INSTITUTO MEXICANO DEL PETRÓLEO

Dirección General de Investigación y Posgrado Presenta: Hugo Enrique Huerta Medina Título de Protocolo APLICACIÓN DE LAS T-CÓPULAS A LA MODELACIÓN ESTOCÁSTICA CONJUNTA DE POROSIDAD-PERMEABILIDAD EN 3D RESTRINGIDA POR PRUEBAS DE PRESIÓN Director: Dr. Martín Alberto Díaz Viera

CONTENIDO RESUMEN 1. INTRODUCCIÓN.... 4 2. ANTECEDENTES... 5 3. ANÁLISIS DEL PROBLEMA... 13 4. OBJETIVO GENERAL.... 16 5. JUSTIFICACIÓN PARA LA APLICACIÓN EN UN PROYECTO.... 17 6. METODOLOGÍA PROPUESTA.... 18 6.1 Primera parte: Modelación del patrón de dependencia utilizando t-cópulas... 18 6.2 Segunda parte: Simulación de la permeabilidad con simulated annealing (SA).... 20 6.3 Tercera parte: Condicionamiento de los modelos o realizaciones a permeabilidades obtenidas de pruebas de pozo.... 21 7. BENEFICIOS DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA... 23 8. RESULTADOS ESPERADOS Y OPORTUNIDADES DE NEGOCIO.... 24 9. PROGRAMA DE TRABAJO.... 25 10. PRESUPUESTO.... 26 11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 28 12. ANEXOS.... 30 A. ASPECTOS METODOLÓGICOS DE LA MODELACIÓN INTEGRAL GEOLÓGICA- PETROFÍSICA DE YACIMIENTOS... 30 A1. Modelo geológico integrado.... 30 A2. Modelado de propiedades petrofísicas.... 33 B. CÓPULAS.... 35 t- Cópula... 37 C. SIMULATED ANNEALING.... 39 D. FUNCIÓN OBJETIVO.... 44 E. PROMEDIOS DE PERMEABILIDAD.... 46 F. DEFINICIONES DE GEOESTADÍSTICA.... 47 G. CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA.... 48 H. REGIMENES DE FLUJO EN EL YACIMIENTO... 49 I. PRUEBAS TRANSITORIAS DE PRESIÓN... 51 J. DETERMINACIÓN DEL VOLUMEN Y POTENCIA PROMEDIO... 58 Volumen promedio... 58 Promedio de potencias... 60 MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 2 de 61

RESUMEN. Para proporcionar predicciones más precisas de flujo de fluidos, el modelo numérico de distribución de la permeabilidad utilizado por simuladores de flujo debe ser consistente con todos los datos geológicos y de ingeniería. Estos incluyen la permeabilidad de núcleos, estadísticas relevantes de la permeabilidad (histogramas, mediciones de la variabilidad espacial y la correlación con variables secundarias como la porosidad, etc.) y mediciones de la permeabilidad obtenidas de pruebas de pozo. El propósito de la metodología es crear modelos de distribución de la permeabilidad en 3D que reproduzcan estos datos. Los algoritmos de simulación tradicionales son incapaces de respetar los patrones complejos de la distribución de las propiedades así como los datos provenientes de una prueba de presión. El algoritmo propuesto en este trabajo se puede utilizar para tomar en cuenta distribuciones bivariadas complejas de la porosidad-permeabilidad mediante el uso de las cópulas. Esto se lleva a cabo utilizando un método estocástico con una t-cópula que reproduzca los patrones de dependencia observados de la distribución bivariada porosidad-permeabilidad. La permeabilidad efectiva inferida de una prueba de pozo, restringe la posible distribución espacial de los valores de permeabilidad por bloque cercano a los pozos. Mediante el uso del algoritmo de recosido simulado (simulated annealing) se puede llevar a cabo la integración de toda la información estática y dinámica disponible. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 3 de 61

1. INTRODUCCIÓN. La simulación del flujo de fluidos es herramienta fundamental para la administración de un campo, siendo un medio para el entendimiento de la respuesta del yacimiento antes de implementar esquemas de explotación o recuperación. Los parámetros que alimentan a la simulación numérica del yacimiento se obtienen a partir del modelo Geológico-Petrofísico durante la etapa previa de caracterización estática del mismo. Actualmente la manera internacional más aceptada de obtener la distribución de las propiedades petrofísicas del yacimiento se realiza mediante la modelación geológica-petrofísica integrada, donde todas las fuentes de información disponible (modelo geológico conceptual, datos de núcleos, registros, sísmica, etc.) son respetadas y contribuyen en un enfoque multidisciplinario interactivo. Este proceso de integración se realiza usando mayormente modelos estocásticos con un enfoque geoestadístico. Esto se debe, principalmente a que siempre tenemos relativamente poca información a la escala que se desea modelar el yacimiento y que la información disponible por sí misma posee incertidumbre. Por lo que, como es bien conocido, la mejor manera de manejar la incertidumbre en un modelo matemático es mediante el enfoque estocástico. El parámetro más importante y determinante en la simulación numérica del flujo de fluidos en un yacimiento lo constituye la permeabilidad. Por su naturaleza, la permeabilidad resulta difícil de estimar y de modelar. Usualmente ésta es modelada mediante ciertas dependencias funcionales con otras propiedades petrofísicas, mayormente la porosidad, y se usan sobre todo modelos de regresión porosidadpermeabilidad de tipo lineal para construir su distribución espacial en tres dimensiones. Por lo que de esta manera simplista no se refleja el comportamiento realista de la permeabilidad puesto que se pierde la riqueza de su variabilidad y se subestiman sus valores extremos, además de que de esta forma la permeabilidad prácticamente imita el comportamiento espacial observado en la porosidad, lo cual es completamente erróneo. En este protocolo se propone el uso de las t-cópulas para modelar el patrón de dependencia complejo porosidad-permeabilidad que se observa en los datos de núcleos y registros del yacimiento, de manera que se respete su variabilidad y valores extremos. Una vez escalados los datos de porosidad-permeabilidad al tamaño de celda del modelo geológico-petrofísico y luego de realizar la distribución de la porosidad, el modelo bivariado obtenido con la t-cópula es usado para producir la distribución espacial en 3D de la permeabilidad mediante la aplicación del método de optimización estocástica conocido como recocido simulado (simulated annealing, SA), en donde se trata de reproducir además, la correlación espacial observada en la permeabilidad y se restringe su comportamiento en la vecindad de los pozos cuando contamos con el valor de la permeabilidad obtenido en pruebas de presión. La metodología propuesta debe aplicarse en el marco de la modelación geológica-petrofísica integrada de yacimientos, por lo que se modelará y distribuirá la permeabilidad por unidades litoestratigráficas y dentro de éstas por litofacies o clases petrofísicas, es decir, por grupos de rocas que presenten el mismo patrón de dependencia porosidad-permeabilidad. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 4 de 61

2. ANTECEDENTES. Los antecedentes se presentan divididos en dos partes: en la primera se revisan los conceptos básicos relacionados con el estudio. En la segunda, se presenta un número de técnicas principalmente geoestadísticas que permiten integrar la información disponible con el fin de construir modelos en 3D que describan las propiedades a nivel del yacimiento. Conceptos base. Predecir las propiedades de la roca en ubicaciones no muestreadas y evaluar el comportamiento de flujo futuro de sistemas geológicos complejos es una tarea difícil. Un gran numero de conceptos y consideraciones hacen posible el tratamiento de este difícil problema. Facies La facies se basan en una evaluación de las variables geológicas como el tamaño de grano o mineralización, por ejemplo, la caliza y la dolomita en un carbonato y areniscas y lutitas en un arreglo siliciclastico. Las facies estrechan los rangos de porosidad y permeabilidad. Las propiedades del flujo de fluidos pueden variar entre el tipo de facies. Porosidad La porosidad (ø) se define como la relación del volumen de espacio poroso y el volumen neto de la roca del yacimiento. Es un parámetro adimensional y se puede expresar en fracción o por ciento. La porosidad puede ser un parámetro difícil de cuantificar, ya que el volumen poroso es a menudo una red compleja de espacios de diferentes formas, dimensiones y origen. Como consecuencia de esta complejidad, se pueden considerar diferentes sistemas de clasificación. Una clasificación general y simple del sistema poroso se basa en el proceso genético responsable de la formación de la porosidad. Desde este punto de vista, podemos distinguir 2 tipos fundamentales de porosidad, primaria y secundaria. La porosidad primaria es la porosidad original preservada en los sedimentos después de la depositación y de la compactación inicial. Es fuertemente dependiente de las características de los sedimentos (tamaño de grano, forma y clasificación) y tiende a decrecer con el tiempo y profundidad del sepultamiento. La porosidad secundaria se relaciona a los esfuerzos tectónicos que afectaron los sedimentos después del sepultamiento y/o la circulación de aguas subterráneas. Los procesos de formación tienden a generar fracturas mientras que los últimos son responsables de la disolución, depositación, recristalización y procesos de dolomitización que afectan la roca del yacimiento después de la depositación. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 5 de 61

