Campos electromagnéticos variables en el tiempo En los cursos previos de Física hemos visto las relaciones que determinan a las variables que conocemos como campo eléctrico y magnético en la modalidad electrostática. En este caso se ha visto que una carga eléctrica en el espacio genera sobre otra carga eléctrica a distancia de esta, una determinada fuerza, de manera que dividiendo el efecto de la fuerza sobre la carga de se encuentra actuada por la misma, aparece lo que se llama un campo eléctrico. Este campo eléctrico, en esta situación en la cual no hay variación temporal, es lo que denominamos campo eléctrico estático. En términos del campo eléctrico hablamos precisamente del campo eléctrico E y también de la densidad de flujo del campo eléctrico asociado a esta cantidad, vector al que llamamos D. Las ecuaciones que vinculan estas cantidades son las siguientes: x E = 0 (1.1) D = ρ (1.2) Para el caso del campo eléctrico en la ecuación (1) vemos que la ecuación de rotor indica que este campo es conservativo, ya que su rotor es cero. La ecuación (2) tiene que ver con la ley de Gauss en su forma microscópica en el sentido que la densidad de flujo eléctrico está vinculada a la carga libre almacenada en determinado recinto que se encuentra dentro del volumen definido. El campo eléctrico y la densidad de flujo eléctrico están vinculados en un medio que llamaremos lineal e isotrópico, por la siguiente expresión: D = εe (1.3) La constante que vincula ambos vectores es lo que denominamos la constante dieléctrica del material en el cual se encuentran los campos asociados. De la misma manera y en cierta forma dual existe también lo que se denomina la densidad de flujo magnético B y el campo magnético H. En el caso estático, que para el caso magnético recibe el nombre de magnetostática, estas cantidades también se encuentran relacionadas por ecuaciones de rotor y divergencia: B = 0 (1.4) x H= J (1.5) 1
Existe en forma análoga una relación entre las dos cantidades mencionadas es decir la densidad de campo magnético y el campo magnético que vuelven a relacionarse por intermedio de una constante, conocida como la permeabilidad magnética: B = μh (1.6) En términos generales utilizaremos como modelo en nuestro curso el hecho de que las constantes que están definidas en esta situación, sea el caso de la constante dieléctrica del material, o la constante de permeabilidad magnética del material, son números constantes. Esto resulta de la situación de considerar que los medios que estaremos utilizando son lineales e isotrópicos. Con el objeto de modelar fenómenos de pérdidas en materiales dieléctricos reales, esta constante puede adoptar la forma de un número complejo. Se observa en las anteriores ecuaciones que las cantidades campo eléctrico E y densidad de flujo eléctrico D no se encuentran relacionadas con las cantidades densidad de flujo magnético B y campo magnético H, sino que definen una situación en la que cada variable se resuelve por sí misma, no hay interdependencia. En este caso hablamos de un cuadro de situación que denominaremos campo electromagnetostático. Hasta el momento lo que hemos hecho fue vincular las variables relacionadas con el campo electromagnétostático a través de las situaciones que las gobiernan por un lado, y también considerando cómo es la conducta de estos campos en un medio material lineal isotrópico. En dichos medios la relación entre las variables descriptas se produce a través de una constante, en un caso lo que hemos llamado la constante dieléctrica del material, y en el otro caso la constante de permeabilidad magnética del material. Como se ha dicho, en términos generales estas cantidades son números, que eventualmente tendrán en algún caso como modelo el ser un número complejo. Para situaciones en donde tenemos una condición general podría suceder que cuando se aplica un campo eléctrico, por ejemplo en un material dieléctrico, el campo resultante de polarización no necesariamente sea lineal o co-lineal con respecto al aplicado. En esta situación lo que sucede es que ambas cantidades se encuentran relacionadas a través de una constante dieléctrica que adopta la forma de lo que se llama un tensor, que es básicamente una matriz que modela el cambio de dirección del vector polarizado. En nuestro caso sólo consideremos la situación en la cual dichas constantes son a lo sumo un número complejo. En el presente capítulo nos proponemos extender la situación electrostática a la de los campos presentes en una situación con cantidades variables en el tiempo, situación que denominaremos electrodinámica. Esto nos va a llevar a extender las expresiones anteriormente vistas a otras más generales de manera tal que el caso electrostático se va a convertir en un caso particular de dichas ecuaciones extendidas. 2
