25 al 27 DE SEPTIEMBRE, 213 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO ANÁLISIS COMPARATIVO DE ESTRUCTURAS: MÉTODO DE ANALÍTICO Y EXPERIMENTAL. 1 Paz González Juan Antonio, 1 Abúndez Pliego Arturo, 1 Navarro Torres José, 1 Gómez Roa Antonio. 1 Centro de Ingeniería y Tecnología Valle de las Palmas, Universidad Autónoma de Baja California. Blvd. Universitario # 1 Unidad Valle de las Palmas. Tijuana, Baja California. C.P. 215. Tel +52 664961533. pazj@uabc.edu.mx, arturo.abundez@uabc.edu.mx, jnavarro85@uabc.edu.mx, gomez_roa@uabc.edu.mx. RESUMEN. En este trabajo se presenta la comparación de resultados del análisis de estructuras por los métodos de rigidez y experimental. Se comparan resultados de fuerzas, deformaciones y desplazamientos en una estructura de acero, de 7 barras, la cual se encuentra instrumentada con rosetas de deformación, indicador digital y un tornillo de potencia para la aplicación de la carga. La comparación de los resultados obtenidos en ambos métodos demuestra que las pruebas experimentales validan los valores obtenidos analíticamente por el método de la rigidez. ABSTRACT. A comparison of the results from two different methods of analysis is presented in this work: stiffness method versus experimental method. The results compared are forces, strains and displacements on a 7-bar steel structure, which is instrumented with strain gauges, digital displacement gauges and a load cell. Comparison between analytical and test results shows that experimental test validate those values obtained from stiffness method.. INTRODUCCIÓN estructural. Los métodos de análisis estructural estándares son inapropiados para reproducirlos, con los grados necesarios de complejidad, en tal idealización estructural [1]. Un problema estructural puede formularse de dos diferentes maneras, las cuales se conocen como el método de rigidez (o desplazamiento) y el método de flexibilidad (o fuerza), en el lenguaje del método matricial. El método de rigidez es el más utilizado a causa de su fácil sistematización y versatilidad, convenientemente el método de rigidez es una adaptación ideal para la solución numérica computacional por esta razón concentraremos nuestro análisis en este método [1-3]. DESARROLLO La estructura modelo considerada se muestra en la figura 1, y consta de 7 elementos fabricados de acero con una sección transversal circular de diámetro de 6mm y un Módulo de Elasticidad de 21 GPa. La configuración de barras se diseñó para soportar una carga W localizada en el nodo 5. En la estructura experimental existe un elemento extra identificado con el número 6, el cual corresponde a un elemento redundante en la estructura, que puede ser omitido durante el análisis. Actualmente las estructuras de aeronaves, vehículos y edificios consisten de numerosos componentes. Estos componentes usualmente son continuos y por lo tanto teóricamente poseen un número infinito de grados de libertad. El análisis de los componentes solo puede ser posible si la estructura actual es reemplazada por una idealización aproximada del modelo. En la fase de diseño de aeronaves el peso estructural es un parámetro importante, por lo cual el conocimiento de las cargas y los esfuerzos en los elementos se deben calcular con la mayor exactitud posible. La cual solo puede ser posible si se alcanza una idealización igura. 1. Condiciones de frontera de la estructura. Como se puede observar en la figura 1, en el nodo 1 solo existe desplazamiento con respecto ISBN 978-67-9539-9- Página 24 Derechos Reservados 213, SOMIM
25 al 27 DE SEPTIEMBRE, 213 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO al eje Y, y en el nodo 2 no existen desplazamiento. Entonces, si se referencia a un sistema de coordenadas globales podemos determinar qué: u 1 = (1) u2 = v2 = (2) La fuerza externa se aplica en el nodo 5 de tal manera que x,5 =, y,5 = W, las fuerzas en el nodo 1 y 2 son las fuerzas de reacción. El primer paso en la solución es el ensamble de la matriz de rigidez global para la estructura completa, esta podrá escribirse bajo la matriz de rigidez de cada elemento haciendo referencia a los ejes globales. La dirección del coseno director λ y seno director μ toma diferentes valores para cada miembro [2]. En la tabla 1 se muestran