Otra forma simple y común de clasificar la porosidad hace uso del concepto de poros aislados, lo cual permite la distinción entre la porosidad total y la interconectada o efectiva. La descripción y la cuantificación de la porosidad es una etapa muy importante en los procesos de caracterización. Medición de la porosidad. A. Mediciones en núcleos. B. Interpretación de registros. Herramientas sónicas. Herramienta de densidad. Herramienta de neutrones. Resonancia magnética nuclear. Permeabilidad. La permeabilidad (k) de una roca se define como su conductividad a los fluidos o a la facultad que esta posee para permitir que los fluidos se muevan a través de los poros intercomunicados. Si los poros no están conectados, no existe permeabilidad; por consiguiente, es de esperar que exista una relación entre la permeabilidad de un medio y la porosidad efectiva. La permeabilidad se ve afectada por la presión de sobre carga; el tamaño, acomodo y forma de los granos; la distribución de los mismos de acuerdo con el tamaño y el grado de cementación y consolidación. Existen tres tipos de permeabilidad: Absoluta o específica. Es la conductividad de una roca a un fluido cuando esta se encuentra saturada al 100 % de dicho fluido. La k del medio poroso debe ser la misma para cualquier líquido que no reaccione con la roca y que la sature al 100%. Efectiva. Es la conductividad de una roca a una fase cuando dos o mas fases se encuentran presentes, también se mide en Darcys. Cuando dos o mas fases están fluyendo simultáneamente en el medio poroso permeable, la permeabilidad efectiva de una fase dada es menor que la permeabilidad absoluta y está en función de la saturación de la fase. Conforme a lo anterior y considerando que un medio puede estar saturado por aceite, gas y agua; k o, k g, y k w representan las permeabilidades efectivas del aceite, gas y agua, respectivamente. Permeabilidad relativa. Es la razón entre la permeabilidad efectiva y una permeabilidad base. Se pueden utilizar diferentes bases, dependiendo de los cálculos. Una característica de la permeabilidad es que es una cantidad direccional expresada mediante un tensor y que con frecuencia muestra anisotropía, la cual se debe a la orientación y alineación de los granos, la presencia de arcillas u horizontes limosos. Desde el punto de vista del concepto de integración se requiere de un entendimiento profundo de las implicaciones estáticas y dinámicas de la permeabilidad. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 6 de 61

Mediciones de la permeabilidad. A. Análisis de núcleos. B. Registros. C. Pruebas de pozo. D. Correlaciones Empíricas. a. Relaciones Porosidad-Permeabilidad. b. Regresiones Lineales Múltiples. c. Ecuaciones empíricas. E. Redes Neuronales. Modelo Geológico Descripción de los rasgos geológicos-estructurales del yacimiento (fallas, delimitación de unidades geológicas, tipos de rocas y su distribución, etc.). La relevancia del modelo geológico se ha enfatizado repetidamente, siendo ampliamente reconocido que la descripción estática, en términos de geometría y de propiedades petrofísicas, es uno de los principales factores que controlan el desarrollo de producción del campo. Modelo Petrofísico Distribución de las propiedades petrofísicas de roca y fluidos (porosidad, permeabilidad, saturación, etc.). La definición de un modelo petrofísico consistente no es una tarea fácil, especialmente cuando los datos están dispersos y/o son de baja calidad. En todos los casos, la correcta integración de toda la información disponible permite que este modelo sea más confiable. Modelo estructural El modelo estructural en 3D representa el marco de trabajo geométrico básico del yacimiento. Este modelo se completa con superficies internas correlacionables, usualmente definidas a través de aproximaciones cronoestratigráficas basadas en la secuencia estratigráfica. Eventualmente, el modelo es poblado con facies y/o propiedades petrofísicas, a fin de generar lo que se conoce como modelo litológico del yacimiento (Anexo A). Distribución de las propiedades petrofísicas. Análisis de la variación lateral de las propiedades petrofísicas con el propósito de poder generar sus distribuciones en 2D y 3D a la escala de yacimiento. Es necesario tener mediciones reales (duras) a alguna escala. Muy a menudo, estos datos duros son la porosidad, permeabilidad y asignación de facies mediante mediciones de núcleos. En la ausencia de mediciones directas de núcleos, los datos de registros de pozo pueden ser datos duros. Todos los otros tipos de datos incluyendo registros y sísmica son llamados datos suaves y se deben calibrar con los datos duros. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 7 de 61

Geoestadística Actualmente, la geoestadística es el conjunto de técnicas utilizadas para analizar y predecir los valores de una propiedad distribuida en espacio y tiempo. Tales valores no se consideran independientes, por el contrario se supone que están correlacionados unos con otros es decir, que existe una dependencia espacial. La geoestadística, permite un amplio número de modelos equiprobables (realizaciones) mediante simulaciones estocásticas. Dentro del área de ciencias de la tierra, el propósito de estas realizaciones consiste en proveer al modelador alternativas plausibles que representen de manera integrada y coherente los aspectos geológicos, geofísicos y de ingeniería de yacimientos que son relevantes para el yacimiento. Las técnicas geoestadísticas están siendo utilizadas para generar los modelos de distribución de propiedades petrofísicas (porosidad y permeabilidad) 3D requeridos para la simulación del yacimiento (Bratvold and Holden, 1994). Métodos comunes para generar estimaciones y distribuciones de la permeabilidad. 2.2.1 Métodos comunes de estimación de la permeabilidad en el yacimiento. Correlaciones Empíricas. El modo más común de estimar la permeabilidad es mediante algún predictor de la permeabilidad, típicamente en forma de una ecuación empírica. Esto normalmente requiere de un conjunto de datos para la calibración, el cual está constituido por uno o más pozos clave donde la información completa en términos de datos de registros y núcleos esté disponible. Este conjunto de calibración es utilizado para construir el predictor y probar la fiabilidad de los resultados. Los tres tipos de predictores de la permeabilidad más comunes son: las relaciones porosidadpermeabilidad, las regresiones lineales múltiples y las ecuaciones empíricas. El objetivo de todas estas técnicas es la estimación de la permeabilidad absoluta en condiciones in situ ya que los parámetros que se usan provienen de mediciones de registros de pozo. a. Relaciones Porosidad-Permeabilidad. El predictor de la permeabilidad más usado es la relación de porosidad-permeabilidad. Ha sido ampliamente reconocido que la mayoría de las rocas de los yacimientos muestran en una escala semilogarítmica una relación razonablemente lineal entre estas dos propiedades, como se muestra en la figura 2.1, lo cual permite la estimación de la permeabilidad cuando está disponible el perfil de la porosidad. Las rocas de los yacimientos muestran un amplio espectro de relaciones de porosidad- permeabilidad. En algunas formaciones, como por ejemplo en rocas clásticas homogéneas, estas relaciones muestran muy baja dispersión por lo que la regresión lineal puede ser utilizada razonablemente para propósitos de MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 8 de 61

predicción Mientras que en otros casos, como es frecuente para las formaciones carbonatadas, esta relación es muy dispersa por lo que no es recomendable la regresión como método de predicción. Una buena práctica en la estimación de la permeabilidad consiste en la separación en grupos o categorías que muestren un comportamiento más homogéneo, este concepto también se aprecia en la figura 2.1. El modo más simple de agruparlas es por áreas, estratos o unidades. Aunque mejores resultados se obtienen cuando se agrupan por facies (litotipos) cuando esta clasificación se ha hecho por sus propiedades petrofísicas. k (md) Ø (%) Fig. 2.1. Correlación porosidad-permeabilidad (Geological Survey, 2006). b. Regresiones Lineales Múltiples. En muchos casos, incluso en yacimientos clásticos, la relación porosidad-permeabilidad es demasiada dispersa como para reproducirse de manera confiable por una regresión lineal simple. Esto ocurre cuando las variables petrológicas (cementación, distribución del tamaño del grano, alteración diagenética, etc.) juegan un papel importante en la estructura de poro de la roca. En estos casos se requiere de un enfoque más sofisticado que pueda tomar en cuenta la influencia de otras propiedades además de la porosidad. El método de regresión lineal múltiple es una técnica más compleja con respecto a la regresión lineal simple pero usualmente permite una estimación rápida y confiable de la permeabilidad en la mayoría de los yacimientos. La metodología se basa en la estimación de los coeficientes c de la ecuación de regresión múltiple: MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 9 de 61