La situación derivada de esta extensión nos va a permitir describir fenómenos mucho más importantes y reales como es la aparición de ondas que viajan en un medio determinado. Así entonces las cantidades que denominamos campo eléctrico y densidad de flujo eléctrico junto con las de densidad de flujo magnético y campo magnético estarán vinculadas entre sí, en una vinculación espacio-temporal. En esta vinculación las variables van a ser tales que los cambios producidos en el tiempo en el campo magnético tendrán como resultado un efecto sobre el entorno espacial del campo eléctrico, en la zona que resolvemos el problema. Aparecerá entonces una interdependencia temporo-espacial entre las cantidades que en el caso estático no poseen. Una de las modificaciones más fundamentales de las ecuaciones que rigen la situación electrostática se produce precisamente con la variación temporal de los campos. Uno de los descubrimientos más importantes al respecto es el realizado por Michael Faraday en su experimento, en el cual en una espira cerrada de material conductor verificó que si un campo magnético atraviesa la superficie definida por la espira, se produce sobre la misma una corriente que comienza a circular, o lo que es equivalente, surge una fuerza electromotriz (fem) inducida. Esta fem se superpone a otra posible tensión sobre la espira existente debido al efecto de posibles cargas estáticas. Esta modificación recae sobre la relación de rotor del campo eléctrico. Dicha modificación trae aparejada la situación en la cual las ecuaciones deben seguir teniendo una estructura coherente. Dicha estructura coherente involucra también a otra conocida relación, que es la ecuación de la continuidad de la carga. Nos proponemos el planteo de esta nueva situación donde los campos ahora comienzan a tener una variación con el tiempo. El resultado de este planteo nos llevará al enunciado de las ecuaciones llamadas ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones rigen toda la problemática electrodinámica que podamos encontrar en una situación práctica determinada. Ley de Faraday de la inducción electromagnética Uno de los cubrimientos más importantes realizados en el terreno de los campos electromagnéticos es el que presentó Michael Faraday a través de su experimento. En el mismo aplicó un campo magnético variante en el tiempo atravesando la superficie que define una espira cerrada. En esta situación verificó que se genera una fuerza electromotriz inducida precisamente sobre la espira, que se asociada a la integral de campo de un cierto campo eléctrico correspondiente con la variación temporal de ese campo magnético. El accionar del campo magnético variante que atraviesa la superficie definida por el contorno de la espira puede 3
interpretarse a través de la cantidad denominada flujo de campo magnético. La variación del flujo magnético en el tiempo produce una fuerza electromotriz inducida. Este hecho fundamental genera un cambio en la ecuación (1.1) que vinculaba o describía al campo electrostático. Evidentemente la situación ya no es electrostática sino electrodinámica y la ecuación que rige esta situación tiene la forma: x E = B (1.7) Como se sabe la ecuación tiene la forma de una relación de rotor con respecto a una variación temporal. Esta forma de relacionar las cantidades está ahora vinculando a la densidad de flujo magnético con el campo eléctrico resultante. Lo que puede decirse en este caso es que debido a esta situación, no es posible afirmar ahora que el rotor de la cantidad denominada campo eléctrico es 0, es decir el campo eléctrico en esta situación ha dejado de ser conservativo y por lo tanto no es posible describirlo través de una función escalar equivalente, con lo que hemos visto como el potencial escalar, también denominado voltaje o tensión. La variación de la densidad de flujo magnético en el tiempo en la ecuación (1.7) está precedida de un signo menos, es decir esto describe que la fem producida se opone a la causa que la genera. Esto es conocido como la ley de Lenz. La ecuación (1.7) describe el caso de la relación entre las cantidades involucradas en forma punto a punto, o mejor dicho para cada