ÁLGEBRA LINEAL GEOMETRÍA

ÁLGER LINEL GEOMETRÍ ESPCIO VECTORIL DE LOS VECTORES LIRES: V 3 Se llama vecto fijo de oigen y extemo al egmento oientado. Si el oigen y el extemo coinciden, hablamo del vecto nulo : = 0. Un vecto fijo queda caacteizado po u: " noma" ( o" módulo") : = " diección" : la de la ecta " entido" : de a En el conjunto de lo vectoe fijo del epacio e define la elación de equipolencia : do vectoe fijo on equipolente i ambo on nulo o, en cao contaio, " mima noma" : = MN MN " mima diección" : " mimo entido" : MN (,,N,M ) paalelogamo M MN N Un vecto libe v e el conjunto fomado po un vecto fijo y todo u equipolente. e un epeentante de v. El conjunto de todo lo vectoe libe del epacio e epeenta po V 3. Lo vectoe libe e identifican con u epeentante. OPERCIONES CON VECTORES LIRES Se definen la uma de vectoe libe y el poducto de un ecala po un vecto como e abido: X v λ v ( λ > 0) w = u + v u w v OX = O + X O O X = OX O µ v ( µ < 0) PROPIEDDES DE L SUM DE VECTORES LIRES (INTERN). ociativa: u + ( v + w ) = ( u + v ) + w [ = u + v + w] GEOMETRÍ. Vecto nulo (neuto de la uma): u + 0 = 0 + u = u 3. Vecto opueto: u + ( u ) = ( u ) + u = 0 u = u = 4. Conmutativa: u + v = v + u

( ) PROPIEDDES DEL PRODUCTO POR UN ESCLR (EXTERNO). Ditibutiva epecto a la uma de vectoe: λ u,v R V λ u + v = λ u + λ v ( ) ( ) ( ). Ditibutiva epecto a la uma de ecalae: λ, µ u R V λ + µ u = λ u + µ u ( ) ( ) ( ) 3. Peudoaociativa (ociatividad mixta): λ, µ R u V λ µ u = λ µ u 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 4. R e un opeado neuto: u V u = u 3 ( ) V 3 R ; +,, R e un epacio vectoial obe el cuepo R de lo númeo eale: el epacio vectoial de lo vectoe libe del epacio tidimenional. COMINCIONES LINELES DE VECTORES LIRES. (Dependencia e independencia lineal) Si u,v,w V3, e dice que w e combinación lineal de u y v i exiten do ecalae λ, µ R tale que w = λ u + µ v. El vecto nulo e combinación lineal de cualquie itema de vectoe, pue: 0 = 0 u + 0 v + 0 w. Eta e la combinación lineal nula tivial. Un conjunto de vectoe libe { u,v,w} 3 e dice que e linealmente independiente ( libe ) i la única combinación lineal nula de ello e la tivial. Eto equivale a que ninguno de lo vectoe e puede ecibi como combinación lineal de lo demá. Sean u,v y w te vectoe libe de V3. Entonce: { } { u,v} { u,v,w} u e linealmente independiente u e no nulo. e linealmente independiente u y v on no nulo y no colineale (no paalelo). e linealmente independiente lo te on no nulo y no coplanaio. Un conjunto de vectoe libe { u,v,w} e linealmente dependiente ( ligado ) i exiten combinacione lineale nula no tiviale (po ejemplo: 3 u v + 5 w = 0.Eto equivale a que alguno de lo vectoe e puede ecibi como combinación lineal de lo demá ( v = 3 u + 5 w ). Sean u,v y w te vectoe libe de V3. Entonce: { } { u,v} { u,v,w} u e linealmente dependiente u e nulo. e linealmente dependiente alguno e nulo o on colineale (paalelo). e linealmente dependiente alguno e nulo o on coplanaio. { u } i colineale l. dep. g u = ( ) i u,v no colineale { } l. indep. g u,v = ( ) u,v,w coplanaio { } l. dep. g u,v,w = ( ) u,v,w no coplanaio { } l. indep. g u,v,w = 3 ( ) En V 3, el máximo númeo de vectoe linealmente independiente e 3. GEOMETRÍ

SES (ORDENDS) DE V 3. (Componente de un vecto libe) Una bae (odenada) de V 3 e una tena odenada de vectoe libe no nulo y no coplanaio = e,e,e = i, j,k. (linealmente independiente) ( 3 ) ( ) Todo vecto v de V 3 e puede expea de modo único como combinación lineal de lo vectoe de una bae: v = v e + v e + v3 e3 = x i + y j + z k. v = v,v,v = x, y,z. Éta on la componente del vecto v epecto a la Se uele ecibi ( ) ( ) bae. 3 OPERCIONES CON VECTORES TRVÉS DE SUS COMPONENTES EJEMPLO u = ( u,u,u3 ) u + v = u + v,u + v,u + v v = ( v,v,v3 ) λ u = λ u, λ u, λ u3 λ R GEOMETRÍ 3 ( 3 3 ) ( ) Conidea lo vectoe u = (,,0 ),v = (,0,) y w = ( 0,,). a) Demueta que on linealmente independiente [po lo tanto, foman una bae]. x =,6, u,v,w. b) Expea el vecto ( ) como combinación lineal de { } Paa el apatado a) e uele pocede de una de eta te foma equivalente: a) Mediante la definición: upongamo que exite una combinación lineal nula λ u + µ v + ν w = 0 ; e deci λ,,0 + µ,0, + ν 0,, = 0,0,0. ( ) ( ) ( ) ( ) Entonce: λ + µ = 0 λ = µ ( λ + µ, λ + ν, µ + ν ) = ( 0,0,0) λ+ ν = 0 µ + ν = 0 ν = 0 λ = µ = ν = 0 µ ν 0 + = µ + ν = 0 E deci, la única combinación lineal nula poible e la tivial: luego on l. independiente. a) Mediante opeacione elementale: ecibamo una matiz que tenga po fila la componente de lo vectoe dado y hallemo una matiz ecalonada equivalente po fila 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Eto indica que g() = g(u,v,w ) = 3, y lo vectoe dado on l. independiente. a3) Calculando el deteminante de : 0 = 0 = 0 la te fila on linealmente independiente. 0