LogK = c + c x + c x +... + c x 0 1 1 2 2 n n..2.1 La estimación se realiza utilizando uno o más pozos clave, donde existan valores de permeabilidad en núcleos. La ecuación resultante se puede aplicar al resto de los pozos donde las variables independientes son conocidas. Estas deben ser seleccionadas de los parámetros que tengan un fuerte impacto en la permeabilidad, como son: porosidad, saturación de agua y volumen de arcilla, pero también profundidad y posición geográfica para tomar en cuenta las tendencias verticales y laterales. Como en el método de regresión simple, se puede trabajar con grupos o subconjuntos, especialmente agrupando por facies, y mediante la aplicación de algún esquema ponderado a los datos usualmente a los rangos altos y bajos de permeabilidad. Esto permite reducir el efecto de suavizado de la regresión, aunque tiene la desventaja de producir resultados sesgados, ya que la elección de los pesos es subjetiva. c. Ecuaciones empíricas. En general, estas ecuaciones hacen uso de la información más disponible, como la porosidad o la saturación de agua para derivar un perfil de permeabilidad en las ubicaciones de los pozos. Las ecuaciones proveen estimados de la permeabilidad en base al tamaño y distribución de los espacios porosos. En base a esto, las correlaciones empíricas propuestas se pueden clasificar de la siguiente forma: Modelos basados en los granos (Berg, 1970) Modelos basados en la superficie (Timur, 1968 y Coates, 1973) Modelos basados en el tamaño de poro (Kozeny-Carman, 1961) Pruebas de pozo. Las pruebas de pozo proveen un medio confiable de estimar la permeabilidad del yacimiento. Cuando un pozo es puesto bajo un esquema de producción o inyección, cuando se cambia su gasto o cuando se cierra, el yacimiento reacciona con un comportamiento de presión que se relaciona directamente a su potencial de flujo y por lo tanto a su permeabilidad. Se pueden utilizar diferentes tipos de pruebas de pozo para calcular la permeabilidad. Todas ellas se basan en la aplicación de las ecuaciones básicas de flujo para la interpretación de una presión registrada y un gasto dado. Algunas de las pruebas son DST (Drill Stem Tests), pruebas convencionales de pozo (Incremento y Decremento) y pruebas multipozo (Pulso e Interferencia). En el anexo I se explican a fondo algunas de las técnicas. La permeabilidad inferida de una prueba de pozo tiene información importante debido a que otras mediciones están a una escala de magnitud más pequeñas que los bloques de la malla utilizados en la simulación. Una prueba de presión provee una sola permeabilidad efectiva en la cercanía del pozo. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 10 de 61

2.2.2 Técnicas de interpolación Kriging Método geoestadístico de estimación local que ofrece el mejor estimador lineal insesgado de una propiedad que se esta estudiando. Utiliza un modelo de variograma para la obtención de datos. Kriging calcula los pesos que se darán a cada punto de referencias usadas en la valoración. Esta técnica de interpolación se basa en la premisa de que la variación espacial continúa con el mismo patrón. Fue desarrollada inicialmente por Danie G. Krige a partir del análisis de regresión de datos, fijando la base de la geoestadística lineal. Se considera optimo ya que es insesgado (el valor esperado del error es cero) y minimiza la varianza de la estimación es decir, reduce al mínimo la varianza del error. Co-Kriging Es la estimación conjunta de variables aleatorias regionalizadas. Comúnmente conocido como Kriging conjunto es el análogo del Kriging de una función aleatoria. Mientras el Kriging utiliza la correlación espacial para determinar los coeficientes en el estimador lineal, el Co-Kriging utiliza la correlación espacial y la correlación entre funciones aleatorias al mismo tiempo. Es útil en el caso en que dos variables han sido muestreadas, pero una esta menos muestreada que las otras o existe la presencia de errores de muestreo. El Co-kriging tiene como aplicación, la estimación directa o conjunta de una combinación lineal de funciones aleatorias (FA s). 2.2.3 Simulación estocástica. Durante muchos años únicamente se usaron métodos de interpolación, pero en los últimos 10 años se ha incrementado la aplicación de técnicas estocásticas, las cuales ofrecen la posibilidad de estudiar la variabilidad espacial de una propiedad dada del yacimiento (o una combinación de propiedades) y explotar estas relaciones en la definición del modelo del yacimiento. También, permiten integrar diferentes fuentes de información, en particular la sísmica en 3D a través del uso de los atributos sísmicos. La idea básica detrás de las simulaciones estocásticas, consiste en obtener nuevas realizaciones artificiales ( Z S (x) ) de una función aleatoria Z(x) de manera tal que éstas posean las mismas propiedades estadísticas de la FA Z(x). Por lo general no se conoce con precisión las propiedades estadísticas de la FA; cuando más, se puede inferir a través de una sola realización o muestra de la función aleatoria. Entonces se intenta obtener realizaciones simuladas que sean estadísticamente equivalentes a la muestra que se posee de la FA. La equivalencia estadística, significa que todas las realizaciones tengan la misma distribución de probabilidad de la función aleatoria que se simula. En la mayoría de los casos solo satisface la esperanza matemática, la varianza y la covarianza inferidas a partir de la muestra de la FA. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 11 de 61

Para poder estimar la realidad in situ correctamente en los casos donde la información disponible es fragmentada y se limita al conocimiento de unos pocos puntos muestrales, se hace uso de la simulación de esta realidad en base a un modelo, interpretando su distribución espacial de una propiedad (en nuestro caso petrofísica) como una realización particular de la función aleatoria Z(x). Esta función aleatoria es caracterizada por su función de distribución de probabilidad o por su media, varianza y covarianza de los datos disponibles. La simulación tiene la ventaja de ser conocida en todos los puntos y no solamente en los puntos experimentales. Con frecuencia al fenómeno simulado se le llama modelo numérico del fenómeno real. Simulación condicionada. En muchas aplicaciones, resulta óptimo quedarse con aquellas realizaciones que en los puntos muestrales coinciden los valores simulados Z S (x) con los valores reales o experimentales Z M (x). A estas realizaciones de la función aleatoria se le conoce como simulaciones condicionales Z SC (x). La simulación condicional puede perfeccionarse agregando información cuantitativa del fenómeno real. Entre los métodos de simulación más comunes se encuentran: el método Secuencial Gaussiano, el método Secuencial Indicador, el de Simulación Gaussiana Truncada, etc. (Deutsch 2002) En particular nos interesará para aplicar en nuestra metodología el método de Recocido Simulado (Simulated Annealing), ver Apéndice C, debido a que por ser un método de optimización estocástica es muy flexible y permite de manera sencilla y directa introducir restricciones al modelo estocástico Deutsch 1994). MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 12 de 61

