Equivalente de Lambert. 3. D.C.D. Conforme de Mercator. b) Con Modelo de Tierra Elipsoidal. 1. D.C.D. Equivalente de Lambert. 2. D.C.D. Conforme de Mercator. 5 Desarrollos Cilíndricos Directos 6 3

Proyección Cilíndrica Equidistante Proyección cilíndrica directa => el cilindro directo es tangente en el Ecuador a la superficie de referencia (esfera). Proyección Cassini => Proyección cilíndrica transversa equidistante. Proyección usada sólo con modelo de tierra esférica. Se puede utilizar el Artificio de Tissot, por lo que se generan dos paralelos fundamentales automecoicos. Sólo uno de los paralelos es especificado, el otro paralelo fundamental (o estándar) es el mismo pero con latitud de signo opuesto (simetría con respecto al Ecuador). Se puede tomar cualquier paralelo como fundamental, normalmente se toma el paralelo de latitud 30. Proyección Equidistante de Meridianos Automecoicos, conserva las distancias a lo largo de los meridianos (y el Ecuador o los paralelos fundamentales), por lo tanto el módulo de deformación lineal de estas líneas es igual a la unidad. Proyección no conforme ni equivalente. 7 Proyección Cilíndrica Equidistante x x R y R y R 8 4

Proyección Cilíndrica Equidistante Existe simetría en la proyección respecto a cualquier meridiano o el Ecuador. Meridianos y paralelos son perpendiculares y representados por líneas rectas paralelas con la misma separación. Los Polos son representados por líneas rectas delamismalongitudqueelecuador. Esta proyección fue usada por primera vez por Marinus de Tyre sobre el 100 d.c. Otros nombres para esta proyección incluyen Equirectangular, Rectangular, Proyección de Marinus. 9 Proyección Cilíndrica Equidistante Los paralelos son líneas isométricas. El módulo de deformación lineal es constante a lo largo de cualquier paralelo. La distorsión de las formas y de las áreas incrementa a medida que nos separamos del Ecuador o de los paralelos fundamentales. 10 5

Desarrollo Cilíndrico Equivalente Proyección cilíndrica => el cilindro puede ser directo, transverso u oblicuo respecto a la superficie de referencia (esfera o elipsoide). Lasproyeccionesdirectaytransversafueron presentadas por Lambert en 1772 (de aquí que se las denomine Proyección cilíndrica equivalente de Lambert). Se puede utilizar el Artificio de Tissot, el cilindro directo será secante a la superficie de referencia (esfera o elipsoide), por lo que se generan dos paralelos fundamentales (o estándar) automecoicos. Sólo uno de los paralelos es especificado, el otro paralelo fundamental es el mismo pero con latitud de signo opuesto (simetría con respecto al Ecuador). En este caso la proyección se llama sólo Proyección Cilíndrica Equivalente (p.e. Proyección de Behrmann, paralelo fundamental 30ºN). Proyección equivalente, conserva las áreas, sin embargo, la distorsión de las formas aumenta a medida que nos separamos del Ecuador (o de los paralelos fundamentales en el caso de cilindro secante). Es una proyección ortográfica de la esfera o elipsoide dentro de un cilindro. 11 Desarrollo Cilíndrico Equivalente de Lambert Proyección Cilíndrica Directa. El cilindro directo es tangente en el Ecuador a la superficie de referencia (esfera o elipsoide), el Ecuador es automecoico (no hay deformación lineal a lo largo del Ecuador). xx R yy R sen sen R R 12 6

Desarrollo Cilíndrico Equivalente de Lambert Proyección no conforme ni equidistante. Existe simetría en la proyección respecto a cualquiermeridiano o el Ecuador. Los Polos son representados por líneas rectas de la misma longitud que el Ecuador. Los Meridianos son representados por líneas rectas paralelas con la misma separación. Los Paralelos son representados por líneas rectas paralelas cuya separación va disminuyendo a medida que nos acercamos a los polos y perpendiculares a los Meridianos. 13 Desarrollo Cilíndrico Equivalente de Lambert Los paralelos son líneas isométricas (la deformación a lo largo de los paralelos es constante). La deformación lineal a lo largo de los meridianos es inversa aladeformación lineal a lo largo de los paralelos (para que la proyección sea equivalente). La distorsión linealy de lasformas incrementaamedida que nos separamos del Ecuador. 14 7

Proyección cilíndrica directa equivalente. Proyección de Peters Mantiene la propiedad de áreas iguales pero cambia la forma. Aplica un escalamiento extra a lo largo de los paralelos (0,5) y a lo largo de los meridianos (2). Usada con frecuencia por organizaciones internacionales que muestran los países del mundo en sus tamaños relativos correctos. 15 Proyección de Behrmann Proyección cilíndrica equivalente. Cilindro secante, paralelos estándar 30º. Distorsión aumenta a medida que me separo de ambos paralelos. Paralelos estándar son automecoicos.. 16 8

