PROBLEMAS DE FÍSICA I CINEMATICA

PROBLEMAS DE FÍSICA I CINEMATICA Grado en Ingeniería Quíica Curso 4-5 Probleas de Física. Grado en Ingeniería Quíica Curso 4-5

PROBLEMAS DE CINEMÁTICA Rapidez, distancia y tiepo. El record undial de los está en anos de Usaín Bolt, que copletó la prueba en un tiepo de 9.9 s. Cuál fue su velocidad edia en /s?. Un aigo ciclista te pide que idas su velocidad edia a lo largo de una carretera rectilínea plana. Describe que tipo de edidas toarías, y cuales instruentos usarías para hacerle el favor a tu aigo. 3. Un atleta eplea 4 inutos s para copletar una carrera de 5 llanos. Cuál es su velocidad edia? 4. Describe coo edirías la velocidad edia del AVE cuando pasa por la estación de Calatayud sin detenerse. Repite la descripción para el caso de querer edir su velocidad instantánea. 5) Un coche se ueve en la dirección +x ún la relación velocidad vs. Tiepo que uestra el grafico de abajo: a) En que intervalo(s) de tiepo el coche se ueve hacia atrás (es decir, en archa atrás)? b) En la figura de abajo, grafica la aceleración a(t) del coche. c) Calcula la distancia recorrida para t 4 s Probleas de Física. Grado en Ingeniería Quíica Curso 4-5

6) Una pequeña nave especial apunta en la dirección horizontal con sentido +x, y puede overse sólo en la dirección x en este problea. La nave posee dos eyectores de gas que pueden usarse para acelerarla en la dirección x: uno apuntando hacia atrás para generar una aceleración positiva +a, y otro apunta hacia adelante para crear una aceleración hacia atrás a. (Ignore el rozaiento durante todo este problea). El siguiente gráfico representa la aceleración de la nave en función del tiepo: a) Suponga que en t 5 s, la velocidad de la nave es: v 5 /s. Cuál era la velocidad inicial, v, de la nave en el instante t? Muestre los cálculos y describa su razonaiento. b) Usando el grafico de a(t) de arriba y su respuesta a la parte a) grafique la velocidad de la nave desde t hasta 4 s en el gráfico de abajo: 7) La isa nave espacial del ejercicio anterior deja el sistea solar a una velocidad de /s. A partir de ese instante utiliza uno de sus eyectores de gas para producir una aceleración de a 9.8 /s y siular así la aceleración de la gravedad terrestre, y lo antiene con esta aceleración durante 35 dias. Al concluir el dia 35 el eyector se detiene. a) Calcule el tiepo que deorará la nave en alcanzar estrella ás próxia (Alfa centauri), distante 4.37 años-luz de la tierra. b) Si el eyector se antiene encendido un año en vez de 35 dias, cuál será el tiepo necesario para alcanzar el iso destino? c) Qué tiene de particular la velocidad del apartado anterior? Es posible alcanzarla? Coente. (Datos: año-luz 9.46x 5 ; velocidad de la luz c 3x 8 /s). Probleas de Física. Grado en Ingeniería Quíica Curso 4-5 3

Problea. Edición cuarta de serway; Problea. Edición sexta de serway La posición de un auto de carreras es observada en diferentes tiepos; los resultados se resuieron en la siguiente tabla. Hállese la velocidad proedio del autoóvil para: a) el prier undo, b) los últios tres undos, y c) Todo el periodo copleto de observación S ().3 9..7 36.8 57.5 t () 3 4 5 la velocidad proedio del autoóvil para el prier undo, Δ x -,3 -,3 v xf xi,3 Δ t tf - ti - la velocidad proedio del autoóvil para los últios tres undos. Δ x - 57,5-9, 48,3 v xf xi 6, Δ t Δ t 3 3 la velocidad proedio del autoóvil para todo el periodo de observación. Δ x - 57,5-57,5 v xf xi,5 Δ t Δ t 5 5 Problea.3 Edición sexta de serway En la figura P.3 se ilustra la grafica de posición contra tiepo para cierta partícula que se ueve a lo largo del eje x. Encuentre la velocidad proedio en los intervalos: (a) a., (b) a 4., (c). a 4., (d) 4. a 7., (e) a 8.,. Encuentre la velocidad proedio en los intervalos t a. Δ x - - v xf xi 5 Δ t tf - ti Encuentre la velocidad proedio en los intervalos t a 4. Δ x - 5-5 v xf xi,5 Δ t tf - ti 4 4 Encuentre la velocidad proedio en los intervalos t a 4. Δ x - 5 - - 5 v xf xi,5 Δ t tf - ti 4 - Encuentre la velocidad proedio en los intervalos t a 8. Δ x - - - v xf xi Δ t tf - ti 8-9 8

Problea.5 Edición sexta de serway Una persona caina priero a una rapidez constante de 5 /. a lo largo de una recta del punto A al punto B, y luego regresa a lo largo de la línea de B a A a una rapidez constante de 3 /. CuaI es: (a) su rapidez proedio en todo el viaje? (b) cuál es su velocidad proedio en todo el viaje? d distancia entre A y B. t tiepo que deora entre A y B. d 5 t Despejando el tiepo d t 5 t tiepo que deora entre A y B. - d 3 t d 3 t Despejando el tiepo d t 3 rapidez proedio en todo el viaje? distancia total rapidez proedio tiepo total d + d d + 5 3 d d 3 d + 5 d 5 d 8 d 5 rapidez proedio d 8 d 5 *5 d 8 d 3 d 8 d 3 8 3,75 (b) cuál es su velocidad proedio en todo el viaje? Δ x - d - d v xf xi Δ t tf - ti Δ t Δ t Conclusión: cuando regresa al iso punto se considera que el desplazaiento es igual a cero y por lo tanto la velocidad proedio es cero. Problea.7 Edición sexta de serway En la figura P.7 se ilustra una grafica de posición - tiepo para una partícula que se ueve a lo largo del eje x. (a) Encuentre la velocidad proedio en el intervalo t.5. a t 4. 3