3. ANÁLISIS DEL PROBLEMA. La descripción precisa del yacimiento y su modelación es difícil dada la considerable incertidumbre en la distribución espacial de las propiedades de la roca del yacimiento. Las propiedades petrofísicas, necesarias para la simulación del flujo y las estimaciones in-situ, generalmente son muestreadas en muy pocas ubicaciones dentro del yacimiento. La naturaleza implícita esparcida de la información disponible nos conduce a considerar modelos estocásticos para la distribución de las propiedades del yacimiento. La idea es construir modelos numéricos de las litofacies del yacimiento y las propiedades de la roca que reproduzcan todos los datos disponibles, como son mediciones de núcleo, registros de pozo, interpretaciones sísmicas, geológicas y de pruebas de pozo, considerando múltiples realizaciones, de tal forma que cada una sea consistente con la información disponible. La predicción del comportamiento del yacimiento requiere de un exhaustivo conocimiento de la distribución espacial de las propiedades de la roca y de los fluidos del yacimiento. La distribución real fue creada por interacciones complejas de diferentes procesos físicos y químicos durante tiempos geológicos y sólo se podrían conocer mediante un exhaustivo muestreo. Por lo tanto, en todas las situaciones prácticas la distribución verdadera permanecerá desconocida. Sin el completo conocimiento de las propiedades del yacimiento, el comportamiento exacto o la respuesta de un yacimiento a cualquier esquema de producción es desconocido. Aunque la respuesta real sea desconocida, se puede construir un modelo numérico que aproxime el comportamiento observado del yacimiento. Previo a la simulación del flujo, las propiedades petrofísicas tales como la porosidad, permeabilidad y saturación de fluidos son necesarias para cada bloque de la malla o elemento en el modelo. Dado un muestreo incompleto, existe una gran incertidumbre en la asignación de las propiedades en los bloques de la malla. Adicionalmente, en los datos disponibles no existe un modelo único de las distribuciones de las propiedades petrofísicas. La idea detrás de la modelación estocástica del yacimiento es generar un número de modelos numéricos alternativos (realizaciones) que sean consistentes con los datos conocidos. En realidad sólo existe una distribución verdadera de estas propiedades sin embargo hay muchos modelos estocásticos de la distribución espacial consistentes con los datos disponibles. Finalmente solo hay un valor verdadero para cada propiedad petrofísica. Potencialmente cada realización da una respuesta diferente dando una distribución de probabilidad para cada variable como se muestra en la figura 3.1. La manera más usual para calcular la permeabilidad es a través de algún estimador, típicamente en forma de una ecuación empírica (Balan et al., 1995). Esto normalmente requiere que de un conjunto de datos para la calibración que esté constituido por uno o más pozos donde exista la información detallada en términos de datos de núcleos y de registros. Este conjunto de datos de calibración es usado para ajustar el estimador y para verificar el grado de fiabilidad de los resultados. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 13 de 61

Distribución de las propiedades roca/fluido Distribución de las propiedades roca/fluido Distribución real Modelos estocásticos múltiples Proceso de recuperación Proceso de recuperación Proceso actual implementado Modelo numérico del proceso Respuesta del yacimiento Respuesta del yacimiento Respuesta verdadera Distribución de posibles respuestas Fig. 3.1. Ilustración esquemática de los modelos estocásticos del yacimiento. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 14 de 61

El enfoque de regresión simple, usando el formalismo estadístico en lugar del determinístico, busca predecir el valor promedio condicional, o el valor esperado de la permeabilidad, correspondiente a un conjunto dado de parámetros. Para diferentes áreas o facies se pueden ajustar diferentes ecuaciones. Las principales desventajas de este método consisten en que la variabilidad de los datos (en términos de la varianza y la desviación estándar) no puede ser capturada. Por lo que resulta importante hacer notar que el perfil de permeabilidad generado reproduce bien el promedio del perfil real pero falla en la estimación de los valores extremos, los cuales desde el punto de vista del flujo son los valores más interesantes ya que pueden representar zonas de alta permeabilidad o barreras impermeables. El método de regresión lineal subestima la dispersión de los datos originales y no reproduce los valores extremos. En el caso de las ecuaciones empíricas, solo proveen estimados irregulares de la permeabilidad. El problema principal de esta aproximación es que, la permeabilidad es dependiente del tamaño y distribución de los espacios de poro de la roca, y este parámetro siempre es desconocido. Por otra parte, los estimadores que no usan expresiones funcionales como las redes neuronales artificiales, requieren de un largo tiempo de aprendizaje o entrenamiento el cual depende fuertemente de la cantidad y calidad de los datos disponibles. Más aún, cuando estamos en presencia de información incompleta, lo cual es lo usual en la modelación de yacimientos, no contamos con datos suficiente para representar en su justa proporción los valores extremos de la permeabilidad, por lo que en muchos casos éstos son subestimados. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 15 de 61

4. OBJETIVO GENERAL. Aplicar una metodología estocástica dentro de un marco integral de modelación geológica-petrofísica de yacimientos que permita generar modelos de la distribución espacial de la permeabilidad en 3D tomando en cuenta la información estática (datos geológicos, de núcleos, de registros de pozo y sísmicos) y dinámica (pruebas de pozos) disponible. El modelo estocástico consiste en aplicar la técnica Recocido Simulado (Simulated Annealing) (SA) usando la distribución de probabilidad bivariada porosidad-permeabilidad generada mediante la simulación con Monte Carlo de la t-cópula que reproduce el patrón de dependencia porosidadpermeabilidad observado en los datos. Una vez obtenidas las realizaciones del modelo estocástico restringidas a datos estáticos se propone el uso de la información dinámica (permeabilidad efectiva derivada de pruebas de presión), condicionando la permeabilidad promedio en la cercanía del pozo. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 16 de 61

5. JUSTIFICACIÓN PARA LA APLICACIÓN EN UN PROYECTO. Para analizar el flujo de fluidos en el medio poroso del yacimiento, primero se debe construir el modelo. geológico-petrofísico Este modelo describe aproximadamente la distribución espacial de las propiedades físicas que gobiernan el flujo de fluidos. El modelo geológico-petrofísico del yacimiento debe incorporar todos los datos disponibles, de esta forma se reduce la incertidumbre en los modelos del yacimiento. El propósito es que al integrar todos los datos disponibles se darán modelos más confiables, y por lo tanto se reducirá la incertidumbre de las predicciones (Roggero and Hu, 1998.) Los valores de porosidad y permeabilidad atribuidos a los bloques de la malla son parámetros esenciales para la explotación del yacimiento. Por ejemplo, las concentraciones de valores de permeabilidad altos en ciertas áreas tienden a formar trayectorias de flujo preferenciales, mientras que las concentraciones de valores bajos de permeabilidad tienden a formar barreras que evitan el flujo (Le Ravelec, 2005). En los yacimientos no existe la cantidad suficiente de datos para mapear exactamente la permeabilidad y la porosidad. Es por ello que la geoestadística es de gran utilidad para construir imágenes probables de los yacimientos, mediante la caracterización de la variabilidad espacial de la propiedad que se estudie. La incorporación de las pruebas de presión, también nos da información acerca de la permeabilidad, para su integración al modelo. La finalidad de dar los modelos del yacimiento a partir de métodos geoestadísticos es incorporarlos o tener un punto de partida en las simulaciones de flujo de fluidos y reproducir los datos dinámicos obtenidos del yacimiento. Los siguientes pasos muestran el seguimiento que se habría de llevar a cabo en un proyecto de modelación del yacimiento. 1. Un modelo de yacimiento inicial, llamado modelo de yacimiento geológico, generado con herramientas geoestadísticas. Restringido a los datos estáticos y dinámicos. 2. El modelo geológico del yacimiento inicial se enmalla y se detalla. Antes de llevar a cabo un ajuste de historial que involucre simulaciones de flujo, el número de bloques de la malla se deben reducir. El modelo geológico es simplificado utilizando técnicas de escalamiento. 3. Se realiza una simulación de flujo para el modelo de yacimiento simplificado, el cual imita su comportamiento dinámico. Se comparan los datos dinámicos con la respuesta dinámica del modelo. 4. Generalmente la respuesta de la simulación no reproduce los datos dinámicos. Se debe modificar nuevamente el modelo del yacimiento. Ésta modificación o procedimiento de ajuste involucra problemas de optimización. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 17 de 61