punto del espacio continuo sobre el que está definida. En algunos casos es preferible tener en cuenta una expresión que podemos definir como macroscópica, es decir una en la cual no necesariamente estaremos resolviendo la situación en cada punto del espacio sino en una estructura general de dimensiones más importantes. La aplicación de la ecuación (1.7) puede extenderse a la situación macroscópica simplemente operando con una integral de camino cerrado y la de superficie correspondiente, que devienen de la aplicación del Teorema de Stokes. Esto nos lleva a la ecuación (1.8) en la que hablamos de una vinculación macroscópica de las cantidades en cuestión. Haciendo uso de la integral descripta y del teorema de Stokes podemos decir que la ley descripta por la ecuación (1.7) adopta ahora la forma: E dl = B ds (1.8) La expresión (1.8) es una descripción más general de la situación que vincula al campo eléctrico con la variación temporal de la densidad de flujo magnético, relación que llamaremos Ley de Faraday de la inducción electromagnética. Esta expresión determina la validez del fenómeno para cualquier camino cerrado C y superficie definida S. Esta ecuación puede ser interpretada de manera tal que podemos definir en el espacio una curva arbitraria o camino arbitrario cerrado C, 4
que por ende determina la existencia de una superficie cerrada S, sin que estén obligadas a tener una vinculación física concreta, es decir, tener la forma de una espira o algo similar. Así, la ecuación (1.8) es aplicable a cualquier contorno y cualquier superficie definida en el espacio, tenga o no correlato físico en la forma de una espira de metal o similar. Lo que podemos ver es que esta expresión consiste en algo generalizado respecto de la situación electrostática, dicho de otra manera, si la variación temporal de la densidad de flujo magnético fuera cero, la ecuación se reduce a la situación electrostática, donde el campo eléctrico es precisamente de tipo conservativo, es decir su integral de camino es nula. La expresión (1.8) por lo tanto indica que cuando los campos son variantes en el tiempo, el campo eléctrico ya no puede ser asociado a un potencial escalar, a menos que corrijamos las variables en cuestión. Lo que podemos afirmar es que el campo eléctrico ya no es conservativo en esas circunstancias. La variación de la densidad de flujo magnético a través de una superficie puede producirse por un lado porque determinado campo que se aplica está cambiando con el tiempo o bien porque la superficie está teniendo variaciones en el tiempo en su forma, es decir la densidad de flujo magnético cambia sea porque cambia el campo o porque cambia la superficie que define el flujo calculado. Para el caso particular en que el circuito se encuentre en posición estática y que la variación del flujo de densidad de campo magnético se produzca como consecuencia de variaciones temporales de la densidad de flujo magnético la situación podría ser descrita por la siguiente ecuación: en la misma podemos definir las cantidades E dl = B ds (1.9) V = E dl (1.10) fem inducida en el contorno o circuito cerrado, que se mide en Volt (V) y Φ = B ds (1.11) flujo magnético que atraviesa la superficie, que se mide en Weber (Wb). De esta manera la ecuación (1.9) adopta la forma: V = (1.12) Lo que nos dice esta ecuación es que la fuerza electromotriz inducida en un circuito cerrado estacionario es igual a la razón negativa del incremento de flujo magnético ligado al circuito. 5
Es lo que conocemos Entonces cómo la ley de Faraday de la inducción electromagnética. El cambio está siendo considerado en signo negativo lo cual significa tener en cuenta lo que se conoce como la ley de Lenz. Ecuaciones de Maxwell La inclusión de tan importante relación como la establecida por la ley de Faraday nos lleva a tener en cuenta que la ecuación (1.1) tuvo que ser modificada para tener en consideración el efecto ahora del campo magnético variante en el tiempo. Hasta el momento entonces las ecuaciones forman un grupo como el siguiente, que es el conjunto de ecuaciones que define la situación electrostática incluyendo la Ley de Faraday. Este conjunto de ecuaciones tiene que ser ahora reconsiderado para esta nueva circunstancia: x E = B x H= J D = ρ B = 0 (1.13.a) (1.13.b) (1.13.c) (1.13.d) Lo que debemos hacer ahora es compatibilizar este nuevo juego de ecuaciones con la conocida ley de la conservación de la carga que describe la situación en un nodo determinado en el cual se combinan las corrientes. Q t i1 i3 i2 Figura 1. Ley de conservación de las carga La situación puede observarse en la figura 1. Lo que vemos en esta figura es que la sumatoria de las corrientes entrantes a un determinado nodo sigue la ley de la conservación es decir la sumatoria de todas las corrientes entrantes o salientes del mismo podrían describir eventualmente en la presencia de campo variantes en el tiempo, una determinada acumulación de carga en el nodo interpretado como un sistema con determinada magnitud de volumen. El balance de corrientes resulta en una acumulación de cargas si por ejemplo las corrientes entrantes superan en magnitud a las salientes. 6
