UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD DE UN SERVOMOTOR UTILIZANDO EL DISEÑO DE UN COMPENSADOR DE RETARDO- ADELANTO TESIS Que para obtener el título de: INGENIERO MECÁNICO ELECTRICISTA PRESENTA: JUAN DANIEL ZARAGOZA GARCÍA DIRECTOR: MTRO. MARCOS GUSTAVO CASTRO XALAPA, VER. NOVIEMBRE 2014

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AGRADECIMIENTOS: Gracias a todos aquellos que me apoyaron y que estuvieron siempre conmigo, a mis maestros que nunca se dieron por vencido, a mis compañeros que siempre estuvieron en las buenas y en las malas y a mis padres por darme todo su esfuerzo. 2 P á g i n a

Contenido TABLA DE ILUSTRACIONES... 5 INTRODUCCIÓN... 8 HIPÓTESIS... 10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL... 11 1.1 INTRODUCCIÓN... 11 1.2 ELEMENTOS EN UN SISTEMA DE CONTROL... 11 1.3 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA... 12 1.4 DIAGRAMAS DE BLOQUES... 13 1.5 CONTROL EN LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO (REALIMENTACIÓN DE SISTEMAS)... 14 1.6 SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO EN COMPARACIÓN CON SISTEMAS EN LAZO ABIERTO... 15 1.7 OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA DE CONTROL A MEJORAR... 16 CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA Y ESTACIONARIA... 19 2.1 INTRODUCCIÓN... 19 2.2 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN... 21 2.3 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN... 25 2.3.1 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Y ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA... 33 2.4 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH... 39 2.5 ERRORES EN ESTADO ESTACIONARIO EN LOS SISTEMAS DE CONTROL CON REALIMENTACIÓN UNITARIA... 41 2.6 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA Y ESTACIONARIA DEL SERVOMOTOR ANALIZADO... 47 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL POR EL MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES... 54 3.1 INTRODUCCIÓN... 54 3.2 GRÁFICAS DEL LUGAR DE LAS RAÍCES... 54 3.3 DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE EL LUGAR DE LAS RAÍCES.. 61 3.4 COMPENSACIÓN DE ADELANTO... 63 3.5 COMPENSADOR DE RETARDO... 66 3.6 GRÁFICA DEL LUGAR DE LAS RAÍCES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SERVOMOTOR ANALIZADO... 68 3.7 DISEÑO DEL COMPENSADOR DE ADELANTO PARA EL SERVOMOTOR ANALIZADO... 74 3.8 DISEÑO DEL COMPENSADOR DE RETARDO PARA EL SERVOMOTOR ANALIZADO... 86 3 P á g i n a

CAPÍTULO 4. DISEÑO DEL COMPENSADOR DE RETARDO-ADELANTO PARA EL SERVOMOTOR ANALIZADO... 91 4.1 INTRODUCCIÓN... 91 4.2 COMPENSADOR DE RETARDO-ADELANTO... 91 Caso 1.... 94 4.3 DISEÑO DEL COMPENSADOR DE RETARDO-ADELANTO PARA EL SERVOMOTOR ANALIZADO (CASO 1)... 95 CONCLUSIONES... 106 REFERENCIAS... 107 4 P á g i n a

TABLA DE ILUSTRACIONES Ilustración 1.4. 1: Elementos de un diagrama de bloques... 13 Ilustración 1.4. 2: Punto suma... 14 Ilustración 1.5. 1: Sistema de control en lazo abierto... 14 Ilustración 1.5. 2: Sistema de control en lazo cerrado... 15 Ilustración 1.7. 1: Servosistema... 16 Ilustración 1.7. 2: Diagrama de bloques... 17 Ilustración 1.7. 3: Diagrama de bloques simplificado... 17 Ilustración 1.7. 4: Diagrama de bloques del sistema a mejorar... 17 Ilustración 2.2. 1: Sistema de primer orden... 21 Ilustración 2.2. 2: Diagrama de bloques simplificado... 21 Ilustración 2.2. 3: Curva de respuesta exponencial... 22 Ilustración 2.2. 4: Respuesta a rampa unitaria del sistema mostrado en la Ilustración 2.2.1... 23 Ilustración 2.2. 5: Respuesta a impulso unitario del sistema mostrado en la Ilustración 2.2.1.. 24 Ilustración 2.3. 1: Servosistema... 25 Ilustración 2.3. 2: Diagrama de bloques... 25 Ilustración 2.3. 3: Diagrama de bloques simplificado... 26 Ilustración 2.3. 4: Sistema de segundo orden... 27 Ilustración 2.3. 5: Curvas de respuesta a escalón unitario del sistema de la Ilustración 2.3.4... 31 Ilustración 2.3. 6: Curvas de respuesta a escalón unitario... 32 Ilustración 2.3. 7: Definición del ángulo β... 34 Ilustración 2.3. 8: Par de curvas envolventes para la curva de respuesta a escalón unitario del sistema mostrado en la Ilustración 2.3.4... 36 Ilustración 2.3. 9: Tiempo de asentamiento ts frente a las curvas ζ.... 37 Ilustración 2.3. 10: Mp frente a la curva ζ... 38 Ilustración 2.5. 1: Sistema de control...42 Ilustración 2.6. 1: Diagrama de bloques del servosistema sin compensar... 47 Ilustración 2.6. 2: Respuesta a una entrada tipo escalón unitario del servosistema sin compensar... 50 Ilustración 2.6. 3: Respuesta a una entrada rampa unitaria del servosistema sin compensar.. 52 Ilustración 3.2. 1: Sistema de control... 54 5 P á g i n a

Ilustración 3.2. 2: Diagrama que muestra la medición de ángulos de los polos y ceros en lazo abierto con el punto de prueba s... 56 Ilustración 3.2. 3: Diagrama de bloques del sistema... 57 Ilustración 3.2. 4: Construcción del lugar de las raíces... 60 Ilustración 3.3. 1: Compensación en serie... 61 Ilustración 3.3. 2: Compensación en paralelo... 61 Ilustración 3.3. 3: a) Gráfica del lugar de las raíces del sistema de un solo polo; (b) Gráfica del lugar de las raíces del sistema con dos polos; (c) Gráfica del lugar de las raíces del sistema con tres polos... 62 Ilustración 3.3. 4: (a) Gráfica del lugar de las raíces de un sistema con tres polos; (b),(c) y (d) Gráficas de las raíces que muestran los efectos de la adición de un cero al sistema de tres polos 63 Ilustración 3.4. 1: Circuito electrónico que consiste en una red de adelanto si R1C1 > R2C2... 63 Ilustración 3.4. 2: Configuraciones de polos y ceros: (a) Red de adelanto (b) Red de retardo.. 65 Ilustración 3.4. 3: Sistema de control... 66 Ilustración 3.6. 1: Servosistema... 68 Ilustración 3.6. 2: Ubicación de los polos en el plano s... 69 Ilustración 3.6. 3: Gráfica del lugar de las raíces (Método manual)... 73 Ilustración 3.6. 4: Gráfica del lugar de las raíces con Matlab... 74 Ilustración 3.7. 1: Ubicación del polo y cero del compensador de adelanto (Método 1)... 78 Ilustración 3.7. 2: Ubicación del polo y cero del compensador de adelanto (Método 2)... 81 Ilustración 3.7. 3: Respuesta a un escalón unitario de sistemas compensados (Método 1 y 2) y no compensado... 84 Ilustración 3.7. 4: Respuesta a una rampa unitaria de sistemas compensados (Método 1 y 2) y no compensado... 85 Ilustración 3.8. 1: Respuesta a un escalón unitario del servosistema con compensador de retardo y sin compensar... 88 Ilustración 3.8. 2: Respuesta a una rampa unitaria del servosistema con compensador de retardo y sin compensar... 89 Ilustración 3.8. 3: Respuesta del servosistema reduciendo el error en estado estacionario... 90 Ilustración 4.2. 1: Compensador de retardo-adelanto... 92 Ilustración 4.3. 1: Ubicación de los polos y ceros en lazo cerrado del servosistema con el uso del compensador de retardo-adelanto... 99 6 P á g i n a