Cuando t,5 x 8 Cuando t 4 x Δ x - - 8-6 v xf xi Δ t tf - ti 4 -,5,5 -,4 (b) Deterine la velocidad instantánea en t. al edir la pendiente de la tangente que se ve en la grafica. Cuando t C x C 9,5 Cuando t D 3,5 x D Δ x - - 9,5-9,5 v xf xi Δ t tf - ti 3,5 -,5-3,8 (c) En que valor de t es cero la velocidad? La velocidad es cero cuando x es ínia. En la grafica cuando t 4. la velocidad es cero. Problea.8 Edición cuarta de serway Una rápida tortuga puede desplazarse a c /, y una liebre puede correr veces ás rápido. En una carrera, los dos corredores inician al iso tiepo, pero la liebre se detiene a descansar durante in. y, por ello, la tortuga gana por un caparazón ( c.). a) Qué tanto duró la carrera? b) Cuál fue su longitud? V t c/, / V l c/ / x l x t V t * t +V l * (t ), * t + * (t ), t + t 4 4 - t, t 38,9 t 38 t 5,6,9 X t V t * t X t, * 5,6 X t,56 etros Problea.9 Edición sexta de serway Julio Verne, en 865, sugirió enviar personas a la Luna ai disparar una capsula espacial desde un cañón de de largo con una velocidad de lanzaiento de.97 k/. Cual hubiera sido la nada realista gran aceleración experientada por los viajeros espaciales durante el lanzaiento? Copare su respuesta con la aceleración en caída libre de 9.8 /s. V V + a x f V a x f Xl + Vl * (t ) Xt Vt * t 4

k k V f,97,97 * 97 k 97 * a * 349 a 735 44 735 798 veces 9,8 la gravedad terrestre Problea. Edición sexta de serway Un caión recorre 4 en 8.5. cuando suaveente reduce su velocidad hasta una rapidez final de.8 /s. (a) Encuentre su rapidez original. (b) Encuentre su aceleración. x 4 t 8,5 V f,8 / Encuentre su rapidez original v ( V + V f ) Pero: x v t x ( V + V f ) t x (V + V f ) t x t V + Vf x t - Vf Vo V x t - Vf * 4 8,5 -,8 V 9,4 -,8 6,6 /. V f V + a t V f - V a t V - V,8-6,6-3,8 a f -,448 t 8,5 8,5 Problea. Edición sexta de serway Un auto BMW 745i puede frenar hasta detenerse en una distancia de pies desde una velocidad de 6 i/h. Para frenar hasta detenerse desde una velocidad de 8 i/h requiere una distancia de frenado de pies. Cual es la aceleración proedio de frenado para (a) 6 i/h hasta el reposo, (b) 8 i/h hasta el reposo, (c) 8 i/h a 6 i/h? Exprese las respuestas en i/h y en /s. Cual es la aceleración proedio de frenado para una V 6 i/h hasta el reposo,348 x pies * 36,88 pie i i 69 hora 9654 V 6 6 * * 6,8 hora hora i 36 36 V V + a x f 5

V - a x (6,8) - * a * 36,88 79,3-73,76 * a 79,3 a - - 9,75 73,76 Cual es la aceleración proedio de frenado para una V 8 i/h hasta el reposo,,348 x pies * 64,3 pie i i 69 hora 87 V 8 8 * * 35,75 hora hora i 36 36 V V + a x f V - a x (35,75) - * a * 64,3 78-8,6 * a 78 a - - 78,6 9,936 Cual es la aceleración proedio de frenado para una V 8 i/h hasta V f 6 i/h,348 x i pies * 36,88 pie,348 x f pies * 64,3 pie i i 69 hora 87 V 8 8 * * 35,75 hora hora i 36 36 i i 69 hora 9654 V f 6 6 * * 6,8 hora hora i 36 36 V V + a x f (6,8) (35,75) + * a * (x f x ) 78,77 78 + * a * (64,3 36,88) 78,77 78 + * a * (7,43) 78,77 78 + 54,86 * a 78,77-78 54,86 * a - 559,3 54,86 * a 559,3 a - - 54,86,9 6

Problea.5 Edición cuarta de serway. Problea. Edición sexta de serway Un objeto que se ueve con aceleración unifore, tiene una velocidad de c/s en la dirección positiva x cuando su coordenada x es 3 c. Si su coordenada x. después es de -5. c, cual es su aceleración? x 3 c x F - 5c V c/ t. x f - x V t + - 5-3 * + - 8 4 + - 8 4 + - 8-4 a - 3 a a 4 a a - 6 c/ a t a Problea.9 Edición cuarta de serway La velocidad inicial de un cuerpo es 5. /. Cuál es su velocidad después de,5. si acelera uniforeente a a) 3 / y b) -3 /? V 5, / V F? t,5 Cuál es la velocidad, cuando la aceleración es 3 / V 5, / t,5. V f V + a t V f 5, / + (3 / ) X,5 V f 5, / + (7,5 /) V f,7 / Cuál es la velocidad, cuando la aceleración es a - 3 / V 5, / t,5. V f V + a t V f 5, / - (3 / ) X,5 V f 5, / - (7,5 /) V f -,3 / Problea.3 Edición cuarta de serway Un jet aterriza con una velocidad de / y puede acelerar a una tasa áxia de -5 / cuando se va a detener. a) A partir del instante en que toca la pista de aterrizaje. cuál es el tiepo ínio necesario antes de que se detenga? 7

b) Este avión puede aterrizar en un pequeño aeropuerto donde la pista tiene.8 K. de largo? Cual es el tiepo? a -5 / V / V f V f V - a t V F V / V a t t? V t x? a 5 La pista tiene,8 k de largo, es necesario hallar la distancia necesaria para que el jet pueda aterrizar. V + VF x t V x t x * El jet necesita etros para aterrizar y la pista tiene solo 8 etros, por lo tanto no puede aterrizar. Problea.33 Edición cuarta de serway Una piloto de arrancones inicia la archa de su vehículo desde el reposo y acelera a / durante una distancia total de 4 ( ¼ de illa). a) Cuánto tiepo tarda el carro en recorrer esta distancia? b) Cuál es su velocidad al final del recorrido? a) Cuánto tiepo tarda el carro en recorrer esta distancia? a / V x 4 X V t + a t Pero la V o X a t x a t x t a V V F? X 4 8

x * 4 8 t 8 a t 8,94 b) Cuál es su velocidad al final del recorrido? v f ² v ² + * a * x 8,94 v f ² * a * x VF a x * * 4 8 89,44 V f 89,44 / Problea.35 Edición cuarta de serway Una partícula parte desde el reposo de la parte superior de un plano inclinado y se desliza hacia abajo con aceleración constante. El plano inclinado tiene de largo. y la partícula tarda 3. en alcanzar la parte inferior. Deterine a) La aceleración de la partícula. b) su velocidad en la parte inferior de la pendiente. c) el tiepo que tarda la partícula en alcanzar el punto edio del plano inclinado. y d) su velocidad en el punto edio. a) La aceleración de la partícula. X V t a t + Pero la V o X a t x a t x * 4 a,444 t 3 9 a,444 / ( ) b) su velocidad en la parte inferior de la pendiente. a,444 / V / t 3. V f? x t 3 t? V x V f V + a t V f a t V f,444 / * 3 9

V f,333 /. c) el tiepo que tarda la partícula en alcanzar el punto edio del plano inclinado a,444 / V x X V t + a t Pero la V o X x a t t a t x a x * t 4,5 a,444,444 t, d) su velocidad en el punto edio., a,444 / V / t,. V f? V f V + a t V f a t V f,444 / *, V f,94 /. Problea.37 Edición cuarta de serway Un adolescente tiene un auto que acelera a 3 / y desacelera a -4.5 /. En un viaje a la tienda, acelera desde el reposo hasta /, aneja a velocidad constante durante 5. y luego se detiene oentáneaente en la esquina. Acelera después hasta 8 /, aneja a velocidad constante durante, desacelera durante 8/3, continúa durante 4. a esta velocidad y después se detiene. a) Cuánto dura el recorrido? b) Qué distancia se recorre? c) Cuál es la velocidad proedio del viaje? d) Cuánto tardaría si cainara a la tienda y regresara de ese iso odo a.5 /?

