Concepto de Estadística. Es frecuente que la Estadística se identifique con una tabla o colección de datos. De hecho, eso es una estadística. Pero que duda cabe que la Estadística no debe entenderse como una mera colección de datos, aunque los mismos se presenten de forma ordenada y sistemática. Esta forma de entender la Estadística tiene su origen en el significado etimológico del término. La palabra Estadística deriva de la latina status y se remonta a los tiempos en los que los estados-naciones recababan datos, especialmente sobre renta y población, a efectos de recaudación impuestos y mantenimiento del ejército. Esos datos se identificaban con el estado, razón por la cual terminaron conociéndose como estadísticas. En este sentido, la Estadística es tan antigua casi como el propio ser humano. Pero esta es una forma muy estrecha de entender y definir la Estadística. En cambio, la Estadística entendida como ciencia tiene un origen más reciente y el gran desarrollo de la misma ha tenido lugar, fundamentalmente, a lo largo del siglo XX. Como ciencia, la Estadística está formada por el conjunto de métodos y técnicas que permiten la obtención, organización, síntesis, descripción e interpretación de los datos para la toma de decisiones en ambiente de incertidumbre. Ese objetivo que persigue la Estadística con la organización y síntesis de los datos tiene su razón de ser en el hecho de que la misma se preocupa del estudio de los que podemos denominar como fenómenos de masas. Es decir, la Estadística no está interesada en el estudio de datos aislados, pues si la información es escasa no tiene sentido plantearse problemas de organización ni de síntesis. Así, si se estudian los gastos en publicidad de las empresas de una determinada rama de actividad y se tiene información para solo dos empresas, entonces, con esos dos datos no ha lugar plantearse si los mismos han de presentarse mediante una tabla o un gráfico o si deben resumirse mediante un promedio. Esa escasez de información no debiera ser nunca objeto de análisis estadístico, pues la descripción de la misma es irrelevante y a partir de ella poco se puede decir en relación con los gastos en publicidad de todas las empresas. La metodología estadística adquiere entidad cuando de lo que se trata es de analizar un elevado volumen de datos, pues por lo general, tras esa masa de datos se esconden ciertas regularidades o leyes de comportamiento que nos permitirán, una vez descritas, tomar decisiones en ambiente de incertidumbre, siempre que esta pueda cuantificarse en términos de probabilidad, pues esas decisiones se basan en leyes que, a diferencia de las leyes de la física, no son exactas sino que están sujetas a errores. La estadística es la ciencia que estudia cómo recolectar, ordenar y analizar datos procedentes de observaciones de fenómenos colectivos, permitiendo sacar conclusiones y tomar decisiones. 1
Utilidad e Importancia Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos, para organizar y resumir datos numéricos. La estadística descriptiva, por ejemplo trata de la tabulación de datos, su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas. Ahora bien, las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en mercadotecnia, contabilidad, control de calidad y en otras actividades; estudios de consumidores; análisis de resultados en deportes; administradores de instituciones; en la educación; organismos políticos; médicos; y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones. División de la Estadística La Estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas: la Estadística Descriptiva y la Inferencial. Estadística Descriptiva: consiste sobre todo en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos sin factores pertinentes adicionales; esto es, sin intentar inferir nada que vaya más allá de los datos, como tales. Estadística Inferencial: se deriva de muestras, de observaciones hechas sólo acerca de una parte de un conjunto numeroso de elementos y esto implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los datos. Como consecuencia, la característica más importante del reciente crecimiento de la estadística ha sido un cambio en el énfasis de los métodos que describen a métodos que sirven para hacer generalizaciones. La Estadística Inferencial investiga o analiza una población partiendo de una muestra tomada. La observación estadística. Está claro que la Estadística se dedica al estudio de los fenómenos de masas. Es decir, la Estadística centra su interés en la observación de colectivos amplios de entes o elementos, los cuales pueden ser personas o cosas. A esos conjuntos se les denomina en Estadística como Población. Población: Colección completa de todas las observaciones de interés para el investigador. En el caso de la observación exhaustiva o total, y si se asume que no hay errores de medida entonces, lo que se consigue es eliminar la incertidumbre. Frente a esa ventaja fundamental, la observación exhaustiva tiene un grave inconveniente: el costo. Se trata tanto de un costo monetario como en tiempo. Otra alternativa es la observación parcial. Esta implica que no se observa a toda la población, sino una muestra de la misma. En este caso se observará un subconjunto de elementos de la población, se puede decir que la muestra es una población de tamaño reducido Muestra: Porción representativa de la población, que se selecciona para su estudio porque la población es demasiado grande para analizarla en su totalidad. 2
Variables Es cada una de las características de los elementos de la población en estudio, ejemplo color de pelo de personas, cantidad de habitantes de un país, número de hijos por familia, peso de los alumnos de un colegio, tipo de música que escuchan, entre otras Las variables pueden clasificarse en cualitativas y cuantitativas. Una variable es cuantitativa cuando toma el valor numérico, coo el peso, la edad, número de hijos etc. Es cualitativa cuando no se expresa mediante números, ejemplo color de vehículos. A su vez las variables cuantitativas pueden clasificarse en discretas o continuas. Serán discretas cuando el número de valores sea finito o infinito numerable, es decir, cuando se obtienen por edición y pueden tener un numero entero o decimal por ejemplo el peso, la altura etc, mientras que una variable será continua cuando el número de sus valores sea infinito no numerable, o sea, se expresan con números naturales, y se obtienen por conteo, por ejemplo numero de habitantes. Resumiendo Variable: Característica de la población que se analiza en el estudio estadístico Cuantitativa: Si las observaciones se pueden expresar por medio de números Cualitativa: se mide por medios no numéricos Discreta: tan sólo puede tomar determinados valores, por lo general números enteros Continua: es la que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado Ejemplo Para hacer un estudio estadístico sobre la alimentación de los escolares de la ciudad, se han tomado los datos del 50% de los escolares De esto se puede deducir que la variable estudiada es: la alimentación de los escolares. La población son todos los escolares de la ciudad y La muestra el 50% de los escolares de la ciudad 3
Responde 1) Qué estudia la estadística? En qué ramas se divide? 2) Qué tipo de variable representa cada ejemplo? a) Número de habitaciones de las casas de un barrio. b) Preferencias de marcas de zapatos deportivos c) Número de estudiantes matriculados en un colegio d) Longitud de lanzamiento de jabalina en las olimpiadas 3) Escribe dos ejemplos de variables cuantitativas, dos variables cuantitativas discretas y dos variables cuantitativas de continuas 4) Lee los siguientes enunciados y determina lo que se pide. Para conocer la preferencia sobre los cantantes nacionales, en un colegio de 500 alumnos, se entrevistaron a 50 de ellos. 1) La población:... 2) La muestra:... 3) La variable estadística:... Se ha realizado un estudio sobre las tallas de los jóvenes de tu colegio. Se eligen 50 estudiantes al azar y se anotan sus tallas 1) La población:... 2) La muestra:... 3) La variable estadística:... Un campo de trigo tiene cultivada 1 500 000 plantes. Con el fin de estudiar su desarrollo se toman 30 plantas y se miden sus tallos. 1) La población:... 2) La muestra:... 3) La variable estadística:... 5) Escribe una variable posible a ser estudiada, delimita la población, escribe la muestra, y describe como obtener los datos 4
