Prueba de optimalidad con algoritmo STEPPING-STONE en Métodos de Transporte Autor : Ing. Germán D. Mendoza R.
PROBLEMAS DE TRANSPORTE FASE 1: Algoritmos de solución básica Inicial: Método de la esquina Noroeste Método del mínimo costo Médoto de Vogel FASE 2: Prueba de Optimalidad Salto de la piedra (Stepping-Stone) Multiplicadores
PASO : ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO. Para explicar sencillamente el algoritmo STEPPING-STONE tomaremos la siguiente tabla la cual es el resultado o tabla final de un problema resuelto por algún algoritmo básico inicial en la fase 1 como el de Esquina Noroeste, Costo mínimo o el de Vogel: 1 1 1 0 2 C Demanda 2
PASO : ACLARACIONES PREVIAS : Las casillas que contengan unidades asignadas son las variables básicas y las que no (vacias(0)) son las NO básicas. 1 1 1 0 2 C Demanda 2 Ejemplo de Variable Básica Ejemplo de Variable NO Básica
PASO 1 : Seleccionar una (1) variable no básica (preferiblemente en orden para evitar confusiones) y tres () o más básicas para formar un circuito cerrado con esquinas a 90 grados. 1 1 1 0 2 C Demanda 2
PASO 2 : Hacer movimiento en línea recta (como de la torre en el ajedrez) hasta enlazar la variables seleccionadas formando un circuito cerrado. 1 1 1 0 2 C Demanda 2
PASO : Asignar signos positivo y negativo de manera alternada a las variables del circuito iniciando con positivo (+) en la variable NO básica. 2-2 + 2 0 1 1 + 1-0 2 C Demanda 2
PASO : Obtener el costo relativo del circuito, el cual se halla tomando las cantidades asignadas y multiplicándolas por el costo asociado y sumando o restando las otras casillas del circuito según los signos asignados en el anterior paso. 2-2 + 2 0 1 1 + 1-0 2 C Demanda 2 CR-F = (0x2) (x) + (2x1) (1x2) = -9 Coordenada de la variable no básica
PASO : Continuamos con otra variable NO básica: para este caso, el circuito no se puede hacer con sólo varibales básicas, así que debemos buscar la forma de hacerlo con más, utilizando para doblar a 90º una básica (movimiento como la torre en el ajedrez). 2-2 2 + 0 1 1 + 1-0 2 C 2 2 + 2-0 Demanda 2 CR-Ficticia = (0x0) (2x0) + (1x2) (x) + (2x1) (1x2)= -7
PASO 6 : Siguiente variable NO básica (resumimos varios pasos en una sola diapositiva para no volver tan extensa la presentación) - 2 + 2 2 0 1 + 1-1 0 2 C Demanda 2 CR-F1 = (0x1) (x2) + (1x2) (2x1) = -6
PASO 7 : Siguiente variable NO básica: 1 1 1 - + 0 2 C 2 2 + 2-0 Demanda 2 CR-Ficticia = (0x0) (2x0) + (1x2) (x) = -7
PASO 8 : Siguiente variable NO básica - 2 + 2 2 0 1 1-1 + 0 2 C + 2 2-2 0 Demanda 2 CR-CF1 = (0x0) (x2) + (1x2) (2x1)+(x)-(1x2) = 1
PASO 9 : Siguiente variable NO básica 1 1-1 + 0 2 C 2 + 2-2 0 Demanda 2 CR-CF2 = (0x2) (2x1) + (x) (1x2) =
PASO 10 : Analizar lo siguiente: Si todos los costos relativos son positivos el algoritmo termina y quiere decir que es la distribución óptima y no se conseguirá otro resultado mejor. CR-F = (0x2) (x) + (2x1) (1x2) = -9 CR-Ficticia = (0x0) (2x0) + (1x2) (x) + (2x1) (1x2)= -7 CR-F1 = (0x1) (x2) + (1x2) (2x1) = -6 CR-Ficticia = (0x0) (2x0) + (1x2) (x) = -7 CR-CF1 = (0x0) (x2) + (1x2) (2x1)+(x)-(1x2) = 1 CR-CF2 = (0x2) (2x1) + (x) (1x2) = Si al menos uno de los costos es negativo (como es el caso de este ejemplo donde hay Valores negativos) se tiene que continuar con los siguientes pasos:
PASO 11 : Tomar el costo relativo más negativo y del circuito correspondiente tomar la variable no básica como la variable entrante. Para nuestro ejemplo sería -9 : CR-F = (0x2) (x) + (2x1) (1x2) = -9 2-2 + 2 0 1 1 + 1-0 2 C Demanda 2 NOTA: Si hay empate en los valores (costo relativo más negativo), se toma uno de esos circuitos empatados de manera arbitraria.
PASO : 12 Para hallar la variable saliente se hace lo siguiente: Tomar las casillas con signo negativo de ese circuito y de ellas la que tenga menos unidades asignadas( y esa es la variable saliente). CR-F = (0x2) (x) + (2x1) (1x2) = -9 2-2 + 2 0 1 1 + 1-0 2 C Demanda 2
PASO 1 : Hacemos t= unidades asignadas en la variable saliente. CR-F = (0x2) (x) + (2x1) (1x2) = -9 2-2 + 2 0 1 1 + 1-0 2 C Demanda 2 t = 1
PASO 1 : A cada una de las casillas del circuito se le suma o resta el valor de t dependiendo del signo asignado. CR-F = (0x2) (x) + (2x1) (1x2) = -9 2-2 + 2 0 1-1 0 + 1 1 + 1-0 2 + 1-1 C Demanda 2
PASO 1 : Con esto la tabla inicial cambió y a esta nueva tabla se le debe repetir todos los pasos desde el 1. El algoritmo termina cuando en alguna tabla todos los costos relativos sean positivos. 2-2 + 2 0 1 1 + 1-0 2 C Demanda 2
PASO 16 : Esta es la nueva tabla a la cual se le debe aplicar todo el algoritmo DE PRUEBA DE OPTIMALIDAD nuevamente desde el paso 1. 2-2 + 2 0 1 1 + 1-0 2 C Demanda 2 Recuerde : El algoritmo termina cuando TODOS los costos relativos sean positivos.
PASO : GRACIAS