V V F / V / V F V F 8 / V 8 / V F 6,3 / V 6,3 / V F a(+) V k a(-) a(+) V k a(-) V k a(-) t t 5 t 3 t 4 t 5 t 6,66 t 7 4 t 8 x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 a) Cuánto dura el recorrido? Se halla el tiepo. el oviiento es acelerado. a 3 / V / V f V + a * t V f a * t t VF a 3 4 t 4 t 5 Se halla el tiepo 3. el oviiento es retardado. a - 4,5 / V F / V f V - a * t 3 V a * t 3 t V 3 a 4,5 t 3,66,66 Se halla el tiepo 4. el oviiento es acelerado. a 3 / V / V f V + a * t 4 V f a * t 4 8 t VF 4 6 a 3

t 4 6 t 5 Se halla la velocidad al final del tiepo 6. el oviiento es retardado. t 6,66 t 7 4 Se halla el tiepo 8. el oviiento es retardado. a - 4,5 / V F / V 6,3 / V f V - a * t 8 V a * t 8 6,3 V t 8 a 4,5 t 8,34,34 El tiepo total es la sua de los tiepos parciales. t t t + t + t 3 + t 4 + t 5 + t 6 + t 7 + t 8 t t 4 + 5 +,66 + 6 + +,66 + 4 +,34 t t 45,66 b) Qué distancia se recorre? La distancia total es la sua de las distancias parciales. X t x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 Se halla la distancia x. el oviiento es acelerado. a 3 / V / V F / t 4 V + VF X * t X VF * t X * 4 4 x 4 Se halla la distancia x. el oviiento es a velocidad constante.

V / X v * t t 5 X / * 5 X 6 Se halla la distancia x 3. el oviiento es retardado. a - 4,5 / V F / V / t 3,66 X3 V + VF * t3 X3 V * t 3 X 3 *,66 5,96 X 3 5,96 Se halla la distancia x 4. el oviiento es acelerado. a 3 / V / V F 8 / t 6 X4 V + VF * t4 X4 VF * t 4 8 X 4 *6 x 54 54 Se halla la distancia x 5. el oviiento es a velocidad constante. V / t 5 X 5 v * t 5 X 5 8 / * X 5 36 Se halla la distancia x 6. el oviiento es retardado. a - 4,5 / V F 6,3 / V 8 / t 3,66 3

X6 V + VF * t 6 6,3 + 8 X 6 *,66 3,95 X 6 3,95 Se halla la distancia x 7. el oviiento es a velocidad constante. V 6,3 / X 7 v * t 7 t 5 4 X 7 6,3 / * 4 X 7 4, Se halla la distancia x 8. el oviiento es acelerado. a 3 / V 6,3 / V F / t,34 X4 V + VF * t8 X8 V * t 8 6,3 X 8 *,34 x 8 4,4 4,4 La distancia total es la sua de las distancias parciales. X t x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 X t 4 + 6 + 5,96 + 54 + 36 + 3,95 + 4, + 4,4 X t 574,7 c) Cuál es la velocidad proedio del viaje? x 574,7 v t,57 t t 45,66 d) Cuánto tardaría si cainara a la tienda y regresara de ese iso odo a.5 /? X ida a la tienda x ida y regreso a la tienda X v * t * 574,7 t x v,5 765,4 4

t 765,4. Problea.39 Edición cuarta de serway Un autoóvil que se ueve a una velocidad constante de 3 / pierde velocidad repentinaente en el pie de una colina. El auto experienta una aceleración constante de - / (opuesta a su oviiento) ientras efectúa el ascenso. a) Escriba ecuaciones para la posición y la velocidad coo funciones del tiepo, considerando x en la parte inferior de la colina, donde V o 3. /. b) Deterine la distancia áxia recorrida por el auto después de que pierde velocidad. ecuación de posición en funcion del tiepo a t X V t - X 3 t - ** t X 3 t - t ecuación de velocidad en funcion del tiepo x V F V f V - a * t V f 3 - t V 3 / Deterine la distancia áxia recorrida por el auto después de que pierde velocidad. v f ² v ² - * a * x v ² * a * x V ( 3) 9 x * a * 4 5 X 5 Problea.4 Edición sexta de serway Una pelota de golf se suelta desde el reposo del techo de un edificio uy alto. Despreciando la resistencia del aire, calcule (a) la posición y (b) la velocidad de la pelota después de,. y 3. t V a 9,8 / V f V + a t V f a t V f 9,8 / * 9,8 / V f 9,8 / Y ( V + Vf ) t 5

Y 4,9 ( V ) t *9,8 * Y f t V a 9,8 / V f V + a t V f a t Y 4,9 t V f 9,8 / * 9,6 / V f 9,6 / Y 9,6 t Y ( V + Vf ) t Y Vf t *9,6 * Y 9,6 ( ) t 3 3 Y 3 44, t 3 3 V a 9,8 / V f V + a t V f a t V f 9,8 / *3 9,4 / V f 9,4 / Y3 ( V + Vf ) t 3 Y3 Vf t 3 * 9,4 *3 Y 3 44, ( ) Problea.43 serway sexta edición; Problea.47 Edición cuarta de serway Una estudiante lanza un llavero verticalente hacia arriba a su herana del club feenino de estudiantes, que esta en una ventana 4 arriba. Las llaves son atrapadas.5. después por el brazo extendido de la herana. (a) Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves? (b) Cual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas? Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves? h 4 t,5 V? a 9,8 / h V * t + * g * t 4 V *,5 - *9,8*,5 4,5 V,5 4 +,5,5 V 5,5,5 V 6