Método Estadístico La Estadística como ciencia que es, utiliza una metodología propia que recibe el nombre de método estadístico, este método generalmente se utiliza en la recolección de datos de una investigación. Para realizar un estudio Estadístico de un fenómeno, el proceso que se sigue es generalmente el siguiente: 1. Definir la variable a ser estudiada: Este es el primer paso tener bien claro que es lo que se va a estudiar. 2. Delimitar la población: No basta saber que es lo que se quiere estudiar. es preciso determinar con precisión a que elementos o individuos se va a aplicar el estudio. 3. Elegir una muestra: Teniendo en cuenta el tiempo de que se dispone, el presupuesto económico v la variable que se va a estudiar, se procede a la elección de una muestra. Las Técnicas de Muestreo, que son un conjunto de métodos de selección, contemplan distintas formas de elegir una muestra representativa de una población. 4. Recoger los datos: Los datos que se van a estudiar pueden ser recogidos directamente por el investigador; en muchas ocasiones se utilizan la encuesta para recoger información 5. Tabular los datos: Esta tarea consiste en ordenar y agrupar en una tabla, los datos obtenidos para su posterior análisis y estudio. Como resultado se obtienen las tablas de frecuencias o tablas estadísticas. 6. Analizar los datos: Una vez obtenidos y tabulados los datos, se procede a su análisis para determinar las características del fenómeno y enunciar las conclusiones pertinentes. En este análisis está incluido el estudio de las medidas de centralización y dispersión que posteriormente se verán. 7. Representación gráfica de los datos: Es la descripción del fenómeno y en la interpretación suele ser muy útil estudiar su representación gráfica. Hay diversas formas de representar gráficamente un fenómeno: Diagramas de líneas, de barras, de sectores, histogramas, pictogramas, pirámides de población, etc. Es el investigador quien decide cuál es conveniente utilizar en cada caso. siendo a veces conveniente elegir dos o tres representaciones gráficas de un mismo fenómeno. Aquí termina el cometido de la Estadística Descriptiva. De los pasos siguientes se ocupa la Estadística Inferencial 8. Estudiar la fiabilidad de la muestra: En muchas ocasiones el estudio se aplica a varias muestras distintas de la misma población. En este caso se trata de determinar si las diferencias que se pueden observar en los resultados de dos muestras distintas son, o no, considerables o significativas. 9. Extrapolar los resultados muéstrales a la población: Se trata de determinar cómo se comporta la población a partir del conocimiento del comportamiento de la muestra. 10. Contrastar Hipótesis: Se estudia la veracidad o falsedad de una hipótesis sobre el comportamiento de la población establecida. de antemano. a partir del estudio de la muestra. 5
Cantidad (f) Porcentajes (fr%) Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Representaciones Gráficas Un gráfico es una representación de la relación entre variables. Muchos tipos de gráficos aparecen en Estadística, según la naturaleza de los datos involucrados y el propósito del gráfico. Gráficos de Barras En uno de los ejes (abscisa) se marcan los datos y en el otro (ordenada) la frecuencia de cada dato. Se pueden presentar en forma horizontal o vertical. Como ejemplo se presenta la grafica correspondiente a la distribución de las calificaciones de 34 estudiantes del 7mo grado de una institución educativa. Calif f Fr% fa< Fa> 1 7 21 7 34 2 8 24 15 27 3 9 26 24 19 4 5 15 29 10 5 5 15 34 5 Total (N) 34 100 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Calificaciones 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 21% 24% 26% 15% 15% 1 2 3 4 5 Calificaciones Diagrama de Líneas Se realiza en un sistema de ejes cartesianos. En uno de los ejes (abscisa) se marcan los datos y en otro (ordenada) la frecuencia de cada dato. Como ejemplo se presenta la grafica correspondiente a la distribución de Tasa de desempleo en los Estados Unidos. Años f Fr% fa 1981 6 9,67 6 1982 5 8,06 11 1983 7 11,29 18 1984 8 12,90 26 1985 9 14,52 35 1986 9 14,52 44 1087 7 11,29 51 1988 6 9,67 57 1989 5 8,06 62 Total (N) 62 100 6
