Menor, cofactor y comatriz Sea A una matriz cuadrada de orden n. Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A i,j. Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2: El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M i, j = det( A i, j ). En el ejemplo, M 3,2 = 34 El cofactor de a i,j, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( a i,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) i + j. Se le nota c i, j = (-1) i + j M i,j o a i,j con una tilde encima. En el ejemplo, c 3, 2 = (-1) 5 34 = -34. La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a la relación: A tcom A = t com A A = det A I n, donde I n es la matriz identidad de orden n.
Matrices elementales Las matrices elementales son aquellas que se obtienen a partir de una operación elemental de matrices sobre la matriz identidad. Estas son: Obtenidas por escalamiento Obtenidas por eliminación Si multiplicamos alguna de estas matrices por una matriz A, será como aplicar las operaciones elementales de matrices. Es fácil ver que estas matrices tienen inversas, ya que pensando en ellas como matrices A se debe aplicar la operación "inversa". Por ejemplo, teniendo: Queremos que el elemento a 33 sea 1. Entonces: Matrices de permutación par:
Matrices de permutación impar:
Matriz adjunta Si se tiene una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(a) es la resultante de sustituir cada término de A por sus respectivos adjuntos. El adjunto de un término a i j de la matriz A resulta del determinante de la matriz que se obtiene de quitar a A la fila y la columna a la que pertenece el término a i j multiplicado por (-1) (i+j) Un ejemplo sería el siguiente: En general: dada la matriz su adjunto es
Matriz simétrica Una matriz de nxm elementos: es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y a ij = a ji para todo i,j =1,2,3,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal y que A es también, una matriz traspuesta. Ejemplo, para n = 3:
Matriz antisimétrica Una matriz de nxm elementos: es antisimétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y a ji = a ij para todo i,j =1,2,3,...,n. En consecuencia, a ii = 0 para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma: Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimetrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.
Matriz traspuesta Si A denota a la matriz nxm elementos: entonces la permutación de filas por columnas o viceversa, en la matriz A, produce a la matriz traspuesta: A será una matriz simétrica, si y solo sí, n = m y A T = A. Sean además A y B matrices apropiadas para las siguientes operaciones: 1. (A T ) T = A. 2. (A + B) T = A T + B T. 3. Para cualquier escalar ' r ', (ra) T = ra T. 4. (AB) T = B T A T
Matriz invertible En matemáticas, y especialmente en álgebra lineal, una matriz A de dimensiones n n se dice que es invertible, inversible o no singular si existe una matriz B de dimensiones n n tal que AB = BA = I n, donde I n denota la matriz identidad de orden n (dimensiones n n) y el producto utilizado es el producto de matrices usual. En este caso, la matriz B es única y se dice que es la inversa de A. Esto se denota por A -1. Una matriz no invertible se dice que es singular. La matriz inversa de A se denota por A 1 y satisface la igualdad: Esta viene dada por: donde = determinante de A, = matriz adjunta de A. = matriz traspuesta de la adjunta de A. Nótese que A tiene inversa si no es una matriz singular. Propiedades de la matriz inversa La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden: Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir: Y, evidentemente:
Teorema sobre la inversibilidad de las matrices cuadradas Si A es una matriz de orden n, entonces existe B tal que A*B=B*A=I si y solo si el determinante de A es distinto de cero. En una dirección rápidamente podemos ver esto: Si A es una matriz de orden n y existe B tal que A*B=B*A=I entonces el determinante de A es distinto de cero. A*B=B*A=I aplicamos la función determinante det(a*b)=det(b*a)=det(i) usando propiedades de los determinantes, además sabemos que det(i)=1 det(a)*det(b)=1 Por lo tanto, det(a) es distinto de cero.