Ilustración 4.3. 2: Respuesta a un escalón unitario del servosistema sin compensar y utilizando compensador de retardo-adelanto... 101 Ilustración 4.3. 3: Sobreelongación del servosistema utilizando el compensador de retardoadelanto 102 Ilustración 4.3. 4: Tiempo de asentamiento del servosistema utilizando el compensador de retardo- adelanto... 103 Ilustración 4.3. 5: Respuesta a una rampa unitaria del servosistema sin compensar y utilizando compensador de retardo-adelanto... 104 7 P á g i n a

INTRODUCCIÓN En este trabajo se presentan aspectos básicos del diseño y compensación de sistemas de control. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema para satisfacer las especificaciones determinadas. La aproximación al diseño de sistemas de control y compensación que se presenta en este trabajo es a través del método del lugar de las raíces. Comenzaremos con el modelado matemático de la función de transferencia de un servomotor, y analizaremos la respuesta del servosistema, entonces, mejoraremos el comportamiento del servosistema introduciendo un compensador de retardo-adelanto. En el diseño real de un sistema de control, el que se utilice un compensador electrónico, neumático o hidráulico debe decidirse en parte en función de la naturaleza de la planta que se controla. Por ejemplo, si la planta que se controla contiene fluidos inflamables, debe optarse por los componentes neumáticos (tanto un compensador como un actuador) para eliminar la posibilidad de que salten chispas. Sin embargo, si no existe el riesgo de incendio, los que se usan con mayor frecuencia son los componentes electrónicos. De hecho, es común transformar las señales no eléctricas en señales eléctricas, debido a sencillez de la transmisión, mayor precisión, mayor fiabilidad, una mayor facilidad en la compensación, etcétera. Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los requisitos impuestos sobre el sistema de control se dan como especificaciones de comportamiento. Las especificaciones pueden venir dadas como requisitos en la respuesta transitoria (como, por ejemplo, la máxima sobreelongación y el tiempo de asentamiento en la respuesta a un escalón) y requisitos en el estado estacionario (como, por ejemplo, el error en estado estacionario frente a una entrada tipo rampa). Las especificaciones de un sistema de control se deben dar antes de que comience el proceso de diseño. Para problemas de diseño rutinarios, las especificaciones de comportamiento (las cuales relacionan la precisión, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta) se proporcionan en términos de valores numéricos precisos. En otros casos, se ofrecen una parte en términos de valores numéricos precisos y otra parte en términos de planteamientos cualitativos. En este último caso, puede ser necesario modificar las especificaciones durante el proceso del diseño, ya que es posible que las especificaciones dadas nunca 8 P á g i n a

se cumplan (debido a que los requisitos producen conflictos) o conduzcan a un sistema muy costoso. Por lo general, las especificaciones de comportamiento no deben ser más restrictivas de lo necesario para realizar la tarea definida. Si la precisión de una operación en estado estable es de vital importancia para un sistema de control, no se deben pedir especificaciones de comportamiento más restrictivas de lo necesario sobre la respuesta transitoria, ya que tales especificaciones requerirán componentes costosos. Recordando que la parte más importante del diseño de un sistema de control es la precisión en el planteamiento de las especificaciones de comportamiento con el fin de obtener un sistema de control óptimo para el propósito deseado. Establecer la ganancia es un paso importante para llevar al sistema a un comportamiento satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prácticos, ajustando únicamente la ganancia tal vez no proporcione la alteración suficiente en el comportamiento del sistema para cumplir las especificaciones dadas. Como ocurre con frecuencia, incrementar el valor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estacionario pero produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad. En este caso, es necesario volver a diseñar el sistema (modificando la estructura o incorporando dispositivos o componentes adicionales) para alterar el comportamiento general, de modo que el sistema se comporte como se desea. Este nuevo diseño o adición de un dispositivo apropiado se denomina compensación. Un elemento insertado en el sistema para satisfacer las especificaciones se denomina compensador. El compensador modifica el comportamiento deficiente del sistema original. En la aproximación de prueba y error para el diseño de un sistema, se parte de un modelo matemático del sistema de control y se ajustan los parámetros de un compensador. La parte de este proceso que requiere más tiempo es la verificación del comportamiento del sistema mediante un análisis, después de cada ajuste de los parámetros. El diseñador debe utilizar un programa para computador como MATLAB para evitar gran parte del cálculo numérico que se necesita para esta verificación. 9 P á g i n a

HIPÓTESIS El sistema a mejorar esta dado por: La función de transferencia de la planta en lazo abierto se refiere a la de un servomotor. HIPÓTESIS: Mejoraremos la respuesta del Sistema de Control de un Servomotor a una señal de entrada escalón unitario con una respuesta de un sobrepaso máximo menor del 5% y un tiempo de asentamiento menor de 3 segundos. El error en estado estacionario será menor del 0.01 para una señal de entrada tipo rampa. Para lograr lo anterior utilizaremos los siguientes parámetros para el diseño de un compensador de retardo-adelanto: Factor de amortiguamiento relativo ζ = 0.8 Frecuencia natural no amortiguada ω n = 11 rad/seg Constante de error estático de velocidad K v = 605 seg 1. 10 P á g i n a

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL 1.1 INTRODUCCIÓN Antes de empezar con los temas a desarrollar, debemos tener claro que es un sistema de control. Éste lo representaremos como una caja negra que tiene entradas y salidas. Le llamamos caja negra debido a que no nos interesa su contenido. Entonces un sistema de control será aquel en el cuál se analizan las salidas para obtener un valor o un cambio deseado. Un ejemplo sería el control de la temperatura en un hogar. En el cuál a través de un mini Split se regulará la temperatura del medio hasta el valor deseado. Existen muchos tipos de sistemas de control, pero tenemos la ventaja de que a través de la experimentación se cuenta con el análisis del comportamiento de muchos sistemas, y muchos de ellos tienden a comportarse de manera muy similar. Para comprender los sistemas de control primero se necesita conocer los conceptos fundamentales de ellos, los cuales se describen en este apartado. 1.2 ELEMENTOS EN UN SISTEMA DE CONTROL Todos los sistemas de control constan de los siguientes elementos característicos: Variable a controlar. Es la señal de salida. Como su nombre lo indica se refiere a la señal que deseamos controlar, dándole el ajuste que necesitamos. En el ejemplo del clima, la señal de salida será la temperatura real en la habitación. Planta o Sistema. La planta es un conjunto de elementos que en conjunto realizan una determinada función. Siguiendo con el ejemplo, la planta sería la vivienda en sí. Sensor. El sensor es aquel elemento que permite detectar el valor de la variable a controlar en determinados instantes. En el caso propuesto, el sensor deberá ser un termistor. Magnitud de referencia. Es la magnitud que deseamos que adquiera la salida. Del ejemplo, sería la temperatura deseada en la vivienda. Actuador. Es el elemento encargado de intervenir sobre el sistema para obtener la magnitud de la salida que deseamos. Del ejemplo, el equipo mini Split permitirá aportar la temperatura para obtener el objetivo deseado. 11 P á g i n a

