GRADE 9th GRADE LEARNING UNIT RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS SUBJECT MATH

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1 SUBJECT MATH GRADE 9th GRADE LEARNING UNIT RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS TITLE OF LEARNING OBJECT Resolver problemas mediante la solución de sistemas de ecuaciones de 2 ecuaciones con dos incógnitas CURRICULAR AXIS Pensamiento numérico y sistemas numéricos. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. STANDARD Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. COMPETENCIES BASIC LEARNING RIGHTS Plantea sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y los resuelve utilizando diferentes estrategias. LEARNING OBJECTIVES - Resolver problemas mediante la solución de sistemas de ecuaciones de 2 ecuaciones con dos incógnitas. - Identificar propiedades de las igualdades que le permitirán resolver ecuaciones. - Resolver situaciones problema que pueden ser modeladas con ecuaciones lineales 2 x 2. SKILLS/ KNOWLEDGE SCO 1: Deducción de propiedades de las igualdades. - Realiza sumas a ambos lados de una igualdad. - Conjetura acerca de las características que debe tener la suma a ambos lados de la igualdad para que la igualdad se mantenga. - Realiza multiplicaciones a ambos lados de una igualdad. - Conjetura acerca de las características que debe tener la multiplicación a ambos lados de la igualdad para que la igualdad se mantenga. - Verifica si al sumarse o restarse dos igualdades el resultado también es una igualdad. SCO 2: Reconoce los métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales. - Identifica los elementos de una ecuación lineal. - Describe cada pareja ordenada (x,y) de una ecuación lineal, como una solución porque hace

2 verdadera la igualdad. - Identifica un sistema de ecuaciones como un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos variables. - Resuelve un sistema de 2 ecuaciones mediante el proceso de sustitución. - Resuelve un sistema de 2 ecuaciones mediante el proceso de eliminación. - Resuelve un sistema de 2 ecuaciones mediante el proceso de igualación. - Resuelve un sistema de 2 ecuaciones mediante el proceso gráfico. - Resuelve un sistema de 2 ecuaciones mediante el proceso de determinantes. LEARNING FLOW ASSESSMENT GUIDELINE Introducción Objetivos. El docente presenta los objetivos y puede establecer otros si lo considera pertinente. Desarrollo Actividad 1: Cómo solucionar una ecuación. Actividad 2: Métodos de solución sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Actividad 3: Método de Kramer o determinantes. Resumen Tarea Evaluación Glosario El estudiante soluciona sistemas de ecuaciones lineales 2x2 con diferentes metodos. Stage Learning flow Teaching/Learning Activities Recommended Resources Introduction Introducción A partir de una animación el docente presenta una situación la cual puede ser solucionada planteando un sistema de ecuaciones 2x2. animación El docente debe hacer evidente que existen infinidad de situaciones que se

3 pueden modelar con sistemas de ecuaciones, por lo que es necesario el estudio de sus métodos de solución. Contenido Actividad 1 Actividad 1: Cómo solucionar una ecuación SKILL - Realiza sumas a ambos lados de una igualdad. - Conjetura acerca de las características que debe tener la suma a ambos lados de la igualdad para que la igualdad se mantenga. - Realiza multiplicaciones a ambos lados de una igualdad - Conjetura acerca de las características que debe tener la multiplicación a ambos lados de la igualdad para que la igualdad se mantenga. avatar y ejemplos para presentar las explicaciones. Material imprimible. El docente realiza una indagación acerca de lo que los estudiantes recuerdan sobre qué son ecuaciones, enfatizando en que son igualdades con incógnitas, para de este modo ahondar en las propiedades de la monotonía, las cuales justifican los procedimientos para su solución. Actividad de aprendizaje propuesta: 1. Con base en lo anterior, solucione las siguientes ecuaciones: a. 3x 4 = 16 b. x + 3 = 10 2 En sus palabras escriba las condiciones que deben cumplir los números seleccionados para multiplicarlos o sumarlos a ambos lados de las ecuaciones. 2. A continuación se muestra la ecuación 2 x + 4 = 3 y los pasos para 7 solucionarla en desorden. Ordene dichos pasos y argumente cada uno de ellos.