Frecuencia Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo 10 8 6 4 2 0 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 Años Gráficos Circulares Consiste en dividir un círculo en sectores circulares, de modo que la amplitud de cada sector sea proporcional a la frecuencia del dato que representa. Para conseguirlo basta con aplicar una simple regla de tres, tantas veces como sea necesario. Ejemplo: Se representa mediante un diagrama de sectores, frecuencia con que los empleados se llevan trabajo a casa. Variables Proporciones Nunca 48% Una vez al mes 22% Dos veces a la semana 9% 3-4 veces a la semana 8% Todos los días 13% Totales 100 Frecuencia con que empleados llevan trabajos a casa 9% 8% 13% 48% 22% Nunca Una vez al mes Dos veces a la semana 3-4 veces a la semana Todos los dias 7
Histograma Un histograma es un método útil y muy corriente de visualizar datos. Coloca las clases de una distribución de frecuencias en el eje horizontal y las frecuencias en el eje vertical. El área de cada barra rectangular proporcional a la frecuencia de la clase. Es fácil distinguir la frecuencia relativa de cada clase, al mismo tiempo que su frecuencia absoluta. Ojivas La información mostrada en una distribución de frecuencias acumuladas menor que y una distribución de frecuencias acumuladas o más también se puede representar de manera gráfica. El gráfico se llama ojiva. Pictograma: Se utiliza un dibujo relacionado con el tema, para representar cierta cantidad de frecuencias. Este tipo de gráfica atrae la atención por los dibujos, pero la desventaja es que se lee en forma aproximada. Cantidad de libros que se tiene en una biblioteca de una escuela 8
Tablas Estadísticas A través de las tablas estadísticas se pretende presentar información de forma clara y concisa, con el fin de facilitar el entendimiento y análisis de las cifras que allí aparecen. Una tabla estadística está formada por columnas y filas Tablas de Frecuencias Las tablas de frecuencias son los resultados de un proceso de tabulación de los datos recogidos en un estudio. Reflejan normalmente, la frecuencia absoluta, las frecuencias relativas, las frecuencias acumuladas, etc. Frecuencias Absolutas (f): Es el número de observaciones realizadas por una variable determinada. La suma de las frecuencias absolutas se representa por N, y refleja el total de los datos. Se suele denominar por lo general simplemente frecuencia. En síntesis es el número de veces que se repite un dato. Frecuencias Relativas (fr): Generalmente la información proporcionada por la frecuencia absoluta no permite afirmar directamente, si una frecuencia es alta o baja. Para ello se realiza una referencia al número total de datos obteniéndose así la Frecuencia Relativa de un dato, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. fr Si la frecuencia relativa se multiplica por 100 obtenemos la frecuencia relativa porcentual (fr%) f N f fr % 100 N Frecuencias Acumuladas (fa): Son frecuencias obtenidas al sumar la frecuencia absoluta de una variable con la correspondiente menor. A veces es útil mostrar el número total de ocurrencias por encima o por debajo de ciertos valores clave. La distribución de frecuencias acumuladas muestra el número total de ocurrencias que son menores o mayores que ciertos valores clave. Ejemplo: Ingresos de ejecutivos de la corporación Sumer. Ingreso anual ($) f fr fr % fa De 20,000 a menos de 30,000 5 0,058 6 5 De 30,000 a menos de 40,000 17 0,198 20 22 De 40,000 a menos de 50,000 22 0,256 25 44 De 50,000 a menos de 60,000 28 0,326 33 72 De 60,000 a menos de 70,000 14 0,163 16 86 Totales 86 Podemos determinar por ejemplo de los ejecutivos de la corporación Sumer, 72 ganan menos de $60,000. Observe que el último valor en la columna acumulada 86 es igual al número de observaciones (totales) 9