Controlador. Es el elemento que acciona al actuador en función del objetivo de control. En el ejemplo, el controlador se referiría a un regulador, si el aire acondicionado es automático, o a la persona en sí. Control realimentado. Cuando se presentan perturbaciones, este elemento se encarga de reducir la diferencia entre la salida y alguna entrada de referencia. Perturbaciones. Se refieren a variables que afecta en forma negativa la señal de salida. 1.3 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA En los sistemas de control, con frecuencia se utilizan las funciones de transferencia que caracterizan las relaciones de entrada-salida de sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. Función de transferencia. Es el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) suponiendo condiciones iniciales cero. Consideraremos un sistema lineal e invariante en el tiempo descrito mediante: (n) (n 1) a O y + a 1 y + + a n 1 y + a n y (m) = b O x (m 1) + b 1 x + + b m 1 x + b m x [1.1] (n m) Donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La función de transferencia del sistema será: Función de transferencia = G(s) = L[salida] L[entrada] G(s) = Y(s) X(s) = b Os m + b 1 s m 1 + + b m 1 s + b m a O s n + a 1 s n 1 + + a n 1 s + a n [1.2] Al obtener la función de transferencia, podemos representar la dinámica del sistema a través de ecuaciones algebraicas en función de s. La función de transferencia solo es utilizada en sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. Sin embargo, la función de transferencia es la base del análisis y diseño de los mismos sistemas. 12 P á g i n a

La función de transferencia es un modelo matemático, debido a que muestra la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada. Es una propiedad del sistema, la cual no depende de la función del sistema y naturaleza de la entrada o función de excitación. Conociendo la función de transferencia podemos estudiar la respuesta del sistema de control con varias entradas para comprender el comportamiento del sistema. O viceversa, si no se conoce la función de transferencia, podemos obtenerla introduciendo varias entradas ya conocidas y estudiar las salidas del sistema, produciéndonos así, una descripción más detallada del sistema. 1.4 DIAGRAMAS DE BLOQUES El diagrama de bloques en una representación gráfica de los componentes y el flujo de sus señales. Muestra las relaciones entre los componentes. Es mucho más práctico que una representación matemática, debido a que muestra el flujo de las señales del sistema real. El bloque es un símbolo que representa la operación matemática sobre la señal de entrada para producir una señal de salida. La Ilustración 1.4.1 muestra un bloque. Ilustración 1.4. 1: Elementos de un diagrama de bloques La señal de salida es la señal de entrada multiplicada por la función de transferencia del bloque. Es más fácil y práctico estudiar un diagrama de bloques de un sistema que el sistema físico mismo. Punto suma. Su símbolo es un círculo con una cruz, que indica una operación de suma. El signo más o el signo menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. El punto suma se muestra en la Ilustración 1.4.2 13 P á g i n a

Ilustración 1.4. 2: Punto suma Punto de ramificación. Es aquel en el que se divide la señal dirigiéndose a otro bloque o punto suma. 1.5 CONTROL EN LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO (REALIMENTACIÓN DE SISTEMAS) Un sistema se puede considerar en dos esquemas de control: sistemas de control en lazo abierto y sistemas de control en lazo cerrado. Un sistema en lazo abierto es aquel en el que no influye la salida sobre la acción de control. De esta forma el controlador no tiene en cuenta el valor de la señal de salida, ni se compara ésta con la señal de referencia para decidir la actuación en todo instante sobre el sistema. En la Ilustración 1.5.1 se observan las señales involucradas en un sistema de control en lazo abierto. Ilustración 1.5. 1: Sistema de control en lazo abierto El sistema de control en lazo abierto puede funcionar relativamente bien siempre y cuando no se alteren las características determinadas ni alguna característica del sistema. En los sistemas de control en lazo cerrado se compara la señal de salida con la señal de entrada o de referencia, a esto se le conoce como realimentación. La realimentación busca reducir el error entre la señal de salida y la entrada. La realimentación también tiene efecto sobre la ganancia del sistema, la estabilidad, y sobre las perturbaciones, debido a esto la realimentación es un elemento clave para el estudio de los sistemas de control. Un ejemplo de la realimentación se ve reflejada en el cuerpo humano, la temperatura corporal así como la presión sanguínea están constantemente conservados, mediante una realimentación fisiológica. 14 P á g i n a

En la Ilustración 1.5.2 se muestran las señales en un sistema de control en lazo cerrado. Ilustración 1.5. 2: Sistema de control en lazo cerrado 1.6 SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO EN COMPARACIÓN CON SISTEMAS EN LAZO ABIERTO La primera ventaja de los sistemas de control en lazo cerrado es que la realimentación vuelve al sistema casi insensible a las perturbaciones externas e internas. Y por lo tanto con componentes relativamente baratos y poco precisos es fácil obtener el control de una planta. Observando al sistema por su estabilidad, el sistema en lazo abierto es más fácil de desarrollar, debido a que en éste sistema, la estabilidad no es un problema importante. Pero en los sistemas de control en lazo cerrado, la estabilidad es un gran problema, un sistema inestable puede tener un exceso de errores los cuales producirán oscilaciones de amplitud constante o cambiante. Para aquellos sistemas en los que se conoce con anticipación las entradas y en los cuales no habrá perturbaciones es recomendable usas un sistema en lazo abierto. Los sistemas en lazo cerrado solo tienen ventaja cuando se presentan perturbaciones y/o variaciones las cuales son impredecibles. En sistemas de control diseñados para el mismo propósito, el número de componentes de un sistema en lazo cerrado tendrá más que un sistema en lazo abierto. Resumiendo las ventajas y desventajas tenemos: Ventajas de los sistemas de control en lazo abierto: 1. Construcción simple y fácil mantenimiento 2. Menor costo 3. Sin problemas de estabilidad 4. Recomendado en casos donde la salida es difícil de medir o es muy costoso. 15 P á g i n a

Desventajas de los sistemas de control en lazo abierto: 1. Las perturbaciones y los cambios en la calibración originan errores, y la salida puede ser diferente de lo que se desea. 2. Para mantener la calidad requerida en la salida, es necesaria la re calibración de vez en cuando. 1.7 OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA DE CONTROL A MEJORAR El servosistema a mejorar se muestra en la Ilustración 1.7.1. Ilustración 1.7. 1: Servosistema Consiste en un controlador proporcional y elementos de carga (elementos de inercia y fricción viscosa). Se supone que se desea controlar la posición de salida c de forma que siga a la posición de entrada r. La ecuación para los elementos de carga es Jc + Bc = Τ [1.3] Donde Τ es el par inducido por el controlador proporcional de ganancia K. Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de esta última ecuación, suponiendo condiciones iniciales nulas, se obtiene Js 2 C(s) + BsC(s) = Τ(s) [1.4] Por tanto, la función de transferencia entre C(s) y Τ(s) es C(s) T(s) = 1 s(js + B) [1.5] Utilizando esta función transformada la Ilustración 1.7.1 puede redibujarse como se muestra en la Ilustración 1.7.2 16 P á g i n a