: b) Expeemo x como combinación lineal de { u,v,w} í: x = λ u + µ v + ν w ( ),6, = λ (,,0 ) + µ (,0,) + ν (0,,) λ + µ =,6, = λ + µ, λ + ν, µ + ν λ + ν = 6 λ = ; µ = 3; ν = 4 µ + ν = ( ) ( ) x = u 3 v + 4 w ( ),6, = (,,0 ) 3 (,0,) + 4 (0,,) [Ejecicio,, 3, 4, 5] ESPCIO VECTORIL EUCLÍDEO DE LOS VECTORES LIRES: [V 3, ] Si al epacio vectoial V 3 e le dota de un poducto ecala e obtiene el epacio vectoial euclídeo [V 3 ; ]. E deci, el popio V 3 povito de una nueva heamienta: el poducto ecala. Eto pemite aboda nuevo poblema: lo poblema euclídeo (poblema mético). PRODUCTO ESCLR DE DOS VECTORES LIRES El poducto ecala e una función que a cada pa de vectoe libe u,v V3 le aocia un númeo eal u v R (e deci, un ecala): 0, i alguno e nulo ( u,v ) f ( u,v ) = u v = u v co( u,v ), en oto cao. PROPIEDDES ilineal: u ( v + w) = u v + u w ( u + v ) w = u w + v w ( λ u ) v = u ( λ v ) = λ ( u v ) Simética: u v = v u u u 0 u u = 0 u = 0 Poitividad: ( ) Conecuencia (Ditibutivo po izquieda) (Ditibutivo po la deecha) (ociatividad mixta) (Conmutativo) a + b = a + b a + b = a a + a b + b a + b b = a + a b + b a b = a b a b = a a a b b a + b b = a a b + b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a + b ) ( a b ) = a a a b + b a + b b = a b NORM DE UN VECTOR Pueto que ( co u,u ) = co 0 = e tiene que u u u = u u = u, luego = + u u λ v = λ v GEOMETRÍ 4

VECTORES UNITRIOS. NORMLIZCIÓN DE UN VECTOR Un vecto e unitaio i u noma e : u =. Si un vecto no nulo u 0 e no unitaio, e puede obtene un vecto unitaio, diección y entido que u, in má que multiplicalo po el inveo de u noma: u o, con la mima u o = u u u o = u u u o = u u u Se dice entonce que e ha nomalizado el vecto u. También el vecto u e unitaio con la mima diección que u, peo con entido contaio. o VECTORES ORTOGONLES (PERPENDICULRES) Do vectoe u y v on otogonale i u poducto ecala e nulo. El vecto nulo e otogonal a cualquie oto. Si u y v on no nulo, deci que on otogonale equivale a deci que on pependiculae: co u,v co 90º 0 u v = = u v = 0 ( ( ) ) Deigualdad de CUCHY SCHWRZ x y x y ( Se da la igualdad x, y l. dependiente) { } Deigualdad tiangula (de MINKOWSKI) x + y x + y Teoema de PITÁGORS x + y x y x + y = x + y x + y x y SES ORTONORMLES = i, j,k e otonomal i u vectoe on otogonale do a do y unitaio: Una bae ( ) i j = i k = j k = 0 = ( i, j,k ) otonomal i = j = k = i k j GEOMETRÍ 5

PRODUCTO ESCLR EN SES ORTONORMLES una OTN y ean u = a i + b j + c k y v = l i + m j + n k componente u = ( a,b,c ) y v = ( l,m,n ) epecto a dicha bae. Entonce Sea = ( i, j,k ) u v = a l + b m + c n R do vectoe de De ahí que: y u = + u u = + a + b + c ( ) > 0, i u,v e agudo u v a l + b m + c n co ( u,v ) = = = 0, i u v u v a + b + c l + m + n < 0, i ( u,v ) e obtuo PROYECCIÓN ORTOGONL DE UN VECTOR SORE OTRO α agudo b a a α b α a b a b o o a = poy a = ( ) a b b α obtuo a b a b a = poy b ( a) = bo = b b b b La noma del vecto poyección otogonal de un vecto obe oto e igual al valo aboluto de u poducto ecala patido po la noma del vecto obe el que e poyecta EJEMPLO Conidea lo vectoe a = ( m,, ) y b = ( 3,0, 4 ) a) Calcula m paa que ean otogonale. b) Paa m =, calcula la noma del vecto poyección otogonal de a obe b. c) Paa m =, calcula la componente del vecto poyectado 4 a) a b a b = 0 3m 4 = 0 m =. 3 a b b) hoa a = (,, ) y b = ( 3,0,4 ), luego a = poy b ( a) = = =. b 3 + 0 + 4 5 a b a b c) a = poy b ( a) = bo = b = ( 3,0,4 ), y el vecto poyectado tiene entido contaio b b 5 al vecto obe el que e poyecta. GEOMETRÍ 6

PRODUCTO VECTORIL DE DOS VECTORES LIRES El poducto vectoial de do vectoe libe e oto vecto, epeentado po u v E3, definido como igue: 0, i alguno e nulo u v u v en ( u,v ) = ( u,v ) u v = u v u y u v v, en oto cao. entido acacocho de u a v PRODUCTO VECTORIL EN SES ORTONORMLES una OTN tal que i j = k, j k = i y k i = j. k k i j i j Sea = ( i, j,k ) y ean u = a i + b j + c k y v = l i + m j + n k v = ( l,m,n ) epecto a dicha bae. Entonce do vectoe de componente u = ( a,b,c ) i j k b c a c a b b c a c a b u v = a b c = i j + k =,, m n l n l m m n l n l m l m n y PROPIEDDES: u ( v + w ) = u v + u w (Ditibutivo po la izquieda) ( u + v ) w = u w + v w (Ditibutivo po la deecha) ( λ u ) v = u ( λ v ) = λ ( u v ) (ociatividad mixta) u v = ( v u ) (nticonmutativo) u v = 0 u y v on l. dependiente ( colineale / paalelo ) Intepetación geomética de la noma del poducto vectoial v α h = v enα u Áea paalelogamo = u v enα = u v C Áea tiángulo = C GEOMETRÍ 7

PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES LIRES El poducto mixto de te vectoe libe u,v,w E3 definido aí: [ u,v,w] = u ( v w) u,v,w R, e un ecala, epeentado po [ ] E deci: el poducto ecala del pimeo po el poducto vectoial de lo oto do. Si lo te vectoe etán expeado epecto a la OTN = ( i, j,k ), u = a i + b j + c k, v = l i + m j + n k y w = p i + q j + k ; e deci, i u componente epecto a dicha bae on u = ( a,b,c ), v = ( l,m,n ) y w = ( p,q, ), entonce: a b c [ u,v,w] = u ( v w) = l m n = Det ( u,v,w) p q La popiedade de lo deteminante popocionan la iguiente popiedade del poducto mixto: u,v,w = 0 u,v,w e l. dependiente g u,v,w < 3 [ ] { } { } (En paticula, i algún vecto e nulo, o i hay do popocionale (colineale), o i alguno e combinación lineal de lo oto do). [ u,v,w ] e tilineal y altenado. (E deci: e lineal epecto a cada vecto y i e pemutan do cambia de igno). [ u,v,w] = [ v,w,u] = [ w,u,v] = [ u,w,v] = [ v,u,w] = [ w,v,u] = (Pemutabilidad cíclica) u w v Intepetación geomética del poducto mixto: VOLUMEN DE UN PRLELEPÍPEDO Si u,v,w E3 on te vectoe no coplanaio y elegimo epeentante epectivo con oigen común, podemo conidea el paalelepípedo contuido obe ello. Entonce v w Vol = h = u,v w = Det u,v,w [ ] ( ) h = u co ( u,v w) i u w v w v GEOMETRÍ 8

