Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Polinomios Prof. Glorymill Santiago Labrador Adaptado por: Prof. Anneliesse Sánchez, Prof. Caroline Rodríguez
Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión algebraica que cumple con las siguientes condiciones: Ningún término de la expresión tiene un denominador que contiene variables Ningún término de la expresión tiene un radical que contiene variables Todos los exponentes de las variables son enteros no-negativos. Los polinomios se pueden nombrar con una letra mayúscula seguida por la(s) variable(s) que contiene la expresión entre paréntesis. Ej. P(x), Q(x,y)
Polinomios Un polinomio tiene la siguiente forma general: P x = a n x n + a n 1 x n 1 + a n x n + + a o Donde: a n, a n 1 a n,., a 0 son coeficientes reales y las potencias de las variables descienden en valor
Ejemplos de Polinomios P(x) = 3x 5x + 1 Q(y) = 4y 3 y + 4y 5 Ejemplos de No - Polinomios 4x 3 5x 3x 4x 1 3 G x = 9 4x x3 5 3 4 x x 5 R(x,y) = xy 7y + 6x W(p,q) = pq +p q 5pq 4x 3 x 4 7x 3 3x 7x 1 x 7
Clasificar Polinomios Los polinomios se pueden clasificar según la cantidad de términos: monomio: un solo término binomio: dos términos trinomio: tres términos De ahí en adelante no reciben nombres particulares y se les llama simplemente polinomio. (el prefijo poli significa plural, o muchos)
Grado de un polinomio El grado de un polinomio se determina de la siguiente forma: (i) Si el polinomio es en una variable, el grado será la potencia mayor de la variable. Ejemplo:Determinar el grado del polinomio Q(y) = 4y 3 y + 4y 5 (ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado se determina de la siguiente forma: para cada término se suman las potencias de la(s) variable(s) y el grado será el total mayor. Ejemplo: Ejemplo:Determinar el grado principal del polinomio P(x) = 3x y 5xy + x y
Coeficiente principal El coeficiente principal de un polinomio es la parte numérica del término con la potencia mayor de la variable. Ejemplos: Determinar el coeficiente principal de cada polinomio P(x) = 3x 5x + 1 Q(y) = 4y 3 y + 4y 5 G x = 9 4x x3 5
Grado de Polinomios Práctica Polinomio Grado Coeficiente Principal P(x) = -5 P(x) = 8 7x Q(z) = + 7z 4z Q(y) = y 51y 1y 6 7 F(r) = 3r 5r 3 + 3r + 4 5 F(x,y) = xy + 6x 3 y 4xy R(x,y) = 4x y 5x y + xy 4 R(x,y) = 4 x 3 y x 3 y 3 11x 3 y
Evaluación de Polinomios: Los polinomios se evalúan de la misma forma en la que evaluamos expresiones algebraicas anteriormente. (Los polinomios SON expresiones algebraicas.) Ejemplo: Sea P(x) = 3x 5x + 1, hallar P(). Nota: La notación P() se lee P de y significa determinar el valor de la expresión cuando x tiene el valor de P() = hay que tomar en cuenta el orden operaciones para simplificar
Evaluación de Polinomios Ejemplo: Si R(p, q) = pq + 6pq 4p q, evalúe R(, -3) Notas: Es muy importante asignar correctamente los valores a las variables. En este caso p= y q= -3 Cuando en una expresión una variable se coloca al lado de otra hay una multiplicación implícita. Por ejemplo, pq implica multiplicar el valor de p por el valor de q R(, -3) =
Operaciones entre polinomios I. Suma y resta de polinomios: a) Unir los términos semejantes de los polinomios. Luego, ordena los términos según el grado de los términos. b) La resta de dos polinomios requiere aplicar la propiedad distributiva al sustraendo. Esto afectará el signo de TODOS los términos en éste polinomio. Luego, se trata como una suma. c) Si no existen términos semejantes en los polinomios, el polinomio nuevo se compone de los términos de cada polinomio, en orden de grado de los términos
Suma y resta de polinomios - ejemplos Simplifique los siguientes ejemplos: a) ( 3x 5x 11) (4x 3x 13) b) (13x 5x 7) (x 11x 10) c) (x 4x 8) (11 3x 4x)
Multiplicación de polinomios
Propiedad de exponentes Antes de pasar a multiplicación y división de polinomios, debemos recordar algunas de las leyes de exponentes. Sea b un número real; m y n dos números enteros, entonces: 1 era ley: b n * b m = b n+m 5 4 =
Multiplicación de dos monomios La multiplicación de monomios se realiza de la siguiente manera: Se multiplican los coeficientes numéricos Si la parte variable de los términos tiene la misma variable, su producto va a tener la misma variable con un exponente nuevo formado con la suma de los exponentes de los términos Si la parte variable de los términos tiene variables diferentes, éstos se escriben uno al lado del otro, sin cambiar.