Ilustración 1.7. 2: Diagrama de bloques La función de transferencia en lazo cerrado se obtiene como: C(s) R(s) = K Js 2 + Bs + K = K J s 2 + (B J)s + K J [1.6] Tal sistema en el que la función de transferencia en lazo cerrado posee dos polos se denomina sistema de segundo orden. Ilustración 1.7. 3: Diagrama de bloques simplificado Al poder obtener la función de transferencia del servomotor anterior lo que necesitamos ahora es proponer los valores de los coeficientes de este sistema para después, analizar su comportamiento, las cuales serán: Obteniendo así: K = 121 J = 1 kg m 2 B = 2 N m rad/s Ilustración 1.7. 4: Diagrama de bloques del sistema a mejorar 17 P á g i n a

En donde: La función de transferencia en lazo abierto es: G(s) = 121 s 2 + 2s [1.7] La función de transferencia en lazo cerrado queda expresada como: C(s) R(s) = 121 s 2 + 2s + 121 [1.8] 18 P á g i n a

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA Y ESTACIONARIA 2.1 INTRODUCCIÓN Para analizar un sistema de control, lo primero es obtener un modelo matemático de éste. Una vez obtenido tal modelo, existen varios métodos para él análisis del comportamiento del sistema. En la práctica de los sistemas de control, la señal de entrada no es posible conocerse, pero se sabe que es aleatoria, y al igual, la entrada tampoco es posible expresarse de forma que pueda estudiarse. Solo en casos especiales se conocen estos datos, por ejemplo en el control automático de herramientas de corte. Al analizar y diseñar los sistemas de control, debemos tener una base para comparar el comportamiento de los sistemas. Esta base se logra especificando las señales de entrada de prueba particulares y comparando las respuestas de diferentes sistemas de control a estas señales de entradas. Muchos criterios de diseño se basan en tales señales o en la respuesta del sistema a los cambios en las condiciones iniciales (sin señales de prueba). El uso de señales de prueba se justifica porque existe una correlación entre las características de respuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar las señales de entrada reales. Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón, rampa, parábola, impulso, etc. Con estas señales de prueba, es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, ya que las señales son funciones del tiempo muy simples. La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia en una operación normal determinará cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si las entradas para el sistema se control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa será una buena señal de prueba. Asimismo, si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, una función escalón será una buena señal de prueba; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso será la mejor. Una vez diseñado un sistema de control con base en las señales de prueba, por lo general el comportamiento del sistema en respuesta a las entradas reales es satisfactorio. El uso de tales señales de prueba permite comparar el comportamiento de todos los sistemas sobre la misma base. 19 P á g i n a

La respuesta en el tiempo del sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario. La respuesta transitoria se refiere a la que va del estado inicial al estado final. Y la respuesta en estado estacionario es cómo se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito. Por tanto, la respuesta del sistema c(t) se puede escribir como: c(t) = c tr (t) + c ss (t) [2.1] Donde: c tr (t) = respuesta transitoria c ss (t) = respuesta en el estado estacionario Para diseñar un sistema de control, primero se debe poder predecir su comportamiento a partir de sus componentes. La principal característica de los sistemas de control es la estabilidad absoluta. Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación, la salida permanece en el mismo estado. Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es críticamente estable si las oscilaciones de la salida continúan de forma indefinida. Es inestable si la salida oscila sin límite a partir de su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. En realidad la salida de un sistema físico puede aumentar hasta cierto grado, pero puede estar limitada por detenciones mecánicas, o el sistema puede colapsar o volverse no lineal una vez que la salida excede cierta magnitud, por lo cual ya no se aplican las ecuaciones diferenciales lineales. Entre los comportamientos importantes del sistema (aparte de la estabilidad absoluta) que deben recibir una cuidadosa consideración están la estabilidad relativa y el error en estado estacionario. Como un sistema de control físico implica un almacenamiento de energía, la salida del sistema, cuando éste se encuentra sujeto a una entrada, no sucede a la entrada de inmediato, sino que muestra una respuesta transitoria antes de alcanzar un estado estacionario. La respuesta transitoria de un sistema de control práctico, con frecuencia, muestra oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar un estado estacionario. Si la salida de un sistema no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error en estado estacionario. Este error indica la precisión del sistema. Al analizar un sistema de control, se debe examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estacionario. 20 P á g i n a

2.2 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Considere el sistema de primer orden de la figura 2.2.1. Ilustración 2.2. 1: Sistema de primer orden La figura 2.2.2 presenta un diagrama de bloques simplificado. Ilustración 2.2. 2: Diagrama de bloques simplificado C(s) R(s) = 1 Ts + 1 [2.2] Una vez obtenida la función de transferencia del sistema, debemos analizar su respuesta a entradas como la función escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario, suponiendo condiciones iniciales con cero. RESPUESTA ESCALÓN UNITARIO DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN. Como la transformada de Laplace de la función escalón unitario es 1 s, sustituyendo R(s) = 1 s en la ecuación anterior se obtiene: C(s) = 1 Ts + 1 1 s [2.3] Si se desarrolla C(s) en fracciones simples se obtiene: C(s) = 1 s T Ts + 1 = 1 s 1 s + (1 T) [2.4] Si se toma la transformada inversa de Laplace de la ecuación 2.4 se obtiene: t T c(t) = 1 e, para t 0 [2.5] La ecuación 2.5 plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) 21 P á g i n a

es que, para t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanzo 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir: c(t) = 1 e 1 = 0.632 [2.6] Se observa que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la repuesta de sistema. Otra característica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t = 0 es 1 T, ya que: de dx = 1 e t T = 1 t=0 T t=0 T [2.7] La salida alcanzara el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A partir de la ecuación 2.7 se observa que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye de forma monótona de 1 T en t = 0 a t =. La curva de la respuesta exponencial c(t) obtenida mediante la ecuación 2.5 aparece en la Ilustración 2.2.3. En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor final. En t = 3T, 4T, 5T, la respuesta alcanza 95, 98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t 4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. Como se observa en la ecuación 2.5, el estado estacionario se alcanza matemáticamente solo después de un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación razonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo. Ilustración 2.2. 3: Curva de respuesta exponencial 22 P á g i n a

RESPUESTA RAMPA UNITARIA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN. Como la transformada de Laplace de la función rampa unitaria es 1 s 2, se obtiene la salida del sistema de la Ilustración 2.2.1, como: C(s) = 1 Ts + 1 1 s 2 [2.8] Desarrollando C(s) en fracciones parciales simples se obtiene: T2 C(s) = 1 s 2 T s + Ts + 1 [2.9] Tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación 2.9, se obtiene t T c(t) = 1 T + Te, para t 0 [2.10] De este modo, la señal de error e(t) es: t T e(t) = r(t) c(t) = T(1 e ) [2.11] t T Conforme t tiende a infinito, e se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se aproxima a T ó: e( ) = T [2.12] La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la Ilustración 2.2.4. El error después de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t suficientemente grande. Cuando más pequeña es la constante de tiempo T, menor es el error en estado estacionario después de la entrada rampa. Ilustración 2.2. 4: Respuesta a rampa unitaria del sistema mostrado en la Ilustración 2.2.1 23 P á g i n a

RESPUESTA IMPULSO UNITARIO DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN. Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1 y la salida del sistema de la Ilustración 2.2.1 pueden obtenerse como C(s) = 1 Ts + 1 [2.13] La transformada inversa de Laplace de la ecuación 2.13 produce: c(t) = 1 e t T, para t 0 T [2.14] La curva de respuesta obtenida mediante la ecuación 2.14 aparece en la Ilustración 2.2.5 Ilustración 2.2. 5: Respuesta a impulso unitario del sistema mostrado en la Ilustración 2.2.1 PROPIEDAD IMPORTANTE DE LOS SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES CON EL TIEMPO. En el análisis anterior, se demostró que, para la entrada rampa unitaria, la salida c(t) es: t T c(t) = 1 T + Te, para t 0 [2.15] Para la entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida c(t) es: t T c(t) = 1 e, para t 0 [2.16] Por último, para la entrada impulso, que es la derivada de la entrada escalón unitario, la salida c(t) es: c(t) = 1 e t T, para t 0 T [2.17] 24 P á g i n a

