Resolución de Problemas Mgr. Corina Flores Villarroel UMSS Programa MEMI
Contenido 1 Introducción Programación y Matemáticas 2 Desarrollo de habilidades de pensamiento 3 Resolución de problemas Problema Modelo de Polya Ejercicios
Introducción: Programación y Matemáticas Acelerado desarrollo tecnológico en áreas de la computación y telecomunicaciones Campos que han fundamentado su crecimiento en las ciencias puras siendo una de ellas las matemáticas ha aportado con una variedad de temas que se encuentran incluidos dentro de las Matemáticas Discretas.
Introducción: Matemáticas y programación Por ejem. Matemáticas Discretas, trata sobre el conocimiento y explicación de fenómenos discretos y procesos finitos, servirán para aplicaciones posteriores dentro de la formación de los futuros ingenieros en informática y al mismo tiempo permitirán conocer como trabajan estas modernas herramientas que son las computadoras. Ejemplos: diseño de bloques, flujo de redes, diseño de circuitos, asignaciones horarias o de tareas,...)
Introducción: Matemáticas y programación Por citar algunos conceptos Conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común. A = {2,4,6,8,10} Se lee: A es el conjunto formado por los números 2, 4, 6, 8 y 10. Par ordenado: un par ordenado (a,b) es un par de objetos en el cual el orden en el que estos se consideran debe ser: primero a y después b. Ejemplo: En un curso hay 12 mujeres y 20 hombres. Se puede representar como: (12, 20) Los pares ordenados ( 3, 4 ) y ( 5, 2 ) representados en el siguiente plano cartesiano (gráfico):
Introducción: Matemáticas y programación Por citar algunos conceptos Relaciones: un conjunto de pares ordenados. a) Sean los conjuntos X = {a, b, c, d} y Y = {1, 2, 3, 4}, definir una relación R de X en Y R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} Matriz: una manera conveniente de representar una relación R de X a Y. Se etiquetan las filas con elementos de X, y se etiquetan las columnas con elementos de Y. Formar la matriz de relación de los siguientes conjuntos: R = {(1, b), (1, d), (2, c), (3, c), (3, b), (4, a)} Donde X = {1, 2, 3,4} y Y = {a, b, c, d} Considerando los ordenes: 1, 2, 3, 4 y a, b, c, d tenemos la matriz:
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento La programación exige de Habilidades Básicas de Pensamiento (HBP): Habilidades intelectuales: Observar un fenómeno o situación Comparar Relacionar Clasificar Describir o representar Qué son las HBP? Son procesos mentales que permiten el manejo y la transformación de la información, facilitan la organización y reorganización de la percepción y la experiencia.
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento La observación: Uno de los primeros pasos del pensamiento a través del cual entramos en contacto con el mundo real. Según (Sánchez, 1995), es el proceso de fijar atención en una persona, objeto, evento o situción a fin de identificar sus características.
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento La observación: La observación tiene dos momentos: uno concreto y otro abstracto. El momento concreto tiene que ver con el uso de los sentidos para captar las características de la persona, objeto, evento o situción y el momento abstracto tiene que ver con la reconstrucción de los datos en la mente. Momento Abstracto Momento Concreto
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento La comparación: Según (Sánchez, 1995), es una extensión de la observación para determinar semejanzas y diferencias en base a variables seleccionadas. Una variable, es un tipo de característica del objeto de observación. Pueden tomar diferentes valores a su vez, estos valores pueden ser cualitativos o cuantitativos.
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento La comparación: Características: Color > {rojo, verde, amarilla} Variable Valores
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento La comparación: En el proceso de comparación, el establecimiento de semejanzas permite generalizar, el establecimiento de diferencias particularizar y como consecuencia de ambos comparar
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento La relación: Es un paso siguiente a la comparación, ya que en la compración se establecen semejanzas y diferencias de manera independiente y la relación se llega a un paso más allá en el procesamiento de la información, ya que en base a las semejanzas y diferencias se establecen conexiones entre ellas. Las relaciones pueden expresar equivalencias, similitudes, o diferencias y se pueden expresar utilizando expresiones como mayor que, igual que, menor que, etc.
