Actividad 11. Expresiones y operaciones algebraicas. Introducción Qué es el lenguaje algebraico? Así como aprendimos a estructurar letras, sílabas, palabras, oraciones para expresarnos, en las matemáticas también se emplea un lenguaje, y a diferencia de la Aritmética, aquí emplearemos no solamente números, sino letras también. Vamos a aprender la correcta interpretación de éstas expresiones. El Álgebra es un lenguaje universal, será entendido por una persona que hable español, inglés, coreano, alemán etc. 1
Introducción Imagina que estás ahorrando para comprar un celular y tu papá te dice: Está bien, yo te ayudo! De lo que tú ahorres yo te doy otro tanto cómo expresaríamos esta operación? Como todavía no sabes cuánto vas a lograr ahorrar, a esta cantidad le vamos asignar una letra que llamaremos x, por lo que la operación que representa lo que vas a tener para comprar tu celular es: x x x En esta actividad vamos a ver cómo obtener este tipo de expresiones. Es un concepto que verás en todos tus cursos de matemáticas, por eso es tan importante que te apliques y lo comprendas. Objetivos Al terminar la actividad serás capaz de: Determinar los componentes de las expresiones algebraicas. Determinar el lenguaje algebraico a partir del lenguaje ordinario. Calcular sumas y restas de expresiones algebraicas.
Término algebraico Antes de empezar a traducir el lenguaje ordinario a lenguaje algebraico, vamos a definir algunos conceptos. El siguiente es un término algebraico (es una expresión que consta de uno o varios símbolos no separados entre sí por el signo de (+) o de menos (-). 5x Este término tiene varios símbolos que a continuación identificaremos y explicaremos. Término algebraico Vamos a identificar los componentes del término algebraico. Variable Coeficiente 5x Exponente Variable: Es una letra (generalmente tomamos las últimas letras del abecedario) y representa una cantidad desconocida. Coeficiente: Es el número antes de la variable. Exponente: Es el número pequeño colocado arriba y a la derecha de un número o una variable. 3
Término algebraico Ahora vamos a definir otros conceptos: 5x 8x 4 Constante o término independiente Constante o término independiente: Es un término que consta de sólo un número sin ninguna variable que lo acompañe. Grado de la expresión: Este puede ser con respecto a una variable o toda la expresión. En esta actividad sólo trabajaremos con una sola variable, por lo que el grado de la expresión es el exponente mayor que exista en toda la expresión. Términos algebraico 5x 8x 4 Ejemplo: Cantidad de términos: 3 (a cada término lo separa el signo de (+) o de (-)). Coeficiente: 5 (en el 1er. término) y 8 (en el término). Variable: x (enel1er.y término). Exponentes: (en el 1er. término) y 1 (en el término, observa que cuando una variable no tiene exponente se asume que el valor es 1 pero no se escribe). Constante: -4 (también se le llama término independiente). Grado de la expresión: De grado (se lee segundo grado ). 4
Términos semejantes Qué es un término semejante? Vamos a plantear el siguiente caso, mi mamá fue al súper y compró 5 manzanas, 8 plátanos, 6 ciruelas y melones, pero no se acordaba que en la casa ya había fruta y era la siguiente manzanas, 1 plátano, 1 melón y 1 papaya. Cuánta fruta tenemos ahora en la casa? Compró Ya había Total Manzana 5 7 Plátano 8 1 9 Ciruelas 6 6 Melones 1 3 Papaya 1 1 Términos semejantes Observa que sólo se pueden sumar entre la fruta que es similar, lo mismo ocurre con los términos, sólo los que son similares se pueden sumar o restar. 5
Clasificación de las expresiones algebraicas Dependiendo del número de términos es que se pueden clasificar las expresiones algebraicas. Si constan de un solo término se les llama monomios. x, y, 3x 4 Si consta de dos monomios que no son semejantes se les llama binomios. x x 5x, y x, 6 4 Clasificación de las expresiones algebraicas Si son tres los términos no semejantes que están unidos por sumas y restas se les llama trinomios. x 5x 4, y x 6z Cuando se tienen 4 o más monomios no semejantes sumándose o restándose entre sí se llaman polinomios. 5x 3 x 5x 4 6
Suma y resta de términos semejantes Ahora vamos a ver algunas reglas de las expresiones algebraicas. Sumas y Restas: Se pueden sumar y restar términos semejantes. Los términos semejantes son aquellos términos que sólo difieren por su coeficiente. Ejemplo 1: 3x x 5x El resultado es un monomio. Por lo que tomo los coeficientes y realizo las operaciones entre ellos. Ejemplo : 4x 7x 3x El resultado es un monomio. Suma y resta de términos semejantes Ejemplo 3: x 4x 5x 6x 1 Observa que aquí tenemos términos diferentes, algunos son semejantes entre sí, vamos a ordenarlos. x 6x 4x 5x 1 Ahora sólo se pueden sumar o restar entre términos semejantes. Términos con x x 6 x 4 x Términos con x 4 x 5 x 9 x Términos sin x (constantes) 1 3 Por lo que la operación nos queda: El resultado es un trinomio. 4x 9x 3 7