Una comparación de las respuestas del sistema para estas tres entradas indica con claridad que la respuesta a la derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta del sistema para la señal original. También se observa que la respuesta para la integral de la señal original se obtiene integrando la respuesta del sistema para la señal original y determinando las constantes de integración a partir de la condición inicial de salida cero. Esta es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Los sistemas lineales y variables con el tiempo y los sistemas no lineales no poseen esta propiedad. 2.3 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN En esta sección, se obtendrá la respuesta de un sistema de control típico de segundo orden para una entrada escalón unitario. Consideraremos el análisis del servomotor del capítulo 1 como ejemplo de un sistema de segundo orden. Servosistema. Recordando el análisis del capítulo 1. El servosistema a mejorar se muestra en la Ilustración 2.3.1 Ilustración 2.3. 1: Servosistema El diagrama de bloques del servosistema queda mostrado en la Ilustración 2.3.2: Ilustración 2.3. 2: Diagrama de bloques La función de transferencia en lazo cerrado se obtiene como: C(s) R(s) = K Js 2 + Bs + K = K J s 2 + (B J)s + B J [1.6] 25 P á g i n a

Tal sistema en el que la función de transferencia en lazo cerrado posee dos polos se denomina sistema de segundo orden. Ilustración 2.3. 3: Diagrama de bloques simplificado RESPUESTA ESCALÓN UNITARIO DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN. La función de transferencia en lazo cerrado del sistema de la Ilustración 2.3.3 es: C(s) R(s) = K Js 2 + Bs + K [1.6] Que puede reescribirse como: C(s) R(s) = K J [ s + B 2J + ( B 2 2J ) K J ] [ s + B 2J ( B 2 2J ) K J ] [2.18] Los polos en lazo cerrado son complejos si B 2 4JK < 0, y son reales si B 2 4JK 0. En el análisis de la respuesta transitoria, es conveniente escribir: K J = ω n 2, B J = 2ζω n = 2σ [2.19] Donde: σ = atenuación ω n = frecuencia natural no amortiguada ζ = factor de amortiguamiento relativo El factor de amortiguamiento relativo ζ es el cociente entre el amortiguamiento real B y el amortiguamiento crítico B C = 2 JK o bien: ζ = B = B B C 2 JK [2.20] 26 P á g i n a

Ilustración 2.3. 4: Sistema de segundo orden En términos de ζ y ω n, el sistema de la Ilustración 2.3.3 se convierte en el que aparece en la Ilustración 2.3.4 y la función de transferencia es lazo cerrado C(s) R(s) obtenida mediante la ecuación 1.6 se escribe como: 2 C(s) R(s) = ω n s 2 + 2ζω n s + ω2 n [2.21] Esta forma se denomina forma estándar del sistema de segundo orden. El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de dos parámetros ζ y ω n. Si 0 < ζ < 1, los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema entonces, se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si ζ = 0, la respuesta transitoria no se amortigua. Si ζ = 1, el sistema se denomina críticamente amortiguado. Los sistemas sobreamortiguados corresponden a ζ > 1. Para la obtención de la respuesta del sistema de la Ilustración 2.3.4 para una entrada escalón unitario se consideran tres casos diferentes: Subamortiguado (0 < ζ < 1) Críticamente amortiguado (ζ = 1) Sobreamortiguado (ζ > 1) 1) Caso Subamortiguado (0 < ζ < 1): en este caso, C(s) R(s) se escribe como: 2 C(s) R(s) = ω n (s + ζω n + jω d )(s + ζω n jω d ) [2.22] Donde: ω d = ω n 1 ζ 2 [2.23] La frecuencia ω d se denomina frecuencia natural amortiguada. Para una entrada escalón unitario, C(s) se escribe como: 27 P á g i n a

C(s) = ω n 2 (s 2 + 2ζω n s + ω n 2 )s [2.24] La transformada de Laplace de la ecuación 2.24 se obtiene con facilidad si C(s) se escribe de la siguiente forma: C(s) = 1 s C(s) = 1 s s + 2ζω n s 2 + 2ζω n s + ω n 2 s + ζω n (s + ζω n ) 2 + ω d 2 ζω n (s + ζω n ) 2 + ω d 2 [2.25] [2.26] Por definición tenemos que: L 1 s + ζω n [ (s + ζω n ) 2 2 + ω ] = e ζωnt cos ω d t d [2.27] ω d L 1 [ (s + ζω n ) 2 2 + ω ] = e ζωnt sin ω d t d [2.28] Por tanto, la transformada inversa de Laplace de la ecuación 2.24 se obtiene como: L 1 [c(s)] = c(t) c(t) = 1 e ζω nt (cos ω d t + ζ 1 ζ 2 sin ω dt) c(t) = 1 e ζω nt 1 ζ sin (ω 1 ζ2 1 dt + tan ), 2 ζ para t 0 [2.29] [2.30] El resultado anterior se obtuvo utilizando las tablas de transformadas de Laplace. En la ecuación 2.30 observamos que la frecuencia de oscilación transitoria es la frecuencia natural amortiguada ω d y que, por tanto, varía con el factor de amortiguamiento relativo ζ. La señal de error para este sistema es la diferencia entre la entrada y la salida, y es: e(t) = r(t) c(t) e(t) = e ζωnt ζ (cos ω d t + 1 ζ sin ω dt), para t 0 2 [2.31] 28 P á g i n a

Esta señal de error presenta una oscilación sinusoidal amortiguada. En estado estacionario, o en t =, no existe un error entre la entrada y la salida. Si el factor de amortiguamiento relativo ζ es igual a cero, la respuesta se vuelve no amortiguada y las oscilaciones continúan indefinidamente. La respuesta c(t) para el caso del amortiguamiento cero se obtiene sustituyendo ζ = 0 en la ecuación 2.30, lo cual produce: c(t) = 1 cos ω n t, para t 0 [2.32] A partir de la ecuación 2.32, se establece que ω n representa la frecuencia natural no amortiguada del sistema. Es decir, ω n es la frecuencia a la cual el sistema oscilará si el amortiguamiento disminuyera a cero. Si el sistema lineal tiene cualquier cantidad de amortiguamiento, no se puede observar experimentalmente la frecuencia natural no amortiguada. La frecuencia que se observa es la frecuencia natural amortiguada ω d, que es igual a ω d = ω n 1 ζ 2. Esta frecuencia siempre es menor que la frecuencia natural no amortiguada. Al aumentar ζ reduce la frecuencia natural amortiguada ω d. Si aumentamos ζ más de la unidad, la respuesta se vuelve sobreamortiguada y no oscilará. 2) Caso críticamente amortiguado (ζ = 1): si los polos de C(s) R(s) son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno críticamente amortiguado. Para una entrada escalón unitario, R(s) = 1/s y C(s) se escribe como: C(s) = ω n 2 (s + ω n ) 2 s [2.33] La transformada inversa de Laplace de la ecuación 2.33 da como resultado: c(t) = 1 e ω nt (1 ω n t), para t 0 [2.34] Este resultado se obtiene suponiendo que ζ se aproxima a la unidad en la ecuación 2.30 y utilizando el límite siguiente: sin ω d t lim ζ 1 1 ζ = lim sin(ω n 1 ζ 2 )t = ω n t 2 ζ 1 1 ζ 2 [2.35] 3) Caso sobreamortiguado (ζ > 1): en este caso, los dos polos de C(s) R(s) son reales negativos y diferentes. Para una entrada escalón unitario, R(s) = 1/s y C(s) se escriben como: 29 P á g i n a