La ecuación que describe la continuidad de la carga es la siguiente: J = (1.14) Al cuestionarnos si el conjunto de ecuaciones anterior cumple con esta condición de la continuidad de la carga observamos claramente que eso no es cierto dado que: ( x H) = 0 (1.15) es decir la ecuación que vincula al rotor de un campo magnético estaría potencialmente incompleta ya que no responde a la situación dinámica en que las corrientes están cambiando con el tiempo y que por lo tanto describen que la divergencia del rotor del campo magnético ya no es cero. La conclusión anterior se obtiene obviamente del conocido resultado de que la divergencia de un rotor es siempre cero. Una manera de corregir la situación anteriormente vista, y para que el conjunto de las ecuaciones de Maxwell tengan coherencia tanto con la ley de Faraday como con la ley de continuidad de las cargas, se necesita agregar un término de la forma al lado derecho de la ecuación (1.13.b), de esta manera sucederá que: ( x H) = 0 = J + (1.16) ahora podemos verificar que si aplicamos la divergencia sobre el rotor de la expresión corregida, la situación nos da un modelo coherente con la ecuación de continuidad de la carga. Reordenando las ecuaciones y teniendo en cuenta la expresión (1.13.c) podemos ver que la expresión ahora del rotor de un campo magnético adopta la forma: ( x H) = J + D (1.17) Entonces, finalmente la expresión para el rotor del campo magnético es la siguiente: x H= J + D (1.18) La ecuación indica que una variación temporal de la densidad de flujo eléctrico aún en ausencia de corrientes de conducción genera un campo magnético. Esta es una modificación que completa las ecuaciones hasta ahora observadas y Qué constituye un juego de ecuaciones más completo que tiene en cuenta la situación electrodinámica. 7
Dado que la densidad de campo eléctrico como sabemos tiene vinculación con la densidad superficial de carga, es decir se mide en Coul sobre metro cuadrado (Coul/m ) entonces podemos afirmar que su variación temporal resultará en una magnitud que puede ser medida como ampere sobre metro cuadrado (A/m ), es decir se trata en definitiva de una densidad de corriente, que en este caso se denomina densidad de corriente de desplazamiento. La introducción de este término es sumamente importante porque va a permitir hablar de la predicción de las ecuaciones de Maxwell respecto de las ondas electromagnéticas viajantes y es una de las contribuciones más importantes hechas por Maxwell. De esta manera el conjunto de ecuaciones denominado entonces a partir de esta instancia ecuaciones de Maxwell queda de la siguiente forma: x E = B x H= J + D D = ρ B = 0 (1.19.a) (1.19.b) (1.19.c) (1.19.d) Recordamos que las cantidades asociadas a estas ecuaciones de Maxwell son el campo eléctrico, la densidad de campo eléctrico, la densidad de campo magnético y el campo magnético. En las expresiones también se encuentran la densidad volumétrica de carga libre ρ, y la densidad de corriente de cargas libres J, es decir son las cargas libres las directamente vinculadas con las cantidades electromagnéticas. Estas situaciones conocidas como las ecuaciones de Maxwell, junto con la ecuación de continuidad de la carga, describen todos los fenómenos electromagnéticos macroscópicos. Aunque en apariencia las ecuaciones parecen ser independientes puede verificarse en las ecuaciones que vinculan a las cantidades por un operador rotor se pueden utilizar para obtener las ecuaciones que relacionan las cantidades a través del operador divergencia, en este caso también usaremos la ecuación de la continuidad de carga para verificar dicha relación. Las expresiones de divergencia (1.19.c) y (1.19.d) pueden derivarse de las de rotor (1.19.a) y (1.19.b) usando la ecuación de continuidad de la carga (1.14). Forma integral o macroscópica de las ecuaciones de Maxwell El conjunto de operaciones descripto anteriormente denominado ecuaciones de Maxwell se encuentra típicamente expresado en la forma de operadores como el rotor o la divergencia que son operadores puntuales, es decir operador que llamaremos de tipo microscópico. 8