6. METODOLOGÍA PROPUESTA. La metodología a desarrollar consiste en extender a nivel de yacimiento, es decir, a tres dimensiones la aplicación del modelo geoestadístico-estocástico para la permeabilidad usando t-cópulas (Díaz and Casar, 2005), originalmente propuesto a escala de registros de pozo, y restringirlo por los valores de permeabilidad obtenidos en pruebas de presión. El enfoque de Díaz y Casar, es una modificación del método de simulación geoestadística conjunta permeabilidad-porosidad utilizando simulated annealing (Anexo C) que fue introducido por Deutsch y Cockerman (septiembre 1994). El procedimiento consta de tres etapas. La primera consiste en desarrollar una simulación estocastica de la porosidad y la permeabilidad utilizando una t-cópula empírica (Perkins and Lane, 2003) la cual reproduce el patrón de dependencia de la distribución bivariada porosidad-permeabilidad así como sus correspondientes distribuciones individuales (marginales) observadas en los datos. En la segunda parte se aplica el método de simulación conjunta porosidad-permeabilidad (Deutsch and Journel, 1998) con simulated annealing, donde la porosidad es una variable secundaria que condiciona (restringe) a la permeabilidad. En la tercera parte, se toma en cuenta la permeabilidad obtenida de pruebas de presión, en este esquema de simulación estocástica. 6.1 Primera parte: Modelación del patrón de dependencia utilizando t-cópulas. Consiste en muestrear de forma estocástica pares de valores (porosidad-permeabilidad) de su distribución bivariada obtenida a partir de una cópula, la cual reproduce distribuciones bivariadas empíricas por cada unidad litológica. Es importante aclarar que la metodología se hace por unidad litológica y se parte de la premisa de que se tiene la distribución de la litología, así como de su porosidad y algunos datos de permeabilidad (suaves o duros). Sklar creó una nueva clase de funciones a las que nombró cópulas (Sklar, 1959). Una cópula es una función que liga o acopla a la función de distribución multivariada con sus funciones de distribución unidimensionales también conocidas como marginales (Nelson, 1999), ver figura 6.1. En general las cópulas pueden ser definidas para funciones de distribución de más de dos variables aleatorias, pero para los propósitos de este proyecto nos restringiremos sólo el caso bivariado. Una de las propiedades más importantes de las cópulas es que éstas permiten especificar la dependencia entre variables aleatorias de manera completamente separada de la especificación de sus distribuciones MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 18 de 61

marginales. Más aún, mediante cópulas se puede prescribir la dependencia entre variables aleatorias uniformes y después transformarlas a cualquier distribución marginal deseada. Fig. 6.1. Cópula t-student. Galiani 2003. Existen varias familias de cópulas entre las que se encuentran las cópulas Gaussianas y las cópulas de la t de Student (t-cópulas), las cuales pertenecen a una clase más amplia conocida como cópulas elípticas. En particular, las t-cópulas (anexo B) modelan patrones de dependencia no lineales entre datos bivariados de propiedades petrofísicas, figura 6.2. La razón de dicha elección se debe a que ha sido mostrado recientemente que las t-cópulas son generalmente superiores comparadas con las cópulas Gaussianas respecto a su capacidad para reproducir mejor los valores extremos (Breymann et al., 2003). Fig. 6.2. Distribución bivariada de dos propiedades x. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 19 de 61

La forma de llevar a cabo la primera etapa de la metodología es: 1. Estimar el rango de correlación τ K ó ρ s de la permeabilidad y la porosidad de las distribuciones que se presentan por unidad geológica. Donde τ K : es la τ de Kendall. ρ s : es la ρ de Spearman. Ver anexo C. 2. Obtener el coeficiente de correlación lineal correspondiente r K ó r s, aplicando el mapeo con las ecuaciones B2 y B3 (Anexo B). 3. Generar m pares correlacionados aplicando el algoritmo presentado en el anexo B, con las distribuciones acumulativas empíricas de la permeabilidad k y la porosidad ø. 6.2 Segunda parte: Simulación de la permeabilidad con simulated annealing (SA). La segunda parte es generar múltiples modelos de distribución (simular la permeabilidad) utilizando SA. La distribución se condiciona con valores de permeabilidad conocidos y utilizando valores de porosidad como una variable secundaria, considerando como datos de entrada las distribuciones bivariadas simuladas en lugar de una empírica. El interés en la metodología del SA (anexo C), se basa en la habilidad que tiene para respetar una gran variedad de datos como estructuras geológicas y a pruebas de pozo las cuales están más allá de la capacidad de técnicas convencionales. La característica esencial de los métodos annealing es perturbar iterativamente una realización inicial construida fácilmente. La realización inicial pudiera ser construida mediante la asignación aleatoria de valores en todos los nodos a partir de un histograma representativo. Las perturbaciones son aceptadas o rechazadas tomando cierta decisión. La regla de decisión se basa en como la función objetivo ha cambiado es decir, como la perturbación ha traído la imagen candidata que mas se acerque a las propiedades deseadas. El primer paso es construir una función objetivo (Anexo D) la cual mida la diferencia entre características espaciales de referencia y aquellas de una realización candidato. El problema de optimización consiste en sistemáticamente modificar una realización inicial construida para que todas las partes de la función objetivo sean minimizadas a cero. En el contexto de la modelación del yacimiento en 3D, el proceso annealing se puede llevar a cabo por medio de los siguientes pasos: 1. Crear un modelo en 3D inicial, asignando valores de permeabilidad en cada nodo de la malla en forma aleatoria a partir de la distribución bivariada obtenida de las copulas. 2. Definir la función objetivo como una medida de la diferencia entre las características deseadas y las características de la realización. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 20 de 61

3. Perturbar el modelo visitando aleatoriamente los nodos de la malla y asignando nuevos valores de permeabilidad. El nuevo valor debe provenir de la distribución bivariada dado un valor de porosidad en cada unidad litológica. 4. Aceptar la perturbación si la función objetivo decrece; aceptarla si ésta se incrementa, bajo una probabilidad de aceptación. 5. Continuar el procedimiento de perturbación hasta que se logre un estado de energía mínimo. Los estados de energía bajos corresponden a modelos numéricos del yacimiento plausibles. En el anexo C se muestran los pasos detallados para llevar a cabo el proceso del SA. 6.3 Tercera parte: Condicionamiento de los modelos o realizaciones a permeabilidades obtenidas de pruebas de pozo. Las pruebas de presión transitorias proveen de información critica acerca de las propiedades del yacimiento a una escala significativamente mayor que las obtenidas de núcleos o registros. Específicamente, la permeabilidad relativa inferida de una prueba de presión restringirá la distribución espacial de la permeabilidad cercana al pozo. Una forma de condicionar los modelos de yacimiento estocásticos a una respuesta de prueba de pozo es descartar todos los modelos que no dan una respuesta de prueba de pozo simulada lo suficientemente cercana a la respuesta de presión medida. Tal selección puede ser práctica cuando se tiene pruebas para un solo pozo. La idea es tomar realizaciones que ya hayan ajustado otros datos disponibles (e.g., núcleos, registros, sísmica) y modificarlos con la técnica SA para ajustar las respuestas de pruebas de pozo. Debido a que no es posible llevar a cabo una simulación completa de flujo 3D después de cada perturbación llamada para el SA, ya que tomaría demasiado tiempo, de alguna forma los datos de pruebas de pozo deben traducirse en una propiedad fácilmente actualizable reteniendo su flexibilidad en diferenciar sistemas heterogeneos. La permeabilidad relativa cerca del pozo, inferida de pruebas de presión es un parámetro crítico obtenido de la interpretación de la prueba. Las consideraciones esenciales y las bases matemáticas para la interpretación son presentadas en el anexo H. Dada una prueba de pozo desarrollada en el campo y estimados los valores de viscosidad, espesor, porosidad y compresibilidad, es posible estimar una permeabilidad efectiva k e que relacione algún volumen cercano del pozo. En 1989 Alabert (Alabert, 1989) propuso imponer ésta k e en los modelos estocásticos a través de una función objetivo en la técnica SA. Para incluir la permeabilidad efectiva en los modelos se debe utilizar una ley de escalamiento empírica que relacione la permeabilidad efectiva derivada de pruebas de pozo a valores de permeabilidad absoluta de bloque elemental. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 21 de 61

