Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Unidad Culhuacán. Introducción a Ecuaciones Lineales. Autor: Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca.
Introducción. Los sistemas de ecuaciones lineales son aquellos que están representados por dos o más ecuaciones, que en común todas son de primer grado y tienen el mismo número de incógnitas en la mayoría de los casos. Estas incógnitas en estos sistemas tienen los mismos resultados en común. Un ejemplo claro de estos sistemas en un para par de ecuaciones de recta, donde su solución en común nos representa el punto de intersección entre ellas, y de no existir una solución en común no representa que estas son paralelas. Como se muestra en los ejemplos. La primera imagen muestra un par de ecuaciones de recta: r 1 2x 4y + 2 = 0 y r 2 4x + 2y 3 = 0 donde la primera recta está representada en color rojo y la segunda en color verde, el punto de intersección representa la solución del sistema. En la segunda imagen las rectas r 1 2x 4y + 2 = 0 y r 2 2x 4y 3 = 0, no se intersectan por lo cual se puede interpretar que no existe una solución al sistema de ecuaciones lineales. ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 1
Estos sistemas de ecuaciones son muy comunes de encontrarlos aplicados en otras áreas de las matemáticas así como en la ingeniería. Como ejemplo te podemos citar algunos casos como los temas de: Fracciones parciales. Integración por fracciones parciales. Transformada inversa de Laplace. Geometría analítica. Como recordara en el estudio del Algebra básica, anteriormente ya ha analizado estos sistemas de ecuaciones lineales en sus casos de dos y tres ecuaciones lineales, y a su analizo métodos algebraicos para la solución de los mismos. Por ejemplo en los sistemas lineales de dos incógnitas los métodos más comunes son: Sustitución. Igualación. Reducción. Determinantes (Regla de Cramer). Y en los sistemas de tres ecuaciones: Combinación de los métodos de sustitución, igualación y reducción. Gauss-Jordan. Determinantes (Regla de Cramer). Matriz inversa (se analizara en la Unidad de Matrices). Estos métodos pueden ser muy prácticos en estos casos, pero cuando los sistemas de ecuaciones resultan ser de cuatro o más ecuaciones simultaneas, estos resultan ser muy extensos, por lo cual en esta unidad de aprendizaje analizaremos los métodos de Gauss y Gauss-Jordan que nos dan una forma apoyada en matrices, para la solución de estos sistemas. ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 2
Sistemas de ecuaciones lineales. Como se ha comentado anteriormente los sistemas de ecuaciones lineales entonces son representados por dos o más ecuaciones de primer grado como se muestra en el ejemplo anterior una par de ecuaciones nos pueden representar un sistema de ecuaciones simultaneas de dos incógnitas. Las cuales se pueden dar entonces se dan de la forma: 2x 4y = 2 4x + 2y = 3 La cual se puede resolver por los métodos de reducción como se muestra. Recordaremos que para iniciar la reducción debemos buscar eliminar por una simple resta alguna de las variables que conforma el sistema de ecuación en este caso por ser más simple igualaremos el valor de las constes de y. Por lo cual obtendremos que 2x 4y = 2 2 (4x + 2y = 3) 2x 4y = 2 8x + 4y = 6 Y al reducir entonces generamos una ecuación donde la única incógnita será x 10x = 4 Y al realizar el despeje de la variable obtenemos el valor x = 2 En consecuencia ahora podemos sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de la otra incógnita 2 ( 2 ) 4y = 2 4y = 2 4 4y = 14 y = 14 4 y = 7 10 Entonces los valores deben de satisfacer al par de ecuaciones de lo contrario el resultado sería incorrecto, además de que como se comentó anteriormente de representar un par de ecuaciones de recta representan las coordenadas de intersección de las mismas. ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 3
El ejemplo anterior entonces solo representa un sistema de dos incógnitas, pero entonces estos sistemas pueden representar un grupo de mayor de ecuaciones e incógnitas como por ejemplo: 3x 1 + 2x 3 = 3 x 1 x 2 + 4x 3 = 6x 2 6x 3 = 0 Este sistema entonces representa un sistema de tres ecuaciones simultáneas, aunque como se puede observar las tres ecuaciones no tienen el mismo número de incógnitas pero si tienen en común las mismas, por lo cual entonces se puede buscar la solución de las mismas. Al buscar la solución de estas se observara que entonces se realiza una serie de combinaciones de los métodos de solución. Para empezar la solución primero de la ecuación 3x 1 + 2x 3 = 3, despejaremos el valor x 1. x 1 = 3 2x 3 3 = 1 2 3 x 3 Este valor ahora puede ser sustituido en x 1 x 2 + 4x 3 = 1 2 3 x 3 x 2 + 4x 3 = Entonces al reducir sus términos semejantes obtenemos x 2 + 10 3 x 3 = 4 Entonces esta nueva ecuación puede formar junto a la ecuación 6x 2 6x 3 = 0, un nuevo sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas porque estas en común ya solo tienen las mismas incógnitas. x 2 + 10 3 x 3 = 4 6x 2 6x 3 = 0 El cual entonces puede ser resuelto como el ejemplo anterior. Por ser más simple x 2, primero eliminaremos esa variable. 6 ( x 2 + 10 3 x 3 = 4) (6x 2 6x 3 = 0) ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 4
Y obtenemos 30x 2 + 20x 3 = 24 30x 2 30x 3 = 0 Que al ser reducida entonces 10x 3 = 24 x 3 = 12 Y ahora podremos obtener el valor de x 2, por medio de la ecuación 6x 2 6x 3 = 0 6x 2 = 6x 3 x 2 = x 3 x 2 = 12 Finalmente ahora también se puede obtener el valor de x 1 = 1 2 3 x 3 x 1 = 1 2 3 (12 ) x 1 = 1 8 x 1 = 13 Bien ahora entonces tenemos los resultados del sistema de ecuaciones: x 1 = 13, x 2 = 12 y x 3 = 12 ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA