Tema 04: Medición y error Solicitado: Ejercicios 01: Análisis estadístico M. en C. Edgardo Adrián Franco Martínez http://www.eafranco.com edfrancom@ipn.mx @edfrancom edgardoadrianfrancom 1
Contenido Definiciones Error de medición Causas de errores de medición Errores debidos al instrumento de medida Errores debidos al operador Errores debidos a los factores ambientales Error debido a perturbaciones eléctricas o sensores mal acondicionados Tipos de errores de medición Error grueso o grave Error sistemático Error aleatorio Análisis estadístico Media aritmética Desviación de la media Desviación promedio Desviación estándar Distribución normal de errores Error probable Ejercicios 01: Análisis estadístico 2
Definiciones Medir: es determinar numéricamente una magnitud comparándola con otra de su misma especie y de valor constante. A estas magnitudes se las conoce como unidades de medida y su materialización son los patrones de medida. El valor verdadero de una cierta magnitud que se mide es siempre imposible de determinar por las limitaciones tanto del operador como de los instrumentos de medida. Toda medida va afectada de un error, también imposible de determinar, pero cuyo valor podemos acotar dentro de unos márgenes adecuados. 3
Instrumento: Dispositivo para determinar el valor o la magnitud de una cantidad o variable. Exactitud: Aproximación con la cual la lectura de un instrumento se acerca al valor real de la variable medida. Precisión: Medida de la reproducibilidad de las mediciones: i.e. dado el valor fijo de la variable, la precisión es una medida del grado con el cual las mediciones sucesivas difieren una de otra. 4
Sensibilidad: Relación de la señal de salida o respuesta del instrumento respecto al cambio de la entrada o variable medida. Resolución: Cambio más pequeño en el valor medido al cual responde el instrumento. Error: Desviación a partir del valor real de la variable medida. 5
Error de medición El error de medición se define como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. Afectan a cualquier instrumento de medición y pueden deberse a distintas causas. Las que se pueden de alguna manera prever, calcular, eliminar mediante calibraciones y compensaciones, se denominan determinísticos o sistemáticos y se relacionan con la exactitud de las mediciones. A aquellos errores que no se pueden prever, pues dependen de causas desconocidas, o estocásticas se denominan aleatorios y están relacionados con la precisión del instrumento. Finalmente a aquellos errores causados por factor humano se les conoce como gruesos o graves. 6
Causas de errores de medición Aunque es imposible conocer todas las causas del error es conveniente conocer todas las causas importantes y tener una idea que permita evaluar los errores mas frecuentes. Las principales causas que producen errores se pueden clasificar en: Error debido al instrumento de medida Error debido al operador Error debido a los factores ambientales Error debido a perturbaciones eléctricas o sensores mal acondicionados 7
Errores debidos al instrumento de medida Cualquiera que sea la precisión del diseño y fabricación de un instrumento presentan siempre imperfecciones. A estas, con el paso del tiempo, les tenemos que sumar las imperfecciones por desgaste. Error de alineación Error de diseño y fabricación Error por desgaste del instrumento. Debido a este tipo de errores se tienen que realizar verificaciones periódicas para comprobar si se mantiene dentro de las especificaciones debidas Error por precisión y forma de los contactos 8
Errores debidos al operador El operador influye en los resultados de una medición por la imperfección de sus sentidos así como por la habilidad que posee para efectuar las medidas. Las tendencias existentes para evitar estas causas de errores son la utilización de instrumentos de medida en los que elimina al máximo la intervención del operador. Error de mal posicionamiento: Ocurre cuando no se coloca adecuadamente el instrumento de medida. Error de lectura y paralelaje: Cuando los instrumentos de medida no tienen lectura digital se obtiene la medida mediante la comparación de escalas a diferentes planos. Este hecho puede inducir a lecturas con errores de apreciación, interpolación, coincidencia, etc. Por otra parte si la mirada del operador no esta situada totalmente perpendicular al plano de escala aparecen errores de paralelaje. Errores que no admiten tratamiento matemático: Error por fatiga o cansancio. 9