Alabert propuso un promedio de potencias de los bloques de permeabilidad dentro de un volumen promedio específico V para modelar un promedio total no lineal de los bloques de permeabilidad como las medidas por una prueba de pozo. La suposición es que los valores de permeabilidad de los bloques se promedian linealmente después de una transformación de potencia no lineal con la ecuación 6.3. 1 k ( ω) = k( ui ) N ui V ω 1 ω...6.3 Donde k(ω) es la permeabilidad promedio de los N valores de permeabilidad k(u i ),i=1,,n, en las ubicaciones u i dentro del volumen de interés V. La potencia (ω) varía entre -1 y 1 correspondiente a los promedios armónicos y aritméticos de la permeabilidad (Anexo E). Una vez que el volumen promedio V y el tipo de promedio son conocidos se considera una función objetivo como: O c = [ k k ] 2...6. 4 welltest realization Donde k welltest es la permeabilidad efectiva derivada de la prueba de pozo y k realization es la permeabilidad efectiva de la realización candidato, ecuación 6.3. Cuando el valor en un nodo k(u) es perturbado a k (u) la permeabilidad efectiva se actualiza a k desde k por medio de: new realization old realization k new realizatio n 1 1 ω old ω ω ω ( k ) k( u) + k'( )...6. 5 = realization u N N 1 Esta rápida actualización numérica remplaza una simulación de flujo completa para llegar a una nueva permeabilidad efectiva para cada realización candidato. Para implementar esta aproximación numérica, se deben definir el volumen promedio V y la potencia promedio ω. Ver apéndice J. La metodología para incluir los datos de las pruebas en los modelos estocásticos tiene los siguientes pasos: 1. Calcular V y ω para ser utilizados en la ec. 6.3. 2. Perturbar las realizaciones. Utilizando como función objetivo la ecuación 6.4. 3. Actualizar los valores de las realizaciones por medio de la ecuación 6.5. 4. Una vez alcanzado el mínimo global en la función objetivo, validar la reproducción de la prueba de pozo real con el modelo obtenido. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 22 de 61

7. BENEFICIOS DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA En particular, el uso de cópulas y los datos de las pruebas de pozo en la modelación del yacimiento tienen las siguientes ventajas: 1. Las cópulas permiten modelar adecuadamente patrones de dependencia complejos entre las propiedades petrofísicas (porosidad-permeabilidad). Esta es una alternativa a los métodos tradicionales como los de regresión, ya que no se requiere de la existencia de un modelo de dependencia funcional entre estas propiedades. 2. Con las cópulas se reproducen con suficiente precisión los valores extremos y la variabilidad (varianza) observada en los datos, eliminando las desventajas principales que presentan los métodos de regresión. 3. Con respecto al método de redes neuronales artificiales, este enfoque tiene la ventaja de que no requiere de un proceso de entrenamiento que usualmente es largo y muy dependiente de los datos. Además, esta metodología podría servir como paso previo para generar muestras más representativas que se usarían durante la etapa de aprendizaje del método de redes neuronales. 4. No existe la necesidad de realizar la transformación logarítmica de la permeabilidad, y consecuentemente, se evita el sesgo potencial que podría introducirse debido a que se elimina el procedimiento de transformación hacia atrás. 5. Al incluir la distribución empírica simulada mediante una t-cópula en la modelación con simulated annealing, se reproduce automáticamente el histograma (la distribución empírica) de la permeabilidad. 6. No existe ninguna limitación para que esta metodología se aplique de forma restringida por facies o clases petrofísicas en un marco de modelación geológica-petrofísica integrada. 7. La permeabilidad efectiva de las pruebas de presión, restringe los valores de permeabilidad por celdas dentro del radio de influencia de la prueba. 8. Mediante el modelo estocástico se pueden obtener múltiples realizaciones que permiten evaluar la incertidumbre inherente a los modelos de distribución de la permeabilidad. 9. Finalmente, la metodología propuesta resulta muy flexible, ya que permite escoger dentro de las realizaciones estocásticas generadas por el modelo la que resulte más apropiada para el proceso de ajuste de la historia de producción del yacimiento en un marco de optimización. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 23 de 61

8. RESULTADOS ESPERADOS Y OPORTUNIDADES DE NEGOCIO. Los resultados que se esperan al llevar a cabo la aplicación de la metodología: 1. Crear modelos estocásticos restringidos a datos estáticos y dinámicos. 2. Evaluación de la incertidumbre del modelo geológico-petrofísico para un campo en específico, mediante las múltiples realizaciones que se obtienen. 3. Generar modelos de yacimientos que reproduzcan los historiales de producción cuando se lleve a cabo la simulación numérica, y al mismo tiempo respeten tanto la información estática como dinámica disponible. 4. Los modelos generados se pueden utilizar para predecir el desarrollo del yacimiento mediante el conocimiento de la distribución espacial de la porosidad-permeabilidad. Las oportunidades de trabajo que se espera son: 1. Llevar a cabo la generación del modelo de la permeabilidad en campos que cuenten con relativamente poca información geológica, geofísica y dinámica obtenida de los pozos en explotación o en desarrollo. 2. Actualización de modelos geológicos en campos maduros. 3. Refinar modelos del yacimiento, que no ajusten los historiales de producción. 4. Contribuir al área de simulación numérica con modelos más confiables. 5. Evaluación de la respuesta de un yacimiento a diferentes esquemas de recuperación secundaria o mejorada. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 24 de 61

9. PROGRAMA DE TRABAJO. PROGRAMA DE TRABAJO Año 2007 ACTIVIDADES Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 1. Recopilación y revisión de bibliografía 2. Adquisición de licencias del software 3. Aprendizaje del uso de Software Año 2007 ACTIVIDADES Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 1. Aprendizaje del uso de Software 2. Programación de la metodología 3. Correcciones a la metodología programada 4. Selección del campo de estudio 5. Recopilación de la información del campo 6. Modelación de la permeabilidad del campo 7. Correcciones de la modelación Año 2008 ACTIVIDADES Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 1. Análisis de los resultados 2. Elaboración de reporte MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 25 de 61

10. PRESUPUESTO. A) ESTIMACIÓN (HORAS-HOMBRE) DEL ESFUERZO REQUERIDO PARA REALIZAR EL PROYECTO Y PERFILES DE LOS PARTICIPANTES. Categoría del personal Horas-Hombre Líder de proyecto 560 Coordinador del proyecto 1120 Especialista 4000 Especialista 4000 Total= 9680 B) COSTO ASOCIADO AL PROYECTO (CAPÍTULO 10000) Personal Horas-Hombre Precio de venta (pesos) Monto (Pesos) Líder de proyecto 560 860 481,600.00 Coordinador de proyecto 1120 650 728,000.00 Especialista 4000 450 1,800,000.00 Especialista 4000 450 1,800,000.00 Total= 9680 Total= 4,809,600.00 CAPITULO 20000. No aplica. CAPITULO 30000. No aplica. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 26 de 61

CAPITULO 40000. COSTOS ASOCIADOS A LA COMPRA DE SOFTWARE NECESARIO PARA EL DESARROLLO DEL PROYECTO. Programas Costo de renta Mathlab Licencia 77, 121.00 Subtotal 77,121.00 Fortran Licencia 18, 304.00 Total= 95, 425.00 GASTOS PARA ACTIVIDADES DE CAMPO. Concepto Gasto asociado Transporte 14, 400.00 Hospedaje 12, 000.00 Alimentación 26, 400.00 MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 27 de 61

11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 1. Berg R (1970) Method for determining permeability from reservoir rock properties. Transactions, Gulf Coast Association of Geological Societies. 2. Bratvold, R. B., Holden L., Svanes T. and Tayler K.: STORM: Integrated 3D Stochastic Reservoir Modeling Tool for Geologists and Reservoir Engineers, SPE, paper 27563, 1994. 3. Breymann W., Dias A. and Embrechts P.: Dependence Structures for Multivariate High- Frequency Data in Finance, Quant. Finance 3, 1-14. 2003 4. Carman PC (1956) The flow of gases thorough porous media 5. C. Farmer: The Mathematical Generation of Reservoir Geology, Numerical Rocks. In J. Fayers and P. King, editors. New York, NY, 1991. 6. Clayton V. Deutsch and Andre G. Journel: The Application of Simulated Annealing to Stochastic Reservoir Modeling. SPE Advanced Technology Series, Vol. 2, Nº. 2. paper number 23565. April 1993. 7. Clayton V. Deutsch and Perry. W. Cockerham: Geostatistical Modeling of Permeability With Annealing Cosimulation (ACS), SPE. September 1994. Paper number 28413. 8. Clayton V. Deutsch and Perry W. Cockerham: Practical Considerations in the Application of Simulated Annealing to Stochastic Simulation, Mathematical Geology. January 1994, Vol. 26. Nº 1, pp. 67-82. 9. Coates GR, Chen HC: A new approach to improved log derived permeability. SPWLA 14 th Annual Logging Symposium, Lafayette. 1973 10. Dean S. Oliver: The Averaging Process in Permeability Estimation From Well-Test Data. SPE. September 1990. 11. Díaz-Viera, Anguiano-Rojas, Aleksander Mousatov: Stochastic Modeling of Permeability in Double Porosity Carbonates Applying a Monte Carlo Simulation Method with t-copulas, SPWLA 47th Annual Logging Symposium, June 4-7, 2006. 12. Diaz-Viera, Casar-González: Stochastic Simulation of Complex Dependency Pattern of Petrophysical Properties Using t-copulas, Instituto Mexicano del Petroleo, 2005. 13. Edward H. Isaaks: Applied Geostatistics. Department of Applied Earth Sciences, Stanford University. Oxford University Press, 1989. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 28 de 61