En esta situación las ecuaciones nos describen la relación entre los campos involucrados en una determinada geometría resuelta punto a punto dentro de ese mismo espacio definido por la geometría en cuestión, y considerado como un espacio continuo, es decir donde existe una cantidad electromagnética asociada a cada punto del espacio. Para situaciones en las cuales tenemos estructuras de dimensión mayor, en lo que llamaremos problemas de tipo macroscópico, es conveniente llevar a las ecuaciones de Maxwell a la forma integral o macroscópica, que se obtienen recurriendo a operadores conocidos. Así entonces las situaciones en las cuales los campos se encuentran vinculados por operadores como el rotor, como en los casos (1.19.a) y (1.19.b), se puede aplicar la integración sobre la expresión de rotor a lo largo de un camino cerrado C que determina una superficie S, recurriendo entonces al teorema de Stokes, llevando a: E. dl = B. ds (1.20.a) H. dl = J + D. ds (1.20.b) De la misma forma para las ecuaciones vinculadas con la operación divergencia lo que podemos hacer es recurrir al teorema de la divergencia, que puede aplicarse sobre un volumen de dimensión V que determina una superficie cerrada S, sobre las ecuaciones (1.19.c) y (1.19.d). Con la ayuda del teorema de la divergencia las ecuaciones macroscópicas adoptan la forma entonces y D. ds = ρ. dv (1.20.c) B. ds = 0 (1.20.d) La siguiente tabla determina de manera resumida el conjunto de ecuaciones de Maxwell en su forma microscópica o diferencial y macroscópica o integral: Forma diferencial Forma Integral Nombre x E = B t E. dl = B Ley de Faraday. ds t x H= J + D t H. dl = J + D t Ley de Ampere. ds D = ρ D. ds = ρ. dv Ley de Gauss B = 0 B. ds = 0 Ley de divergencia nula de la densidad de campo magnético 9
Las cuatro ecuaciones se describen con los nombres de ley de Faraday, ley de Ampere, ley de Gauss y ley de la divergencia nula de la densidad de campo magnético. Este conjunto de ecuaciones queda generalizado para el caso de los campos variantes en el tiempo, e incluyen como caso particular a las ecuaciones de los campos electrostáticos. Condiciones de contorno para las ecuaciones electromagnéticas En la resolución de problemas prácticos donde los fenómenos están regidos por las ecuaciones de Maxwell, es importante conocer las condiciones de contorno que deben cumplir los campos electromagnéticos cuando se producen cambios de medio o interfaces entre distintos elementos constitutivos de los sistemas a estudiar. Los campos electromagnéticos E, H, D y B satisfacen estas condiciones de contorno. Las condiciones de contorno se obtienen por aplicación de las ecuaciones de Maxwell en forma integral sobre el límite entre dos diferentes medios. Dado que las ecuaciones obedecen a la forma de relaciones de integrales de camino o de divergencia, los condicionamientos sobre las variables electromagnéticas se definen sobre las componentes tangenciales o normales de las cantidades estudiadas. Las relaciones que involucran una integral de camino definen condiciones sobre las componentes tangenciales, mientras que las regidas por el cálculo de divergencia o integral de superficie definen condiciones sobre las componentes normales. Las expresiones de Maxwell en forma diferencial determinan el comportamiento de los campos en forma puntual, en todo punto continuo. En forma integral, las expresiones permiten conocer los fenómenos que suceden en las superficies de continuidad. Las condiciones de contorno en superficies de separación de medios diferentes son consecuencia directa de la aplicación de las ecuaciones de Maxwell, y pueden enunciarse de la siguiente manera: a) La componente tangencial de E es continua en la superficie, o sea es igual a ambas caras de la superficie de separación. b) La componente tangencial de E es continua en la superficie a menos que en la segunda cara exista una densidad de corriente superficial J. c) La componente normal de B es continua en la superficie de discontinuidad. d) La componente normal de D se conserva en la superficie de separación, a menos que exista una densidad superficial de carga ρ en la misma. 10
