UNSL Repaso de Inducción, y
Inducción Matemática (Sección 1.7 del libro) Supongamos que queremos demostrar enunciados del siguiente tipo: P(n) : La suma de los primeros n números naturales es n(n+1) 2, Q(n) : La suma de los primeros n números naturales impares es n 2. P(1) es verdadero ya que 1 = 1 2 2, P(2) es verdadero ya que 1+2 = 3 = 2 3 2 P(3) es verdadero ya que 1+2+3 = 6 = 3 4 2... Cómo probamos esto para todo número natural? A través del Principio de Inducción.
Recordemos que N = {1,2,3,...} denota al conjunto de números naturales. Sea N 0 = N {0} = {0,1,2,3,...} Principio de Inducción Sea P(n) una función proposicional, con n N. Supongamos que: 1 P(1) es verdadera (paso base), 2 Para todo k 1, P(k) = P(k+1) (paso inductivo), Entonces, P(n) es verdadera para todo n N. Para probarlo vamos a hacer uso del siguiente principio: Principio de Buena Ordenación Todo subconjunto no vacío de N tiene primer elemento.
Teorema Si S N satisface: 1 1 S, 2 h S = h+1 S, entonces S = N. Demostración: Evidentemente S N. Resta ver que N S. Definamos el conjunto: S = {n N n / S}. Supongamos que N S, lo que implica que S. Por el Principio de Buena Ordenación, S tiene primer elemento. Llamemoslo m. Por la Propiedad (1) de S, m 1. Entonces m > 1 y m 1 S. Pero por la propiedad (2), m 1 S = (m 1)+1 S, o sea, m S. Esto es un absurdo ya que m S. Se deduce que S = y N S. En consecuencia S = N.
Principio de Inducción (P. I.) Sea P(n) una función proposicional, con n N. Supongamos que: 1 P(1) es verdadera (paso base), 2 Para todo k 1, P(k) = P(k+1) (paso inductivo), Entonces, P(n) es verdadera para todo n N. Demostración del Principio de Inducción: Definamos el conjunto: S = {n N P(n) es verdadera}. Por la Parte (1) del P. I., 1 S. Por la Parte (2) del P. I., k S = k +1 S. Entonces, por el Teorema anterior, S = N. Esto significa que P(n) es verdadero para todo n N.
Observaciones El Principio también vale cambiando N por N 0. Ejemplo El Principio puede entenderse como un efecto dominó. Probar, usando inducción, que P(n) : 1+2+3+...+n = n(n+1) 2 para todo n N.
Definición El factorial { de n es el número dado por: 1 si n = 0 n! n. (n 1)...2. 1 si n 1 Ejemplos 0! = 1, 3! = 3 2 1 = 6, 6! = 6 5 4 3! = 720 Observación n! = n. (n 1)! Ejemplo Probar, usando inducción, que P(n) : n! 2 n 1 para todo n N.
Forma Fuerte del P.I. (Sección 1.8 del libro) Forma Fuerte del P. I. Sea P(n) una función proposicional, con n N y n n 0, para un cierto n 0 N. Suponga que: 1 P(n 0 ) es verdadera. 2 Para todo k > n 0, si P(k ) es verdadero para todo k tal que n 0 k < k, entonces P(k) es verdadero. Entonces P(n) es verdadero para todo n n 0. Observación Esta forma fuerte del principio es lógicamente equivalente a la que vimos anteriormente.
(Sección 2.1 del libro) Definición Un conjunto es una colección de objetos, que llamamos elementos. Si el conjunto es finito y no muy grande, es posible describirlo por la lista de sus elementos. Por ejemplo: A = {1,2,3,4}. Un conjunto se determina por sus elementos y no por el orden en el que éstos se enumeren. El conjunto A puede también describirse como sigue: A = {1,3,4,2}. Se supone que los elementos que forman un conjunto son distintos, por lo que duplicados en la lista no cambian al conjunto: A = {1,2,2,3,4}.
