1.2 ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE Milena R. Salcedo Villanueva Copyright Cengage Learning. All rights reserved.
OBJETIVOS Identificar diferentes tipos de ecuaciones Resolver ecuaciones lineales en una variable. Resolver ecuaciones que conduzcan a ecuaciones lineales. Encontrar interceptos en eje x y y en gráficas y algebraicamente Usar ecuaciones lineales para modelar y resolver problemas de la vida real. 2
Ecuaciones y solución de ecuaciones Una ecuación algebraicas. es una igualdad entre dos expresiones Por ejemplo: 3x 5 = 7, x 2 x 6 = 0, y 2x = 4 Son ecuaciones 3
Ecuaciones y solución de ecuaciones Una solución de una ecuación algebraica es un valor que satisface la ecuación. Ejemplos: 1 es una solución de la ecuación x 2 = 1 porque 1 2 = 1 1 es una solución de la ecuación x 2 = 1 porque 1 2 = 1 x = 4 es una solución de la ecuación 3x 5 = 7 porque 3 4 5 = 7 es un enunciado verdadero 4
Ecuaciones y solución de ecuaciones El conjunto de todas las soluciones se le conoce como conjunto solución. Ejemplo: 1,1 es el conjunto solución de x 2 = 1 El proceso de encontrar soluciones se conoce como resolver una ecuación. Veámos algunas propiedades de igualdad que son utiles para resolver ecuaciones 5
Ecuaciones y solución de ecuaciones La idea se basa en encontrar ecuaciones algebráicas equivalentes. Hay dos propiedades básicas: 1. Al adicionar o sustraer la misma expresión a ambos lados de la ecuación obtenemos una equivalente: A x = B x A x ± C x = B x ± C(x) 2. Multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por la misma cantidad distinta de cero obtenemos una equivalente: A x = B x A x C x = B x C x A x = B x A x C x B x = C x con C(x) 0 6
Ecuaciones y solución de ecuaciones Las soluciones de una ecuación dependen del conjunto numérico considerado Por ejemplo, en el conjunto de los numeros racionales la ecuación x 2 = 10 no tiene solución por que al resolver la ecuación los valores de x no pertenecen a los números racionales. Si consideramos el conjunto de los reales, la ecuación x 2 + 1 = 0, tampoco tendría solución en los reales. 7
Ecuaciones y solución de ecuaciones Una ecuación que se cumple para cualquier número real en el dominio de las variables se conoce como identidad identidad. Por ejemplo: x 2 9 = (x + 3)(x 3) es una identidad x = 1 3x 2 3x, donde x 0, es una identidad porque se cumple o es cierta para cualquier número real diferente de cero 8
Ecuaciones y solución de ecuaciones Una ecuacion que es cierta para algunos (o ningún) números reales en el dominio de la variable es llamada ecuacion condicional. Por ejemplo: La ecuación x 2 9 = 0, es condicional porque solo satisface la ecuación cuando x = 3 y x = 3 La ecuación 2x 4 = 2x + 1,es condicional porque no hay ningún número real que satisfaga la ecuación. 9
Ecuaciones lineales en una variable 10
Ecuaciones lineales en una variable Una ecuación lineal en una variable x es una ecuación que puede ser escrita en la forma estandar ax + b = 0 donde ambos a y b son números reales y x es una variable. Ejemplos - lineal: Ejemplos de no lineal: 1. 2x + 1 = 0 1. 2x 2 = 1 2. 2x 2 = πx + 1 2. 1 x = 2 3. 1 5 x 0.25 = 3.75 3. x 1 = 0 11
Ecuaciones lineales en una variable Una ecuación lineal tiene exactamente una solución. Para verificar esto considere los siguientes pasos (recuerde que a 0) ax + b = 0 Ecuación original ax = b Restando en ambos lados por b. x = b a dividiendo ambos lados por a 12
Ecuaciones lineales en una variable 13
Ejemplo Resolviendo ecuaciones lineales a. 3x 6 = 0 3x = 6 x = 2 Ecuación original Adicionando 6 en cada lado Dividiendo por 3 cada lado. b. 5x + 4 = 3x 8 5x 3x + 4 = 8 2x = 8 4 x = 12 2 = 6 Ecuación original Restando 3x de cada lado. Restando 4 de cada lado. Dividiendo cada lado por 2 14
Ejemplos Usar las propiedades de igualdad de números reales para resolver la ecuación. 15
Ejemplos Usar las propiedades de igualdad de números reales para resolver la ecuación. 16
Eecuaciones lineales que envuelve expresiones racionales. Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales y 17
Ecuaciones lineales que envuelven expresiones racionales Para resolver una ecuación lineales que envuelven expresiones racionales, se encuentra el mínimo común múltiplo entre los denominadores (LCD) de todos los términos y multiplicamos cada término por el LCD. 18
Ejemplo Una ecuación lineal que envuelve expresiones racionales Resolver x 5 + 3x 2 = 2 Solución: x 5 + 3x 2 = 2 Ecuación original. 10 x 5 + 10 3x 2 = 10 2 2x + 15x = 20 17x = 20 Multiplicando cada término por el MCD=10 Divide y multiplica. Reduce términos semejantes x = 20 17 Divide cada lado por 17. 19
Ejemplo Una ecuación que envuelve expresiones racionales Resolver Solución: x 3 + 3x 4 = 2 x 3 + 3x 4 = 2 Ecuación original. 12 x 3 + 12 3x 4 = 12 2 4x + 9x = 24 13x = 24 Multiplicando cada término por el LCD=12 Divide y multiplica. Reduce términos semejantes x = 24 13 Divide cada lado por 13. 20
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Ecuaciones racionales que conducen a ecuaciones lineales Para resolver una ecuación lineales que envuelven expresiones racionales, se encuentra el mínimo común múltiplo entre los denominadores (LCD) de todos los términos y multiplicamos cada término por el LCD. Al final siempre se verifica la solución obtenida, por que este valor encontrado puede ser o no solución de la ecuación. 22
Ejemplo 23
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