ESPCIO FÍN 3 Y ESPCIO FÍN EUCLÍDEO [ 3, ] Fijado un punto O, a cada punto 3 e le aocia un vecto único a = O V3 : u vecto de poición epecto al oigen fijado. Si = ( i, j, k ) e una bae de V 3, a R = O; ( i, j, k ) e le llama itema de efeencia del epacio afín. Si tabajamo en el epacio afín euclídeo [ 3, ] tomaemo una bae otonomal. Entonce R = O; ( i, j, k ) e un itema de efeencia otonomal. + C = C = = 0 k O i a = O Si O = a i + a j + a3 k, ecibimo O = ( a,a,a 3 ). Éta on la componente del vecto de poición O epecto a la bae = ( i, j, k ). También e ecibe ( a,a,a 3 ), y ahoa e llaman coodenada del punto epecto al itema de efeencia R = O; ( i, j, k ). Componente de un vecto deteminado po u oigen y u extemo Si ( a,a,a 3 ) y ( b,b,b 3 ) on do punto del epacio afín dado po u coodenada en la efeencia R, Entonce O + = O = O O = ( b,b,b ) ( a,a,a ) = ( b a,b a,b a ) Punto medio de un egmento [, ] j 3 3 3 3 C Sean y do punto y M el punto medio del egmento [, ]. Entonce: OM = O + M = O + = O + ( O O) OM = ( O + O) a + b a + b a3 + b3 OM = ( m,m,m 3 ) = (,, ) O M Punto que dividen al egmento [, ] en k (= 7) pate iguale [Ejecicio 0] Sean = M 0 y = M 7 do punto ditinto y M, M, M 3, M 4, M 5 y M 6 lo punto que dividen al egmento [, ] en 7 pate iguale. Entonce: 5 5 OM 5 = O + M 5 = O + = O + ( O O) 7 7 OM 5 = O + 5 O 7 a + 5b a + 5b a3 + 5b3 OM 5 = (m 5,m 5,m 53 ) = (,, ) 7 7 7 ( ) GEOMETRÍ 9 M o = M M M3 M4 M5 M6 = M7 O

L RECT EN EL ESPCIO FÍN La foma báica de detemina una ecta en el epacio afín conite en da un punto po donde paa y un vecto de diección: = R( ; d ), con d 0 (alguna de u componente e no nula). Éta e una deteminación lineal de la ecta. = R( ; d ) d X OX = O + X X = λ d OX = O + λ d O Tenemo aí la ditinta ecuacione de la ecta : Ecuación vectoial OX = O + λ d (,, ) = (,, 3 ) + λ (,, 3 ) ( x, y, z) = (,, 0) + λ ( 7,3, 5) x y z a a a d d d Ecuacione paamética x = a + λ d y = a + λ d z = a3 + λ d3 ( λ R ) x = + 7λ y = + 3λ z = 0 5λ Ecuacione continua x a y a z a d d d ( λ ) 3 = = = 3 x y + z = = 7 3 5 OSERVCIÓN. Conviene tene en cuenta que lo que ella expean e la popocionalidad ente lo vectoe X y d : obtendemo lo antecedente ( numeadoe ) y, po tanto la x, y, z de cada punto de la ecta, multiplicando lo epectivo conecuente coodenada ( ) ( denominadoe ) po un eal cualquiea. Paa cada eal tomado, que no e ota coa que la azón de una popocionalidad, e tendá un punto de la ecta. Eta obevación viene a cuento de que, i bien lo te conecuente (lo denominadoe) no pueden e nulo, nada e opone a que alguno o incluo do de ello lo ea. Si intepetamo ea expeione como cociente, no encontaíamo con el poblema de que apaeceían diviione po ceo y, po tanto, in entido. En cambio, tiene pefecto entido como popocionalidad. Si alguno de lo conecuente e nulo, ignifica que el antecedente coepondiente e ceo. EJEMPLOS y + 5 = 0 x y + 5 z = = equivale a x z 3 0 4 = 3 4 [ x abitaio] = λ x y + 5 z = = equivale a y + 5 = 0 3 0 0 z = 0 GEOMETRÍ 0

Ecuacione implícita (inteección de do plano) a x + b y + c z + d = 0 a ' x + b ' y + c ' z + d ' = 0 3x 7 y 7 = 0 5x + 7 z 5 = 0 menudo e neceaio, y iempe útil, obtene una deteminación lineal de la ecta dada de eta foma. La coodenada de un punto e pueden obtene eolviendo el itema de la do ecuacione, dando un valo abitaio a una incógnita no pincipal ; depué e euelve el itema paa calcula la ota do. Po vecto diecto e puede toma el vecto i j k b c a c a b b c a c a b d = n n = a b c = i j + k =,, b' c' a' c' a' b' b' c' a' c' a' b' a' b' c' donde n = ( a,b,c ) y n = ( a',b',c'). (El ignificado de eto e explica má adelante). Ota foma fecuente e la de eolve el itema (que e compatible indeteminado con olucione dependiente de un paámeto). La eolución e cómoda po opeacione elementale y po la egla de CRMER. [Ejecicio 5] EJERCICIO Obtene una deteminación lineal de la ecta x + y + z = x y + 3z = 0 Depué, ecibi la ecuacione vectoial, paamética y continua. Recta deteminada po do punto ditinto Inmediatamente, e obtiene una deteminación lineal: = R( ; ) = R( ; d = ) d = Radiación de ecta (familia de ecta incidente con un punto) Si P( x o, y o,z o ) e un punto del epacio afín, al conjunto de toda la ecta que paan po el punto e le llama adiación de ecta de vétice P. Tomando como vecto diecto un vecto no nulo d = l i + m j + n k cuya componente epecto a la bae = ( i, j, k ) on d = ( l,m,n ) (0,0,0 ), con l,m,n R abitaio, tenemo que una ecuación de la adiación e P x x y y z z l m n ( λ) o o o = = = P i GEOMETRÍ