C(s) = (s + ζω n + ω n ζ 2 1)(s + ζω n ω n ζ 2 1)s ω n 2 [2.36] La transformada inversa de Laplace de la ecuación 2.36 es: c(t) = 1 + 1 2 ζ 2 1(ζ + ζ 2 1) e (ζ+ ζ2 1)ω n t 1 2 ζ 2 1(ζ ζ 2 1) e (ζ ζ2 1)ω n t [2.37] c(t) = 1 + ω (e s1t n e s2t ), para t 0 2 ζ 2 1 s 1 s 2 [2.38] Donde s 1 = (ζ + ζ 2 1)ω n y s 2 = (ζ ζ 2 1)ω n, por tanto, la respuesta c(t) incluye dos términos exponenciales que decaen. Cuando ζ es apreciablemente mayor que la unidad, uno de los dos exponenciales que decaen disminuye mucho más rápido que el otro, por lo que el término exponencial que decae más rápido puede pasarse por alto (corresponde a una constante de tiempo más pequeña). Es decir, si s 2 se localiza mucho más cerca del eje jω que s 1 (lo cual significa que s 2 s 1 ), para una solución aproximada se puede no considerar s 1. Esto se permite debido a que el efecto de s 1 en la respuesta es mucho más pequeña que el de s 2, ya que el término [2.39] que incluye s 1 en la ecuación 2.38 se descompone mucho más rápido que el término que tiene a s 2. Una vez desaparecido el término exponencial que decae más rápido, la respuesta es similar a la de un sistema de primer orden, y C(s) R(s) se aproxima mediante: C(s) R(s) = ζω n ω n ζ 2 1 s + ζω n ω n ζ 2 1 = s 2 s + s 2 Esta forma aproximada es una consecuencia directa de que los valores iniciales y los valores finales tanto del C(s) R(s) original como del aproximado coincidan. 30 P á g i n a

Con la función de transferencia aproximada de C(s) R(s), la respuesta escalón unitario se obtiene como: C(s) = ζω n ω n ζ 2 1 (s+ζω n ω n ζ 2 1)s [2.40] La respuesta del tiempo c(t) es: c(t) = 1 e (ζ ζ2 1)ω n t, para t 0 [2.41] Esto proporciona una respuesta escalón unitario aproximada cuando uno de los polos de C(s) R(s) puede pasarse por alto. La Ilustración 2.3.5 contiene una familia de curvas c(t) con diversos valores de ζ, donde la abscisa es la variable adimensional ω n t. Las curvas solo son funciones de ζ y se obtienen a partir de las ecuaciones 2.30, 2.34, 2.38 el sistema descrito mediante estas ecuaciones estaba inicialmente en reposo. Ilustración 2.3. 5: Curvas de respuesta a escalón unitario del sistema de la Ilustración 2.3.4 Se puede observar que los dos sistemas de segundo orden que tienen el mismo ζ pero diferente ω n presentaran la misma sobreelongación y mostraran el mismo patrón oscilatorio. Se dice que tales sistemas tienen la misma estabilidad relativa. Los sistemas de segundo orden, cuyas funciones de transferencia en lazo cerrado son diferentes de las obtenidas mediante la ecuación 1.6, tienen curvas de respuesta escalón muy distintas de las que aparecen en la Ilustración 2.3.5. 31 P á g i n a

En la Ilustración 2.3.5 se observa que un sistema subamortiguado con ζ entre 0.5 y 0.8 se acerca al valor final con mayor rapidez que un sistema críticamente amortiguado o sobreamortiguado. Entre los sistemas que responden sin oscilación, un sistema críticamente amortiguado presenta la respuesta más rápida. Un sistema sobreamortiguado siempre es lento para responder a las entradas. DEFINICIONES DE LAS ESPECIFICACIONES DE RESPUESTA TRANSITORIA. Las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, debido a que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica. Al conocer la respuesta a una entrada escalón, es posible calcular la respuesta para cualquier entrada. La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Por practicidad utilizamos condiciones iniciales iguales a cero, esto quiere decir que el sistema se encuentra en reposo, por lo tanto la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad. La respuesta transitoria de un sistema de control muestra, la mayoría de las veces, oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estacionario. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente: 1. Tiempo de retardo, t d 2. Tiempo de subida, t r 3. Tiempo pico, t p 4. Sobreelongación, M p 5. Tiempo de asentamiento, t s Ilustración 2.3. 6: Curvas de respuesta a escalón unitario 32 P á g i n a

Tiempo de retardo t d : es aquel tiempo necesario para que la respuesta alcance por primera vez la mitad del valor final. Tiempo de subida t r : es el tiempo en el cual la respuesta pasa del 0 al 100% de su valor final, para sistemas de segundo orden. Tiempo pico t p : es el tiempo en el que la respuesta alcanza la máxima sobreelongación. t p = π ω d [2.42] Sobreelongación máxima (porcentaje) M p : se refiere al valor máximo de la sobreelongación medida a partir de la unidad. Indica la estabilidad relativa del sistema. Porcentaje de sobreelongación máxima = c(t p) c( ) c( ) 100% [2.43] Tiempo de asentamiento t s : tiempo en el cual la curva de respuesta del sistema se estabiliza alrededor del valor final. Por lo regular usamos 2% y 5%. t s = 4T = 4 σ = 4 ζω n (criterio del 2%) [2.44] t s = 3T = 3 σ = 3 ζω n (criterio del 5%) [2.45] Casi todos los sistemas de control se encuentran en dominio del tiempo, por lo tanto las especificaciones anteriores son muy importantes. 2.3.1 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Y ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA En este apartado lograremos obtener el tiempo de subida, el tiempo pico, la sobreelongación máxima y el tiempo de asentamiento de un sistema de segundo orden suponiendo un sistema subamortiguado y obteniendo los valores en términos de ζ y ω n. Tiempo de subida t r : para el tiempo de subida utilizaremos la siguiente ecuación 33 P á g i n a

c(t) = 1 e ζω nt r 1 ζ sin (ω 1 ζ2 1 dt + tan ) 2 ζ [2.46] En la cual, supondremos c(t r ) = 1, entonces: c(t r ) = 1 = 1 e ζω nt 1 ζ sin (ω 1 ζ2 1 dt + tan ) 2 ζ [2.47] Como e ζω nt r 0, ζ cos ω d t r + 1 ζ sinω dt r = 0 2 [2.48] Como ω d = ω n 1 ζ 2 y ζω n = σ, se tiene: 1 ζ2 tan ω d t r = = ω d ζ σ [2.49] Por tanto, el tiempo de subida t r : t r = 1 tan 1 ( ω d π β ) = ω d σ ω d [2.50] β se define en la siguiente Ilustración: Ilustración 2.3. 7: Definición del ángulo β Por tanto, de la fórmula del t r, tenemos claro que al ser más grande ω d, t r será más pequeño. Tiempo pico t p : si ocupamos la misma ecuación que utilizamos para el tiempo de retardo, el tiempo pico se obtendrá diferenciando c(t) con respecto al tiempo y suponiendo que esta derivada es igual a cero. 34 P á g i n a

