TEMA 3. NÚMEROS RACIONALES. Concepto de fracción Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma: b denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad. a numerador, indica el número de unidades fraccionarias elegidas. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios. Calcula si son equivalentes las fracciones Fracciones irreducibles Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, o lo que es lo mismo, cuando el MCD de ambos números es 1. 1
Operaciones con fracciones Suma y resta con el mismo denominador. Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. Suma y resta con distinto denominador. En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. El común denominador se puede obtener mediante el m.c.m. También multiplicando todos los denominadores. m.c.m (4, 6) = 12 Propiedades de la suma de números racionales: Propiedad interna. Asociativa. Conmutativa. Elemento neutro. Elemento opuesto. 2
Multiplicación de fracciones. La multiplicación de dos fracciones es otra fracción, y se realiza numerador por numerador y denominador por denominador: Propiedades de la multiplicación de números racionales: Propiedad interna. Asociativa. Conmutativa. Elemento neutro. Elemento opuesto. Distributiva. División de fracciones. La división de dos fracciones es otra fracción que tiene: 3
1. Efectuar las operaciones entre paréntesi s, corchetes y llaves. 2. Efectuar los productos y cocientes. 3. Realizar las sumas y restas. 4. Simplificar. 4
Potencias de exponente entero y base racional. Propiedades de las potencias de números racionales 1. Un número racional elevado a 0 es igual a la unidad. 2. Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo. 5
3. Producto de potencias. 3.1 Potencias con la misma base. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. 3.2 Potencias con el mismo exponente. Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases. 4. Cociente de potencias. 4.1 Potencias con la misma base. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. 6
4.2 Potencias con el mismo exponente. Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. 5. Potencia de una potencia. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. 7
Potencia de exponente fraccionario. Raíces Raíz de un número Sabemos que 7 2 = 49. Esta igualdad la podemos expresar también como Y se lee 7 es igual a la raíz cuadrada de 49. En general, se define la raíz cuadrada de un número a como otro número b tal que b 2 = a. Igualmente, se define raíz n-sima de un número a al número b tal que b n = a Y escribimos: El número a se llama radicando y el número n, índice. Por ejemplo, Es importante precisar que no todos los números poseen raíces. Las raíz cuadrada de -4 no existe, pues el cuadrado de cualquier número, sea positivo o negativo, siempre es positivo. Por la misma razón no existe la raíz cuadrada de ningún número negativo ni la raíz de índice par de ningún número negativo. Calcula las siguientes raíces. 8
Fijándonos en el primer ejemplo anterior podemos definir: Porque, recordando la regla de calcular la potencia de otra potencia: (8 1/3 ) 3 = 8 1/3 * 3 = 8 1 = 8 En general, se define Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces. a) 16 3/4 b) 27 2/3 c) 125 4/3 d) 64 5/6 Operaciones con potencias de exponente fraccionario Las potencias de exponente fraccionario se hacen igual que las potencias de exponente entero. Producto de potencias de la misma base Se deja la misma base y se suman los exponentes. a m * a n = a m+n La regla anterior es cierta cualquiera que sea la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos como negativos, enteros o fraccionarios. a) 2 3/5 * 2 7/2 b) 3 5/2 * 3 2/3 c) 5 2/5 * 5 2/3 d) 2-3/10 * 2 2/5 e) 3-5/2 * 3-2/3 f) 10-1/5 * 10 1/3 9
Cociente de potencias de la misma base Se deja la misma base y se restan los exponentes: a m : a n = a m-n a) 2 7/3 : 2 4/3 b) 3 1/5 : 3 2/3 c) 5 1/6 : 5 1/3 d) 64 3/2 : 64-1/3 e) 3-1/2 : 3 3/2 f) 8-4/3 : 8-5/3 Potencia de un producto (a*b) m = a m * b m a) (2*5) 1/6 b) (3*4) 3/2 c) (2*8) 2/3 d) (4*6) 3/4 e) (2*5) -1/2 f) (3*2) -2/3 g) (2*5) -5/3 Potencia de un cociente (a/b) m = a m / b m a) (18/2) 5/6 b) (64/4) 1/2 c) (75/5) 2/3 d) (12/3) 3/4 e) (18/2) -2/3 f) (32/4) -3/2 g) (81/27) -1/3 h) (32/9) -1/4 Potencia de una potencia (a m ) n = a m*n a) (2 1/3 ) 7 b) (3 5 ) 1/3 c) (5 1/5 ) 1/3 d) (2-3/2 ) 4 e) (3 3/4 ) -1/4 f) (25-1/2 ) -3 10
Fracción generatriz. Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos: Pasar de decimal exacto a fracción. Pasar de periódico puro a fracción generatriz. Pasar de periódico mixto a fracción. 11
Operaciones combinadas. Prioridad en las operaciones combinadas 1. Pasar a fracción los números mixtos y decimales. 2. Calcular las potencias y raíces. 3. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 4. Efectuar los productos y cocientes. 5. Realizar las sumas y restas Ejercicio 1: Ejercicio 2: Nota: Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixto, formado por un número natural más una fracción propia (una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador). = Ejercicio 3: 12