Suma y resta de expresiones algebraicas Ejemplo 4: 3 x x 1 5x 7 (4x ) 6 3 8 Observa que antes de empezar a sumar o restar términos semejantes primero debo, si es posible, simplificar la ecuación (primer término) y quitar los paréntesis haciendo uso de la regla de signos, por lo que la expresión queda: x 5x 7 4x x 1 3 8 Otra observación IMPORTANTE Los coeficientes fraccionarios pueden ser escritos de dos formas, por ejemplo el primer término y el quinto término. 1 x x x x 3 3 Suma y resta de expresiones algebraicas Por lo que mi expresión queda de la siguiente forma: 1 1 x 5x 7 4x x 3 8 Ahora si estamos listos para sumar o restar términos semejantes: 1 1 4 1 8 7 x 4x Términos con x 1 5 15 13 Términos con x 5x x 3 1 3 3 3 1 7 1 56 1 57 Términos independientes 7 8 1 8 8 8 7 13 57 x x 3 8 Por lo que nuestra expresión queda: 8
Términos semejantes Determina el perímetro del siguiente triángulo cuyos lados están representados por las siguientes rectas: 4 x 3 3 B 5 x 16 Recta AB 4 x 3 3 A x 11 5 5 C Recta BC Recta AC 5 x 16 x 11 5 5 Términos semejantes Al pedirme el perímetro, quiere decir que es la suma de sus lados, por lo que sumo los términos semejantes de las 3 rectas. Coeficientes con término x 4 3 5 1 40 75 6 5 30 41 30 Términos independientes 16 11 10 40 33 3 1 5 15 83 15 Por lo que el perímetro es un binomio: 41 83 P x 30 15 9
Lenguaje ordinario a lenguaje algebraico Ahora vamos a conocer algunas palabras claves que se emplean para traducir ambos lenguajes. La palabra clave me indica qué operación es la que debemos emplear. Suma Resta Multiplicación División La suma de La diferencia Producto Cociente Más Menos que Multiplicado Dividido entre por Más que Menor que De Relación Aumentado en Restado a Por Mitad Sumando a Disminuido a El doble Tercera parte De lenguaje ordinario a lenguaje algebraico Vamos a ver como pasar de un lenguaje a otro: Recuerda que la incógnita (el dato que necesitamos encontrar) lo representamos con las últimas letras del abecedario, en este caso vamos a usar la letra x o y. Lenguaje ordinario Un número El doble de un número La diferencia entre números La cuarta parte de un número *El triple de la suma de números *El producto entre un número y la diferencia de ese número y otro *Observa el uso de los paréntesis. Lenguaje algebraico x x x x x y x 4 3( x y) x( x y) 10
De lenguaje ordinario a lenguaje algebraico Continuando con los ejemplos: Lenguaje ordinario Dos números consecutivos cuya suma sea 17 La diferencia entre un número y la cuarta parte de otro. Un número menor* que cinco Cinco unidades menos* que un número Cuatro unidades menor que el doble del número Lenguaje algebraico x ( x 1) 17 y x 4 5 x x 5 x 4 *Observa cómo las palabras cambian el significado de la expresión. Expresiones ordinarias a expresiones algebraicas Muy bien, ya identificamos que el lenguaje algebraico emplea signos que me ayudarán a plantear un problema real en un modelo matemático. Imagina que un amigo tuyo quiere ver qué tan bueno eres analizando acertijos y te plantea el siguiente: La suma de edades de mi hermano y yo es de 30 años y el triple de la edad de mi hermano es el doble de mi edad. Cuántos años tengo y cuántos años tiene mi hermano? Tal vez tu primera intención es querer hacerlo a tanteo a prueba y error, ya que es un problema sencillo, pero si empleas un modelo matemático llegarás a una solución correcta, y para eso nos va a ayudar el álgebra. 11
Expresiones ordinarias a expresiones algebraicas En esta actividad sólo estudiaremos el planteamiento de estas expresiones algebraicas. Por lo que vamos a estudiar la expresión ordinaria: a) La suma de edades de mi hermano y yo es de 30 años. Comenzamos por asignar nombre a los datos que nos dan; Mi edad x La edad de mi hermano y x+y=30 Expresiones ordinarias a expresiones algebraicas b) El triple de la edad de mi hermano es el doble de mi edad: 3y = x Quieres saber cómo se resuelve? Pon todo en términos de una sola variable. Inténtalo, cuál es el resultado? Mi hermano tiene 18 y yo tengo 1. 1
Bibliografía Gustafsonm, David. Álgebra Intermedia. México: International Thomson Editores, 004. (ISBN 968-759-07-5). Créditos Diseño de contenido: Ing. Raquel Ramírez Peláez Coordinador de área: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED Edición de contenido: Lic. Miriam Gómez Moore, MED Edición de texto: Lic. Alejandra Zaragoza Scherman Diseño Gráfico: Miguel Angel Reynosa Castro, MANM 13