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento La relación: Las relaciones pueden expresar equivalencias, similitudes, o diferencias y se pueden expresar utilizando expresiones como mayor que, igual que, menor que, etc. El peso de la manzana roja es mayor que de la manzana amarilla
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento La clasificación: Es un proceso mental que permite realizar dos tipos de operaciones: 1. Agrupar conjuntos de objetos en categorías denominadas clases. 2. Establecer categorías, esto es, denominaciones abstractas que se refieren a un número limitado de características de objetos o eventos y no a los objetos directamente.
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento La clasificación: Manzanas Características: color tamaño peso
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento La descripción, representación: Es un proceso mediane el cual se informa de manera clara, precisa y ordenada de las características del objeto, persona evento, mediante: 1. Lenguaje natural 2. Algoritmo 3. Modelo 4. Lenguaje de programación
Problema Diferentes profesiones requieren de los procesos para resolver problemas las matemáticas pueden ayudar a resolverlos. Los problemas pueden ser planteados mediante descripciones detalladas o simplemente como preguntas. Así, por ejemplo: Invertí 200 Bs y en 3 semanas gané 1500 Bs Cuántos bolivianos netos gané por mes?
Modelo de Polya Comprender el 1 problema 4 Revisar Desarrollar un plan 2 Llevar a cabo el 3 plan
Modelo de Polya Comprender 1el problema Leer detenidamente el problema cuantas veces sea necesario para: 1. Identificar los datos 2. Identificar cual es la incógnita 3. Establecer la relaciones entre los datos y la incógnita 4 Revisar Desarrollar 2 un plan Llevar a cabo 3 el plan
Modelo de Polya 4 Revisar Comprender 1el problema Llevar a cabo 3 el plan Desarrollar 2un plan Seleccionar: 1. Las operaciones a realizar con los datos 2. Definir el o los resultados esperados 3. Dividir el problema en subproblemas 4. Realizar un diagrama o modelo 5. Establecer los pasos o estrategia seguir para conseguir los resultados
Modelo de Polya Comprender 1el problema Proceder a: 1. Realizar las operaciones necesarias, de acuerdo a la estrategia seleccionada. 2. Resolver cada uno de los subproblemas identificados 4 Revisar Llevar a cabo 3 el plan Desarrollar 2un plan
Modelo de Polya Examinar: 1. Si los resultados están correctos. 2. Preguntarse si la solución es la adecuada 3. De ser necesario simplificar los pasos 4. Realizar pruebas con otros datos 4 Revisar Comprender 1el problema Llevar a cabo 3 el plan Desarrollar 2un plan
Estrategias El desarrollar un plan requiere emplear una variedad de estrategias. Una estrategia es un conjunto de acciones planificadas sistemáticamente (paso a paso) en el tiempo que se llevan a cabo para lograr un determinado fin. A continuación, veremos algunas que comúnmente utilizamos
Estrategia 1. Hacer una o más operaciones matemáticas Ejemplo: En el último tsunami ocurrido en Japón en una de sus plantas de petróleo ocurrió uno de los peores accidentes de derrame de combustible en la historia de ese país. Se cree que al menos 2 de sus 9 tanques se rompieron con el fenómeno, comenzando a derramar parte de los 1.5 millones de galones de combustible utilizados para generar energía eléctrica. Los 1.5 millones de galones de petróleo caben en 125 camiones cisternas a los que a diario se reparten. Cuántos galones de combustible caben en cada camión cisterna?
Estrategia 1. Hacer una o más operaciones matemáticas Resolución: Comprender el problema: La cantidad de petróleo en la planta es 1.5 millones. Esta cantidad cabe en 125 camiones cisternas. Cuál es la capacidad en galones de cada cisterna? Desarrollar un plan: Dividir 1.5 millones entre 125 camiones. Llevar a cabo el plan: 1,500,000 125 = 12,000 galones Revisar: 12,000 x 125 = 1,500,000 millones Solución: Cada cisterna tiene una capacidad de llevar hasta 12,000 galones de combustible.
Estrategia 2. Avanzar de atrás hacia adelante Ejemplo: En la aprobación del proyecto de ley electoral presentado ante una comisión de la Camara Plurinacional, hubo 7 votos a favor de representantes del Partido Oficial más que del Partido Opositor y el número de votos a favor del Partido Opositor fue el doble de los votos a favor de los representantes del Partido Independentista. Hubo 2 representantes del partido Independentista que votaron a favor de la aprobación del proyecto. Con cuántos votos a favor se aprobó el proyecto?