4 2 x = x = 3 4 x = 7 2 ( 7 2 ). 2 7 x = 1 (7 2 ) Actividad 2 Actividad 2: Métodos de soluciòn sistemas de ecuaciones lineales 2x2 SKILL - Verifica si al sumarse o restarse dos igualdades el resultado también es una igualdad. - Identifica los elementos de una ecuación lineal. - Describe cada pareja ordenada (x, y) de una ecuación lineal, como una solución porque hace verdadera la igualdad. - Identifica un sistema de ecuaciones como un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos variables. - Resuelve un sistema de 2 ecuaciones mediante el proceso de sustitución. - Resuelve un sistema de 2 ecuaciones mediante el proceso de eliminación. - Resuelve un sistema de 2 ecuaciones mediante el proceso de igualación. - Resuelve un sistema de 2 ecuaciones mediante el proceso gráfico. El docente retoma la introducción para definir qué es un sistema de ecuaciones, para luego mostrar cómo se solucionan, en particular, sistemas de ecuaciones 2x2, mostrando que los métodos tienen algo en común, todos buscan obtener del sistema una única ecuación con una única incógnita. Actividad de aprendizaje propuesta: infografía e imágenes para desarrollar las explicaciones. Además un sabías que y un punto de reflexiòn Material imprimible.

5 Actividad 3 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con cada uno de los 4 métodos expuestos anteriormente. 4x + 9y = 2 a. { x = 14 3y x + 10y = 2 b. { 1 x + 5y = x + 7y = 2 c. { x y = 14 Actividad 3: Método de Kramer o determinantes SKILL - Resuelve un sistema de 2 ecuaciones mediante el proceso de determinantes. El docente generaliza el método de eliminación para obtener fórmulas en términos de los coeficientes numéricos de las incógnitas que conforman el sistema de ecuaciones. Luego, definirá la matriz y determinante, para mostrar la relación de la generalización del método de eliminación con las determinantes. Actividad de aprendizaje propuesta: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de determinantes. Utilice otro de los 4 métodos vistos en la actividad anterior para verificar su respuesta: 2x + 7y = 2 1. { x y = 14 2x + y = 6 2. { 16x 8y = 48 Infografia presentando explicaciones. Material imprimible.

6 x + y = 1 3. { 2x 2y = 15 Resumen Resumen El resumen contempla los siguientes aspectos: - Una ecuación es una igualdad con incógnitas. - Las igualdades poseen unas propiedades llamadas monotonía. - Dichas propiedades son las que permiten solucionar una ecuación. - Dependiendo el número de incógnitas involucradas y relacionadas en una situación problema, se debe poder plantear un número igual de ecuaciones, para así poder obtener una solución. - El conjunto de ecuaciones que se define de una situación es llamado sistema de ecuaciones. - Cada ecuación es una condición. La solución del sistema son los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones a la vez. - Un sistema de ecuaciones 2x2 es aquel que tiene dos ecuaciones e involucra dos incógnitas. (En particular, las actividades se centran con sistemas de ecuaciones grado 1) - Un sistema de ecuaciones puede tener una única solución, no tener solución o tener infinitas soluciones. - Existen varios métodos para solucionar sistemas de ecuaciones 2x2. Entre ellos destacan los métodos de eliminación, sustitución e igualación, los cuales buscan reducir el sistema a una ecuación con una sola incógnita. - Otro método para solucionar sistemas de ecuaciones es el grafico, en el cual se escriben las ecuaciones como funciones lineales. La coordenada del punto de corte indica la solución del sistema. - Un ultimo método es conocido como determinantes o regla de Kramer. Éste es considerado una generalización del método de eliminación. infografía. Assignment/ homework Tarea En la tarea se proponen dos funciones cuyas antiderivadas o primitivas no son sencillas de obtener por métodos de integración usuales; de tal manera que pueda hacer uso del método de los trapecios para hallar aproximaciones a las áreas bajo la curva de dichas funciones en los intervalos establecidos. Actividad abierta, para entregar al profesor en físico. Material