POSICIÓN RELTIV DE DOS RECTS EN EL ESPCIO Sean y do ecta dada po enda deteminacione lineale: = R( ; d ) y = R( ; d ). Si lo vectoe diectoe on colineale (popocionale, luego l. dependiente), entonce la ecta y tienen la mima diección. o Si, ademá, el vecto COINCIDENTES. o e colineal con ello, entonce la ecta on Peo i no e colineal con ello, la ecta on PRLELS Y DISTINTS. d g( d, d, ) = d y on COINCIDENTES g( d, d ) = y tienen la mima diección d g( d, d, ) = = R( ; d ) d y on PRLELS Y DISTINTS = R( ; d ) Si lo vectoe diectoe no on colineale (no popocionale, luego l. independiente), entonce la ecta y tienen ditinta diección. o Si, ademá, el vecto e coplanaio con ello, entonce la ecta on SECNTES en un punto P (cuya deteminación e uele pedi). o Peo i no e coplanaio con ello, la ecta SE CRUZN EN EL ESPCIO (cuya pependicula común y ditancia mínima e uelen pedi). d P d d g( d, d, ) = g( d, d ) = y tienen ditinta diección g( d, d, ) = 3 d y SECNTES ( en un punto ) y SE CRUZN ( en el epacio ) GEOMETRÍ [Ejecicio 7, 8, 9, 4]

EL PLNO EN EL ESPCIO FÍN La foma báica de detemina plano en el epacio afín conite en da un punto po donde paa y do vectoe de diección: π = π( ; u,v ) u,v linealmente independiente (no colineale). Éta e una deteminación lineal del plano. nπ = u v nπ X = 0 nπ ( OX O) = 0 v O, con { } Tenemo aí la ditinta ecuacione del plano π: u π = P( ;u,v ) X π OX = O + X X = λ u + µ v OX = O + λ u + µ v Ecuación vectoial π OX = O + λ u + µ v Ecuacione paamética ( x, y, z) ( a, a, a ) ( u, u, u ) ( v, v, v ) π = + λ + µ 3 3 3 ( x, y,z) (,,0) ( 7,3, 5) (,,) π = + λ + µ x = a + λ u + µ v π y = a + λ u + µ v λ, µ z = a3 + λ u3 + µ v3 ( R ) x = + 7λ + µ π y = + 3λ + µ z = 5λ + µ Ecuación geneal (implícita) Como el vecto X = OX O = λ u + µ v e combinación lineal de u y v, ha de e Det( OX O, u, v) = 0 ; E deci: x a u v x 7 π y a u v = 0 z a u v 3 3 3 Deaollando el deteminante po la pimea columna e obtiene: GEOMETRÍ 3 π y + 3 = 0 z 5 π ( x a ) + ( y a ) + C ( z a 3 ) = 0 π ( x ) 9 ( y + ) + 4 ( z ) = 0 Eto ignifica, en el epacio afín euclídeo, que el vecto caacteítico del plano, nπ = u v = (,,C ) e otogonal a X = ( x a, y a, y a 3 ) ( n π = (,,C ) e un vecto nomal al plano), luego nπ X = 0 nπ OX O = 0 Opeando, e tiene la ecuación geneal del plano: ( ) π x + y + C z + D = 0 π x 9 y + 4 z 49 = 0

EJERCICIO a) Obtene la ecuacione de lo eje coodenado y de lo plano coodenado. b) Etudia cómo on la ecuacione de plano paalelo a lo eje y de lo plano paalelo a lo plano coodenado. c) Etudia cómo on la ecuacione de la ecta paalela a lo eje y de la ecta paalela a lo plano coodenado. OTRS DETERMINCIONES DE UN PLNO Plano deteminado po te punto ditinto Inmediatamente, e obtiene una deteminación lineal: π = π(,,c ) = R( ; u =, v = C ) EJERCICIO Obtene una deteminación lineal del plano que paa po lo punto (,, 3), (,, 3) y C(,, 3). Depué, ecibi la ecuacione vectoial, paamética y geneal. Plano que detemina obe lo eje coodenado te egmento no nulo: a, b y c Z C(0,0,c ) ECUCIÓN CNÓNIC DEL PLNO X O O ( a,0,0 ) Y (0,b,0 ) x y z π + + = a b c [Ejecicio 7, 48] Plano deteminado po do ecta ecante = R( ; d ) y = R( ; d ) π = π( ;d,d ) d d Plano deteminado po do ecta paalela ditinta = R( ; d ) y = R( ; d ) = R( ; d ) = R( ; d ) π = π( ;d, ) d d GEOMETRÍ 4

Plano deteminado una ecta y un punto exteio = R( ; d ) P = R( ; d ) π = π( ;d, P ) d = R( ; d ) P Plano que contiene a una ecta y e paalelo a ota que e cuza con la anteio = R( ; d ) y = R( ; d ) d π = π( ;d,d ) ' = R( ; d ) d [Ejecicio 5, 7] POSICIÓN RELTIV DE DOS PLNOS EN EL ESPCIO Sean π y π do plano dado po enda deteminacione lineale: π = π( ; u,v ) π = π( ; u,v ). y Si lo cuato vectoe diectoe on coplanaio (l. dependiente), entonce lo do plano tienen la mima diección. o Si, ademá, el vecto e coplanaio con ello, entonce lo plano on COINCIDENTES. o Peo i no e coplanaio con ello, lo plano on PRLELOS Y DISTINTOS. v u u v v v u u g( u, v ; u, v ) = π y π tienen la mima diección g( u, v ; u, v ; ) = π y π on COINCIDENTES g( u, v ; u, v ; ) = 3 π y π on PRLELOS Y DISTINTOS Si te de lo vectoe diectoe no on coplanaio (l. independiente), entonce lo do plano tienen ditinta diección y on SECNTES (en una ecta). v u u v u GEOMETRÍ 5 g( u, v ; u, v ) = 3 π y π on SECNTES

Si lo do plano vienen dado po u ecuación geneal, que e lo má fecuente, la poición elativa e etudia como igue: Sean π y π do plano dado po π x + y + C z = D π ' x + ' y + C' z = D' etudiamo la compatibilidad del itema fomado po la do ecuacione: Si C C D g = g = ' ' C' ' ' C' D' C D = = = ' ' C' D' la do ecuacione on popocionale y epeentan un único plano: lo do plano on COINCIDENTES. (El itema e compatible indeteminado con do incógnita libe: la olución del itema popociona la ecuacione paamética del plano). Si C C D g = = g ' ' C' ' ' C' D' C D = = ' ' C' D' el itema e incompatible, y lo do plano on PRLELOS Y DISTINTOS. Si C g = ' ' C' C No e cumple = = ' ' C' el itema e compatible indeteminado con ólo una incógnita libe, y lo do plano on SECNTES en una ecta. (La olución del itema popociona la ecuacione paamética de dicha ecta). [Ete tatamiento tiene una intepetación euclídea mediante lo vectoe nomale de lo plano] [Ejecicio, 8, 3, 3, 35,4] Haz de plano de aita una ecta dada (de bae do plano dado) Sea una ecta dada como inteección de do plano ecante: π x + y + C z + D = 0 = π π π ' x + ' y + C' z + D' = 0 H La ecuación ( ) ( ) ( ) H α x + y + C z + D + β ' x + ' y + C' z + D' = 0 α, β R epeenta a la familia de todo lo plano que contienen a la ecta. Paa elecciona un plano conceto del haz e ha de tene alguna condición adicional; po ejemplo, que pae ademá po un cieto punto exteio a la ecta, o que e paalelo (o pependicula) a oto plano dado. Eta condición pemitiá detemina lo paámeto α y β. [Ejecicio 6] GEOMETRÍ 6 π π

Haz de plano paalelo a un plano dado Dado un plano π x + y + C z = D, u diección etá contenida en lo coeficiente, y C, (que on la componente del vecto caacteítico), luego todo plano que tenga lo mimo, y C e paalelo al dado. í, la ecuación del haz de plano paalelo e: H x + y + C z = k, ( k R ) n = (,,C) H π El paámeto k e detemina con condicione adicionale como ante. [Ejecicio 7, 35, 40] POSICIÓN RELTIV DE UN RECT Y UN PLNO EN EL ESPCIO x = a + λ d Sean la ecta y = a + λ d y el plano π x + y + C z + D = 0. z = a3 + λ d3 Tatamo de obtene lo punto comune a la ecta y el plano. Paa ello e utituyen la coodenada paamética de un punto de la ecta en la ecuación del plano: π ( a + λd ) + ( a + λd ) + C( a + λd ) + D = 0 3 3 ( a + a + Ca + D ) + λ( d + d + Cd ) = 0 3 3 p + λ q = 0 p a + a + Ca3 + D Si q = d + d + Cd3 0, entonce λo = =, y utituyendo el valo de q d + d + Cd 3 λ obtenido obtenemo la coodenada del único punto común a la ecta y el plano. La RECT P x, y,z : P a + λ d, a + λ d, a + λ d. CORT L PLNO en el punto ( ) ( ) o o o o o 3 o 3 EJERCICIO R (,,);d (,, 5 ) = ; π x 3y + z = 0 q = d + d + Cd3 = 0 Si, entonce 0 + λ 0 = 0 e veifica paa cualquie valo de λ. Po p = a + a + Ca3 + D = 0 tanto, todo punto de la ecta petenece al plano: RECT CONTENID EN EL PLNO. EJERCICIO R (,, );d (,, ) = ; π x 3y + z = 0 q = d + d + Cd3 = 0 Si, entonce p + λ 0 = 0 no e veifica paa todo ningún valo de p = a + a + Ca3 + D 0 λ. Po tanto, ningún punto de la ecta petenece al plano: RECT PRLEL L PLNO. EJERCICIO R (,, );d (,, ) = ; π x 3y + z = 0 GEOMETRÍ 7

= + + + = ignifica que el punto (,, ) Que p a a Ca3 D 0 petenece al plano. a a a de la ecta también 3 En el epacio afín euclídeo, que q = d + d + Cd3 = 0 ignifica que el vecto nomal del n,,c d = d, d, d. plano ( ) π = e pependicula al vecto diecto de la ecta ( ) d 3 n π π nπ d = 0 Si la ecta viene dada como inteección de do plano y el plano po u ecuación geneal, π x + y + C z + D = 0 = π π π M x + N y + P z + Q = 0 π ' x + ' y + C' z + D' = 0 etudiamo el itema fomado po la te ecuacione. Entonce: Compatible deteminado ignifica que la ecta cota al plano en un punto. Compatible indeteminado ignifica que la ecta etá contenida en el plano. Incompatible ignifica que la ecta e paalela y exteio al plano. [Ejecicio 8, 0, 5, 6] PERPENDICULRIDD EN EL ESPCIO FÍN EUCLÍDEO La pependiculaidad ecta ecta, plano plano y ecta plano e etudia mediante lo vectoe diectoe de la ecta y lo vectoe caacteítico de lo plano. d d d = 0 i d n π π i n π π n n = 0 n π i d π d n [Ejecicio 9,, 5, 34, 35, 40, 4, 5, 5] GEOMETRÍ 8

PROLEMS MÉTRICOS (EN EL ESPCIO FÍN EUCLÍDEO) DISTNCIS Ditancia ente do punto d(, ) = = + = + b a + b a + b a Ditancia de un punto P a un plano π ( ) ( ) ( ) 3 3 Sean P( x o, y o,z o ) un punto, π x + y + C z + D = 0 un plano y P' la poyección otogonal de P obe π. Sea n = (,,C ) un vecto nomal al plano. Si M( m,m,m 3 ) e un punto abitaio del plano, entonce la ditancia del punto al plano e: i n MP d = d( P; π ) = P' P= poy n ( MP) = d n n P' π M xo + yo + Czo + D d( P; π ) = + + C ( vece e útil detemina el punto P, poyección otogonal del punto P obe el plano π (lo tataemo má adelante), y luego calcula la ditancia de P a P ). [Ejecicio 37, 39] Ditancia del oigen de coodenada a un plano π En paticula, la ditancia del oigen O(0, 0, 0) a un plano π (llamada paámeto del plano) e D D p = d( O; π ) = = + + C n ECUCIÓN NORML DEL PLNO La ecuación del plano π x + y + C z + D = 0, con n = (,,C ) n = + + C, e puede ecibi en la foma y π ± C D x y z 0 n ± n ± n n = D p = = d( O; π ) n π (co α ) x + (co β ) y + (co γ ) z p = 0 Z γ P α p O β n Y X donde α, β y γ on lo ángulo que foma el vecto nomal del plano, n, con lo eje coodenado. Su coeno e llaman coeno diectoe del vecto nomal. Son la componente del vecto nomal unitaio no = ± n que apunta del oigen al no D plano. p = n e le llama paámeto del plano. [Ejecicio 48] GEOMETRÍ 9

Ditancia de un punto P a una ecta Expeamo el áea del tiángulo (,,P) de do foma. Igualamo y depejamo la ditancia: P h d P' Áea(,,P ) = ( bae ) ( altua ) = d h Áea(,,P ) = d P d P h = d( P, ) = d ( vece e útil detemina el punto P, poyección otogonal del punto P obe la ecta (lo tataemo má adelante), y luego calcula la ditancia de P a P ). [Ejecicio 47] Ditancia mínima ente do ecta que e cuzan en el epacio Sean y do ecta que e cuzan dada po enda deteminacione lineale: = R( ; d ) = R( ; d ). Entonce: n d dmín MN poyn ( ) N = = = n d mín = MN ( d d ) dmín = n = d d d d M d y MÉTODO LTERNTIVO : Se puede halla el plano que contiene a y e paalelo a (de la foma que convenga). Depué, bata calcula la ditancia de un punto abitaio de la ecta al plano hallado. MÉTODO LTERNTIVO : También podemo conidea la coodenada paamética de un punto abitaio M de y de un punto abitaio N de M ( a + λ d,a + λ d,a3 + λ d3 ) y N ( b + µ d,b + µ d,b3 + µ d3 ) Depué conideamo el vecto MN = ON OM. Como MN ha de e otogonal a lo do vectoe diectoe, la ecuacione MN d = 0 MN d = 0 pemiten calcula lo valoe de λ y µ que popocionan lo punto M y N. Depué e calcula la ditancia ente ello. [Ejecicio 46] En ete contexto, podemo planteano halla la ecuación de la Recta pependicula común a y Una vez deteminado M y N como e ha explicado, la pependicula común, t, e la ecta que paa po ambo: t = R( M,N ) = R( M ; d = MN ) t GEOMETRÍ 0

