Espacio Muestral, se denota con la letra S, y representa el conjunto de todos los sucesos aleatorios. Por ejemplo: Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por: S= {Ø, {C}, {X}, {C,X}}. Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso seguro. Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos de E es 2 n. Una moneda S= {C, X}. Dos monedas S= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}. Un dado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pero estos espacios se pueden tornar mas interesantes cuando hay mas elementos dentro del experimento, es decir 2 dados, un dado y una moneda, bolas de colores y un dado entre otros, todo esto permite que se tome o no en cuenta el orden lo que quiere decir que se combinan o se permutan los posibles resultados del evento. Permutación Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que: Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. Ejemplos 1. Calcular las permutaciones de 6 elementos. P 6 = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720

2. Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5? m = 5 n = 5 Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes. 3. De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir. Combinación Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos. Ejemplos 1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4. 2. 2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana. No se repiten los elementos. Prof. Wilmer Adan Con lo anteriormente expuesto se puede definir con mas certeza el espacio muestral, por ejemplo, se lanza una moneda y un dado el espacio muestral seria el siguiente: S = {C1; C2; C3; C4; C5; C6; S1; S2;S3; S4;S5; S6; 1C; 2C; 3C; 4C; 5C;6C; 1S; 2S; 3S; 4S; 6S} Otra forma de representar los espacios muestrales es a través de los diagramas de árbol. DIAGRAMA DE ARBOL Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1. Ejemplos Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de: 1 Seleccionar tres niños.

2Seleccionar exactamente dos niños y una niña. 3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño. 1 Seleccionar tres niñas.

PRACTICA Se pide representar los espacios muestrales de los siguientes casos: 1Sean A y B dos sucesos aleatorios con: Hallar: 1 2 3 4 5 6 7 2Sean A y B dos sucesos aleatorios con: Hallar: 1 2 3 4

3Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: 1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. 1La primera bola no se devuelve. 4Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de: 1Sea roja. 2Sea verde. 3Sea amarilla. 4No sea roja. 5No sea amarilla. 5Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos: 1Con reemplazamiento. 2Sin reemplazamiento. 6Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? 7En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno: 1Sea hombre. 2Sea mujer morena. 3Sea hombre o mujer. 8Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar: 1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento. 2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento. 9Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: 1La probabilidad de que salga el 7.

2La probabilidad de que el número obtenido sea par. 3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres. 10Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que: 1Salga 6 en todos. 2Los puntos obtenidos sumen 7. 11Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4. 12Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: 1Un número par. 2Un múltiplo de tres. 3Mayor que cuatro. 13Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan: 1Dos caras. 2Dos cruces. 3Una cara y una cruz. 14En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche: 1Si se saca una papeleta. 2Si se extraen dos papeletas. 3Si se extraen tres papeletas. 15Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen. 16Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, cuál es la probabilidad de que la maten? 17A class consists of 10 men and 20 women, half men and half of women have brown eyes. Determine the probability that a randomly selected person is a man or having brown eyes.

18The probability that a man living 20 years is ¼ and that his wife alive in 20 years is 1/3. Calculate the probability: 1They both live 20 years. 2The man lives 20 years and his wife not. 3Both die before 20 years. 1 De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos? 2Con las letras de la palabra libro, cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal? 3 De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? 4 Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Cuántos de ellos son mayores de 70.000? 5 De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos? 6A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuántos saludos se han intercambiado? 7Con las cifras 1, 2 y 3, cuántos números de cinco cifras pueden formarse? Cuántos son pares? 8 Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49? 9 De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería? 10Con el punto y raya del sistema Morse, cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones? 11Una mesa presidencial está formada por ocho personas, de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? 12 Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices? 13Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer. 2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité. 3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité. Combinatoria. Ejercicios 1Halla el número de capicúas de ocho cifras. Cuántos capicúas hay de nueve cifras? 2Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: 1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. 2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos. 3Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas? 4Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, de cuántas formas posibles pueden ordenarse? 5Resolver las ecuaciones combinatorias: 1. 2. 3. 4. 6Resolver las ecuaciones combinatorias: 1. 2. 3. 7Resolver las ecuaciones combinatorias: 1.

2. 3. 8Resolver las ecuaciones combinatorias: 1. 2. 3. 4.