Si un conjunto es grande o infinito, se describe mediante una propiedad de sus elementos, por ejemplo: B = {x x es par} B = {x x = 2n, con n N} B = {2,4,6,8,...} Si X es un conjunto finito, denotamos por X la cantidad de elementos de X. Por ejemplo, A = 4. Si el elemento x se encuentra en el conjunto X, escribimos x X; si no, x / X. Por ejemplo: si x = 1, entonces x A pero x / B. El conjunto que no tiene elementos se llama vacío y se denota por.
Sean X e Y dos conjuntos. Si todo elemento de X es también elemento de Y, se dice que X es subconjunto de Y y se escribe X Y. X Y ( x : x X = x Y). Por ejemplo: si C = {1,3}, entonces C A. Sean X e Y dos conjuntos. Si X e Y tienen los mismos elementos se dice que X e Y son iguales y se escribe X = Y. X = Y (X Y Y X). Ejemplo: Sean A = {x x 2 +x 6 = 0} y B = {2, 3}. Queremos ver que A = B. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, esto es, X X. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, esto es, X.
Si X Y y X Y, entonces X es un subconjunto propio de Y y se escribe X Y. El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto X, que se denota P(X), se llama conjunto de partes de X. Por ejemplo: si A = {a,b,c}, entonces P(A) = {,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},a}. Notemos que A = 3 y que P(A) = 2 3 = 8. Este es un hecho general.
Teorema Si X = n, entonces P(X) = 2 n para todo n 0. Demostración: por inducción sobre n. Paso base: si X = 0, tenemos X = y, en consecuencia, P(X) = { } y P(X) = 1 = 2 0. Afirmación: Elijamos un x X. Exactamente la mitad de los subconjuntos de X contiene al elemento x. Paso Inductivo: Hipótesis inductiva P(k) : X = k = P(X) = 2 k. Queremos ver que X = k+1 = P(X) = 2 k+1. Para ello elijamos un x X y consideremos el conjunto Y obtenido de X al eliminar el elemento x. Entonces Y = k y por hipótesis inductiva P(Y) = 2 k. Además, por la Afirmación, P(Y) = P(X), 2
por lo que P(X) = 2 P(Y) = 2 2 k = 2 k+1. Se concluye, por el P.I., que el teorema es verdadero para todo n 0. Dados dos conjuntos X e Y, X Y {x x X x Y} es el conjunto unión de X e Y, X Y {x x X x Y} es el conjunto intersección de X e Y, X Y {x x X x / Y} es el conjunto diferencia entre X e Y. Ejemplo: sean A = {1,3,5} y B = {4,5,6}. Entonces A B = {1,3,4,5,6}, A B = {5}, A B = {1,3} y B A = {4,6}. Notemos que A B B A.
Los conjuntos X e Y son disjuntos si X Y =. Una colección de conjuntos S es disjunta de a pares si todo par de conjuntos X e Y diferentes en S son disjuntos. En general, impĺıcita o expĺıcitamente, todos los conjuntos que tratamos son subconjuntos de un conjunto U, que se llama universal. Dado un universal U y y un conjunto X de U, el conjunto U X se llama complemento de X y se escribe X (ó X c ). Ejemplos: Sean A = {1,3,5} y U = {1,2,3,4,5}; entonces Ā = {2,4} Si U = N y A = {pares}, cuál es Ā? Diagramas de Venn. Leyes de conjuntos: asociativas, conmutativas, distributivas, de De Morgan, etc.
Una colección S de subconjuntos no vacíos de un conjunto X es una partición (del conjunto X) si todo elemento de X pertenece exactamente a un miembro de S. (Obsérvese que la unión de los elementos de S es X y que S es disjunta de a pares.) Ejemplo: S = {{1,4,5},{2,6},{3},{7,8}} es una partición de X = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Sean X e Y dos conjuntos. El producto cartesiano de X e Y, que se escribe X Y, es el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) donde x X y y Y, X Y {(x,y) x X y Y}.
Ejemplo: sean X = {1,2,3} y Y = {a,b}. Cómo son X Y, Y X, X X y Y Y? En general, X Y Y X. X 1 X 2... X n = X 1. X 2... X n (la prueba sale por inducción).