c(t) = 1 e ζω nt r 1 ζ sin (ω 1 ζ2 1 dt + tan ) 2 ζ [2.51] dc dt = ζω ne ζωnt ζ (cos ω d t + 1 ζ sin ω dt) 2 + e ζω nt (ω d sin ω d t ζω d 1 ζ 2 cos ω dt) [2.52] Los términos de coseno de esta última ecuación se cancelan uno al otro,dc dt, evaluada en t = t p, se simplifica a dc dt ω n = (sin ω d t p ) t=t p 1 ζ 2 e ζω nt p = 0 [2.53] Esta última ecuación da lugar a la ecuación siguiente: sin ω d t p = 0 [2.54] O bien: ω d t p = 0, π, 2π, 3π, [2.55] Sabiendo que el tiempo pico corresponde al primer pico de sobreelongación máximo ω d t p = π. Por tanto, t p = π ω d [2.56] Sobreelongación máxima M p : la sobreelongación máxima es representada en el tiempo pico t = t p = π ω d. Entonces: M p = c(t p ) 1 M p = 1 e ζω nt r 1 ζ sin (ω 1 ζ2 1 dt + tan ) 1 2 ζ M p = e ζω n(π ω d ) (cos π + ζ sin π) 1 ζ2 M p = e (σ ω d )π (ζ 1 ζ2)π = e [2.57] [2.58] [2.59] [2.60] Entonces para el porcentaje de la sobreelongación máxima tenemos: (ζ 1 ζ2 M p (%) = e )π 100% [2.61] 35 P á g i n a

Lo anterior se refiere a un sistema de control en el que la respuesta se vuelve la unidad. Pero para sistemas en la cual su respuesta no es unitaria necesitamos la siguiente fórmula: M p = c(t p) c( ) c( ) [2.62] Tiempo de asentamiento t s : partiendo de la misma fórmula que utilizamos en los otros tiempos: c(t) = 1 e ζω nt 1 ζ sin (ω 1 ζ2 1 dt + tan ), 2 ζ [2.63] para t 0 Los términos 1 ± e ζω nt son las curvas que envuelven la respuesta 1 ζ2 transitoria para una entrada de tipo escalón unitario. Estas curvas tienen una constantes del tiempo en T = 1 ζω n que como se observa es el inverso del producto del factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada. Tales curvas se muestran en la Ilustración 2.3.8 Ilustración 2.3. 8: Par de curvas envolventes para la curva de respuesta a escalón unitario del sistema mostrado en la Ilustración 2.3.4 36 P á g i n a

A partir de la constante del tiempo T = 1 ζω n, dependerá la velocidad de decaimiento de la respuesta transitoria. El tiempo de asentamiento estará en función del factor de amortiguamiento relativo ζ si mantenemos un valor determinado para ω n. Como ζ es determinado a partir de los requerimientos de sobreelongación máxima, el tiempo de asentamiento queda en función de ω n. El tiempo de asentamiento que corresponde a una banda de tolerancia de ±2% o ±5% se mide en función de la constante de tiempo T = 1 ζω n a partir de las curvas de la Ilustración 2.3.5 para diferentes valores de ζ. Los resultados se muestran en la Ilustración 2.3.9. Para 0 < ζ < 0.9, si se utiliza el criterio del 2%, t s es aproximadamente cuatro veces la constante de tiempo del sistema. Si se emplea el criterio del 5%, t s es aproximadamente tres veces la constante de tiempo. Ilustración 2.3. 9: Tiempo de asentamiento ts frente a las curvas ζ. 37 P á g i n a

Por lo tanto utilizamos las siguientes fórmulas para obtener el tiempo de asentamiento: t s = 4T = 4 σ = 4 ζω n (criterio del 2%) [2.64] t s = 3T = 3 σ = 3 ζω n (criterio del 5%) [2.65] En la Ilustración 2.3.10 se muestra la gráfica de la sobreelongación máxima contra el factor de amortiguamiento relativo. Ilustración 2.3. 10: Mp frente a la curva ζ Lo único que debemos recordar es que las fórmulas para el tiempo de subida, tiempo pico, sobreelongación máxima y tiempo de asentamiento se utilizaran para sistemas de segundo orden estándar. La cual se refiere a sistemas con ningún cero. Si el sistema de control tiene uno o más ceros la curva de respuesta serán muy diferentes a las mostradas en la Ilustración 2.3.5. 38 P á g i n a

2.4 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH La estabilidad en un sistema de control lineal es un punto muy importante. Las interrogantes típicas son En qué condiciones se vuelve inestable un sistema? Si es inestable, Cómo se estabiliza? Se planteó que un sistema de control es inestable si y solo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo s. La mayoría de los sistemas lineales en lazo cerrado tienen funciones de transferencia en lazo cerrado de la forma: C(s) R(s) = b 0s m + b 1 s m 1 + b m 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n 1 = B(s) + a n 1 s + a n A(s) [2.66] Donde las a y las b son constantes y m n. Criterio de estabilidad de Routh. El criterio de estabilidad de Routh dice: si existen o no raíces inestables en una ecuación polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad. Este criterio de estabilidad solo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. Cuando se aplica el criterio a un sistema de control, la información sobre la estabilidad absoluta se obtiene directamente de los coeficientes de la ecuación característica. El procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente: 1. Se escribe el polinomio en s de la forma siguiente: a 0 s n + a 1 s n 1 + a n 1 s + a n [2.67] Donde los coeficientes son cantidades reales. Se supone que a n 0; es decir, se elimina cualquier raíz cero. 2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz o raíces imaginarias o que tienen partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. Si sólo interesa la estabilidad absoluta, no es necesario continuar con el procedimiento. Obsérvese que todos los coeficientes deben ser positivos. Esta es una condición necesaria, como se aprecia a partir del argumento siguiente. Un polinomio en s con coeficientes reales siempre puede factorizarse en factores lineales y cuadráticos tales como (s + a) y (s 2 + bs + c), donde a, b y c son números reales. Los factores lineales producen las raíces reales y los factores cuadráticos producen las raíces complejas del 39 P á g i n a

polinomio. El factor (s 2 + bs + c) produce las raíces con partes reales negativas sólo si b y c son ambas positivas. Para todas las raíces que tienen partes reales negativas, las constantes a, b, c,... deben ser positivas en todos los factores. El producto de cualquier cantidad de factores lineales y cuadráticos que contengan sólo coeficientes positivos siempre produce un polinomio con coeficientes positivos. Es importante señalar que la condición de que todos los coeficientes sean positivos no es suficiente para asegurar la estabilidad. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación 2.67 estén presentes y tengan un signo positivo. (Si todas las a son negativas, se hacen positivas multiplicando ambos miembros de la ecuación por -1.) 3. Si todos los coeficientes son positivos, se ordenan los coeficientes del polinomio en filas y columnas de acuerdo con el patrón siguiente: s n s n 1 s n 2 s n 3.. s 2 s 1 s 0 a 0 a 2 a 4 a 6 a 1 a 3 a 5 a 7 b 1 b 2 b 3 b 4 c 1 c 2 c 3 c 4.. u 1 u 2 v 1 w 1 Donde los nuevos coeficientes de la tabla se calculan según: b 1 = a 1a 2 a 0 a 3 a 1 b 2 = a 1a 4 a 0 a 5 a 1 b 3 = a 1a 6 a 0 a 7 a 1 [2.68] [2.69] [2.70] 40 P á g i n a