Proyección de Behrmann 17 Proyección Mercator Proyección cilíndrica directa => el cilindro directo es tangente en el Ecuador a la superficie de referencia (esfera o elipsoide). La Mercator es una proyección cuya solución es matemática, aunque tiene origen cilíndrico. No es una proyección perspectiva. Proyección conforme, conserva los ángulos. La Proyección Conforme de Mercator toma como paralelo de tangencia por defecto el Ecuador. Se puede utilizar el Artificio de Tissot, el cilindro directo será secante a la superficie de referencia (esfera o elipsoide), por lo que se generan dos paralelos fundamentales automecoicos. Buena representación de regiones ecuatoriales. Proyección muy útil en navegación, loxodrómicas son representadas por líneas rectas. Presentada por Mercator en 1569. 18 9

Proyección Mercator x f ( ) y g( ) x R y R R Ln tg 2 4 19 Proyección Mercator Latitud Creciente, Isométrica o de Mercator: Variable que depende de. Elimina una deformación angular. La separación entre paralelos aumentaamedidaqueaumenta. Mapas de latitudes crecientes. d d r 1 d d cos 20 10

Proyección Mercator Proyección ni equidistante, ni equivalente. Los Meridianos son representados por líneas rectas paralelas con la misma separación. Los Paralelos son representados por líneas rectas paralelas y perpendiculares a los Meridianos cuya separación aumenta a medida que aumenta la latitud. El polo es de tamaño infinito y a una distancia infinita del Ecuador => Los Polos no se pueden representar, ni latitudes mayores a 86º N o S. Existe simetría en la proyección respecto a cualquier meridiano o el Ecuador. 21 Proyección Mercator El módulo de deformación lineal es independiente de la dirección. La deformación lineal en cualquier punto y en cualquier dirección es función de la latitud. Los paralelos son líneas isométricas. La deformaciónaumentaamedidaque nos separamos del Ecuador (o de los paralelos fundamentales en el caso de cilindro secante). Gran distorsión de áreas en regiones polares (Groenlandia es representada más grande que América del Sur, cuando ésta es ocho veces más pequeña). 22 11

La ortodrómica (geodésicaocírculomáximo), ruta más corta entre dos puntos, será proyectado en la mayoría de los casos, como una línea curva (excepto Ecuador y Meridianos). La diferencia entre el recorrido de la loxodrómica y de la ortodrómica es más acusado en zonas próximas a los polos (más de 80º) => Uso de otra proyección. Proyección Mercator La Proyección Mercator tiene la especial característica de representar todos los rumbos o líneas de acimut constante (loxodrómicas, líneas que cortan con igual ángulo a los meridianos) como líneas rectas, lo que la hace excelente para propósitos de navegación. x Az arctan y M 2 M1 s cos Az Una línea dibujada entre dos puntos sobre el mapa, tiene un ángulo constante con respecto a los meridianos (el azimutal del norte), y se puede leer directamente del mapa. Este es entonces el azimutal que debe seguirse al navegar entre los dos puntos. Sin embargo, la loxodrómica no es la ruta más corta entre los puntos debido a la variación del factor de escala dentro de la proyección. 23 3.2. Desarrollos Cilíndricos Transversos. a) Universal Transversa de Mercator (U.T.M.) 24 12

Proyección Cilíndrica Transversa Equivalente de Lambert Proyección no conforme ni equidistante. Meridiano central o de tangencia, meridianos 90º respecto al meridiano central y Ecuador, son líneas rectas. Otros meridianos y paralelos son curvas complejas. La escala se conserva en el meridiano central. Las proyecciones directa y transversa fueron presentadas por Lambert en 1772 (de aquí que se las denomine Proyección cilíndrica equivalente de Lambert) 25 Proyección Transversa de Mercator Representación de partes de la tierra que no están cercanas al Ecuador. Proyección cilíndrica transversa => el cilindro transverso es tangente a un meridiano central de la superficie de referencia (esfera o elipsoide). Proyección Conforme. Casos particulares de TM: Proyección Gauss Krüger y Proyección Universal Transversa de Mercator. Se usa más generalmente para una banda estrecha (de 1,5º o 3º a cada lado del meridiano central). Usada extendidamente en mapas de escalas entre 1/25.000 y 1/250.000. Ampliamente utilizada y apropiada para regiones con una gran extensión norte sur pero poca extensión este oeste. Utilizada por muchos países como sistema de representación nacional. Presentada por Lambert en 1772. 26 13

Proyección Transversa de Mercator El factor de escala en cada punto es el mismo en cualquier dirección. Meridiano central, meridianos de 90º respecto al meridiano central y Ecuador son representados como líneas rectas. El resto de meridianos y paralelos son representados como curvas complejas. En cualquier otro punto, el meridiano forma un ángulo con el meridiano central (el cual está también en la dirección del norte de la rejilla) denominado convergencia. Distorsión en distancias y áreas aumenta a medida que nos separamos del meridiano central. 27 14