Flujos de redes (Network Flows NF)

Fluos de redes (Network Flows NF). Terminología. Árbol generador mínimo. Camino mínimo 4. Fluo máximo 5. Fluo de coste mínimo TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES

Terminología Red o grafo (G) Nodos o Vértices o Nudos (V) Arcos (dirigidos) o Aristas o Ramas (A) 4 Arco dirigido Red dirigida Camino Cadena Ciclo (dirigido=circuito) G=(V,A) V = {,,, 4} A = {(, ), (, ), (, 4), (, 4)} aquél que permite el fluo en un solo sentido conunto de nodos unidos por arcos secuencia de arcos dirigidos secuencia de arcos cuyo sentido puede ser hacia o desde el nodo final (por lo que en redes dirigidas no importa el sentido) camino o cadena que empieza y acaba en el mismo nodo TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES

5 4 Camino (, ) (, 5) (5, ) (, 4) Cadena (, ) (, 5) (5, 4) Ciclo (, 5) (5, ) (, ) (,) Circuito (, ) (, 5) (5, ) (, ) Nodos conexos Red conexa Árbol generador Capacidad de un arco Nudo de generación Nudo de demanda Nudo de trasbordo dos nodos son conexos si la red contiene al menos una cadena (camino sí importa el sentido) entre ellos red donde cada parea de nodos es conexa red conexa sin ciclos que tiene exactamente n- arcos para recorrer todos los n nodos máximo fluo por un arco (para grafos con arcos valorados) aquél cuyo fluo saliente excede al entrante aquél cuyo fluo entrante excede al saliente aquél que conserva el fluo TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES

Problema del árbol generador de mínimo peso Hipótesis: Red conexa no dirigida (o dirigida pero el sentido no es relevante) Distancia no negativa en cada arco Obetivo: Encontrar la cadena de longitud mínima que recorre todos los nodos sin ciclos (es decir, el árbol generador de mínimo peso). u = min e k C arbol generador k C Comentario: Obsérvese que no busca minimizar la distancia o coste entre dos nodos concretos sino el global de la red. TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 4

Procedimiento del problema del árbol generador mínimo Algoritmo de Prim. Selección arbitraria de cualquier nodo inicial Hacer C 0 =, C0 = V. Elegir un vértice cualquiera i V Sea k = y T = (T es el árbol generador). y hacer C = { i}, C V { i} =.. Selección el nodo no conectado más cercano a cualquier nodo conectado y establecimiento de un arco nuevo. * Seleccionar Ck, un nodo no conectado tal que se une a algún vértice ya conectado (de Ck ) con la arista de menor peso * k C C C = C * y { } T T e k Si k =. = n, parar. Si no, poner k = k + y repetir el paso. e. Hacer k = k { }, k k { } TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 5

Los empates se pueden solucionar de manera arbitraria sin pérdida del óptimo. Indican la posible existencia de múltiples soluciones óptimas. La distancia óptima no depende de la elección del nodo inicial. TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 6

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Problema del camino mínimo Hipótesis: Red conexa (normalmente dirigida, aunque no dirigido=dirigido en los dos sentidos) No existen circuitos de longitud negativa Nodo especial: origen Obetivo: Encontrar la distancia (coste, tiempo, etc.) mínima entre el origen y cualquier otro nodo (obtiene un árbol dirigido o arborescencia de caminos de mínimo peso) uk = min d i k C camino de origen a k ( i, ) C Metodología basada en ecuaciones de Bellman: Dikstra para grafo valorado con pesos positivos (nunca circuitos negativos). Bellman-Ford, general aunque más compleo. TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 8

Procedimiento del problema del camino mínimo Algoritmo de Dikstra PASO 0: INICIO, SE ETIQUETAN LOS NODOS CON LA LONGITUD DEL ARCO QUE LOS UNE CON EL ORIGEN i (, ) d = i A, u = 0, u d,..., n = =. P = { }, T {,.., n} =, pred( ) =, =,..., n PASO : DESIGNAR LA ETIQUETA PERMANENTE DE LA ITERACIÓN: VÉRTICE CON MENOR VALOR DE LA ETIQUETA TRANSITORIA Buscar k T tal que uk = min{ u}. Hacer P P {} k Si T =, parar. T PASO : REVISAR LAS ETIQUETAS TRANSITORIAS = y T T { k} =. T calcular u = min { u, uk + dk}, si se modifica poner pred( ). = k. Volver al PASO TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 9