14. F. G. Alabert: Constraining Description of Randomly Heterogeneous Reservoirs to Pressure Test Data: A Monte Carlo Study. SPE Annual Technical Conference and Exhibition, 8-11 October 1989, San Antonio, Texas. Paper number 19600-MS. 15. Helge H. Haldorsen: Stochastic Modeling. SPE. April 1990. Paper number 20321. 16. J. F. Carrièr: Copulas, Mathematical and Statistical Sciences, University of Alberta, Edmonton, Canada 17. José Juan Quesada Molina: What Are Copulas?, Monografías del seminario de Matemáticas. García de Galdeano. 27: 499-506, (2003). 18. Kansas Geological Survey: Fracture and Karst Features Affecting Reservoir Performance in Missisipian Reservoir, 2006. 19. Kirkpatrick, S., Gelatt, C., Jr., and Vecchi, M., Optimization by Simulated Annealing, Science, Vol. 220, Nº. 4598, pp. 671-680. 20. Luca Cosentino: Integrated Reservoir Studies, Institute Française du pétrole publications, 2001. 21. M. Armstrong and A. Galli : Copulas. Presented at the SPE Appied Technology Workshop, Rio de Janeiro, 2002. 22. Mansoor Al-Harthy, Steve Begg, Reidar B. Bratvold: Copulas a New Technique to Model Dependence in Petroleum Decision Making, Journal of Petroleum science & Engineering, October 2006. 23. Mickaële Le Ravelec Dipin: Inverse Stochastic Modeling of Flow in Porous Media. Application to Reservoir Characterization. Française du pétrole publications, 2005. 24. Perkins P. and Lane T.: Monte Carlo Simulation in Mathlab Using Copulas, MATHLAB News & Notes, November 2003. 25. Roggero and Hu: "Gradual Deformation of Continuous Geostatistical Models For History Matching", SPE-49004, Proceedings of the 1998 Annual SPE Technical Conference, p. 221-236. 26. Roger B. Nelsen: An Introduction to Copulas. Lecture Notes in Statistics. Springer 1998. 27. Stefano S. Galiani: Copula function and their application in pricing and risk managing credit derivative products. MC Thesis. College London, 2003. 28. Tarek Ahmed: Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, 2005. 29. Timur A: An investigation of permeability, porosity and residual water saturation relationship for sandstones reservoirs. The log analyst 9, 4. 1968 MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 29 de 61

12. ANEXOS. A. ASPECTOS METODOLÓGICOS DE LA MODELACIÓN INTEGRAL GEOLÓGICA- PETROFÍSICA DE YACIMIENTOS. A1. Modelo geológico integrado. La definición del modelo geológico constituye una de las más importantes fases del estudio de un yacimiento debido al volumen de trabajo que involucra y por el impacto que tiene. Consta de las siguientes etapas: 1) Modelo Estructural 2) Modelo Estratigráfico 3) Modelo Litológico 4) Heterogeneidades del Yacimiento Modelo Estructural Identifica el marco geométrico básico de la trampa de hidrocarburos y define sus fronteras. La construcción del modelo estructural del yacimiento consiste en: - Definir el mapa estructural de la parte superior de la acumulación de hidrocarburos - Interpretar el patrón de fallas que afecta al yacimiento Modelo Estratigráfico Define las superficies que delimitan las principales unidades de flujo del yacimiento a partir de la correlación de todos los pozos. Es decir, define el marco o la estructura interna del yacimiento. El trabajo de correlación potencialmente involucra un considerable número de disciplinas tales como: sísmica, estratigrafía de secuencias, sedimentología, interpretación de registros de pozos, bioestratigrafía, geoquímica, mineralogía, estudios de afloramientos, etc. Modelo Litológico Un modelo litológico detallado del yacimiento representa una herramienta poderosa para guiar la distribución de propiedades petrofísicas del mismo. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 30 de 61

El modelo litológico se construye integrando: - Modelo sedimentológico conceptual (representación conceptual del yacimiento) - Clasificación en tipos de Facies (litotipos) o de Clases Petrofísicas. - Distribución de Facies (litotipos) o de Clases Petrofísicas. Modelo sedimentológico conceptual El modelo sedimentológico y depositacional suministra una evaluación semi-cuantitativa de los parámetros geométricos para el proceso de modelación estocástica (funciones de covarianzas, forma y dimensión de las unidades del yacimiento). Descripción y clasificación de litofacies: Se realiza a partir de núcleos y su objetivo es la clasificación de la roca del yacimiento desde el punto de vista litológico y depositacional. Definición del modelo depositacional: Se usa toda la información obtenida en la fase anterior para identificar el marco sedimentológico (fluvial, deltaico, marino superficial, etc) así como el proceso depositacional (corrientes de alta o baja energía, flujos de detritos). Clasificación de Facies El concepto de facies es particularmente adecuado para estudios integrales de yacimientos ya que pueden ser consideradas como el volumen elemental práctico del yacimiento y representan el bloque básico para la construcción de modelos geológicos en 3-D. Las facies son la herramienta para transferir la información geológica a través de las diferentes etapas de un estudio. En estudios simples se reduce a la definición de dos tipos de facies: la que constituye al yacimiento y la que no. Cuando se tiene información de buena calidad, es decir cuando se identifican un número mayor de facies, se puede intentar un enfoque más sofisticado basado en el tratamiento estadístico multivariado de los datos. En este caso: Las facies se definen en los núcleos, luego se identifican en los registros, finalmente se agrupan en un número reducido que se denominan litotipos. Se usan técnicas como el análisis de agrupamiento (cluster analysis) y componentes principales. Cuando las propiedades petrofísicas del yacimiento no están directamente controladas por las facies (litotipos) se puede usar un enfoque alternativo en términos de clases petrofísicas (agrupamiento por propiedades petrofísicas). Es conveniente aclarar que nuestro interés no está en cómo los tipos de facies están definidos, sino en cómo construir distribuciones realistas en 3-D de las facies de manera que puedan ser usadas posteriormente en la toma de decisiones durante la modelación del yacimiento. Las facies deben poseer un control significativo sobre las funciones de la porosidad, la permeabilidad, o de la saturación, de otra manera, la modelación de la distribución en 3-D de las facies será de poco beneficio ya que la incertidumbre no se reducirá y los modelos resultantes no tendrán un mayor poder predictivo. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 31 de 61