5,5 V,5 V / Cual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas? V / a 9,8 / t,5 V f V - a t V f 9,8 *,5 V f 4,7 V f - 4,7 / Problea.45 Edición cuarta de serway Se inforó que una ujer cayó 44 pies desde el piso 7 de un edificio, aterrizando sobre una caja de ventilador etálica, la cual suió hasta una profundidad de 8 pulg. Sólo sufrió lesiones enores. Ignore la resistencia del aire y calcule a) la velocidad de la ujer exactaente antes de chocar con el ventilador, b) su aceleración proedio ientras está en contacto con la caja, y c) el tiepo que tarda en suir la caja. y altura del edificio 44 pies a 3 pies/ Cuando llega al piso es la velocidad final de ese oviiento y es a la vez la velocidad inicial cuando entra en contacto con la caja. Cuando se cae del edificio la velocidad inicial es cero El signo es (+) por que el oviiento es acelerado, es decir el cuerpo va auentando la velocidad V V + a y f V a y f pies V f a y *3 *44 pies pies 96 V f 96 pies/ es la velocidad de llegada a la caja b) su aceleración proedio ientras está en contacto con la caja, Cuando llega al piso es la velocidad final de ese oviiento y es a la vez la velocidad inicial cuando entra en contacto con la caja. y altura que se defora la caja 8 pulgadas. a 3 pies/ pie y 8 pulg *,5 pies pulg El signo es (-) por que el oviiento es retardado, es decir el cuerpo va perdiendo velocidad hasta que sea cero. V V f V a y - a pies 96 V 96 a y *,5 pies 3 y pies 7

a 37 pies/ c) el tiepo que tarda en suir la caja. La velocidad final es cero V f V - a t a * t v pies 96 t v,3 a pies 37 t,3. Problea.45 serway sexta edición En Mostar, Bosnia, la prueba áxia del valor de un joven era saltar de un puente de 4 años de antigüedad (ahora destruido) hacia el rio Neretva, 3 abajo del puente. (a) Cuanto duraba el salto? (b) Con que rapidez caía el joven ai ipacto con el agua? (c) Si la rapidez del sonido en el aire es 34 /., cuanto tiepo, después de saltar el clavadista, un espectador sobre el puente escucha el golpe en el agua? (a) Cuanto duraba el salto? h 3 etros V a 9,8 / h V * t + * g * t 3 *9,8* t 3 4,8 * t 3 t 4,693 4,8 t 4,693 t,6. (b) Con que rapidez caía el joven ai ipacto con el agua? V / a 9,8 / t,6 V f V + a t V f a t V f 9,8 *,6 V f,3 / (c) Si la rapidez del sonido en el aire es 34 /., cuanto tiepo, después de saltar el clavadista, un espectador sobre el puente escucha el golpe en el agua? Es necesario hallar el tiepo del sonido y suarlo con el tiepo que deora el clavadista en el aire. Velocidad del sonido 34 /. h V SONIDO * t SONIDO h 3 t SONIDO,676 V SONIDO 34 s onido,676 t TOTAL t + t SONIDO t TOTAL,6 +,676 8

t TOTAL,. Problea.46 Edición cuarta de serway; Problea.4 serway sexta edición Se lanza una pelota directaente hacia abajo, con una rapidez inicial de 8 /., desde una altura de 3. Después de que intervalo de tiepo llega la pelota ai suelo? h 3 V 8 / a 9,8 / h V + 3 8* t + 3 8t + 4,9 t * t * g * t *9,8* t Ordenando la ecuacion 4,9 t + 8t -3 a 4,9 b 8 c -3 - b ± b - 4 a c - 8 ± 8-4* 4,9 t *a * 4,9-8 ± 64 + 588-8 ± 65 t 9,8 9,8 t,79. * (- 3) Problea.47 Edición cuarta de serway; Problea.43 serway sexta edición Una estudiante lanza un llavero verticalente hacia arriba a su herana del club feenino de estudiantes, que esta en una ventana 4 arriba. Las llaves son atrapadas.5. después por el brazo extendido de la herana. (a) Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves? (b) Cual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas? Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves? h 4 t,5 V? a 9,8 / h V * t + * g * t 4 V *,5 - *9,8*,5 4,5 V,5 4 +,5,5 V 5,5,5 V 5,5 V,5 V / Cual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas? V / a 9,8 / t,5 V f V - a t V f 9,8 *,5 V f 4,7 V f - 4,7 / 9

Problea.48 Edición cuarta de serway Un globo aerostatico viaja verticalente hacia arriba a una velocidad constante de 5 /. Cuando esta a sobre el suelo se suelta un paquete desde el. a) Cuanto tiepo peranece el paquete en el aire? b) Cual es su velocidad exactaente antes de golpear el suelo? c) Repita a) y b) en el caso en que el globo desciende a 5 /. Cuanto tiepo peranece el paquete en el aire? V - 5 / h g 9,8 /² h V * t + * g * t - 5 t + *9,8 * t - 5 t + 4,9 t Ordenando la ecuación 4,9 t - 5t a 4,9 b -5 c - - b ± b - 4 a c - (-5) ± (- 5) - 4* 4,9 * (- ) t *a * 4,9 5 ± 5 + 4,6 5 ± 436,6 5 ±,89 5,89 t,64 9,8 9,8 9,8 9,8 t,64 / Cual es su velocidad exactaente antes de golpear el suelo? V - 5 / t,64 / g 9,8 /² V f V + a t V f - 5 + 9,8 *,64 V f - 5 + 5,89 V f,89 / Repita a) y b) en el caso en que el globo desciende a 5 /. V 5 / Cuanto tiepo peranece el paquete en el aire? t - b ± b - 4 a c *a - (5) ± () 5-4* 4,9 * (- ) * 4,9-5 ± 5 + 4,6-5 ± 436,6-5 ±,89 5,89 t,6 9,8 9,8 9,8 9,8 t,6 / Cual es su velocidad exactaente antes de golpear el suelo? V 5 / t,6 / g 9,8 /² V f V + a t V f 5 + 9,8 *,6 V f 5 + 5,87 V f,87 /

Problea.49 Edición cuarta de serway Una pelota es lanzada verticalente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 5 / a) Cuanto tiepo transcurre hasta que la pelota alcanza su altitud áxia? b) Cual es su altitud áxia? c) Deterine la velocidad y la aceleración de la pelota en t c) el tiepo que tarda en suir la caja. La velocidad final es cero Cuanto tiepo transcurre hasta que la pelota alcanza su altitud áxia? v 5 / g 9,8 /². V f V - a t a * t v 5 t v,53 a 9,8 t,53 b) Cual es su altitud áxia? h v * * * t g t h 5 *,53 *9,8 * (,53) h,95-4,9 *,34 h,95 -,47 h,47 Deterine la velocidad y la aceleración de la pelota en t t,53 t,47 Un autoóvil circula a 7 [k./hora], frena, y para en 5 []. a.- Calcule la aceleración de frenado supuestaente constante b.- Calcule la distancia recorrida desde que coenzó a frenar hasta que se detuvo k k hora V 7 7 * * hora hora k 36 V [/] v f t 5 [] a? Calcule la aceleración de frenado supuestaente constante V f V - a t El signo es (-) por que el oviiento es retardatriz, es decir el auto esta frenando hasta que la velocidad final es cero).

