Ejercicios resueltos de geometría analítica 1) Calcula el volumen del prisma determinado por los vectores v (0,-2,3), w (1,3,-4) y z (-2,1,0). 2) Calcula a para que los vectores (1,a,-1), (-4,2,0) y (a,2,-1) sean coplanarios. 3) Determina si los vectores (2,0,1), (-1,2,4) y (2,-1,2) forman una base. 4) Calcula m y n para que las rectas r mx - y + z = 1 s 2x + y - z = 0 y t x + 2y + 2z = n no sean secantes en un punto. 5) Calcula la distancia entre los siguientes planos: π 1 x + y +z = 2 / -x + 2y - z = 1 π 2-2x + 4y - 2z = 0 / 2x + 2y + 2z = 1 6) Halla el punto simétrico a P (1,0,-1) respecto al plano π 3x + 2y + z - 1 = 0 x - y - z = 2
Soluciones 1) Calcula el volumen del prisma determinado por los vectores v (0,-2,3), w (1,3,-4) y z (-2,1,0). Este problema es sencillo si recordamos el significado del producto mixto de vectores (un producto vectorial seguido de un producto escalar). El módulo del producto vectorial de dos vectores nos da el área del paralelogramo formado por ambos, y multiplicar escalarmente este vector por otro es el equivalente a multiplicar el área de una base por una altura (que, como recordarás, era la fórmula básica del volumen de los prismas). V = (v x w) z Para calcular el producto vectorial, colocamos las coordenadas de ambos vectores dentro de un determinante, así: i j k 0-2 3 1 3-4 Al resolver el determinante nos da el vector -i + 3j + 2k, o lo que es lo mismo (-1,3,2). Ahora multiplicamos escalarmente este vector por el vector z (-2,1,0) (-1,3,2) = 2 + 3 + 0 = 5 u 3 es el volumen del poliedro que nos piden. 2) Calcula a para que los vectores (1,a,-1), (-4,2,0) y (a,2,-1) sean coplanarios. Recuerda que "coplanarios" quiere decir que todos los vectores estén en un mismo plano. Aunque este ejercicio es muy sencillo, requiere que te hayas estudiado (y recuerdes) que si tres vectores son coplanarios, a la fuerza uno de ellos es combinación lineal de los otros dos. Y esto tienes que relacionarlo con una cosita de las matrices: si colocamos los tres vectores en una matriz 3x3 y uno de ellos es combinación lineal, el rango de la matriz no puede ser tres. O lo que es lo mismo, para lo que nosotros nos importa el determinante formado por los tres vectores debe valer cero. 1 a -1-4 2 0 = 0 a 2-1 -2a + 6 = 0 a = 3 Para a = 3, los tres vectores son coplanarios.
3) Determina si los vectores (2,0,1), (-1,2,4) y (2,-1,2) forman una base. Muy parecido al ejercicio anterior. En este caso, que tres vectores formen una base significa que sean linealmente independientes. O, a efectos prácticos, que el determinante formado por ellos tres sea distinto de cero. Sólo tenemos que comprobar esto último. 2 0 1-1 2 4 = 8 + 1-4 + 8 = 13 2-1 2 Como el determinante es distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes, y por lo tanto forman una base. 4) Calcula m y n para que las rectas r mx - y + z = 1 s 2x + y - z = 0 y t x + 2y + 2z = n no sean secantes en un punto. En primer lugar, visualicemos. Cómo tendrían que estar colocadas las tres rectas para que se cumpla lo que nos pide el enunciado? Hay tres posibilidades: que sean coincidentes, que sean paralelas, que se crucen o que se corten dos a dos. No tenemos que preocuparnos ahora de cada uno de estos casos: nos basta con descartar el caso en el que son secantes en un punto. Eso significa que no puede haber un único punto en el que se corten las tres. O, si consideramos cada recta como una ecuación y las juntamos las tres en un sistema, éste no debe tener solución: debe ser un sistema incompatible. Tenemos que hallar una m y una n para que la matriz de coeficientes tenga rango 2 y la ampliada rango 3. Se siente, pero la geometría analítica necesita que tengas frescos los conocimientos sobre matrices. Si has olvidado algunas cosas, repásalas en nuestros documentos del apartado de matrices. mx - y + z = 1 2x + y - z = 0 x + 2y + 2z = n m -1 1 2 1-1 = 4m + 6 1 2 2 Buscamos que este determinante valga cero, para que Rango (A) = 2. Por lo tanto, 4m + 6 = 0 y m tiene que valer 3/2. Pero ahí no termina todo. Hemos dicho que el sistema formado por las tres rectas tiene que ser incompatible. Por lo tanto, tenemos que encontrar alguna n de tal forma que el rango de la ampliada sea 3. Por comodidad, de la matriz de coeficientes cogeremos la segunda y la tercera columna:
-1 1 1 1-1 0 = n + 2 + 2 - n = 4 2 2 n Cajón de Ciencias Sorpresa! Valga lo que valga n, el rango de la ampliada es siempre distinto de cero, por lo que para m = 3/2, el sistema es siempre incompatible. Por lo tanto, nuestra respuesta al problema deberá ser: "Para m = 3/2 y cualquier valor de n, las rectas r mx - y + z = 1 s 2x + y - z = 0 y t x + 2y + 2z = n no son secantes en un punto." 5) Calcula la distancia entre los siguientes planos: π 1 x + y +z = 2 / -x + 2y - z = 1 π 2-2x + 4y - 2z = 0 / 2x + 2y + 2z = 1 Antes de empezar, recordemos que hay tres posibles posiciones relativas entre dos planos: que sean coincidentes, secantes o paralelos. En cualquiera de las dos primeras, la distancia entre ambos planos sería cero. Y si los planos son paralelos, podremos coger cualquier punto de uno de ellos y convertir el problema en uno de "distancia de un punto a un plano", porque todos los puntos están a igual distancia. Claro hasta ahí? Así que vamos a ver primero si los planos son coincidentes, secantes o paralelos. Se puede demostrar que son paralelos porque cada recta del plano π 1 es paralela a una de las rectas del plano π 2 (los coeficientes de x, y, z son proporcionales, pero el término independiente no lo es). Si hubiesen sido coincidentes o secantes, diríamos directamente que la distancia es cero (explicando en qué nos basamos, claro está). Así que vamos a sacar un punto cualquiera de π 1 : x = 0; y = 1 1 + z = 2 z = 1 Tenemos el punto P (0,1,1). Para calcular la distancia de P a π 2 debemos transformar primero sus ecuaciones a forma general. π 2-2x + 4y - 2z = 0 / 2x + 2y + 2z = 1-2x + 4y - 2z = 0 2x + 2y + 2z = 1 2x + 2y + 2z - 1 = 0-2x + 4y - 2z = 2x + 2y + 2z - 1 4x - 2y + 4z - 1 =0
Y ahora aplicamos la fórmula de distancia de un punto a un plano: d (P, π 2 ) = 4 0-2 1 + 4 1-1 / ( 4 2 + (-2) 2 + 4 2 ) d (P, π 2 ) = 1/ ( 36) = 1/6 u 6) Halla el punto simétrico a P (1,0,-1) respecto al plano π 3x + 2y + z - 1 = 0 / x - y - z = 2. Este, como tantos otros problemas de geometría analítica, se razona mejor "de atrás hacia delante". Vamos con ello. - Si se tratase de un problema de hallar el punto simétrico a P respecto a otro punto, sería mucho más fácil, porque bastaría usar la fórmula del punto medio: P medio = ((x 1 +x 2 )/2, (y 1 +y 2 )/2, (z 1 +z 2 )/2) En ella conoceríamos las coordenadas del punto medio y las de x 1, y 1 y z 1. Ese punto medio que tanto nos gustaría tener es la proyección de P sobre el plano. - Nos gustaría entonces tener la proyección de P sobre el plano. Cómo la podemos sacar? Ese punto proyección (al que, para abreviar, llamaremos P medio ) es el lugar donde se cortan el plano y una recta perpendicular a éste y que pasa por P. - Entonces necesitamos sacar esa recta r, perpendicular al plano y que pasa por P. Tenemos suficientes datos para hallarla? Buenas noticias: sí. Tenemos un punto (P) y el vector director, que es el mismo que el vector del plano (recuerda que los vectores que definen un plano son perpendiculares a este). Por lo tanto, recapitulemos: - Con P y el vector del plano sacamos la recta r. - Hallamos el punto de corte entre r y el plano. es el punto P medio. - Hallamos el simétrico de P respecto a P medio. - Y ya está. Se acabó el momento de razonar y planificar. Vamos a hacer cálculos. Lo primero es sacar el vector del plano. Uno de los posibles es el vector (1, -1, 0) 1. Con ese vector y el punto P nos sale la recta x + y + z = 0. Hallamos el punto de corte de la recta con el plano. Para ello creamos un sistema de ecuaciones con la ecuación de la recta y las dos ecuaciones de recta del plano. 1 Para este problema (y para no alargarlo y hacerlo todavía más confuso) omitiremos ciertas operaciones que se supone que están dominadas, como el sacar el vector de un plano o hallar la ecuación de una recta. Si alguno de estos pasos no los tienes claros, repásalos en tu libro o en nuestra página.
3x + 2y + z = 1 x - y - z = 2 x + y + z = 0 Si resolvemos este sistema, obtenemos el punto (1, -1, 0). Por último, recuerda que este sería el que hemos llamado punto medio (P medio ). Sólo nos queda calcular el punto P' simétrico a P (1,0,-1) respecto a P medio. P medio = ((x 1 +x 2 )/2, (y 1 +y 2 )/2, (z 1 +z 2 )/2) (1,-1,0) = ((1+x 2 )/2, (0+y 2 )/2, (-1+z 2 )/2) 1 = (1+x 2 )/2 x 2 = 1-1 = (0+y 2 )/2 y 2 = -2 0 = (-1+z 2 )/2 z 2 = 1 Por lo tanto, el punto que nos piden es el (1,-2,1). Como ves, cada cálculo por separado no es difícil. Lo más complejo de este tipo de problemas es hacer el razonamiento que nos aclara qué cosas necesitamos hallar (y en qué orden). Además, estos problemas consumen mucho tiempo en un examen, por lo que deberías practicarlos para que te acostumbres a ellos y los hagas con soltura (que no es lo mismo que hacerlos rápidamente equivocándote en todos lados).