Identificación Paramétrica

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Un modelo, incluyendo el ruido o perturbación, a tiempo discreto puede ser representado por la siguiente i ecuación Donde: ( ) ( ) y = G z u + H z ε G ( z ) = g ( ) z i= 0 H ( z ) = h ( ) z i= 0 ε representa el ruido operturbaciones demedición, ió por lo general se considera que el ruido es blanco o coloreado.

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Familias de modelos de funciones de transferencia: ARX ARMAX ARARX ARARMAX Error de salida Box-Jenins

Estructura ARX: Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Esta estructura es probablemente la relación entrada-salida mas simple que se pueda obtener para describir el sistema a través de una ecuación en diferencias. a y + a y + a y a y = b u + b u + b u + ε 0 2 2 n n 2 2 m m Con a = 0, Ay = Bu + ε A = + az + az + + az 2 n 2 n 2 m B= bz + b2 z + + bn z

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Así según la estructura, tenemos que: ( ) G z B z = ( ) ( ) y = G z u + H z ε Ay = Bu + ε ( ) H ( z ) = A( z ) A z ( ) /A ε u y B/A

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto El modelo puede ser reescrito como: Ay = Bu + ε y + a y + a y + + a y = b u + + b u + ε 2 2 n n m m y = a y a y a y + b u + + b u + ε 2 2 n n m m En este caso, los parámetros a ajustar son: a, a,, a, b, b,, b 2 n 2 m

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Definimos así el vector de parámetros a estimar como: [ a a a b b b ] θ = 2 n 2 Definimos un vector que va a contener las señales medidas: [ y y y u u u ] φ = 2 n 2 m m Así el modelo puede ser representado en forma vectorial como: y = φ θ + ε

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto y = φ θ + ε A esta ecuación se le denomina modelo de regresión lineal φ a este vector se le denomina regresores o vector de regresión θ vector de parámetros a estimar o identificar y = φ θ se le llama modelo de predicción

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Así para la identificación del vector de parámetros, podemos usar un método muy eficaz y sencillo como lo es el método de los mínimos cuadrados: En este caso se define el error como: e = y yˆ e = y φ θ K El método de los mínimos cuadrados tiene como objetivo minimizar el error.

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Así la función de costos para minimizar el error se puede definir como: V V V ( θ ) ( θ ) ( θ ) N = y φ θ 2 = N = E 2 = N = 2 = 2 E 2 2 Donde N es el número de muestras.

Método de Mínimos Cuadrados Método de mínimos cuadrados. y = φ θ En el caso general de N muestra, tenemos: Y = Φθ Donde Y es un vector Nx, Φ es una matriz Nxp y θ un vector px.

Método de Mínimos Cuadrados Y = Φθ Y y() y(2) = yn ( ) Nx ( ) ( 2) φ φ Φ φ ( N ) Φ = θ = [ a a a b b b ] Nxp 2 n 2 m xp θ Una manera de encontrar seria escoger el número de muestras N igual a p. Así Φ sería una matriz cuadrada. Si Φ es no singular, entonces θ =Φ θˆ Φ Y

Método de Mínimos Cuadrados Sin embargo en la práctica es muy difícil tomar N igual a p debido a la escasa información que se obtendría del sistema para realizar la identificación. Así otro método es, definimos el error entre la variable medida y(t) y las medidas provenientes del modelo φ θ et () = yt () φ θ

Método de Mínimos Cuadrados El método de mínimos cuadrados entonces minimiza el error a través de la minimización de una función de costos. N V E t E t E t E t 2 2 2 2 ( θ ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) 2 t= Donde denota la norma euclideana.

Método de Mínimos Cuadrados eorema: Sea la función de costos V ( θ ) y definiendo el error como: E() t = Y () t Φθ. Suponiendo que Φ Φ es una matriz definida positiva, entonces V ( θ ) tiene un único punto mínimo dado por: θˆ = ΦΦ Φ Y ( ) Y el valor mínimo esta dado por: ( ) ( ˆ) min ( ) θ V θ = V θ = Y Y Y Φ Φ Φ Φ Y 2

Método de Mínimos Cuadrados Demostración: Sabemos: Et () = Y Φθ así, de la función de costos: V( θ ) = E ( t) E( t) 2 = [ Y Φθ] [ Y Φθ] 2 = Y Y Y Φθ θ Φ Y + θ ΦΦθ 2 Esta ecuación se puede escribir como: V( θ) = θ ( ) y ( ) θ ( ) Y Y Y Y ( ) Y (*) 2 ΦΦ Φ ΦΦ ΦΦ Φ + ΦΦΦ Φ 2