5 4 00 0 0 50 (origen) 0 60 5 Paso 0: u = 0, u = 00, u = 0, u 4 =, 5 P =, T = {,, 4,5}, pred( ) =, =,, 4,5 P. : u k = 0 k =. P = {, }, T = {, 4,5}. u = min u, u + d = min 00,0 + = 00, P. : { } { } u4 { u4 u d4} { } u5 { u5 u d5} { } P. : u k = 40 k = 4. P = {,, 4}, T = {,5} P. : u = min{ 00,40 + 5} = 55 () 4 u =. { } = min, + = min,0 + 0 = 40 pred (4) = = min, + = min,0 + 60 = 90 pred (5) =. (MULTIPLES ÓPTIMOS) P. : u k = 55 k =. P = {,, 4, }, T = { 5} P. : u5 = min { u5, u + d5} = min{ 90,55 + } = 90 P. : u k = 90 k = 5. {,, 4,, 5} u 5 = min 90,40 + 50 = 90 ( pred (5) = 4 pred =, { }. P =, T =, PARAR. TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 0

Problema del árbol generador mínimo Algoritmo de Bellman-Ford Utilizar sólo para el caso de arcos con distancia negativa (no equivale a aplicar Dikstra sumando una misma cantidad a todos los arcos) m u longitud del camino mínimo del vértice al vértice usando a lo sumo m arcos PASO : INICIAR CON LONGITUDES DE LOS ARCOS DEL NODO A LOS DEMÁS NODOS di = ( i, ) A, u = 0, u = d pred( ) = =,..., n. Poner m = PASO : CALCULAR LAS DISTANCIAS MÍNIMAS USANDO A LO SUMO m + ARCOS { } Calcular m + u min m,min{ m u uk dk} u u = +. Si k min m m u u m + m hacer pred()=k * siendo { m } m m k k k * k * k al paso. + =, parar. Si no, para tal que u + d = u + d = u +. Poner m= m+ y volver Obsérvese que para m = n seguro se cumplirá u n = ya que se trata de construir un árbol. n u TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES

5-4 6 4 Paso : u = 0, u = 5, u =, 4 4 4 P. : u u { u d u d } u u { u d u4 d4} u4 u4 { u d4 u d4} P. : min{ 5,min{, } } 0 u4 u4 { u d4 u d4} 4 P. : u u { u d u4 d4} u =, PRED(J)=,J=,,,4. m = { } { } { } { { }} { } { { }} u { } = min,min +, + = min 5,min +, = 5 = min,min +, + = min,min 5 +, + 6 = = min,min +, + = min,min 5 + 4, + = u PRED(4)= m = P.. 4 4 { } u = + = { } { } u u u = min,min 5 +, + 6 = { } { } { } { } { { }} { { }} { { } } { { }} = min, min +, + = min, min 5 + 4, + =, PRED()=4, m = P. { } = min,min +, + = min 0,min +, = 0 u = min u,min u + d, u + d = min,min 0 +, + 6 = 4 4 4 u = min u,min u + d, u + d = min,min 0 + 4, + = 4 4 4 4 4 4 u = u, PARAR. TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES

Otras aplicaciones de los algoritmos de camino mínimo Resolución problemas de maximización de beneficios: Obetivo: Encontrar el camino desde el nodo origen que maximiza el beneficio uk = max d i k C camino de origen a k ( i, ) C Alternativa : Adaptación de los algoritmos. Actualizar las inicializaciones y las fórmulas de cálculo de las distancias mínimas: d = i, A Dikstra: En paso 0 reemplazar por ( ) En paso reemplazar por uk = max{ u} T En paso reemplazar por u max { u, uk dk} i = + T Bellman-Ford: En paso reemplazar por (, ) d = i A i TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES

{ } En paso reemplazar por m + u max m,max{ m = u uk + dk} k m m m max{ k + k} = * + * = k u d u d u + k k Alternativa : Aplicación directa de los algoritmos. Teniendo en cuenta que maximizar f equivale a minimizar -f, multiplicar por - los valores del grafo y resolver el problema de camino mínimo con los algoritmos Dikstra y Bellman-Ford convencionales TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 4