Ota foma de obtene la pependicula común conite en expeala como inteección de do plano: uno que contiene a y e pependicula a, π = π ( ;d,d d ), y oto que π = π ;d,d d. contiene a y e pependicula a, ( ) Ditancia ente do plano paalelo Se puede calcula la ditancia de un punto un plano al oto. [Ejecicio 49, 50] También, i π x + y + C z + D = 0 y π ' x + y + C z + D' = 0 on lo plano en cuetión, e tiene que d = d( π ; π ') = D D' + + C (IMPORTNTE: lo do plano han de tene el mimo vecto nomal n = (,,C) d π ' π d ) Ditancia de una ecta a un plano paalelo Se calcula la ditancia de un punto cualquiea de la ecta al plano. π ' d ' SIMETRÍS Punto imético de un punto P epecto a oto M Deteminemo el vecto de poición del punto imético PP' = PM OP' OP = OM OP OP' = OM OP ( ) P O M P' Punto imético de un punto P epecto a un plano π Hallamo la ecta que paa po el punto P y e pependicula al plano π. La inteección de con π popociona el punto M. hoa pocedemo como ante. π P M P' Punto imético de un punto P epecto a una ecta Hallamo el plano π que paa po el punto P y e pependicula a la ecta. La inteección de con π popociona el punto M. hoa pocedemo como ante. M P' P [Ejecicio 33, 36, 45, 47, 53] GEOMETRÍ

ÁNGULOS Ángulo de do ecta Sean y do ecta dada po enda deteminacione lineale: = R( ; d ) y = R( ; d ). ( ) Si α = d,d, e llama ángulo de la do ecta al meno de α y 80º α (uplementaio: tienen igual eno y coeno opueto). Entonce: ( ) ( d d co, = co d,d ) = d d 80º d α α d d Ángulo de do plano Sean π y π do plano dado po un punto y un vecto nomal: π = π( ; n ) π = π( ; n ). y n π n ( ) ( n n co π, π = co n,n ) = α n n π α n Ángulo ente ecta y plano Sean la ecta = R( ; d ) y el plano π x + y + C z + D = 0, con n = (,,C ). ( ) ( d n en, π = co d,n) = d n n d β i α π [Ejecicio 3] GEOMETRÍ

VOLÚMENES Volumen de un paalelepípedo V = h = u,v w = Det u,v,w h = u co u,v w [ ] ( ) v w ( ) i u w v w v Volumen de un tetaedo V V = h = u,v w = Det u,v,w 3 6 6 [ ] ( ) u C w v GEOMETRÍ 3

GEOMETRÍ: RESUMEN Geometía afín Etudia lo elemento del epacio: Punto Recta Plano Se expean mediante Ec. vectoial Ec. paamética Ec. continua Ec. implícita (inteección de do plano) [Ec. educida] Poicione elativa de do ecta Coincidente Paalela ditinta Secante (pependiculamente o no) en un punto Se cuzan Se expean mediante Ec. vectoial Ec. paamética Ec. geneal o implícita Ec. canónica Poicione elativa de do ecta Coincidente Paalelo ditinto Secante (pependiculamente o no) en una ecta Recta plano Poicione elativa de ecta plano Recta contenida en el plano Recta paalela (no contenida) al plano Secante (pependiculamente o no) en un punto Geometía afín euclídea (mética) l conta con el poducto ecala, e pueden aboda nuevo poblema. Ditancia Punto punto Punto ecta Punto plano Oígen plano [Ec. nomal] Ente ecta paalela Ente ecta que e cuzan Ente plano paalelo Ente ecta y plano paalelo Ángulo (Pependiculaidad) Recta ecta (coplanaia o cuzándoe) Plano plano Recta plano Áea y Volúmene Paalelogamo y tiángulo Paalelepípedo y tetaedo Oto poblema mético Punto imético (epecto a punto, plano o ecta) Pependicula común de do ecta que e cuzan Plano mediado de un egmento y biecto de un diedo Poyeccione otogonale (obe ecta o obe plano) GEOMETRÍ 4

GEOMETRÍ: EJERCICIOS Sean lo vectoe v = (0,,0 ),v = (,, ) y v 3 = (, 3, ). a) Etudia i el itema { v,v, v3} e linealmente independiente. [E l. dep.] b) Paa qué valo de m el vecto x = ( 4, m + 3, ) puede expeae como combinación lineal v,v, v? [ m R ] de { } 3 c) Calcula un vecto w 0, unitaio y otogonal a v y v. [ w = ± (,0, ) Dado u = (,,0 ) y v = (,0,), halla un w 0 unitaio, coplanaio con u y v y otogonal a v. 0 5 5 [ w = ± (,,) 0 3 3 ] ] 3 4 3 Sean v = ( x,,0 ), v = ( x,,) y v 3 = (, x, 4x ) te vectoe de R. v,v, v ea linealmente independiente. [ x R ] a) Detemina lo valoe de x paa lo que { } 3 b) Halla lo valoe de x paa lo que lo vectoe dado ean otogonale do a do. [x = ± ] Conidea lo vectoe u = (,, m ), v = (0, m, ) y w = (, m,0 ). a) Detemina m paa que { u,v, w} ea linealmente dependiente. [m = ] b) Paa el m hallado en el apatado anteio, expea w como combinación lineal de { u,v}. [ w = u + v ] 5 Lo punto (,3,), (,,3 ) y C(0,, ) on te vétice conecutivo de un paalelogamo (,, C, D). a) Halla la coodenada del vétice D. [D( 4, 5, 4)] b) Ecibe una ecuación de la ecta que paa po y e paalela a la diagonal C. [ ( x, y,z ) = (,,3 ) + λ (,, 3 )] c) Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paalelogamo. [ x + y = 0 ] 6 Se abe que lo plano de ecuacione x + y + bz =, x + y + bz = 0 y 3x + 3 y z = e cotan en una ecta. a) Calcula el valo de b. [b = ] b) Halla una ecuación vectoial y una ecuacione paamética de. [ ( x, y,z ) = (0,,) + λ (,,3 ) ] 7 x 5 y + z 3x y + z = Sean la ecta = = y 4 x + y 3z = a) Etudia la poición elativa de amba ecta. [Se cuzan en el epacio] b) Halla la ecuación del plano que contiene a la ecta y e paalelo a la ecta. [ π 9x + y + 5z + 49 = 0 ] GEOMETRÍ 5