Método de Mínimos Cuadrados Prueba para (*) V( θ) = θ ( ) y ( ) θ ( ) Y Y Y Y ( ) Y (*) 2 ΦΦ Φ ΦΦ ΦΦ Φ + ΦΦΦ Φ 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) V [ θ ] = θ ( ΦΦ ) θ θ ( ΦΦ )( ΦΦ ) ΦY ( ΦΦ ) ΦY ΦΦ θ + ΦΦ ΦY ΦΦ ΦΦ ΦY 2 ( ) + YY Y Y 2 Φ Φ Φ Φ = 2 θ ΦΦθ θ Φ Y Y Φ θ + YY + YY YY 2 = θ Φ Φθ θ Φ Y Y Φ θ + Y Y 2 Así debe ser escogido como: = Φ Φ Φ para que V ( θ ) θˆ sea mínima. ( ) θˆ Y

Método de Mínimos Cuadrados V( θ) = θ ( ) y ( ) θ ( ) Y Y Y Y ( ) Y 2 ΦΦ Φ ΦΦ ΦΦ Φ + ΦΦΦ Φ 2 θˆ = Φ Φ Φ Y ( ) min ( ) V θ = Y Y Y Φ Φ Φ Φ Y ( ) 2 2 ( ) ˆ ( ) V V Y Y Y Y θ θ = θ = Φ Φ Φ Φ ( ) ( ) ( )

Método de Mínimos Cuadrados ( ) Y θˆ θ = ΦΦΦ Φ Y Cuando la matriz ΦΦ es singular (o semidefinida positiva), entonces calcular θˆ como se enunció en el teorema no es válido ya que no podríamos calcular su inversa. En este caso, evaluamos el gradiente de la función de costos V ( θ )

Método de Mínimos Cuadrados V θ = E t E t 2 ( ) () () V ( θ) = [ Y Φθ] [ Y Φ θ] = θ Φ Φθ θ Φ Y Y Φ θ + Y Y 2 2 Calcula la derivada, tenemos: Así dv ( θ ) dθ = Φ Φ θ + θ Φ Φ Φ Y Y Φ = 0 2 2 2 = Φ Φθ Φ Y =Φ Φθ Φ Y = 0 2 ΦΦ ˆ θ =Φ Y Se debe resolver este sistema de ecuaciones.

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Familias de modelos de funciones de transferencia: ARX ARMAX ARARX ARARMAX Error de salida Box- Jenins

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Estructura ARMAX: La principal desventaja del modelo ARX reside en la escasez o falta de libertad en la descripción del término del error o perturbación. Debido a esto agregamos un término conocido como medida en movimiento (moving average) del ruido blanco, esto es: A y = Bu + C ε Donde C = + c z + c z + + c z 2 l 2 l

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto En este caso, el valor de parámetros lo podemos definir como: = a a2 an b b2 bm c c 2 c l θ [ y y y u u u ] ϕ = - -2 -n - -2 -m ε ε- ε-l Una versión de este modelo con una integración forzada se le conoce como modelo ARIMAX el cual es muy usado para describir sistemas con perturbaciones lentas. Y se obtiene reemplazando: Δ y = y y en lugar de y

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Estructura ARARX: En lugar de modelar el término del ruido o perturbación con una media en movimiento, se puede describir esta perturbación como una auto regresión. Esto es: Donde Ay = Bu + D ε D = + dz + dz + + d z 2 P 2 P

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Estructura ARARMAX: Una forma más general aun es la combinación del modelo ARMAX con el ARARX, dando como resultado el modelo ARARMAX. Esto es: C Ay = Bu + D ε ε C/D + u + y B /A

Error de salida: Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Hasta ahora hemos visto estructuras en las cuales la descripción de las funciones de transferencias tienen el polinomio A como factor común en sus denominadores. Sin embargo, sería más natural parametrizar de transferencia en forma independiente. estas funciones Supongamos ahora que tenemos la relación entre la entrada y la salida sin perturbación, esto es:

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto ε w + u Sistema y Fw = Bu Donde: 2 F = + fz + fz + + fz q 2 2 Así, y = w + ε B y = u + +ε F

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Entonces el modelo es: ε u B/F y y B = u + ε F

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Familias de modelos de funciones de transferencia: ARX ARMAX ARARX ARARMAX Error de salida Box-Jenins

Métodos para la Obtención de un Modelo Discreto Familia a general e de modelos: os Las estructuras que hemos visto anteriormente pueden generar muchos modelos, dependiendo de cómo se combinen los polinomios A,B,C,D o F. Así por conveniencia adoptaremos una estructura generalizada. A y = B C u F + D ε Estructura Box-Jains

Resumen Modelo Discreto Estructura ARX ARMAX ARIMAX ARARX ARARMAX Error de salida Box-Jenins Ay = Bu + ε A y = Bu + C ε Δ y = y y en lugar de y Ay = Bu + D ε C Ay = Bu + ε D B y = u +ε F B C Ay = u F + D ε

Método de Mínimos Cuadrados (Repaso) En el método de mínimos cuadrados, el modelo del sistema es: y = φ θ En el caso general de N muestra tenemos: Y = Φθ Donde Y es un vector Nx, Φ es una matriz Nxp y θ un vector px.