(Sección 2.2 del libro) Definición Sean X e Y dos conjuntos. Una función f de X a Y es un subconjunto del producto cartesiano X Y con la propiedad de que, para cada x X, existe exactamente un y Y tal que (x,y) f. En ocasiones, denotamos una función f de X a Y como f : X Y. El conjunto X se llama dominio de f. El conjunto {y (x,y) f} es la imagen de f.
Ejemplo: f = {(1,a),(2,b),(3,a)} es una función de X = {1,2,3} a Y = {a,b,c}.
Ejemplo: El conjunto f = {(1,a),(2,a),(3,b)} NO es una función de X = {1,2,3,4} a Y = {a,b,c} porque 4 no está asignado a un elemento de Y. Sin embargo SÍ es una función de X = {1,2,3} a Y.
Ejemplo: El conjunto f = {(1,a),(2,b),(3,c),(1,b)} NO es una función de X = {1,2,3} a Y = {a,b,c} porque 1 no está asignado a un único elemento de Y.
Dada una función f : X Y, para cada x X existe un único y Y tal que (x,y) f. Este valor único y se denota por f(x). En otras palabras, f(x) = y es otra forma de escribir (x,y) f. Sea f definida por f(x) = x 2. Esta definición está incompleta, hay que decir también que f : R R. La imagen de f es R +.
La gráfica de una función f cuyo dominio e imagen son subconjuntos de los reales se obtiene trazando puntos en el plano que corresponden a los elementos de f.
La función f de X a Y es uno a uno (o inyectiva), si para cada y Y existe a lo sumo un x X con f(x) = y. Equivalentemente, f : X Y es inyectiva si para todo para x 1,x 2 X se cumple que f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. Ejemplo: f = {(1,b),(3,a),(2,c)} de X = {1,2,3} a Y = {a,b,c,d} es uno a uno. Ejemplo: f = {(1,a),(2,b),(3,a)} NO es uno a uno, ya que f(1) = a = f(3) y 1 3.
Ejemplo: Probemos que f : N N definida por f(n) = 2n+1 es uno a uno. Supongamos f(n 1 ) = f(n 2 ). Entonces: 2n 1 +1 = 2n 2 +1 2n 1 = 2n 2 n 1 = n 2. Si f es una función de X a Y y la imagen de f es todo el conjunto Y, se dice que f es sobre Y (o suryectiva). Equivalentemente, f : X Y es sobre Y si para todo y Y existe un x X tal que f(x) = y. Ejemplo: la función f = {(1,b),(3,a),(2,c)} de X = {1,2,3} a Y = {a,b,c,d} NO es sobre, pero definida de X = {1,2,3} a Y = {a,b,c} SÍ lo es.
Ejemplo: probar que f(x) = 1 de X = R {0} a Y = R x 2 + es sobre Y. Debemos probar que: y Y x X tal que f(x) = y. Sustituyendo tenemos y = 1 y despejando x 2 x = ± 1 y. Entonces tomamos x = 1 y (o x = 1 y ). Una función que es uno a uno y sobre se llama biyección. Ejemplo: la función f = {(1,b),(2,a),(3,c)} de X = {1,2,3} a Y = {a,b,c} es biyectiva.
Supongamos que f es una biyección de X a Y. Se puede probar que {(y,x) (x,y) f} es una función biyectiva de Y a X. esta nueva función, que se denota f 1, se llama inversa de f. Sean g : X Yy f : Y Z. la composición de f con g, denotada f g, es la función de X a Z definida por (f g)(x) = f(g(x)).
Ejemplo: si g = {(1,a),(2,a),(3,c)} de X = {1,2,3} a Y = {a,b,c} y f = {(a,y),(b,x),(c,z)} de Y = {a,b,c} a Z = {(x,y,z)}, entonces f g = {(1,y),(2,y),(3,z)}.
Un operador binario sobre X es una función de X X a X. Ejemplo: sea X = N, entonces la función suma f(x,y) = x+y es un operador binario. Un operador unitario sobre X es una función de X a X. Ejemplo: sea U un conjunto universal. Si definimos f(x) = X para cada X P(U), entonces f es un operador unitario sobre P(U).