8 9 x = 0 x z = 3 Conidea la ecta y 3y + z = 3 y = 0 a) Etudia la poición elativa de amba ecta. [Se cuzan en el epacio] b) Halla la ecuación del plano que contiene a la ecta y e paalelo a la ecta. [ π x 3y z 3 = 0 ] Conidea el punto P(, 0, 0) y la ecta x 3 y z + = = y ( x, y,z ) = (,,0 ) + λ (,,0 ) a) Etudia la poición elativa de amba ecta. [Se cuzan en el epacio] b) Halla la ecuación del plano que paa po el punto P y e paalelo a amba. [ π x + y + z = 0 ] 0 x = Sean, π x + y + z = 0 y π y + z = 0. x y = 0 Halla una ecuación de la ecta contenida en π, que e paalela a π y cota a. [ ( x, y,z ) = (,0, ) + λ ( 0,, ) ] x + y mz = Sean la ecta y el plano x y z = m π x + my z = a) Exite algún valo de m paa el que e paalela a π? [m = ] b) Paa qué valo de m la ecta etá contenida en el plano π? [m = ] c) Cuál e la poición elativa de la ecta y al plano cuando m = 0? [ cota a π en P(/,, /)] 3 4 5 x y k z x + y z 3 Conidea la ecta = = y = = 3 4 5 3 a) Halla k abiendo que y on ecante en un punto. [k = 4/7] b) Detemina una ecuación del plano que contiene a amba ecta. [ π ( x, y,z ) = (,,3 ) + λ ( 3,4,5 ) + µ (,,3 )] Sean la ecta x = a + t x y + z y = t ( t R ) y = = 3 z = 4 t a) Calcula el valo de a abiendo que y e cotan. [a = ] b) Halla el punto de cote. [P(3,, )] x + y z = x y z = a Sabiendo que la ecta y on x y = x + z = a ecante, calcula a y el punto de cote. [a = 9/7; P(0/7, 4/7, /7)] Halla la ecuación de la ecta que paa po el punto P(3,, ), e paalela al plano x + z = 4 π 3x y + z = 4 y cota a la ecta x y + z = [ ( x, y,z ) = ( 3,, ) + λ ( 3,,) ] GEOMETRÍ 6

6 x + y z = Dado la ecta y el plano y = π x y + z = 0. a) Ecibe la ecuación del haz de plano de aita. b) Halla el plano π que contiene a y cota a π en una ecta paalela al plano z = 0. [ π x y z + 5 = 0 ] 7 Halla una ecuacione paamética de la ecta que cota a la ecta x = y = z, e paalela al plano π 3x + y z = 4 y paa po el punto P(,, ). [ (,, ) + λ (,0,3 )] 8 x z = Conidea la ecta y + z = 3 a) Halla la ecuación de un plano π que e paalelo la ecta y contiene a la ecta x = y + = z 3. [ π x z + = 0 ] b) Etudia la poición elativa de la ecta y el plano π x + y = 3, y deduce la ditancia ente y π. [d = 0] 9 Reuelve la iguiente cuetione: a) Halla lo punto que dividen al egmento [, ], con (,, ) y (,, 3), en te pate iguale. [M (/3, 4/3, 5/3) y M ( /3, /3, 7/3)] b) Detemina la ecuación del plano pependicula al egmento [, ] que paa po u punto medio. (Plano mediado ) [ π x + y z + = 0 ] 0 Conidea lo punto (, 0, ) y (, 3, ). a) Detemina lo punto del egmento que lo dividen en te pate iguale. [M (0,, ) y M (,, 0)] b) Calcula el áea del tiángulo de vétice, y C, iendo C un punto de la ecta de ecuacione continua x = y = z. Depende el eultado de la elección conceta del punto C? [Áea = 3 / ; Independiente de C] 3 x y z = Dado lo punto (,, ) y (, 3, ), y la ecta, halla la 3x z = 5 coodenada de un punto de la ecta que equidite de lo punto y. [(,, )] Halla un ecuación de la ecta contenida en el plano de ecuación π x + y + 3z = 0 y que x = z + 4 cota pependiculamente a la ecta en el punto P(,, ). y = z + 3 x + y + z = 5 [ ( x, y,z ) = (,, ) + λ ( 4, 5, )] x + y + 3z = Detemina la ecta que no cota al plano π x y + z = 7 y cuyo punto má póximo al oigen e (,, 3). [ ( x, y,z ) = (,,3 ) + λ ( 5,,3 )] x y + z = x + y + 3z = 4 GEOMETRÍ 7

4 x + y + z = Conidea la ecta x y + 3z = 0 a) Detemina la ecuación del plano que contiene a la ecta y no cota al eje OZ. [ π x + 5 y 3 = 0 ] b) Calcula la poyección otogonal del punto (,, ) obe la ecta. [ (/9, /9, 7/9] 5 6 x y + 3 = 0 y + = 0 Conidea la ecta y. x + y z = 0 x z + 3 = 0 a) Halla una ecuación del plano que contiene a y e paalelo a. [ π x 3y + z + 5 = 0 ] b) Exite algún plano que contenga a y ea pependicula a? [No e poible] z 3 Conidea lo punto (,, ) y (0, 4, ) y la ecta x = y =. a) Detemina el punto C de la ecta que equidite de lo punto y. [C(,, )] b) Calcula el áea del tiángulo (,,C). [( 9 / u ] 7 Halla la ecuación del plano que ea paalelo al plano π x + y + z = y que detemine con lo eje coodenado tiángulo de áea 8 3 u. [ π x + y + z = 6 ] 8 Halla el punto de la ecta x + 3y + z = y + z = que eté má cecano al punto P(,,0). [P (, 0, )] 9 Lo punto (,, 0) y (,, ) on vétice conecutivo de un ectángulo (,,C,D). demá, e abe que lo vétice C y D etán contenido en una ecta que paa po el oigen de coodenada. Halla C y D. [C(5/3, 5/3, 5/3), D(/3, /3, /3)] 30 3 3 Se abe que lo punto (, 0, ), (3,, ) y C( 7,, 5) on vétice conecutivo de un paalelogamo (,,C,D). a) Calcula la coodenada del punto D. [D( 9,, 3)] b) Halla el áea del paalelogamo. [ = 30 u ] x = t x = α Conidea la ecta y = t ( t R ) y el plano π y = α ( α, β R ). z = 0 z = β a) Etudia la poición elativa de la ecta y el plano π. [ contenida en π] b) Dado do punto (4, 4, 4) y C(0, 0, 0), halla un punto de la ecta de manea que el tiángulo (,,C) ea ectángulo en. [(6, 6, 0)] x 3y + z = 0 Conidea el plano π x y + = 0 y la ecta x y + a z = a) Halla el valo de a abiendo que la ecta etá contenida en el plano. [a = ] b) x 3y + z = 0 Calcula el ángulo fomado po el plano π y la ecta x y + z = 0 en α = ; α = 8º 6' 0 GEOMETRÍ 8

