SOLUCION LINEAL DE LA ECUACIÓN DE ONDAS P R O P A G A C I Ó N D E L O L E A J E T E O R Í A D E A I R Y
TEMARIO INTRODUCCION CONSIDERACIONES MODELAMIENTO DE LA ECUACIÓN RESOLUCIÓN CONCLUSIÓN
INTRODUCCION Las olas varían según la acción del viento sobre la superficie, en función de su velocidad, duración y amplitud en mar abierto. La formación de las olas comienza con los primeros rizos y, si el viento se mantiene, el agua se apila en crestas, de forma que la cara levantada de cada rizo presenta mayor superficie al viento. Un mar es el complejo resultando de la intensidad y dirección del viento variables, y de la combinación de las olas en distintos modelos en cuanto a dirección, longitud y amplitud de onda. Las ondas libres de movimiento ondulatorio son el resultado del movimiento del agua, que describe órbitas para volver a la vertical. Según se alejan de su lugar de origen se modifican: las crestas se hacen más bajas y redondeadas, de forma más simétrica y se mueven en trenes de período y altura similar.
CONSIDERACIONES Teoría de George Airy (1801-1892) La propagación del oleaje en un fluido es un proceso no lineal. Podemos simplificar su análisis físico y matemático con ciertas consideraciones: Fuerzas principales Gravedad y Presión Fluido no viscoso e incompresible Se despreciarán tensiones tangenciales superficiales Fondo fijo e impermeable Movimiento irrotacional Ola periódica y regular Bajo estas condiciones podremos estudiarla como un proceso lineal.
CONSIDERACIONES Para el análisis de la onda de oleaje se tomará el espacio de esta como un sistema cartesiano de dos dimensiones, para esto se debe pasar del sistema Tridimensional en que se encuentran las olas en el espacio a un sistema Bidimensional. TIEMPO CONSTANTE Por lo que este modelo correspodera a una ola estacionaria.
MODELAMIENTO DE LA ECUACION Ecuaciones Fundamentales consideramos la Ecuación de Flujo Irrotacional Se considera fluido incompresible, en el plano x-z, obteniendo:
MODELAMIENTO DE LA ECUACION Sustituyendo la condición irrotacional se tiene: la ecuacion obtenida es la Ecuacion de Bernoulli
MODELAMIENTO DE LA ECUACION De la Ecuación de Bernoulli podemos decir que el factor tensión de esta es despresiable: Considerando el fluido no viscoso y los efectos de la tensión superficial como despreciables, obtenemos la Ecuación de Euler, con lo que se tienen 4 incógnitas. (u,v,w,p), Por lo que faltaría una sola ecuación, que será la Ecuación de Continuidad la Ecuación de Bernoulli antes planteada relacionará: Ф y p.
MODELAMIENTO DE LA ECUACION considerando que trabajamos con el agua como un fluido no viscoso, es decir, se desprecian las tensiones tangenciales, en consecuencia, no se considera la capa límite, por lo que el flujo se estudia como si deslizara sobre los contornos. Con estas hipótesis, a partir de la Ecuación de Conservación de Cantidad de movimiento, obtuvimos la Ecuación de Bernoulli, y aplicada con la Ecuación de Continuidad, se transforma en la Ecuación de Laplace, que gobierna el problema:
CONDICIONES DE BORDE Condicion cinematica (fondo) Para un fondo impermeable cuya superficie viene dada por la ecuación : F (x; z; t) = z + h (x; t) = 0 Si se considera que el fondo no varía en el tiempo, la ecuación se reduce a:
CONDICIONES DE BORDE Condiciones de contornos laterales Si el dominio es infinito, - < x <, se exige que el movimiento sea periódico en el tiempo y en el espacio, lo que se expresa de la forma:
CONDICIONES DE BORDE Condición de contorno dinámica Para un fluido incompresible, no viscoso e irrotacional, esta condición viene dada por la Ecuación de Bernoulli aplicada en z = η(x, y) (desplazamiento de la superficie libre del mar ):
MODELAMIENTO DE LA ECUACION Para el desarrollo de la ecuación tomando en cuenta las condiciones planteadas se considera el problema de forma bidimensional. Se despreciaran los términos no lineales, con el supuesto de onda de pequeña amplitud ( <<1, 2 << ). Donde es el desplazamiento de la superficie libre del mar Se considera un fondo horizontal, onda progresiva, reduciendo el problema a las siguientes condiciones:
MODELAMIENTO DE LA ECUACION Para la resolución se utilizará el Método de Separación de Variables SOLUCION FINAL
RESOLUCIÓN Para resolver esta ecuación, aplicaremos el método de variables separables.
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RESOLUCIÓN Para resolver la ecuación, nos damos la siguiente forma de la ecuación: Como T(t) debe ser una función periódica en el tiempo de periodo T, puede suponerse que es una combinación lineal de las funciones cos σt y sin σt :
RESOLUCIÓN Aplicando, las condiciones de periocidad, se tiene: Para que esto sea cierto, se debe cumplir: (frecuencia angular)
RESOLUCIÓN Si sustituimos en la ecuación y después, dividimos por la solución, se tiene: en la que se observa que el primer término de la ecuación sólo depende de la variable x, mientras que el segundo es exclusivamente función de z, por tanto, para que su suma valga cero, ambos deben ser constantes y opuestos:
RESOLUCIÓN Ahora la solución, dependerá del valor de k:
RESOLUCIÓN Puesto que se busca una solución periódica en x, debe ser k real y distinto de cero. Por tanto, la estructura del potencial será:
RESOLUCIÓN Condición de borde lateral: El potencial tiene que ser, como se ha dicho anteriormente, periódico en x, lo que ocurrirá si y sólo si: para que esta igualdad sea cierta debe ser, Donde k se conoce como el número de onda y L la longitud.
RESOLUCIÓN La función X(x)Y(t) es una combinación lineal de las funciones puede, por tanto, escribirse como combinación lineal de las funciones sin(kx- σt+φ1) y sin(kx+σt-φ2) siendo φ1 y φ2 constantes. La función potencial que resulta es:
RESOLUCIÓN Condición de contorno cinemática en el fondo: Expresando la CCCF en términos de la función potencial se tiene, para que esta expresión sea cero, independientemente del punto x y el tiempo t, el término entre paréntesis tiene que anularse:
RESOLUCIÓN Sustituyendo en la función potencial:
RESOLUCIÓN Condición de contorno dinámica en la superficie libre: De la condición dinámica en la superficie libre Y sustituyendo en la solución: que es la superposición de dos oscilaciones de amplitudes
RESOLUCIÓN Despejando: Analizando la solución, se tiene: Factor de Profundidad Y las fases del movimiento:
RESOLUCIÓN Debido a que el fenómeno estudiado, se considera olas progresivas. Se tiene A2=0 o A1=0, dependiendo de la dirección y referencia que se tome, y con φ=0. Quedando como solución de Ф:
CONCLUSIONES Nuevas formas de energía. Predicción de catástrofes. Aplicación en la ingeniería naval. Ámbito matemático, relación de la realidad con la ciencia.
FIN DE LA PRESENTACION