Despejando la aceleracion teneos: V - Vf a t - V - V a f 4 t 5 5 a 4 / Calcule la distancia recorrida desde que coenzó a frenar hasta que se detuvo, x distancia recorrida V V - a x f El signo es (-) por que el oviiento es retardatriz, es decir el auto esta frenando hasta que la velocidad final es cero). a x V - V f - V - V f 4 x 5 a 8 * 4 Un tren va llegando a la estación con una velocidad constante de 9 [ks/hr], coienza a frenar, y se detiene copletaente cuando frenó durante []. Cual fue el retardo que sufrió durante esos undos? k k hora V 9 9 * * 5 hora hora k 36 V 5 [/] V f t [] a? V f V - a t El signo es (-) por que el oviiento es retardatriz, es decir el auto esta frenando hasta que la velocidad final es cero). Despejando la aceleracion teneos: V - Vf a t 5 - V - V 5 a f,5 t a -,5 / Un autoovilista va en una carrera, y se antiene una velocidad constante, igual a 8 [ks/hr] y cuando divisa la eta, coienza a detenerse, con un retardo de [/s²]. Justo en el oento que cruza la eta, se detiene copletaente. Cuánto tiepo tardó en detenerse? k k hora V 8 8 * * 5 hora hora k 36 V 8 [ks/hr] 5 [/s]

V f a [/s²] t? V f V - a t El signo es (-) por que el oviiento es retardatriz, es decir el auto esta frenando hasta que la velocidad final es cero). Despejando el tiepo teneos: V - Vf a t 5 - V - V t f 5 a t 5. Un otorista circula a 4 k/hora y sufre una aceleración durante con lo que consigue una velocidad de k/hora. Que aceleración fue aplicada. k k hora V 4 4 * *, hora hora k 36 V, [/] k k hora V * * 7,77 hora hora k 36 V f 7,77 t [] a? V f V + a t El signo es (+) por que el oviiento es acelerado, es decir el auto auenta su velocidad. Despejando la aceleracion teneos: V f - V a t 7,77 -, V - V 6,66 a f t a,833 /,833 Un óvil viaja en línea recta con una velocidad edia de c/s durante 9, y luego con velocidad edia de 48 c/ durante 7, siendo abas velocidades en el iso sentido: a) cuál es el desplazaiento total en el viaje de 6?. b) cuál es la velocidad edia del viaje copleto?. Datos: v. c/ t 9 v 48 c/ t 7 a) a) cuál es el desplazaiento total en el viaje de 6?. x v.t Para cada lapso de tiepo: 3

x ( c/) * 9 x 8 c x (48 c/) * 7 x 336 c El desplazaiento total es: X t X + x X t 8 c + 336 c X t 46 c 4,6 cuál es la velocidad edia del viaje copleto?. Coo el tiepo total es: t t t + t 9 s + 7 s 6 s Con el desplazaiento total recién calculado aplicaos: X 4,6 ΔV t 8,85 t t 6 Δ v 8,85 / Resolver el problea anterior, suponiendo que las velocidades son de distinto sentido. Datos: a) Si son de distinto sentido: X t X - x X t 8 c - 336 c X t 744 c 74,4 cuál es la velocidad edia del viaje copleto?. X 74,4 ΔV t 4,65 t t 6 Δ v 4,65 /s En el gráfico, se representa un oviiento rectilíneo unifore, averigüe gráfica y analíticaente la distancia recorrida en los prieros 4. Datos: v 4 /. t 4 x v.t x 4 / * 4 x 6 Un óvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t s y t 4 s, sus posiciones son x 9,5 c y x 5,5 c. Deterinar: a) Velocidad del óvil. b) Su posición en t 3. c) Las ecuaciones de oviiento. d) Su abscisa en el instante t 4,5. e) Los gráficos x f(t) y v f(t) del óvil. Datos: t x 9,5 c 4

t 4 x 5,5 c Coo: Δ x ΔV Δ t x - x t - t x - 5,5 c - 9,5 c 6 c ΔV x t - t 4-4 Δv 4 c/s 4 c Su posición en t 3. Δ x ΔV Δ t x - x t - t Δx Δv.Δt Δx (4 c/) * Δx 4 c Suado a la posición inicial: x 3 x + Δx x 3 9,5 c + 4 c x 3 3,5 c Las ecuaciones de oviiento. x 4 (c/).t + 9,5 c d) Su abscisa en el instante t 4,5. Con la ecuación anterior x 4 (4 c/).t 4 + 9,5 c x 4 (4 c/) *,5 + 9,5 c x 4 c/ + 9,5 c x 4 9,5 c Un óvil recorre 98 k en horas, calcular: a) Su velocidad. b) Cuántos kilóetros recorrerá en 3 horas con la isa velocidad?. Datos: x 98 k t hora x 98 k V 49 t hora k hora Cuántos kilóetros recorrerá en 3 horas con la isa velocidad?. x v.t x (49 k/hora) * 3 hora x 47 k Se produce un disparo a,4 k de donde se encuentra un policía, cuánto tarda el policía en oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de 33 /? Datos: x,4 k 4 5

v 33 /s x v.t x 4 k t 49 v hora 33 t 6,8. 6,8 La velocidad de sonido es de 33 / y la de la luz es de 3. k/. Se produce un relápago a 5 k de un observador. a) Qué recibe priero el observador, la luz o el sonido?. b) Con qué diferencia de tiepo los registra?. Datos: v s 33 /. v i 3. k/ 3 /s x 5 k 5 a) Qué recibe priero el observador, la luz o el sonido?. La luz, por que la velocidad de la luz >>> que la velocidad del sonido Con qué diferencia de tiepo los registra?. x v.t x 5 t sonido 5,5 v 33 t sonido 5,5 x 5 t luz v 3,666 * - 4 t luz,666 * - 4 Luego: t t sonido - t luz t 5,5 -,666 * - 4 t 5,54985. Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 3. k/ y el sol se encuentra a 5.. k de distancia. Datos: v 3. k/. x 5.. k x v.t x 5 k t 5 v k 3 t 5. 6