Condiciones de contorno para las componentes E y H Para verificar por ejemplo la condición de contorno a) se analiza la siguiente figura: E y Medio 1 Medio 2 E E x E Figura 2. Condiciones de contorno de componentes tangenciales La forma integral de la segunda ecuación de Maxwell es: E. dl = B. ds t Expresamos esta integral en la forma de una sumatoria discreta de contribuciones de camino en el trazo rectangular llevando luego al contorno a comportarse como un diferencial de recorrido, cerrando el área cubierta haciendo x 0 : E x + E x + E y E y = B t x y La variación del flujo de campo magnético en el área se anula debido a que el diferencial x 0 hace nula esa cantidad al anular la superficie, ésta es la operación que lleva a conocer el resultado de la condición de contorno a un lado y otro de la interfaz entre materiales. Luego: E y = E y, o bien E = E, E = E (1.21) Es decir las componentes del campo eléctrico tangenciales a la superficie de separación se mantienen iguales a uno y otro lado de dicha superficie. 11
Dado que la ecuación de la ley de Ampere también está regida por una operación de integral de camino cerrado, el esquema anterior puede aplicarse nuevamente para esta ley, si reemplazamos las componentes de campo E, E, E y E por las correspondientes al campo magnético H, H, H y H, entonces para la expresión de Ampere: H. dl = J + D t. ds Volvemos a realizar la integral como la sumatoria de recorridos de camino en forma discreta que luego se llevan a dimensiones infinitesimales (Recuérdese que esta es la forma en que se determina el rotor de una cantidad, es decir, como una integral de camino sobre un camino cerrado y su correspondiente superficie, con ambas luego llevadas a un infinitésimo): H x + H x + H y H y = J + D x y = (J s ) x y (1.22) La existencia de una componente de naturaleza real (corriente de cargas que pueden tener una forma de corriente superficial existente en la interfaz de los medios) presenta una diferencia con el caso del campo eléctrico. En ambos casos la integral de la componente derivada en el tiempo sobre la superficie se anula cuando la superficie se anula, pero si hubiera una densidad de corriente real en esa superficie con la forma de una función distribución delta, el producto de esta función por la superficie tendiendo a cero no necesariamente es nulo). Podeos afirmar entonces que H H = J, H H = J H = H, H = H si J = 0 (1.23.a) (1.23.b) Mas exactamente, l integral de superficie solo se anula si la densidad de corriente j es tal que: Lim (J x) = 0 (1.24) Si el medio 2 fuera un conductor ideal, la componente del campo magnético, tangencial a la superficie es tal que H = J. Condiciones de contorno para las componentes D y B Como se indicó anteriormente las ecuaciones macroscópicas o integrales permiten determinar las condiciones de contorno de los campos electromagnéticos. En el caso de los campos D y B las ecuaciones que las determinan son del tipo de divergencia, es decir, existe una integral de flujo de superficie cerrada que define un volumen determinado en el espacio. En este caso, las condiciones determinan lo que sucede con las componentes normales de las cantidades involucradas. 12
Para el caso de la densidad de flujo del campo eléctrico D utilizamos la tercera ecuación de maxwell conocida como la ley de Gauss: D. ds = ρ. dv Dicha expresión es usada sobre un esquema volumétrico como el que se ve en la figura. Medio 1 D 1 D slat ds ds x Medio 2 D 2 Figura 3. Condiciones de contorno para las componentes normales Se realiza el cálculo de la integral de superficie con la contribución sumada de los aportes de flujo de campo a través de las superficies del cilindro lateral, y las tapas superior e inferior, e igualando esa suma de contribuciones a la integral de volúmen de la carga encerrada en el cilindro. Luego, haciendo tender la altura del cilindro x 0 se configura la situación para determinar las condiciones de contorno de uno y otro lado en la interfaz de separación de los medios 1 y 2: D 1. ds + D 2. ds + D slat. ds = (ρ + ρ x)ds (1.25) Donde ρ es la densidad superficial de carga que podría existir en una situación general, con cargas libres distribuidas en la superficie de separación, y ρ es la densidad volumétrica de carga dentro del cilindro. Los productos escalares de las componentes de campo y los vectores diferencial de superficie, siempre definidos como vectores normales a la superficie que representan, se pueden calcular como el producto de la magnitud de la componente normal correspondiente y la magnitud del diferencial de superficie interpretado como vector a través de su vector normal: D 1. n. ds + D 2. n. ds + D slat. n. ds = (ρ + ρ x)ds Como se lleva al cilindro a tener volumen cero haciendo x 0, la contribución del campo de superficie lateral se anula, pero la presencia de cargas libres en la superficie lleva a la condición: (D 1 D 2 ). n = ρ (1.26.a) 13