Ejemplos- Multiplique los a) 4x (x 4 y) monomios b) -y 3 (3y 4 z 5 ) c) 5x 6 y 6 (-4x 4 y)
Multiplicación de un monomio por un polinomio. Para multiplicar un monomio por un polinomio aplicamos la ley distributiva de la multiplicación y la ley de exponentes: a(b+c) = ab + ac b n * b m = b n+m a(b - c) = ab - ac Ejemplos: (a) x(x 3 + 45) (b) a (-3b 3 1)
Multiplicación de binomio por binomio Aquí aplicamos la propiedad distributiva dos veces: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd Esto equivale a multiplicar cada término de un binomio por cada término del otro binomio. Al final, si existen términos semejantes, éstos se reducen.
Ejemplos: Simplifique (x 5)( x) (x + 3)(4x 5)
Diferencia de cuadrados Cuando se multiplican dos binomios que sólo difieren en el signo de uno de los términos, el resultado es un binomio (a + b)(a b) = a ab + ba b = a b A este resultado se le conoce como diferencia de cuadrados.
Ejemplos usando (a + b)(a b) = a b Simplifique: (7 + 3y)(7 3y)= (x + 1) (x 1)= (5x 4)(4 5x)
El cuadrado de un binomio Simplificar: (10 x 3 ) (10 x 3 ) = (10 x 3 )(10 x 3 ) Nota: NO es una diferencia de cuadrados, es el cuadrado de un binomio
División de polinomios
Propiedades de Exponentes Regla Regla de cociente b b m n b mn, b0
Regla Regla para exponentes negativos Propiedades de Exponentes Ejemplo: Simplifique la expresión: Si b es cualquier número real diferente de 0 y n es natural, entonces b 1 Solución: Expresar 5 - con exponente positivo 1 b, b 1 b n 1 y n n b Nota: b -1 se lee el el recíproco de b. b n.
Ejemplos: Escriba cada uno de los siguientes con exponentes positivos. a) 3 3 Interpretación: Tomar el recíproco de 3, luego elevarlo al cubo. b) (x) 5 Interpretación: Tomar el recíproco de x, luego elevarlo a la quinta potencia. Copyright 013, 009, 006 Pearson Education, Inc. 6
Ejemplo Divida utilizando la regla de cocientes a) 7x 14 8 3 5 3x y y b) 3w4 (5w 3 ) Copyright 013, 009, 006 Pearson Education, Inc. 7
Propiedades de Exponentes Regla Regla del exponente cero Si b es cualquier número real diferente de 0, entonces b 0 = 1.
División de un polinomio entre un monomio Cuando dividimos un polinomio entre un monomio, aplica la propiedad distributiva también. ( a b) c (a b) c a c b c
División de un polinomio entre un monomio En estos casos, lo que hacemos es dividir cada término del polinomio entre el monomio. (x 4 6x x 3 x ) =
División de un polinomio entre un monomio
EJEMPLOS ADICIONALES
Suma y resta de polinomios - ejemplos d) (3xy 4x y 5xy 7x) (4x y 6xy 11xy 3y) 6xy 8x y 10xy 14x 4x y 6xy 11xy 3y) (6xy 11xy) (8x y 4x y) (-10xy 6xy ) 14x 3y 17xy 4x y (-4)xy 14x 3y 17xy 4x y 4xy 14x 3y
Multiplicación de un monomio por un polinomio. Ejemplos (cont): 5y (y 3 5y +9) (4y 3y) = (5y )(y 3 ) (5y )(5y ) + (5y )(9) + (-)(4y ) + ()(3y) = 10y 5 5y 4 +45y + (-8)y + 6y = 10y 5 5y 4 + (45 + -8)y + 6y = 10y 5 5y 4 + 37y + 6y
Multiplique 5x(4x 1)(3x + 1) = 5x[4x(3x + 1) 1(3x + 1)] = 5x[1x + 4x 3x 1] = 5x(1x + x 1) = 60x 3 + 5x 5x 3x (1 x)( x) = 3x [1( x) x( x)] = 3x [ x 4x + x ] = 3x ( 5x + x ) = 6x 15x 3 + 6x 4
Otras propiedades de exponentes Para simplificar una expresión cuando un exponente se eleva a otro exponente 3 3 3 3 En general, (b n ) m = b n m Esta propiedad es útil cuando tenemos que simplificar potencias de binomios.
Regla Propiedades de Exponentes Regla del exponente cero Si b es cualquier número real diferente de 0, entonces b 0 = 1. Ejemplo: Simplifique la expresión: Solución:
Binomio cuadrado usando fórmula (a + b) = a + a b + b (a b) = a a b + b Simplifique: (x 3y) (5x 3 + 4x 5 ) = (x) (x)(3y) + (3y) = 4x 1xy + 9y = (5x 3 ) + (5x 3 )(4x 5 ) + (4x 5 ) = 5x 6 + 40x 8 + 16x 10 = 16x 10 + 40x 8 +5x 6