Un auto de fórula, recorre la recta de un circuito, con velocidad constante. En el tiepo t,5 y t,5, sus posiciones en la recta son x 3,5 y x 43,5. Calcular: a) A qué velocidad se desplaza el auto?. b) En qué punto de la recta se encontraría a los 3?. Datos: t,5 x 3,5 t,5 x 43,5 Coo: Δ x ΔV Δ t x - x t - t x - 43,5-3,5 4 ΔV x t - t,5 -,5 Δv 4 /. 4 b) En qué punto de la recta se encontraría a los 3?. x v.t x (4 /hora) * 3 x Un objeto en caída libre recorre los últios 5 etros en, undos. Deterinar la altura desde la que cayó. Se analiza el prier desplazaiento, donde: e es la distancia del prier oviiento h es el desplazaiento total del objeto. t es el tiepo del prier oviiento e V t g t + Pero la V o e t e g t ECUACION h e + 5 Se analiza el undo desplazaiento h e + 5 V ( t,) g ( t,) + + + Pero la V o e + 5 g ( t +,) ECUACION 5, Reeplazando el valor de e de la ecuacion en la ecuacion g t + 5 g ( t +,) g t + g ( t +,) Cancelando el que divide las dos expresiones g t + g ( t +,) g t + g ( t + *,t +, ) 7

g ( t + *,t +, ) - g t g t +,4 g t +,4 g - g t,4 g t +,4 g reeplazando el valor de g 9,8 /,4 *( 9,8) t +,4 *(9,8) 3,9 t +,39 -,39 3,9 t 9,68 3,9 t 9,68 t,45 3,9 Se halla la distancia del prier oviiento e e g t *9,8 *(,45 ) e 4,9 * 6 e 9,4 la distancia total es la sua de los dos oviientos. h e + 5 9,4 + 5 34,4 En un sitio de construcción la pala de un rascador golpea el terreno con una rapidez de V f 4 /. a) De que altura fue lanzada ésta, inadvertidaente? b) Cuánto duro la caída? Datos V f 4/. V o g -9.8/ V V g h f + V f h g h Vf 4 g *9,8 V f V + g * t 576 9,6 9,3 V f g * t 4 Vf t g 9,8,44 De dos pueblos separados 5 K salen al iso tiepo un coche a 7 K/h y una oto a 8 K/h, uno al encuentro del otro, Dónde y cuándo se encontrarán?. Coo salen a la vez, el tiepo t que tardarán en encontrarse será el iso para los dos. Si el coche ha recorrido x K la oto habrá recorrido 5 - x K. 8

El oviiento es unifore para los dos por lo que hay que aplicar la ecuación e v.t ; el espacio e se expresará en K, la velocidad v en K/h y el tiepo en horas Para el coche: x 7.t ecuacion Para la oto: 5 - x 8.t ecuacion Resolviendo el sistea forado por las dos ecuaciones por el étodo de reduccion se obtendrá: x 7.t ecuacion 5 - x 8.t ecuacion 5 7 t + 8t 5 8t Despejando el tiepo t 5 t,77 horas 8 t,77 horas tardan en encontrarse se halla el punto donde se encuentran x 7.t ecuacion x 7 *,77 K recorre el coche 5 Un auto y un colectivo están ubicados coo uestra el dibujo y se ueven a 6 y K/h respectivaente. a) Calcular cuánto tiepo tardan en encontrarse. b) Hallar el lugar donde se encuentran. c) Hacer el gráfico de x (t) para los óviles y verificar los puntos a) y b). Punto donde se encuentran Auto A Auto B X A 6 k/h * t El sistea de referencia en el lugar donde esta el auto A al principio. Las dos velocidades son ( +) porque van en el iso sentido del eje x. Para el auto A V A 6 k/hora X A k + 6 k/hora * t (ECUACION ) XB, k + k/h Para el auto B V B B k/hora X B B, k + k/hora * t (ECUACION ) 9

Planteo la condición de encuentro que dice que la posición de los tipos debe coincidir en el oento del encuentro: x A x B B Las ecuaciones de la posición para A y B eran: B X A k + 6 k/hora * t (ECUACION ) X B, k + k/hora * t (ECUACION ) k + 6 k/hora * t, k + k/hora * t 6 t, + t 6 t - t, 4 t,, 36 t,5 horas * 9 4 hora t 9 reeplazando en cualquiera de las dos ecuaciones, encuentro la distancia en que se encuentran los autos. X A k + 6 k/hora * t (ECUACION ) X A 6 k/hora * t X A 6 k/hora *,5 hora,5 k 5 etros Es decir que a partir del auto A lo alcanza a 5 etros. X B B, k + k/hora * t (ECUACION ) X B B, k + k/hora *,5 horas X B B, k +,5 k X B B,5 k 5 etros De la isa anera podría haber dicho que el encuentro se produce a los 9 undos y después que el AUTO B recorrió 5. Esto es iportante. Cuando uno dice que el encuentro se produce a los 5 etros tiene que aclarar desde dónde están edidos esos 5 etros. Auto A x A t 6,666 33,333 5 3 X A 6,666 t 66,664 4 83,33 5 6 6,66 7 33,38 8 5 9 Otra anera de verificar que lo que uno hizo está bien es hacer el gráfico x (t) representando c/u de las ecuaciones horarias. k h X A 6 * * 6,666 * t h k 36 3

X B B, k + k/hora * t k h X B,k * + * * * t + 5,555 k h k 36 5 X ( ) t x BB 6,665 3 33, 33 6 5 9 * t AUTO B X B + 5,555 / * t 5 AUTO B 75 5 AUTO 5 3 6 9 t El lugar donde se cortan las rectas indica el tiepo de encuentro sobre el eje horizontal y la posición de encuentro sobre el eje vertical. a) A que velocidad debe ser lanzada una bola verticalente desde el nivel del piso para elevarse a una altura áxia de 5? b) Cuánto tiepo estará en el aire?. Datos h 5 V f /. V o? g -9.8/ Vf V - g h V - g h V g h V * g * h *9,8 *5 3, 3 V f V - g * t V g * t 3,3 t V subida g 9,8 3,9 Tiepo total * 3,9 6,38 3

Una roca es lanzada desde un risco de de alto cuánto tiepo tarda en caer a los a) prieros 5 y b) los undos 5? Datos V o h v h * t g t * * h * g * t * h g * t Cuanto tiepo tarda en caer 5 etros? t? h *5 t, 3, 9 g 9,8 Cuanto tiepo tarda en caer (tiepo total de caída) h * ttotal,4 4, 5 g 9,8 b) los undos 5? tiepo total t 4,5 3,9,3 Un aradillo salta hacia arriba alcanzando,544 en,5. a) Cuál es su velocidad inicial? b) Cuál es su velocidad a esta altura? c) Qué altura puede alcanzar? Datos h,544 t,5. g -9.8/ h v * * * t g t h + * g * t V * t,544 + *9,8 *,5 V *, 5,544 + 4,95 *,65 V *, 5,544 +,365 V *, 5,85 V *, 5,85 V 3,4,5 3