Estrategia 2. Avanzar de atrás hacia adelante Resolución: Comprender el problema: Se desea saber el número de votos a favor de la aprobación. Se conoce que del Partido Oficial hubo 7 votos más que el del Partido Opositor. Además, que el número de votos del partido Opositor fue el doble de los votos del Partido Independentista y que hubo 2 votos del Partido Independentista. Desarrollar un plan: Se aplicará la estrategia de trabajar de adelante hacia atrás. Primero, se utilizará el hecho que hubo 2 votos del Partido Independentista para determinar el número de votos del Partido Opositor. Luego, se determinará el número de votos del Partido Oficial. Por último, se sumará las tres cantidades.
Estrategia 2. Avanzar de atrás hacia adelante Resolución: LLevar a cabo el plan: Como hubo 2 votos del partido independista, hubo el doble o 4 votos del partido Opositor. Como del Partido Oficila hubo 7 más que del Partido Opositor, en este partido hubo 11 votos. Por tanto, en total hubo: 2 + 4 + 11 = 17 votos. Revisar: La cantidad obtenida parece razonable. Solución: Hubo 17 votos a favor del proyecto.
Estrategia 3. Buscar un patrón Ejemplo: Un inversionista observa que, en un periodo de 4 meses, el valor promedio de las acciones de una compañía aumenta de la manera siguiente: 34.5, 37, 39.5 y 42. De continuar así, a cuánto podría ascender en el octavo mes?
Estrategia 3. Buscar un patrón Resolución: Comprender el problema: Se desea saber el valor de las acciones en el octavo mes dado que los valores promedios en los primeros cuatro meses fueron: 4.5, 37, 39.5 y 42. Desarrollar un plan: Se aplicará la estrategia de buscar un patrón. Primero, se determinará la diferencia entre los valores consecutivos. De ser una cantidad constante, se utilizará la misma para calcular el valor promedio del quinto, sexto, séptimo y octavo mes.
Estrategia 3. Buscar un patrón Resolución: Llevar a cabo el plan: La diferencia entre cada valor consecutivo durante los primeros cuatro meses fue el valor constante 2.5. Por tanto, el valor promedio del quinto, sexto, séptimo y octavo mes será: 44.5, 47, 49.5, 52 respectivamente. Revisar: La diferencia entre cada valor consecutivo durante los primeros cuatro meses fue de 2.5. Por tanto, es razonable esperar que de continuar así (este patrón) el valor promedio del quinto, sexto, séptimo y octavo mes serán: 44.5, 47, 49.5, 52 respectivamente. Solución: El valor esperado de la acción en el octavo podría ascender a $52
Estrategia 4. Hacer uso de una fórmula Ejemplo: María y Lulú planean hacer su primer viaje a Grecia este verano. Averiguan que la temperatura promedio más baja en Grecia, durante el mes de Julio, es de 20 grados C (centígrados o grados Celcius), mientras que la temperatura más alta es de 35 grados C. Confundida María le pregunta a Lulú si debe llevar un abrigo de invierno. Lulú le señala que las temperaturas en Grecia se miden en grados Celcius y que en Bolivia en grados Fahrenheit (F). Deberá María llevar un abrigo?
Estrategia 4. Hacer uso de una fórmula Resolución: Llevar a cabo el plan: Se desea saber si María debe llevar un abrigo. Se presumirá que si las temperaturas son menores que 60 grados F, un abrigo de invierno será necesario. Se necesita saber cuales son las temperaturas en grados F equivalente a las temperaturas 20 y 35 grados C. Desarrollar un plan: Se aplicará estrategia de hacer uso de una fórmula. La fórmula para convertir grados C a grados F es: F = 9/5C + 32. Se calculará los grados F equivalente a 20 y 35 grados C, sustituyendo estos valores en la fórmula.
Estrategia 4. Hacer uso de una fórmula Resolución: Llevar a cabo el plan: LLevar a cabo el plan: F = 5(20)/9 + 32 = 43 grados F F = 5(35)/9 + 32 = 51 grados F Revisar: Se evalúan las fórmulas utilizando la calculadora un par de veces y los resultados coinciden. Por tanto, deben estar correctos. Solución: María debe llevar un abrigo de invierno.