Ejercicios A) Una pequeña empresa tiene un total de 34 vendedores que trabajan en cinco oficinas. Las oficinas están numeradas del 1 al 5, los registros de la empresa indican que las respectivas oficinas de los vendedores son: 1, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 2, 5, 1, 2, 3, 5, 3, 1, 2, 3, 1, 5, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 1 Oficinas f fr fr% fa 1 7 0,206 21 7 2 8 0,235 24 15 3 9 0,265 25 24 4 5 0,147 15 29 5 5 0,147 15 34 Total (N) 34 1,000 100 En cuál de las oficinas trabajan mayor cantidad de vendedores y menor cantidad? Cuál es el porcentaje de vendedores en la oficina 5? Cuántos vendedores hay en las oficinas 1,2 y 3? B) Fueron encuestados 150 alumnos de un colegio acerca de cuántos libros habían leído en las vacaciones y se organizó la información en una tabla estadística. Cantidad de libros 0 30 1 69 2 27 3 15 4 6 5 3 Total (N) f fr fr% fa Cuántas personas han leído tres libros? Qué porcentaje de personas han leído 4 libros? Cuántas personas han leído menos de tres libros? Cuántos libros han leído la mayor cantidad de alumnos y cuántos la menor cantidad de alumnos? 10
Frecuencia Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo C) Se realizó una encuesta sobre preferencias de revistas a un grupo de 45 personas. Considera los resultados presentados en la siguiente tabla y, luego, responde las preguntas. Revista f fr fr% fa A 2 B 10 C 21 D 12 Total 1) Calcula las frecuencias relativas, porcentuales y acumulada 2) Cuántas personas prefieren la revista A? 3) Cuál es la revista de mayor preferencia, y cuál es la de menor preferencia? 4) Qué porcentaje de personas prefieren la revista C? 5) Qué tipo de variable representa la característica estudiada? D) Lee el siguiente enunciado y construye con los datos una tabla de frecuencia De los 40 estudiantes entrevistados en un colegio sobre su materia preferida, 11 respondieron Matemática, 9 Guaraní, 8 Sociales, 7 Comunicación y 5 Ciencias. E) Con los datos del gráfico construye una tabla de frecuencia. Estado civil de los pobladores de una pequeña ciudad 250 200 150 100 50 200 120 45 75 0 solteros Casados Viudos Divorciados Estado civil F) Las calificaciones en Estadística de 40 estudiantes se registran a continuación 3-3- 1-2- 1-2- 4-3- 3-2- 1-2- 2-4- 3-5- 5-4- 5-4- 1-3- 4-2- 2-5- 5-5- 3-3- 3-1- 2-1- 2-2- 1-1- 1-4 G) Los siguientes datos corresponden al número de hijos por familia en una muestra de 50 familias, empleadas en una fábrica de producción de alimentos. El gerente de personal desea entregar a cada familia una provisión alimenticia, pero el presidente le pone una condición, que los alimentos sean entregados solamente a los empleados cuyo número de hijos no sobrepase 3. El gerente preocupado por esta situación desea conocer cuál es el porcentaje de familias que no recibirán su provisión alimenticia. Puedes ayudarlo a organizar estos datos. 3-1- 5-4- 3-1- 4-2- 5-5- 3-4- 2-1- 4-3- 5-5- 4-2- 1-3- 2-1- 2-3- 5-3- 2-3- 2-3- 2-3- 3-2- 2-3- 3-3- 3-5- 5-4- 4-4- 4-4- 4-4. 11
Distribución de Frecuencias para Variables Cuantitativas (Datos agrupados) Cuando deseamos representar en una tabla estadística variables continuas tales como peso, talla, velocidad, etc, o cuando se trata de variables discretas donde el número de observaciones es muy grande y la cantidad de valores diferentes que toma la variable también, se recurre a agrupar los datos en intervalos. Cada uno de estos intervalos recibe el nombre de clase. A modo de ejemplo y para facilitar la interpretación de los pasos a seguir para la creación de los intervalos se presenta el siguiente ejemplo. Ejemplo: Luís Rojas, el dueño de la Tintorería Zorro, quiere saber el número de órdenes de trabajo que se procesan al día. Se elige una muestra aleatoria de días para el estudio. Luís quiere usar estos datos para entender el patrón que sigue su carga de clientes, pero es difícil entender tantos datos en bruto. Luís sabe que una distribución de frecuencias puede resumir estos valores. Espera con ello establecer un patrón de datos que le ayude a planear el servicio a sus clientes en el futuro. Clientes que acuden por día a la Tintorería Zorro, se realizaron 88 observaciones. 