b) Cuál es su velocidad a esta altura? V f V a * t V f 3,4 9,8 *,5 V f 3,4,455 V f,94 / c) Qué altura puede alcanzar? V f v f ² v ² -.g.h v ² -.g.h v ².g.h 3,4,56 V h,7 g 9,8 9,8 h,7 Una bola de arcilla cae en el piso de una altura de.5. Esta en contacto con el piso por antes de llegar al reposo. Cuál es la aceleración proedio de la bola durante el tiepo que esta en contacto con el piso (considere la bola coo una partícula)? h.5 t /. Vf a? V f V + g * h V f g * h V *9,8*,5 4,7 3, f g* h 83 Esta es la velocidad con que la bola choca con el piso. La bola dura en contacto con el piso durante, hasta que llega al reposo. Con esta inforación se procede hallar la aceleración V f V a * t V f V 3,83 / V a * t 3,83 V a 9,5 t, a 9,5 / Se lanza un cuerpo verticalente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 /. a) Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3?. b) Qué distancia habrá descendido en esos 3?. c) Cuál será su velocidad después de haber descendido 4?. d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de, en cuánto tiepo alcanzará el suelo?. e) Con qué velocidad lo hará?. 33

v 7 / g 9,8 /². h 4 t 3. Ecuaciones: v f v + g.t y v.t + g.t²/ v f ² - v ².g.h a) Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3?. v f v + g.t v f (7 /) + (9,8/²).(3 ) v f 7 / + 9,4 / v f 36,4 / b) Qué distancia habrá descendido en esos 3?. y v.t + g.t²/ y (7 /).(3 ) + (9,8 /²).(3 )²/ y ( ) + (9,8 /²).(9 )/ y + 44, y 65, c) Cuál será su velocidad después de haber descendido 4?. v f ² - v ².g.h V f V + *g * h 7 + *9,8 *4 V f 49 + 74,4 v f 7,98 / 33,4 d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de, en cuánto tiepo alcanzará el suelo?. y v.t + g.t²/ 7.t + 9,8.t²/ Ordenando la ecuacion 9,8.t²/ + 7.t - Aplicaos la ecuación cuadrática que dará dos resultados: 4,9 t + 7t - a 4,9 b 7 c - t t - b ± - 7 ± b *a t - 7 ± 63 9,8 t - 7 + 63 9,8-4 a c - 7 ± 49 + 39-7 ± 9,8 56 t 5,7 9,8 7-4* 4,9 3969 9,8 * 4,9 * (- ) 34

- 7-63 - 7 t - 7,4 9,8 9,8 t 5,7 t -7,4 (NO ES SOLUCION) e) Con qué velocidad lo hará?. y v 7 / g 9,8 /². v f ² - v ².g.h V f V + *g * h 7 + *9,8 * V f 49 + 39 3969 v f 63 Se lanza un cuerpo verticalente hacia arriba con una velocidad inicial de /, luego de 4 de efectuado el lanzaiento su velocidad es de 6 /. a) Cuál es la altura áxia alcanzada?. b) En qué tiepo recorre el óvil esa distancia?. c) Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?. d) Cuánto tarda en alcanzar alturas de 3 y 6?. v / v f 6 / t 4 y 3 y 6 Ecuaciones: v f v + g.t y v.t + g.t²/ v f ² - v ².g.h a) Cuál es la altura áxia alcanzada?. a) Para la altura áxia v f, v f ² v ² -.g.h v ² -.g.h v ².g.h h áx -v ²/(.g) h áx ( /)²/[.(9,8 /²)] h áx ( /)²/[9,6 /²)] h áx 5, b) En qué tiepo recorre el óvil esa distancia?. v f v - g.t v f : v - g.t v g.t t v /g t ( /s)/(9,8 /s²) t, c) Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?. Recordeos que en tiro vertical, cuando un objeto es lanzado hacia arriba y luego cae, cuando vuelve a pasar por el punto de partida posee la isa velocidad que en el oento del lanzaiento pero con sentido contrario (v f -v ). 35

Podeos aurar que el resultado pedido es el doble del tiepo que requirió para alcanzar la altura áxia. Tiepo total tiepo subida + tiepo bajada, +,,4 d) Cuánto tarda en alcanzar alturas de 3 y 6?. e) No puede alcanzar una altura de 6 porque la áxia es de 5,. Para h 3 y v.t - g.t²/ 3.t - 9,8.t²/ Ordenando la ecuacion - 9,8.t²/ + t - 3 Aplicaos la ecuación cuadrática que dará dos resultados: - 4,9 t + t - 3 a - 4,9 b c -3 t - b ± b *a - 4 a c - ( ) ± ( ) - 4* (- 4,9) * (- 3) * 4,9 t - ± 588 ± 4 9,8 9,8 t ± 64,8 9,8 t + 64,8 9,8 t 64,8 6,75 9,8 t 64,8 35,8 3,65 9,8 9,8 t 6,75 (NO ES SOLUCION) t 3,65 Desde lo alto de un edificio, se lanza verticalente hacia arriba una pelota con una rapidez de,5 /. La pelota llega a tierra 4,5 después. Hallar la altura del edificio? La rapidez con que llega la pelota al piso? tiepo total 4,5 tiepo subida + tiepo bajada + tiepo del edificio se halla el tiepo de subida que es igual al tiepo de bajada. V f V g * t subida,5 9,8 * t subida,5 9,8 * t subida,5 t subida,74 9,8 Y edificio Y t subida t bajada t edificio V,5 / t subida,74 t ajada,74 V f? 36

tiepo total 4,5 tiepo subida + tiepo bajada + tiepo del edificio 4,5,74 +,74 + tiepo del edificio tiepo del edificio 4,5 -,74 -,74 tiepo del edificio,76 Se halla la altura del edificio Y Y V * t edif + g t,5 *,76 + edif *9,8 * (,76 ) Y,7 + 4,95 * (,8954) Y,7 + 4, Y 35,47 ALTURA DEL EDIFICIO. la velocidad con que es lanzada la pelota es igual a la velocidad de llegada en la parte superior del edificio. V,5 / V f V + g * t edificio V f,5 / + 9,8 / *,76 V f,5 / + 6,696 / V f 9,9 / (velocidad con que llega la pelota al piso.) Se deja caer un cuerpo desde un edificio con una altura de 33 etros y siultáneaente se lanza hacia abajo otro cuerpo con una rapidez inicial de de 3 /. Encontrar el instante en que la distancia entre ellos es 8 etros? Y Es la altura del cuerpo que se deja caer. Y Es la altura del cuerpo que es lanzado. Y 3 Es la distancia de 8 etros que separan a los cuerpos. Y Y + Y 3 Y Y + 8 (ecuación ) V () ( se deja caer) V () 3 / ( es lanzada) El tiepo es el iso para abos cuerpos. V () V () 3 / Y Y V() * t + Y g * t g * t (ecuación ) Y 3 8 Y edificio 33 Y V() * t + g * t (ecuación 3) 37