Método de Mínimos Cuadrados (Repaso) Y = Φθ Y y() y(2) = yn ( ) Nx φ ( ) ( 2) φ Φ= θ = [ a a a b b b ] Φ= φ ( N ) Nxp 2 n 2 m xp

Método de Mínimos Cuadrados (Repaso) Este método es un método paramétrico, en el cual los parámetros desconocidos de un modelo matemático deben escogerse de tal manera que, la suma de las diferencias cuadráticas entre los valores observados o medidos y los calculados (por modelo), multiplicados por valores que miden el grado de precisión sea mínimo. Es decir, N ( ) 2 N 2 2 i= 2 i= ( ) () () minθ V θ = Y i ϕ i θ = E

Método de Mínimos Cuadrados (Repaso) V ( θ ) = E t E t 2 ( ) ( ) V ( θ ) = Φ Φ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 θ ΦΦ Φy ΦΦ θ ΦΦ Φ Y + Y Y Y ΦΦΦ ΦY 2 θˆ ˆ = ΦΦ Φ Y ( ) ( ) ( ˆ) min ( ) θ V θ = V θ = Y Y Y Φ Φ Φ Φ Y 2

Método de Mínimos Cuadrados Debido a la presencia de ruido en los sistemas, un modelo mas real viene dado por: ( ) = ϕ ( ) θ + ε( ) y i i i Donde ( ) t ε es la señal de ruido.

Método de Mínimos Cuadrados Generalizado Este método es una modificación del método de mínimos cuadrados presentado anteriormente. ambién es llamado método de mínimos cuadrados ponderados. Su modificación consiste en incluir pesos dentro de la función de costos a minimizar. i i El error a minimizar tiene un peso diferente en cada instante.

Método de Mínimos Cuadrados Generalizado El modelo en este caso, es el modelo de regresión lineal: ( ) = ϕ ( ) θ + ( ) y i i r i Donde en este caso el ruido blanco η t es reemplazado por un ruido coloreado. Por ejemplo una secuencia de variables aleatorias correlacionadas, así: ( ) = η Cz ( ) () () i r i

Método de Mínimos Cuadrados Generalizado En general, el ruido que esta afectando a la salida del sistema no tiene media cero y el estimador de mínimos cuadrados como consecuencia puede generar resultados desviados. Para compensar la desviación se define un estimador ponderado W, W = V V, donde V es una matriz triangular inferior. Así la función de costos es: N minθ V ( θ ) = w y ( i ) φ ( i ) θ = E WE 2 2 i= 2 ( ) E = Y Φ θ

Método de Mínimos Cuadrados Extendido Este método es otra modificación del método de mínimos cuadrados. En el método de mínimos cuadrados el modelo de regresión lineal se puede escribir como: Ay = Bu + ε ε es el ruido

Método de Mínimos Cuadrados Extendido En el caso del método de mínimos cuadrados generalizado, el modelo de regresión lineal es: Ay = Bu + η Cz ( ) En el caso de mínimos cuadrados extendidos el modelo de regresión lineal es: Ay Dz ( ) Bu = + Cz ( ) η

Método de Máxima Verosimilitud El método de máxima verosimilitud es un método estocástico. El método consiste en seleccionar los valores que minimicen la función de verosimilitud definida como: ( Y, θ ) P( Y,θ ) L = Donde Y es una variable aleatoria que tiene densidad probabilística P( ( Y,θ )

Método de Máxima Verosimilitud ( Y, θ ) P ( Y,θθ ) L Y = Esta densidad de probabilidad depende del parámetro desconocido θ Así el método de máxima verosimilitud reduce el problema de estimación de parámetros, a la maximización de una función de los parámetros θ y de los datos experimentales observados Y.

Resumen Método Estructura Mínimos Cuadrado d Mínimos Cuadrados Generalizado Ay Ay = Bu Ay = Bu + η = Bu + Cz ( ) η Mínimos Cuadrados Extendido Ay = Bu + Dz ( ) η Cz ( ) Máxima Verosimilitud ( Y, θ ) P( Y,θ ) L =

Referencias bibliográficas A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas requeridas: Isermann, R & Münchhof, M. (20). Least squares parameter estimation for static processes. En: Identification of dynamic systems. (pp. 203-222). Estados Unidos: Springer. Isermann, R & Münchhof, M. (20). Least squares parameter estimation for dynamic processes. En: Identification of dynamic systems. (pp. 203-222). Estados Unidos: Springer. Söderström, & Stoica, P. (200). Linear regression. En: System Identification. (pp. 60-95). Gran Bretaña: Prentice Hall. Söderström, & Stoica, P. (200). Model parametrizations. En: System Identification. (pp. 46-84). Gran Bretaña: Prentice Hall. Söderström, & Stoica, P. (200). Prediction error methods. En: System Identification. (pp. 85-259). Gran Bretaña: Prentice Hall. A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas complementarias: Identificación de sistemas. Recuperado en http://www.fceia.unr.edu.ar/isis/ System identification toolbox. Recuperado en http://www.mathwors.com/help/ident/index.html