Caracterización de las facies Consiste en definir los parámetros litológicos, depositacionales y petrofísicos típicos de cada facie. Distribución de Facies usando un modelo estocástico La modelación estocástica representa un enfoque particularmente adecuado para la descripción del yacimiento ya que permite la integración de una gran variedad de información cuantitativa (dura) y cualitativa (suave), y a la vez que nos brinda una medida de la incertidumbre del mismo. Esta se basa en: - Conocimiento geológico: Es sintetizada mediante las funciones de distribución de varias facies (curvas de proporción vertical y variogramas). El modelo depositacional del yacimiento nos provee de un medio adicional para inferir la longitud de correlación de las facies (rango o alcance del variograma) o las dimensiones promedio de las unidades. - Modelo estructural: Mientras que las características estructurales como las fallas regionales son definidas de manera determinística usando datos sísmicos, las características de las fallas locales y fracturas pueden ser simuladas con modelos estocásticos. Los parámetros característicos de éstas (densidad y orientación) son obtenidos a nivel de núcleos y registros, y luego extrapolados a todo el yacimiento. - Modelo petrofísico: El modelo obtenido en la fase de interpretación cuantitativa de los registros se puede extender por modelación estocástica. Se hace mediante valores promedios funciones de distribución de probabilidad de las propiedades petrofísicas asociadas con cada facies. - Datos sísmicos: Dan información sobre la distribución lateral de los cuerpos geológicos. Son usados (imágenes en tiempo, amplitud o impedancia) para el cálculo de las funciones de distribución espacial de las facies. Se integran en el proceso de simulación de propiedades petrofísicas. - Datos dinámicos: La integración de datos dinámicos (pruebas de pozos y datos de producción) mediante las técnicas estocásticas de simulación representa un reto importante, ya que ofrecen información a gran escala y relativa al flujo esencial para la construcción de modelos de yacimientos confiables. Modelos de simulación estocástica para la caracterización de yacimientos Actualmente los métodos más usados son de dos tipos: 1. Basados en Celdas (o continuos) - Se considera a la variable a ser simulada como una realización de una función aleatoria continua cuya distribución (usualmente Gaussiana) es caracterizada con diferentes umbrales (valores de corte) los cuales identifican diferentes facies o diferentes rangos de propiedades petrofísicas. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 32 de 61

2. Basados en Objetos (o booleanos) - Generan distribuciones espaciales de cuerpos sedimentarios obtenidos mediante la superposición de geometrías simplificadas como: láminas, discos o sinusoides. - Los parámetros de los objetos (orientación, sinuosidad, longitud, ancho, etc) pueden estimarse en base al modelo sedimentológico, los datos sísmicos, análogos de superficie y las interpretaciones de las pruebas de pozos. Evaluación de la Incertidumbre Geológica Al menos existen cuatro grandes fuentes de incertidumbre en un modelo geológico típico: - Calidad de los datos e interpolación - Modelo estructural y modelo estratigráfico - Modelo estocástico y sus parámetros - Realizaciones igualmente probables Heterogeneidad del Yacimiento Son características geológicas que van de pequeña a gran escala y que pueden no ser significativas desde el punto de vista estrictamente estático en la caracterización pero que tienen un impacto significativo en el flujo de los fluidos. La relación entre la heterogeneidad del yacimiento y los parámetros dinámicos del campo es uno de los puntos claves de un estudio integral ya que esto determina el grado de detalle y la precisión que puede ser alcanzado en la descripción geológica. A2. Modelado de propiedades petrofísicas. Los valores de las propiedades petrofísicas se asignan dentro de una facie de forma que reproduzcan las características estadísticas representativas (histograma, variograma, correlación con otra variable) de la propiedad para dicha facie mediante simulaciones geoestadísticas. Las propiedades petrofísicas como porosidad y permeabilidad son modeladas dentro de cada facies y capa del yacimiento. Las propiedades petrofísicas dentro de la mayoría de las facies deben ser asignadas de manera que reproduzcan el histograma, el variograma y la correlación con respecto a variables secundarias. La porosidad es la concentración volumétrica de espacios de poros. Su variabilidad a diferentes escalas se comporta en general de manera lineal. Mientras que la permeabilidad no es una propiedad intrínseca de la roca. Depende de las condiciones de frontera fuera del volumen de la medición. Puede variar en varios órdenes de magnitud a diferentes escalas. Para su modelación: MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 33 de 61

a) Los datos deben ser corregidos a las condiciones de fluido y presión del yacimiento. b) La anisotropía horizontal respecto a la vertical es un factor importante, por lo que los componentes direccionales principales de la permeabilidad son modelados o se modela de manera global y luego se aplica la relación de anisotropía vertical-horizontal obtenida en base a las facies. La porosidad y permeabilidad se modelan dentro de cada facies y unidad del yacimiento. Las capas del yacimiento son distintas debido a su deposición en diferentes épocas. Las propiedades del yacimiento dentro de la misma facies en diferentes capas pueden tener características similares. Sin embargo, deben ser modeladas separadamente debido a que pertenecen a sistemas de coordenadas estratigráficos diferentes. Mientras que las propiedades dentro de diferentes facies en una misma capa son significativamente diferentes y no están relacionadas. Las propiedades dentro de diferentes facies pueden ser modeladas de manera independiente cuando las facies no están relacionadas. Las propiedades en diferentes facies pueden estar relacionadas unas con otras, es decir, existe una correlación en las propiedades petrofísicas a través de la frontera de las facies. Existen varios enfoques: a) Ignorar la correlación y modelar las propiedades de manera independiente en las diferentes facies. b) Considerar una forma de Cokriging con las propiedades en diferentes facies como variables secundarias. c) Crear los modelos secuencialmente, es decir, construir el modelo de porosidad y permeabilidad en una facies y luego usar el resultado para la modelación de las otras facies. En muchos casos existen datos secundarios que pueden ser considerados: o la impedancia sísmica está correlacionada negativamente con la porosidad, o la permeabilidad está correlacionada con la porosidad o la saturación de agua está correlacionada con la permeabilidad o la sísmica o la inversión de datos de producción nos ofrecen una fuente externa de información. Típicamente la modelación se realiza de manera secuencial. Usualmente se procede: 1. Primero se modela la porosidad usando la sísmica como variable secundaria. 2. Luego se modela la permeabilidad usando la porosidad como variable secundaria. Una sola realización de porosidad y permeabilidad debe ser considerada por cada realización de facies. La geometría de las facies es usualmente mucho más importe para el flujo, por lo que no es necesario generar demasiadas realizaciones de porosidad y permeabilidad. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 34 de 61

B. CÓPULAS. En los años 50 s surgieron los primeros trabajos de la relación entre una función de distribución multivariada y sus marginales dimensionales mas bajos (uní variado o de mayores dimensiones). La respuesta a este problema para el caso de marginales uní variados fue dado por A. Sklar en 1959 creando una nueva clase de funciones a las que llamo cópulas. Estas nuevas funciones son restricciones a [0,1] 2 de funciones de distribución bivariadas cuyos marginales son uniformes en [0,1]. Sklar mostró que si H es una función de distribución bivariada con marginales F(x) y G(y), entonces existe una cópula C tal que H(x,y) = C(F(x),G(y)), figura B1 y B2. El concepto de cópula juega un papel importante en la probabilidad y estadística, particularmente en problemas relacionados a la dependencia, dados marginales y funciones de variables aleatorias que son invariantes bajo transformaciones monótonas. Una cópula es una función la cual une o junta una función de distribución multivariada (d.f) a su función de distribución marginal uno dimensional (Nelson, 1998), la cual satisface: Para cada u,v en [0,1], C(u,0) = 0 = C(0,v), y C(u,1) = u y C(1,v) = v; de esta forma los marginales son uniformes. Para cada u 1, u 2, v 1, v 2 en [0,1] tales que u 1 <=u 2 y v 1 <=v 2, C(u 2,v 2 ) C(u 2,v 1 ) C(u 1,v 2 ) + C(u 1,v 1 ) >=0 para todo u 1 <=u 2, v 1 <=v 2 Las copulas se pueden definir informalmente de la siguiente manera: Sean X y Y variables aleatorias continuas con funciones de distribución marginales F(x) = P(X x) y G(y) = P(Y y) y la función de distribución conjunta H(x,y) = P(X x, Y y). Entonces existe una cópula C tal que: H(x, y) = C(F(x),G(y))..B1 Para cada (x, y) en [0,1] 2 considerar el punto en [0,1] 3 con coordenadas (F(x),G(x), H(x,y)). Este mapeo de [0,1] 2 a [0,1] 3 es una cópula. Para toda x y y en Ķ. Si F y G son continuas, entonces C es única. De otra forma, la cópula es únicamente determinada en Ran(F)xRan(G). Por el contrario, si C es una cópula y F y G son funciones de distribución, entonces la función H definida por (1) es una función de distribución conjunta con marginales F y G. Así, las cópulas ligan las funciones de distribución conjuntas a su marginal uno-dimensional. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 35 de 61

Fig. B1. Estructura de una cópula. M. Armstrong, 2002. B2. Ilustración de una cópula. M. Armstrong, 2002. MODELACÍON ESTOCÁSTICA DE LA PERMEABILIDAD UTILIZANDO T-CÓPULAS Página 36 de 61