D D = ρ (1.26.b) Si existe una densidad superficial de carga las componentes de D son discontinuas en la superficie, pero si la carga libre en la superficie no existe, entonces para la densidad de flujo de campo eléctrico, la componente normal se conserva. Para el caso en que el medio 2 es un conductor, sucede que D = ρ El mismo esquema de cálculo para la divergencia o flujo de un campo de la figura 3 puede también aplicarse si se reemplazan las cantidades de densidad de lujo de campo eléctrico D 1, D 2 y D slat por las componentes de la densidad de flujo de campo magnético B 1, B 2 y B slat. En el caso de la densidad de flujo de campo magnético no existen cargas de campo libres, con lo que puede usarse la expresión: B. ds = 0 Que aplicada como la suma de contribuciones discretas que se llevan al límite cuando el volumen del cilindro tiene a cero haciendo x 0, resulta en la siguiente expresión: Entonces haciendo x 0: B 1. n. ds + B 2. n. ds + B slat. n. ds = 0 (1.27) (B 1 B 2 ). n = 0 B = B (1.28.a) (1.28.b) Se puede resumir el resultado de las condiciones de contorno diciendo que la componente tangencial del campo eléctrico se conserva en la interfaz entre dos medios, mientras que la componente normal de la densidad de flujo magnético también se conserva en dicha interfaz. La componente tangencial del campo magnético se conserva en la interfaz entre dos medios si no existe una densidad de corriente en la superficie de separación, mientras que la componente normal de la densidad de flujo eléctrico también se conserva en la interfaz siempre que no haya una densidad superficial de cargas libres en dicha superficie de separación. Casos de estudio. Interfaz entre dos medios dieléctricos ideales. Para la interfaz entre dos materiales dieléctricos ideales, o sin pérdidas, caracterizados por sus respectivas constantes dieléctricas ε y ε y teniendo en cuenta que no hay en la interfaz ni 14
corrientes circulantes ni cargas libres estáticas, entonces podemos decir que ρ = 0 y J s = 0, de forma que: E = E, H = H, D = D, B = B Como E = E = D /ε = D /ε, luego, = Como H = H = B /μ = B /μ, luego = Como D = D = ε E = ε E Como B = B = μ H = μ H (1.29.a) (1.29.b) (1.29.c) (1.29.d) (1.29.e) Casos de estudio. Interfaz entre medio dieléctrico ideal y conductor ideal Otro caso interesante de estudio de interfaces de materiales es el que constituye un dieléctrico ideal y un conductor ideal. Por conductor ideal se entiende a un material de conductividad σ infinita. En la naturaleza existen buenos conductores como el cobre, el oro, la plata y el aluminio, con conductividades del orden de σ = 10 1/(Ωm), y en laboratorio pueden diseñarse materiales de elevadísima conductividad, conocidos como superconductores, que no son sencillos de implementar en la práctica por operar a muy bajas temperaturas, existiendo también nuevos materiales cerámicos de alta conductividad. En el material conductor ideal se asume que el campo eléctrico en su interior es nulo, porque de otra manera existiría una corriente infinita de valor J = σe debido a la magnitud infinita de σ. Al ser nulo el campo eléctrico debe serlo también el magnético por la relación que las ecuaciones de maxwell imponen a estas cantidades. El fenómeno va acompañado de una ubicación de cargas libres en la superficie del conductor ideal. Las condiciones de contorno se definen por que en el medio 2, el material conductor ideal, sucede que E 2 = 0, H 2 = 0, D 2 = 0 y B 2 = 0, entonces E = E = 0 H = J, H = 0 D = ρ, D = 0 B = B = 0 (1.30.a) (1.30.b) (1.30.c) (1.30.d) Las condiciones (1.30.a) y (1.30.c) indican que el campo eléctrico es normal a la superficie de separación entre el dieléctrico ideal y el conductor ideal, apuntado hacia afuera o hacia adentro de acuerdo al signo de la carga localizada en la superficie, pudiéndose determinar su magnitud sabiendo que D = ρ = ε E, es decir E = ρ ε. 15
Las condiciones (1.30.b) y (1.30.cd) indican que el campo magnético es tangencial a la superficie de separación entre el dieléctrico ideal y el conductor ideal, y su magnitud es la de la corrient superficial que circula en la superficie H = H = J. 16