... c 1 = b 1a 3 a 1 b 2 b 1 c 2 = b 1a 5 a 1 b 3 b 1 [2.71] [2.72]... d 1 = c 1b 2 b 1 c 2 c 1 d 2 = c 1b 3 b 1 c 3 c 1 [2.73] [2.74] Este proceso continúa hasta que se completa la n-ésima fila. El array completo de los coeficientes es triangular. Al desarrollar el array, una fila completa se divide entre, o se multiplica por, un numero positivo para simplificar el cálculo numérico subsecuente sin alterar la conclusión de la estabilidad. El criterio de estabilidad de Routh plantea que el número de raíces de la ecuación 2.67 con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del array. Debe señalarse que no es necesario conocer los valores exactos de los términos de la primera columna; sólo se necesitan los signos. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación 2.67 se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que los coeficientes de la ecuación 2.67 sean positivos y que todos los términos de la primera columna del array tengan signo positivo. 2.5 ERRORES EN ESTADO ESTACIONARIO EN LOS SISTEMAS DE CONTROL CON REALIMENTACIÓN UNITARIA Errores en un sistema de control son inevitables cuando existen variaciones en la entrada de referencia. Las fallas en los componentes del sistema también ocasionan errores. 41 P á g i n a

En esta sección solo veremos aquel tipo de error ocasionado por la ineficiencia del sistema de seguir entradas determinadas. Sin importar que tipo de entrada utilicemos, el sistema de control siempre tendrá un error en estado estacionario. Algunos sistemas tal vez podrían no tener ningún error en estado estacionario debido a una entrada de tipo escalón pero en una entrada tipo rampa si se presentara un error. Dependiendo del tipo de función de transferencia en lazo abierto que tenga el sistema también dependerá el tipo de error. Clasificación de los sistemas de control. Tenemos que los sistemas de control se clasifican de acuerdo a su capacidad de seguir entradas. Considerando el sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto: G(s) = K(T as + 1)(T b s + 1) (T m s + 1) s N (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) (T P s + 1) [2.75] Este sistema contiene el término s N en el denominador, que representa un polo de multiplicidad N en el origen. Un sistema se denomina de tipo 0, de tipo 1, de tipo 2,..., si N = 0, N = 1, N = 2, respectivamente. Al aumentar en tipo la precisión mejora, pero esto aumenta la inestabilidad del sistema. Errores en estado estacionario. Ilustración 2.5. 1: Sistema de control La función de transferencia en lazo cerrado es: C(s) R(s) = G(s) 1 + G(s) [2.76] La función de transferencia entre la señal de error e(t) y la señal de entrada r(t) es: E(s) R(s) = 1 C(s) R(s) = 1 1 + G(s) [2.77] 42 P á g i n a

Utilizando el teorema del valor final determinamos el comportamiento de un sistema en estado estable. Como E(s) es: E(s) = 1 1 + G(s) R(s) [2.78] El error en estado estacionario es: e ss = lim e(t) = lim se(s) = lim s s 0 s 0 sr(s) 1 + G(s) [2.79] Antes de continuar con el análisis debemos tener en cuenta los siguientes conceptos: Posición: salida del sistema. Velocidad: es la razón de cambio de la salida. Constante de error de posición estática K P. El error en estado estacionario del sistema para una entrada escalón unitario es: s e ss = lim s 0 1 + G(s) 1 s = 1 1 + G(0) [2.80] La constante de error de posición estática K P se define mediante: K P = lim s 0 G(s) = G(0) [2.81] Entonces, el error estacionario esta expresado como: e ss = 1 1 + K P [2.82] Para sistemas de tipo 0, K P = lim s 0 K(T a s + 1)(T b s + 1) s N (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) = K [2.83] Para sistemas de tipo 1 o mayor, K(T a s + 1)(T b s + 1) K P = lim s 0 s N =, para N 1 (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) [2.84] Por lo tanto; para una entrada escalón unitario, el error en estado estacionario e ss se resume como: e ss = 1, para sistemas de tipo 0 1 + K [2.85] 43 P á g i n a

e ss = 0 para sistemas de tipo 1 o mayor [2.86] Constante de error de velocidad estática K v. El error en estado estacionario del sistema con una entrada rampa unitaria se obtiene mediante: s e ss = lim s 0 1 + G(s) 1 s 2 = 1 sg(s) [2.87] La constante de error de velocidad estática K v se define mediante: K v = lim s 0 sg(s) [2.88] Así, el error en estado estacionario en función de la constante de error de velocidad estática K v se obtiene mediante: e ss = 1 K v [2.89] El error de velocidad es utilizado para obtener el error en estado estacionario para una entrada tipo rampa unitaria. Cabe aclarar que aunque su nombre es Constante de error de velocidad estática, no nos referimos a un error en la velocidad, sino un error en la posición debido a una entrada de tipo rampa. Para sistemas de tipo 0, K v = lim s 0 sk(t a s + 1)(T b s + 1) (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) = 0 [2.90] Para sistemas de tipo 1, sk(t a s + 1)(T b s + 1) K v = lim s 0 s(t 1 s + 1)(T 2 s + 1) = K [2.91] Para sistemas de tipo 2 o mayor, sk(t a s + 1)(T b s + 1) K v = lim s 0 s N =, para N 2 (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) [2.92] El error en estado estacionario e ss para la entrada rampa unitaria se resume del modo siguiente: e ss = 1 K v =, para sistemas de tipo 0 [2.93] 44 P á g i n a

e ss = 1 = 1, para sistemas de tipo 1 K v K [2.94] e ss = 1 K v = 0, para sistemas de tipo 2 o mayor [2.95] Constante de error de aceleración estática K a. El error en estado estacionario del sistema con una entrada aceleración, que se define mediante: r(t) = t2 2, para t 0 [2.96] r(t) = 0, para t < 0 [2.97] Se obtiene a partir de: s e ss = lim s 0 1 + G(s) 1 s 3 [2.98] 1 e ss = lim s 2 G(s) s 0 [2.99] La constante de error de aceleración estática K a se define mediante la ecuación: K v = lim s 0 s 2 G(s) [2.100] De esta manera, el error en estado estacionario es: e ss = 1 K a [2.101] El error de aceleración es un error de posición. Para sistemas de tipo 0, K a = lim s 0 s 2 K(T a s + 1)/(T b s + 1) (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) = 0 [2.102] 45 P á g i n a

Para sistemas de tipo 1, K a = lim s 0 s 2 K(T a s + 1)/(T b s + 1) s(t 1 s + 1)(T 2 s + 1) = 0 [2.103] Para sistemas de tipo 2, s 2 K(T a s + 1)/(T b s + 1) K a = lim s 0 (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) = K [2.104] Para un sistema de tipo 3 o mayor, s 2 K(T a s + 1)/(T b s + 1) K a = lim s 0 s N = para N 3 (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) [2.105] Por tanto, el error en estado estacionario para la entrada parábola unitaria es: e ss =, para sistemas de tipo 0 y tipo 1 [2.106] e ss = 1, para sistemas de tipo 2 K [2.107] e ss = 0, para sistemas de tipo 3 o mayor [2.108] Resumiendo la sección anterior, se muestra la siguiente tabla: Tabla 1: Error en estado estacionario en función de la ganancia K Las constantes de error K p, K v y K a describen la capacidad de un sistema de realimentación unitaria de reducir o eliminar el error en estado estacionario. Se puede decir que estas constantes indican el comportamiento del sistema en estado estacionario. 46 P á g i n a