Resolución problemas de maximización de probabilidades: Hipótesis sobre la valoración de los arcos: Existe una probabilidad de éxito p i sobre cada arco, todas ellas independientes (E. probabilidad de no ser atracado en una calle, etc.) Obetivo: Encontrar el camino desde el nodo origen que maximiza la probabilidad de éxito { } i u = max Π p k k C camino de origen a k ( i, ) C Alternativa : Adaptación del algoritmo de Dikstra. Actualizar las inicializaciones y las fórmulas de cálculo de las distancias mínimas: En paso 0 reemplazar por 0 (, ) p = i A, i u = TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 5

En paso reemplazar por uk = max{ u} T En paso reemplazar por u max { u, uk pk} = T Alternativa : Aplicación directa del algoritmo de Dikstra. Obsérvese que al incorporar logaritmos neperianos (que convierten productos en sumas) a la función obetivo se tienen las siguientes equivalencias): max p max ln p max lnp min ( ln p ) i i i i C C C C C C C C La última expresión es una función obetivo optimizable con Dikstra (pues es suma de valores positivos) considerar el mismo grafo pero valorado con ln(p i ) 0 en lugar de con p i y aplicar Dikstra. TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 6

Problema de fluo máximo Hipótesis: Red conexa dirigida Nodos especiales: origen s y destino t, el resto son de trasbordo Cada arco tiene capacidades máximas asociadas Obetivo: Maximizar el fluo total desde el origen al destino Métodos de resolución: Algoritmo del camino de aumento (Ford-Fulkerson) Programación lineal TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 7

Fluo compatible (factible) Aquél que verifica: El fluo no supera la capacidad de ningún arco ( ϕi ci (, i ) ) Verifica la ley de conservación de fluo: i s, t ϕ ϕ = 0 i /(, i) A /( i, ) A i (5) (4) (5) s (5) (6) () 4 t 5 4 (7) 4 (5) (6) Problema de fluo máximo: determinar el fluo compatible (luego es la incógnita) que transporta la mayor cantidad de fluo de la fuente (origen s) al sumidero (destino t). TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 8

Capacidad residual de un arco: es la diferencia entre la capacidad de un arco y el fluo asignado a éste. Camino de aumento: es un camino de la fuente al sumidero tal que el mínimo de las capacidades residuales de los arcos que lo forman es positivo, denominándose a este valor capacidad residual del camino de aumento. Corte: Partición de la red en dos subredes s P y t P (componentes) cualesquiera, conteniendo una el origen y otra el destino. Capacidad del corte: Suma de las capacidades de los arcos que unen ambas subredes (cruzan el corte) en el sentido de origen en P a destino en P, es decir, c( P, P) = ci (, i ) Ai : P, P TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 9

Teorema de máximo fluo mínimo corte: Para una red conexa dirigida con un origen y un destino el valor del fluo máximo es igual al valor mínimo de las capacidades de cualquier corte de la red (fluo máximo=mínima capacidad de corte). Max ϕ = Min c P, P ϕ fluo compatible i/ i, t A ( ) it ( PP, ) corte ( ) Formulados como problemas de programación matemática, los problemas de fluo máximo y de corte de mínima capacidad son problemas duales. La teoría de la optimización permite resolver ambos problemas, al igual que el algoritmo de Ford Fulkerson. TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 0

Algoritmo de Ford-Fulkerson PASO : COMENZAR CON UN FLUJO COMPATIBLE Y OBTENER LAS CAPACIDADES RESIDUALES DE LOS ARCOS * Poner fluo 0 ϕ i = 0 ( i, ) A y capacidades residuales ci = ci (, i ) A. Etiquetar s (, ) (no existe predecesor, capacidad residual infinita) PASO : OBTENER UN CAMINO DE AUMENTO, INCLUSO REDIRECCIONANDO FLUJO ANTERIORMENTE ASIGNADO Sea i V un nodo ya etiquetado y sea V un nodo sin etiquetar tal que existe el arco (, i ) o el arco ( i, ). Hacer según el caso: a) Si ( i, ) A y la capacidad residual no es 0 ( c * i > 0) puede aumentar fluo, calcular el mínimo de la capacidad residual de los arcos que llegan a i y este arco y etiquetar el nodo, es decir, calcular δ min {, * = δi ci} y etiquetar el nodo con ( i+, δ ). b) Si ( i, ) Ay se está enviando fluo por ese arco ( ϕ i > 0) se puede redireccionar parte de ese fluo (se puede disminuir en ese arco), entonces calcular δ = min { δi, ϕ i} y etiquetar el nodo con ( i, δ ). TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES

Repetir hasta que el sumidero esté etiquetado e ir al paso o hasta que no sea posible etiquetar más nodos (que se habrá acabado) e ir al paso 4. PASO : AUMENTAR EL FLUJO EN EL CAMINO OBTENIDO Y RECALCULAR LAS CAPACIDADES RESIDUALES Recorrer el camino de nodos etiquetados aumentando el fluo en los arcos cuyos nodos finales estén etiquetados positivamente y disminuyéndolo en los iniciales etiquetados negativamente, en la cantidad δ t con que se etiquetó el sumidero t (capacidad residual del camino de aumento de capacidad). Recalcular las capacidades residuales (disminuir en los arcos positivos y aumentar en los negativos). Borrar las etiquetas, excepto la de la fuente, y volver al paso. PASO 4: PARAR, NO ES POSIBLE AUMENTAR EL FLUJO La sucesión de etiquetas establecida en cada iteración puede no ser única, pero se demuestra que cualquiera de ellas permite la obtención del fluo máximo. PP, siendo P el El corte de mínima capacidad es el formado por las componentes ( ) conunto de nodos etiquetados y P el conunto de nodos no etiquetados, que contiene al sumidero t, que resultan de la última iteración del algoritmo. La capacidad mínima es la TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES

suma de la capacidad de los arcos que empiezan en P y terminan en P. Nótese que el corte no tiene porqué aislar exclusivamente la fuente t, sino cualquier conunto de vértices que no contenga al sumidero s (es decir, ( PP, ) pueden ser cualquier partición del conunto de nodos V siempre que se cumpla s P, t P ). TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES

Eemplo FF: (s+,) () (4) 4 () (-, ) s () t (+,) () * P.: ϕi = 0 ( i, ) U c i = ci (, i ) U s (, ) P.: i = s = : a) δ = min {, } = ( s+,) P.: i = = : a) δ = min{,} = ( +,) P.: i = = t: a) δ t = min{, } = t ( +,) t etiquetado: P.: ϕ =, ϕ =, ϕ = s t (, ) (+,) s (0) () (4) () 4 () t c =, c =, = 0 = = c = ) * * * * * * s 0 ct ( cs, c4 4, 4t () (0) TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 4

E. FF (cont( cont.): (, ) s (4 ) (-,) 4 (+,) (0 ) ( ) ( ) t (4+,) P.: i = s = : a) δ = min, = ( s+,) P.: i = = : b) δ = min{, } = (,) P.: i = = 4: a) δ 4 = min{, 4} = 4 ( +,) P.: i = 4 = t: a) δ t = min{,} = t (4 +,) t etiquetado: P.: ( ) ϕs = 0+, ϕ = =, ϕ4 =, ϕ4 t = ( ϕs =, ϕ4 = ) * * * * c =, c =, c =, c = 0 s 4 * * cs = ct = ( 0, 0) 4t { } (, ) s (s+,) (0) () (0 ) () () 4 (0) (0) t TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 5

E. FF (cont( cont.): (, ) s (-,) () (+,) 4 (0) (0) () t () P.: i = s = : a) δ = = ( s+,) P.: i = = : b) δ = min{,} = (,) P.: i = = 4: a) δ 4 = min{, } = 4 ( +,) No se puede etiquetar más y t no etiquetado: ir a 4 P.4: Parar, Fluo óptimo, valor. Corte mínima capacidad ({s,,,4}{t}) = min {,} (s+,) (0) TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 6

Problema de fluo compatible con coste mínimo En este problema se incorpora un nuevo elemento en la red anterior, el coste. Se supone asociado a cada arco un coste unitario d i de envío de fluo a través del arco. El problema consiste en enviar una cantidad de fluo conocida θ a través de la red desde la fuente (origen) al sumidero (destino), con coste total mínimo. La formulación de este problema utilizando las técnicas de programación matemática es la siguiente: min (, i ) A d i/( s, i) A i/( i, t) A i it ϕ ϕ = 0 s, t i i/( i, ) A i/(, i) A i 0 ϕ c ( i, ) A i ϕ ϕsi = θ ϕ = θ i i TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES 7