33 Conidea lo punto (,, ), (, 3, 0) y C(0, 0, ). Halla el punto imético de epecto a la ecta = R(, C). [ ( 7//, 7/, 6/)] 34 Lo punto (, 0, ) y (, 0, ) on vétice opueto de un cuadado. a) Calcula el áea del cuadado. [ = 0 u ] b) Halla una ecuación plano el plano pependicula al egmento [, ] que paa po u punto medio. (Plano mediado). [ π x + z = 0 ] 35 36 37 x 5 z 6 Conidea el plano π x + y z + = 0 y la ecta = y =. m a) Etudia la poición elativa de y π egún lo valoe de m. [m = 3, π; m 3, cota a π] b) Paa m = 3, halla el plano que contiene a y e pependicula a π. [ π ' x 4 y z + 7 = 0 ] c) Paa m = 3, halla el plano que contiene a y e paalelo a π. [ π '' x + y z 4 = 0 ] x + y z 3 = 0 Conidea el punto P(3,, 0) y la ecta x + z + = 0 a) Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la ecta. [ π x + y 4z 7 = 0 ] b) Detemina la coodenada del punto imético de P epecto a la ecta. [P (, 0, )] x = 0 Detemina lo punto de la ecta z 3 que equiditan de lo plano y = π ' x + z = y π '' y z = 3. [M (0, 4/3, 5/3) y M (0, 4, 9)] 38 39 x y + z Detemina el punto P de la ecta = = que equidita de lo plano 3 x = 3 + α π x + y + z + 3 = 0 y π y = α + β. [P (,, 3)] z = 6 β x y + z 3 Sean la ecta = = y el plano π x y + z + = 0. 3 Calcula el áea del tiángulo (,,C) iendo: el punto de cote de la ecta y el plano π, el punto (,, ) de la ecta y C la poyección otogonal de obe el plano π. [ = 6 6 / 6 u ] 40 Sea π 3x y + z 4 = 0. a) Halla el plano π que e paalelo a π y paa po P(,, ). [ π 3x y + z 9 = 0 ] b) Halla la ecuación del plano π que e pependicula a ambo y contiene a la ecta x y + z = 0 [ π 5x + y 7z 3 = 0 ] x + y 4z = 0 4 x + z a = 0 Conidea la ecta y el plano π x y = b. y az = 0 a) Detemina a y b abiendo que etá contenida en π. [a = ; b = 5] b) Halla la ecuación de un plano que contenga a la ecta y ea pependicula a π. [ π x + y + 5z = 0 ] GEOMETRÍ 9

4 Conidea lo plano π x y + z = 0 y π x + y z =. a) Detemina la ecta que paa po (,, 3) y no cota a ninguno de lo plano dado. [ ( x, y,z ) = (,,3 ) + λ (0,,) ] b) Detemina lo punto que equiditan de (,, 3) y (,, 0) y petenecen a la ecta inteección de lo plano dado. [P(, 7/8, 9/8)] 43 Conidea lo punto (0, 3, ) y (0,, 5). a) Sea C(x, 4, 3). Calcula lo valoe de x abiendo que el ectángulo (,,C) tiene un ángulo ecto en C. [ x = ± 5 ] b) Halla la ecuación del plano que paa po lo punto P(0,, 5) y Q(3, 4, 3) y e paalelo a la ecta x y + z = 0 x + y = 3 [ π 3x 7 y + 9z 38 = 0 ] 44 45 Conidea lo punto (, 3, ), (,, ) y C(,, ). a) Pueden e, y C lo vétice de un tiángulo ectángulo? [Sí: ˆ = 90º ] b) Halla, i e poible, la coodenada de un punto D paa que el paalelogamo (,,C,D) ea ectángulo. [D(, 3, )] Conidea lo punto (, 0, ), (,, ), C(,, ) y D(3,, 0). a) Halla la ecuación del plano π deteminado po, C y D. [ π x + y z + = 0 ] b) Halla el punto imético de epecto al plano hallado. [ (4/3, /3, /3] 46 47 y z + Halla un punto M de la ecta x = y = z y un punto N de la ecta x = =, de foma que la ditancia ente M y N ea mínima. [M( /7, /7, /7) y N(/7, /7, 3/7)] x + y + z + = 0 Sea el punto P(, 3, 0) y la ecta. x y + z + = 0 a) Halla la ecuación del plano que paa po P y contiene a. [ π 5x + y + 4z + 7 = 0 ] b) Detemina el punto de má póximo a P. [P ( 4/3, 9/3, 3/3)] 48 Se abe que el plano π cota a [la dieccione poitiva de] lo eje coodenado en lo punto, y C, iendo la longitude de lo egmento O, O y OC de 4 unidade. (O e el oigen de coodenada). a) Halla la ecuación del plano π. [Ec. Canónica] [ π x + y + z = 4 ] b) Calcula el áea del tiángulo (,,C). [ = 8 3 u ] c) Detemina un plano paalelo a π, que dite 4 unidade del oigen de coodenada. [Ec. Nomal] [ π x + y + z ± 4 3 = 0 ] 49 { } x = + α; y = α; z = α Halla la ecta pependicula común a la ecta: { x = β ; y = + β ; z = 0} t x = + λ; y = λ; z = λ ] [ { } GEOMETRÍ 30

50 x = Se conidean la ecta y = y z = + λ x = µ y = + µ. z = t x = α; y = + α; z = ] Halla una ecuación de la ecta pependicula común. [ { } 5 Sean lo punto (,, 0), (,, ) y C(,, ). a) Compueba que no etán alineado y calcula el áea del tiángulo que deteminan. [ = u ] b) Halla la ecuación del plano que contiene al punto y e pependicula a la ecta deteminada po y C. [ π y + z = 0 ] 5 x y z Conidea la ecta = = y el plano π x y + β z = 0. Detemina α y β en lo α 4 iguiente cao: a) e pependicula a π. [α = 8; β = /] b) etá contenida en π. [α = 4; β = ] 53 3x y z = 0 Sea P el punto imético del punto P(, 3, 7) epecto a la ecta x + y z + 6 = 0 Calcula la ditancia de P a P. [d(p, P ) = 3 u] 54 Dado lo punto (,, ) y (0, 0, ), halla lo punto C del eje OX tale que el áea del tiángulo (,,C) e u. [ C ( +,0,0 ) y C (,0,0 )] 55 x + y = Conidea la ecta definida po y la ecta que paa po lo punto (,, 0) y + z = 0 y (, 0, ). a) Etudia la poición elativa de amba ecta. [Secante] b) Detemina el punto C de la ecta tal que lo egmento C y C ean pependiculae. [ C (,0,0 ) y C (,, ) ] GEOMETRÍ 3