Reeplazando ecuación en la ecuación 3 Y * t g * t + 8 V() + (ecuación 4) Por el sistea de reducción de ecuaciones se relacionan las ecuaciones y la 4 Y g * t (ecuación ) Y * t g * t + 8 V() + (ecuación 4) Multiplico la ecuación por (-) se suan las ecuaciones - Y - g * t Y + 8 V() * t + g * t - Y + Y + 8 - g * t + V() * t + g * t Se cancelan los térinos seejantes y por ultio queda: 8 V () * t Se halla el tiepo. 8 8 t 6 V () 3 t 6 Un cuerpo que cae, recorre en el ultio undo 68,3 etros. Encontrar la altura desde donde cae?. Se analiza el prier desplazaiento, donde: V Y es la distancia del prier oviiento Y 68,3 es la distancia del undo oviiento Y Y + 68,3 es el desplazaiento total del objeto. t es el tiepo del prier oviiento Y V t + g t Pero la V o Y g t ECUACION Y Y+ 68,3 Y t Y 68,3 t T t + Se analiza el desplazaiento total 38

Y V ( t + ) + g ( t + ) Pero: Y Y + 68,3 Y + 68,3 V + ( t + ) + g ( t ) Pero la V o Y + 68,3 g t + ( ) ECUACION Reeplazando el valor de Y de la ecuación en la ecuación teneos: g t + 68,3 g ( t + ) g t 68,3 g t + t + + g t + 68,3 g t + g t g + Cancelando terinos seejantes 68,3 g t + g 68,3 g t + g 68,3 * g t + g 37, 6 g t + g 37, 6 g g t g 9,8 / 37,6 - g 37,6-9,8 7,8 t 6,5 g *9,8 9,6 Se halla la distancia del prier oviiento Y (ECUACION ) Y g t *9,8 *( 6,5 ) Y 4,9 * 4,5 Y 8,3 la distancia total es la sua de los dos oviientos. Y Y + 5 8,3 + 68,3 75,63 Y 76,6 Desde lo alto de un acantilado se deja caer una piedra, desde la isa altura se lanza una 39

piedra as tarde con una rapidez de 3 /. Si abos golpean el piso siultáneaente. Encuentre la altura del acantilado. t es el tiepo que deora en llegar el cuerpo que cae libreente. t es el tiepo que deora en llegar el cuerpo que es lanzado. Observe que este cuerpo deora enos en el aire que el prier cuerpo, por que es enviado después. Se analiza la priera piedra Y V t + g t V () ( se deja caer) V () 3 / Pero la V o Y g t ECUACION t t t - Y Se analiza la unda piedra Y V() * ( t - ) + g ( t - ) Y 3* ( t - ) + g ( t - ) Y 3 t - 6 + g t - 4t + 4 Y 3 t - 6 + g t - g t + g Igualando la ecuación y g t 3 t - 6 + g t - g t g + Cancelando terinos seejantes 3 t - 6 - g t + g pero V () 3 / ECUACION Reeplazando el valor de la gravedad g 9,8 / 3 t 6 * 9,8 t + * 9,8 3 t 6 9,6 t + 9,6,38 t 4,38 4,38,38 t Despejando el tiepo 4,38 t 3,89,38 4

Se halla la altura del acantilado en la ecuación Y g t Y * 9,8 * Y 74,5 etros ( 3,89) 4,9 * 5,3 Una roca cae libreente recorriendo la unda itad de la distancia de caída en 3. Encuentre la altura desde la cual se soltó y el tiepo total de caída Coo dice que la unda itad de la trayectoria baja en 3, significa que el problea se puede dividir en dos partes iguales. Y altura total y/ la itad de la trayectoria V i t V i es la velocidad inicial del prier oviiento. V F es la velocidad final del prier oviiento. V F V i Y/ V i es la velocidad inicial del undo oviiento. V F es la velocidad final del undo oviiento. Y NOTA : En la itad de la trayectoria la velocidad final del prier oviiento es igual a la velocidad inicial del undo oviiento. V F Y/ t 3 Analizaos el undo oviiento. Pero t 3 g 9,8 / Y ( V )* t * g * t i + Y ( V )*3 * g *3 i + Y 9 9 3 V i + * g 3 V i + * ( ) ( ) 9,8 Y 3 Y * ( Vi + ( V i ) + 44,45 3 ( ) 44,45) Y 6 V i + 88,9 Ecuación Analizaos el prier oviiento. Pero V i Y ( V ) ( ) F V i + * g Y F (V F ) g * Y ( V ) * g V F V i (Ver la grafica). Reeplazando V F V i 4

(V i ) g * Y Despejando Y ( ) ( ) Y Vi Vi g 9,8 Ecuación Igualando la ecuación con la ecuación Y 6 V i + 88,9 Ecuación ( ) ( ) Y Vi Vi Ecuación g 9,8 6 V i + 88,9 ( ) V i 9,8 Se despeja la V i 9,8 * (6 V i + 88,9) (V i ) 58,8 V i + 865,4 (V i ) Se ordena la ecuación de undo grado (V i ) - 58,8 V i - 865,4 Se aplica la ecuación de undo grado para la hallar la velocidad inicial del undo oviiento. (V i ) - 58,8 V i - 865,4 a b - 58,8 c - 865,4 Vi - b ± b *a - 4 a c - (- 58,8) ± (- 58,8) - 4* ( ) *(- 865,4) * V i 58,8 ± 3457,44 + Vi 58,8 ± 83,7 Vi 58,8 + 83,7 V i 4,97 7,98 V i 7,98 / 346,968 58,8 ± 698,48 V i 58,8-83,7 no tiene solucion por que la velocidad es negativa Reeplazando en la ecuación, se halla la altura total Y Y 6 V i + 88,9 Ecuación Y 6 * 7,98 + 88,9 Y 45,93 + 88,9 Y 54, 4

Para Hallar el tiepo, se necesita encontrar el tiepo de la priera trayectoria t Pero V i V F V i 7,98 / V F V i + g * t V F g * t 7,98 t VF 7,4 g 9,8 Tiepo total t + t Tiepo total 7,4 + 3 Tiepo total,4 Un estudiante de geología se encuentra frente a un corte vertical en roca, al cual no le es fácil acceder y desea edir la altura de dicho corte, para lo cual provisto de un cronoetro lanza un fragento rocoso en fora vertical hasta el borde del corte, el fragento regresa al cabo de 3. No tener en cuenta la resistencia del aire y calcular; A) la velocidad inicial de lanzaiento B) Cual es la altura del corte? Tiepo total de ida y regreso es 3. tiepo subida + tiepo bajada Por lo anterior el tiepo de subida es,5 Pero V i? V F V F V i - g * t subida V i - g * t subida V i g * t subida V i 9,8 / *,5 V i 4,4 / Cual es la altura del corte? Y ( V + Vf ) tsubida Y 4,4 + *,5 7,*,5,8 ( ) Y,8 43