65 23 26 45 12 45 56 35 26 45 25 56 45 32 12 56 53 23 24 36 35 15 45 19 05 56 53 26 53 56 54 52 25 26 34 35 36 31 23 26 25 46 45 56 52 51 53 26 64 23 24 21 29 28 65 49 38 26 37 24 28 25 35 67 38 16 18 46 23 35 38 32 57 48 49 53 34 31 37 28 29 37 34 31 26 25 43 45 Para su estudio se procede a la agrupación de los datos en intervalos o clases según el siguiente criterio general: a) Se determina el mayor y el menor de todos los datos, luego se halla la diferencia entre ellos, obteniéndose de esta manera el rango de los datos. 67 5 = 62 se le suma 1, pues incluye el numero 5, por lo que tenemos rango 63 b) Dividir el rango en un número adecuado de intervalos de clase del mismo tamaño, si ello no es posible, usar intervalos de clases distintos o intervalos de clases abiertos. Se suelen tomar entre 5 y 20 intervalos de clases, según los datos. En el ejemplo si se quiere realizar grupos de siete números, o sea el tamaño de la clase de 7, pues 63 es múltiplo de 7. 63/7 = 9 entonces se tendrá 9 grupos de tamaño 7 c) Determinar el punto inicial de cada clase. En este caso será 5, pues es el límite inferior de la clase d) Determinar el número de observaciones que caen dentro de cada intervalo, esto es, hallar la frecuencia de cada clase. 12
Nº de clientes Conteo Marca de Clase 5 11 12 18 19 25 26 32 33 39 40 46 47 53 54 60 61 67 Total 88 f fr% fa Comentario de los valores observados en la tabla anterior La tabla nos muestra que hubo 55 días en los que acudieron 39 clientes o menos. De hecho, la tabla muestra que el 62% de los días acudieron 39 clientes o menos. Luís sabe que cuando se presentan 40 clientes en un mismo día tiene que dejar de atender a algunos de ellos. Mediante la tabla se puede decir que esto ocurrió en 33 días, o sea el 36% del tiempo. Con estos datos se puede concluir que Luís necesita más personal Intervalos de Clase y Límites de Clase: El símbolo que define cada clase, como 05 11, en la tabla anterior, se llama intervalo o amplitud de clase. Los números extremos 05 y 67 se llaman, límite inferior (05) y límite superior y su diferencia es el rango Tamaño o anchura de Clase (c): El tamaño o anchura de un intervalo o clase es la cantidad de datos que se incluyen dentro de una clase determinada. Puede ser calculada hallando la diferencia entre el límite inferior dos clases consecutivas. c = 12 5 = 7 Se observa que todos los intervalos tienen la misma anchura de clase 7 Marca de Clase (X): La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene promediando los límites superior e inferior de un mismo intervalo. Así la marca de clase del segundo intervalo es (18+12) / 2 = 15 13
1) Los precios al cierre (hasta el dólar más próximo) de las 50 primeras acciones enumeradas en la bolsa de valores de Nueva York con un valor entre $10 y $99 fueron los siguientes: 30 26 41 11 28 47 35 17 19 17 26 72 26 58 16 65 13 22 45 48 13 24 31 17 52 12 17 31 11 52 75 37 36 35 12 75 38 32 14 54 52 90 57 22 21 28 25 52 27 43 Elaborar una tabla de frecuencias con datos agrupados 2) Los siguientes valores corresponden a porcentajes de una prueba psicológica aplicada a los aspirantes para un puesto de trabajo 56 61 57 77 62 75 63 55 64 60 60 57 61 57 67 52 69 67 60 59 65 72 65 61 68 73 65 62 75 80 66 61 69 76 72 57 75 60 81 64 69 64 66 65 65 76 65 58 65 64 68 71 72 58 73 55 73 79 81 56 55 60 65 80 66 80 68 55 66 71 72 73 73 75 75 74 66 60 73 65 73 74 68 59 69 55 67 65 67 63 67 56 67 63 65 75 62 63 63 59 Elaborar una tabla de frecuencias