Errores debidos a los factores ambientales El más destacado y estudiado es el efecto de la temperatura en los metales dado que su influencia es muy fuerte. Error por variación de temperatura: Los objetos metálicos se dilatan cuando aumenta la temperatura y se contraen al enfriarse. Este hecho se modeliza de la siguiente forma. Variación de longitud = Coeficiente de dilatación específico x longitud de la pieza x variación temperatura ( ΔL = α.l.δt ) Otros agentes exteriores: Influyen mínimamente. Humedad, presión atmosférica, polvo y suciedad en general. También de origen mecánico, como las vibraciones. 10
Error debido a perturbaciones eléctricas o sensores mal acondicionados Cuando el instrumento de medición se basa en transductores y sensores, estos pueden presentar fallos ante perturbaciones de alimentación eléctrica, así como un mal circuito de acoplamiento puede realizar modificaciones no deseadas a la medición. No es razonable esperar a priori, que un sensor responda exclusivamente a la magnitud de interés, y que la señal de salida fuera únicamente la señal de entrada. Un circuito de acoplamiento mal acondicionado o protegido puede introducir ruido y medidas erróneas de un instrumento de medición. 11
Tipos de errores de medición Ninguna medición se puede realizar con una exactitud perfecta, pero es importante descubrir cuál es la exactitud real y como se generan los diferentes tipos de errores en las mediciones. Los errores pueden ser: Errores gruesos o graves: Son en gran parte de origen humano. Errores sistemáticos: Se deben a fallas de los instrumentos. Errores aleatorios: Ocurren por causas que no se pueden establecer directamente. 12
Error grueso o grave Se deben principalmente a fallas humanas en la lectura, utilización de los instrumentos, registro o cálculo de los resultados de las mediciones. Cuando el hombre participa en la medición, se cometen inevitablemente errores graves. Aunque es imposible la eliminación total de éstos se deben intentar anticiparlos y corregirlos. 13
Error sistemático Permanecen constantes en valor absoluto y en el signo al medir una magnitud en las mismas condiciones, y se conocen las leyes que lo causan. (Instrumentales o ambientales) Para determinar un error sistemático se deben de realizar una serie de medidas sobre una magnitud X 0, se debe de calcular la media aritmética de estas medidas y después hallar la diferencia entre la media y la magnitud X 0. Error sistemático = media - X 0 14
Error aleatorio No se conocen las leyes o mecanismos que lo causan por su excesiva complejidad o por su pequeña influencia en el resultado final. Para conocer este tipo de errores primero debemos de realizar un muestreo de medidas. Con los datos de las sucesivas medidas podemos calcular su media y la desviación típica muestral. Con estos parámetros se puede obtener la distribución normal característica, N[μ, s], y la podemos acotar para un nivel de confianza dado. Las medidas entran dentro de la campana con unos márgenes determinados para un nivel de confianza que suele establecerse entre el 95% y el 98%. 15
Análisis estadístico El análisis estadístico de datos de mediciones es una practica común ya que permite obtener una determinación analítica de la incertidumbre del resultado final. Un análisis estadístico previo disminuye los errores sistemáticos en comparación con los errores aleatorios. 16
Media aritmética El valor más probable de una medida es la media aritmética del número de lecturas tomadas. Cuando el número de lecturas de la misma cantidad es muy grande, se obtiene una mejor aproximación. En teoría un número infinito de mediciones daría un mejor resultado. n x x = i=1 i n 17
Desviación de la media Desviación es el alejamiento de una lectura dada de la media aritmética. Si la desviación de la primera lectura, x 1, se llama d 1, y la de la segunda lectura, x 2, es d 2 y así sucesivamente. d 1 = x 1 x d 2 = x 2 x d n = x n x 18
Desviación promedio La desviación promedio es una indicación de precisión de los instrumentos usados en las mediciones. D = n i=1 n d i 19
Desviación estándar La desviación estándar o desviación típica (σ) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo. La desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable. σ = n i=1 n 1 d i 2 σ 2 = Varianza 20
Distribución normal de errores En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. 21
Distribución normal de errores 22