7 imprimible Evaluation Evaluación 1. Según el método gráfico para la solución de un sistema de ecuaciones 2x2, cuándo un sistema tiene infinitas soluciones? a. Cuando las rectas se intersecan en un punto. b. Cuando las rectas están una sobre la otra. c. Cuando las rectas no se intersecan. d. Cuando las rectas se intersecan a lo mas en tres puntos. preguntas de selección múltiple, de falso o verdadero, y de completar. Retroalimentación respuesta correcta: Correcto! Cuando una recta está sobre otra, se puede interpretar como que se intersecan punto a punto o que tienen en común infinitos puntos. Retroalimentación respuesta incorrecta: Revisar la gráfica de dos rectas que coinciden o son la misma. 2. Determine si los enunciados 2 y 3 son verdaderos (V) o falsos (F). La 3x + 7y = 2 solución del sistema de ecuaciones { es x = 36/5, y = 14/ x y = 10 5 verdadero Retroalimentación respuesta correcta: Correcto! Al reemplazar los valores de x y y en las dos ecuaciones que componen el sistema de ecuaciones, dichos valores satisfacen las igualdades. Retroalimentación respuesta incorrecta: Utilizar alguno de los métodos vistos para verificar los valores para x y y. 10x 20y = 2 3. El sistema de ecuaciones { tiene infinitas soluciones. 2x 4y = 10

8 falso Retroalimentación respuesta correcta: Correcto! Al graficar las dos rectas que representa cada ecuación, éstas son paralelas. Al ser paralelas el sistema no tiene solución. Retroalimentación respuesta incorrecta: Revisar gráficos de funciones lineales y afines. Respuesta corta. 4. Observe la solución de la siguiente ecuación: 2x 3 = 7x + 5 2x = 7x (I) (II) 2x = 7x + 8 (III) 2x = 7x + 8 7x (IV) 2x = 8 (V) 2x ( 1 2 ) = 8 (1 2 ) x = 4 (VII) (VI) Con base en el anterior procedimiento en qué reglón está el error? IV Retroalimentación respuesta correcta: Correcto! Por las propiedades de la monotonía, si se quiere eliminar 7x del lado derecho de la igualdad se debe sumar en ambos lados de la igualdad 7x. Retroalimentación respuesta incorrecta: Revisar propiedades de monotonía de las igualdades. 5. Un sistema de ecuaciones lineales 2x2 con una única solución se representa gráficamente con:

9 a. Dos rectas que se intersecan en un punto. b. Dos rectas paralelas. c. Dos rectas que coinciden o tienen en común todos sus puntos. d. Una recta que se interseca con uno de los ejes del plano cartesiano. Retroalimentación respuesta correcta: Correcto! El punto que tienen en común las dos rectas que representan el sistema de ecuaciones son los valores (x, y) que satisfacen las 2 ecuaciones. Retroalimentación respuesta incorrecta: dos paralelas representan un sistema sin solución. Dos rectas que coinciden en todos sus puntos representan un sistema con infinitas soluciones. Una recta que se interseca con uno de los ejes del plano no representa un sistema de ecuaciones. Glossary Glosario Determinante de una matriz 2x2: El determinante de la matriz 2x2 A = [ a b c d ] es det(a)) = A = ad bc Texto Matriz: una matriz de m n es un conjunto rectangular de números con m renglones y n columnas. a 11 a 12 a 13 a 14 a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4n a m1 a m2 a m3 a m4 a mn Decimos que la matriz tiene dimensión m n. Los números a ij son las entradas de la matriz. El subíndice de la entrada a ij indica que esta en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna. Sistema de ecuaciones: un sistema de ecuaciones es un conjunto de

10 ecuaciones con las mismas incógnitas. Definiciones tomadas de: Stewart, J. (2012). (6ta edición). Precálculo, Matemáticas para el cálculo. Ciudad: Cengage Learning.