con datos agrupados Medidas de Tendencia Central Las medidas de tendencia central se refieren al punto medio de una distribución, es decir, son valores numéricos que nos indican un valor central en torno del cual se distribuyen los restantes datos. También son conocidas como medidas de posición. Estas medidas son calculadas solamente para datos cuantitativos, exclusivamente; para los datos cualitativos no se utilizan estas medidas, pues no arrojan valores numéricos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son: La media aritmética, la mediana, la moda. Promedio es el término vulgar para media aritmética, en la labor estadística sin embargo, promedio es el término general para cualquier medida de centralización. 14
Media Aritmética ( X ): su número. La media aritmética o simplemente media, es la suma de las medidas observadas, dividida por Ejemplo: Cuando un alumno obtiene las calificaciones: 3, 4, 2, 5 y 3 en cinco asignaturas, su media aritmética de las calificaciones se obtiene sumando todas las calificaciones y dividiendo por el número de calificaciones. En este caso será: 3 4 2 5 3 17 X = 3, 4 5 5 La fórmula de la media aritmética para datos no agrupados es: X = En la cual: N es el número de medidas observadas X representa cada una de las medidas observadas significa suma de, en este caso la suma de cada una de las medidas N X Moda (Mo) Es el valor que aparece con más frecuencia en un conjunto de valores dados. En una distribución pueden existir dos o más modas. En estos casos se considera que la distribución es bimodal o multimodal, también puede darse el caso de no existir, en este caso es amodal. Ejemplo: Las notas de un examen de los diez alumnos de una clase son las siguientes: 3, 7, 6, 4, 8, 9, 5, 7, 8, 8. La moda es: 8 Mediana ( Me) Es el valor central en un conjunto ordenado de datos. Cuando el número de observaciones es impar, la mediana queda definida, es decir es el dato que ocupa el centro. Si el número de observaciones es par, el valor de la mediana se determina como el promedio de las dos observaciones centrales. Ejemplo 1: dados los siguientes valores, calcula la mediana 4, 8, 7, 3, 1, 5, 9 Se ordenan los datos 1 3 4 5 7 8 9 Es la mediana Ejemplo 2 : dados los siguientes valores, calcula la mediana 10, 15, 25, 42, 32, 29 10 15 25 29 32 42 Se realiza el promedio entre 25 y 29, o sea 25 29 54 Me = 27 2 2 Es la mediana 15
Media Aritmética para datos Agrupados En caso de que los datos están agrupados en una distribución de frecuencia, la media aritmética se calcula utilizando la formula siguiente X = f X N En la cual: N es el número de medidas observadas X representa el valor de la variable o la marca de clase del intervalo f es la frecuencia obtenida en cada intervalo o clase Significa suma de, en este caso la suma del producto parcial Mediana para datos agrupados Me Li N 2 faa i fc En la cual: Li es el límite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana N es el número de medidas observadas faa es la frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra la mediana fc frecuencia de la clase donde se encuentra la mediana i tamaño del intervalo Moda para datos agrupados Mo Li d 1 d d 1 2 i En la cual: Li es el límite inferior del intervalo donde se encuentra la moda d 1 es la diferencia entre la clase modal y la clase anterior d 2 es la diferencia entre la clase modal y la clase siguiente i tamaño del intervalo 16
Como ejemplo podemos calcular la media aritmética, la mediana y la moda de la siguiente tabla: Puntajes logrados por 200 adultos en un test de cancelación. Intervalo de clase = 4 Intervalos de clase f Marca de Clase X f X fa 135 138 3 131 134 5 127 130 16 123 126 23 119 122 52 115 118 49 111 114 27 107 110 18 103 106 7 N 200 Halla la media aritmética, la mediana y la moda de los Clientes que acuden por día a la Tintorería Zorro, de los datos procesados en la página 12, de este material. Nº de clientes Conteo 5 11 12 18 19 25 26 32 33 39 40 46 47 53 54 60 61 67 Marca de Clase f fr% fa Total 88 17