Algunas propiedades de la distribución normal son: Es simétrica respecto de su media, μ; La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ; Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ σ y x = μ + σ. Distribución de probabilidad en un entorno de la media: En el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución; En el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución; Por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar. 23
Error probable En el área bajo la curva de probabilidad de Gauss, alrededor del 68% de todos los casos queda entre los limites de +σ y σ de la media. Por lo que se llama error probable a: error probable = ±0.6745σ 24
Ejercicios 01: Análisis estadístico 1. Una serie de mediciones de un sensor de temperatura ha arrojado los siguientes voltajes bajo las mismas condiciones y temperatura: 182mV, 179mV, 180mV, 181mV, 160mV, 190mV, 178mV, 182mV, 200mV, 177mV, 180mV, 176mV, 182mV, 178mV, 181mV; si se sabe que el sensor no es de buena calidad: Qué debo de considerar para utilizarlo como parte de mi sistema de instrumentación? Cuál es el error promedio? Cuál es la media, desviación promedio y varianza de las mediciones? Si se sabe que se trata de un LM35 con una salida lineal de 15mV/ C Cuál es la temperatura medida en C? 25
2. 25 fotoceldas ha sido sometidas a pruebas de calidad. Estas se colocan en un área con luminosidad constante (1000 luxes) y se realizan mediciones de la respuesta de cada una de ellas: 400.53 Ω 401.03 Ω 400.78 Ω 400.10 Ω 399.02 Ω 400.00 Ω 490.32 Ω 400.11 Ω 400.00 Ω 396.50Ω 402.30 Ω 430.78 Ω 401.01 Ω 400.02 Ω 399.98 Ω 398.50 Ω 408.59 Ω 399.99 Ω 400.05 Ω 400.55 Ω 399.10 Ω 404.53 Ω 399.10 Ω 404.23 Ω 401.30 Ω Cuál es el error promedio? Cuál es la media, desviación promedio y varianza de las mediciones? Dibuje la distribución de las mediciones y su características Cuantos de los sensores ocupan el 99.77% de la distribución normal? 26
3. 25 termistores ha sido sometidas a pruebas de calidad. Estos se colocan en un área con una temperatura constante (-10 C) y se realizan mediciones de la respuesta de cada uno de ellos: 4100.53 KΩ 4101.03 KΩ 4000.78 KΩ 4100.10 KΩ 4399.02 KΩ 4100.00 KΩ 4190.32 KΩ 4000.11 KΩ 4000.00 KΩ 4396.50 KΩ 4102.30 KΩ 4130.78 KΩ 4101.01 KΩ 4000.02 KΩ 3909.98 KΩ 3908.50 KΩ 4108.59 KΩ 3909.99 KΩ 4300.05 KΩ 4100.55 KΩ 3909.10 KΩ 4104.53 KΩ 3909.10 KΩ 4404.23 KΩ 4201.30 KΩ Cuál es el error promedio? Cuál es la media, desviación promedio y varianza de las mediciones? Dibuje la distribución de las mediciones y su características Cuantos de los sensores ocupan el 0.33% de la distribución normal? 27
4. Una serie de mediciones de un sensor digital integrado de humedad SPI ha enviado a bajo las mismas condiciones de humedad en un tiempo determinado: 11001001, 11001000, 11001010, 11001011, 11001000, 11001001, 11001010, 11001001, 11001011, 11000111, 11001000, 11001010, 11001000, 11000101 y 11000110. Cuál es el error promedio? Cuál es la media, desviación promedio y varianza de las mediciones? Si se sabe que el sensor es lineal, tiene una resolución de 8 bits y un rango de humedad relativa detectable del 10% al 90% Cuál es el valor de humedad relativa media? Cuál es el valor de humedad para 11001100? Cuál es el valor de humedad para 00111111? 28
5. Una serie de mediciones de un sensor digital integrado de aceleración I2C para medir la fuerza ejercida sobre los pilotos de carreras esta siendo evaluado y ha arrojado los siguientes valores de salida bajo las misma aceleración generada por una maquina de pruebas: 1100100111001001, 1100100011001001, 1100101011001001, 1100101111001001, 1100100011001001, 1100100111001001, 1100101011001001, 1100100111001001, 1100101111001001, 1100011111001001, 1100100011001001, 1100101011001001, 1100100011001001, 1100010111001001 y 1100011011001001. Cuál es el error promedio? Cuál es la media, desviación promedio y varianza de las mediciones? Si se sabe que el sensor es lineal, tiene una resolución de 16 bits y un rango de fuerzas G detectable del 0 al 30 Cuál es el valor de la aceleración media? Cuál es el valor de fuerzas G para 1010101000000000 y 0000000011111111? *Se entregarán antes del día Viernes 05 de Septiembre de 2014 (23:59:59 hora limite). *Transcribe y resuelve de manera ordenada los ejercicios anteriores, redactando el ejercicio y la solución detallada de cada uno de los ejercicios y sus preguntas. *Incluir portada y encabezados en cada página. 29