los valores de los senos y cosenos directores para cada elemento de la estructura. Tabla 1. Valores de los senos y cosenos directores correspondiente a la dirección de los elementos de la estructura. Elemento Nodo θ, λ = cosθ μ = senθ 5 1-2 9 1 4 1-4 1 1 2-3 1 8 4-2 13 -.77.77 2 4-3 9 1 3 4-5 1 7 5-3 135 -.77.77 Por lo tanto, la matriz de rigidez para los elementos 1, 3 y 4 es: 1 1 AE k = k = k = 1 4 2 3 4 L 1 1 (3a) para los elementos 2 y 5: AE 1 1 k = k = (3b) 1 2 4 3 L 1 1 para los elementos 7 y 8:.5.5.5.5 AE.5.5.5.5 (3c) k = k = 4 2 5 3 2L.5.5.5.5.5.5.5.5 Donde A y L son el área de la sección transversal y la longitud de las barras, respectivamente. Las matrices de rigidez de cada elemento se acoplan en una matriz de rigidez global, la cual se muestra en la ecuación 4: 1 1 1 1 1.354.354 1.354.354 1.354 1.354.354.354 AE 1 1.354.354.354.354 K = L.354 1.354 1.354.354 1.354.354 2.354.354 1.354.354 1.354 1.354.354.354 1 1.354.354.354.354.354.354 (4) Considerando las condiciones de frontera de las ecuaciones 1 y 2, se pueden eliminar las filas y columnas que corresponden a estos desplazamientos, y la matriz resultante se muestra en la ecuación 5: 1 1.354.354.354.354.354 1.354 1.354.354 AE K = 2.354.354 1 L 1.354 1.354.354.354 1 1.354.354.354.354.354.354 (5) Al ensamblar los resultados en la Ley de Hooke, resulta la ecuación 6: Y,1 1 v1 X,3 1.354.354.354.354 u 3 Y,3.354 1.354 1.354.354 AE v3 X,4 = 2.354.354 1 L u 4 Y,4 1.354 1.354 v 4 X,5.354.354 1 1.354.354 u 5 Y,5.354.354.354.354 v 5 (6) Al resolver el sistema para una carga de W = y,5 = 2N se obtienen los desplazamientos en los nodos, los cuales se muestran en la ecuación 7: v 1 6 u 3 8.84e v 3 4.712e u4 = 1.617e v 4 3.93e u5 2.425e 4 v 5 1.23e, m. (7) Se obtienen también las reacciones en los apoyos, lo cuales se muestran en la ecuación 8: ISBN 978-67-9539-9- Página 25 Derechos Reservados 213, SOMIM
25 al 27 DE SEPTIEMBRE, 213 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO X,1 4 Y,1 X,2 4 2, N. (8) Y,2 X,3 = Y,3 X,4 Y,4 X,5 Y,5 2 Para determinar las fuerzas internas en cada elemento de la estructura se toma la matriz de rigidez del elemento y se sustituyendo los valores de los desplazamientos como se muestra a continuación, para el elemento 1. 1 1 X,2 u2 v Y,2 AE 2 = 1 1 u X,3 L 3 v Y,3 3 Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtiene: 2 X,2 Y,2 =, N. 2 X,3 Y,3 Se utiliza el mismo procedimiento para determinar las fuerzas internas en todos los elementos, los resultados se muestran a continuación en la tabla 2: Tabla 2. Valores de fuerzas internas en los elementos. Elemento uerza, N 1 2 2-2 3-2 4-4 5 7 282.84 8 282.84 En la figura 2 se muestra el diagrama de cuerpo libre y las fuerzas internas de cada elemento, en la cual se aprecia que los elementos 1, 7 y 8 se encuentran sometidos a cargas axiales de tensión, mientras que los elementos 2, 3 y 4 se encuentra a cargas axiales de compresión, el elemento 5 no está sometido a ningún tipo de carga. (9) (1) igura 2.Diagrama de cuerpo libre que se forma al aplicarle una carga de -2 N a la estructura en el nodo 5. El esfuerzo y la deformación en las barras se determinan por medio de las definiciones elementales [4, 5]: σ = (11) A σ ε = (12) E La Tabla 3 muestra un resumen de esfuerzos y deformaciones de cada uno de los elementos de la estructura. Tabla 3 Esfuerzos y deformación de cada elemento estructural. Elemento σ (MPa) ε 1 7.74 3.369x1 2 7.74 3.369x1 3 7.74 3.369x1 4 14.147 6.737x1 5 7 1. 4.764x1 8 1. 4.764x1 Se puede observar que todos los valores de esfuerzos se encuentran por debajo del límite de resistencia del material. ANALISIS EXPERIMENTAL. La estructura se analizó en el banco experimental TecQuipment.STR17. La estructura cuenta con dos elementos especiales. Un elemento puede ser desconectado mediante una tuerca especial. Este es el elemento redundante; que puede ser parte ISBN 978-67-9539-9- Página 26 Derechos Reservados 213, SOMIM
25 al 27 DE SEPTIEMBRE, 213 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO de la estructura pero no necesariamente, este elemento es utilizado para evitar colapsos en la estructura o favorecer el mecanismo estructural, como se muestra en la figura 3 [6]. 8 48.8 289.8 ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES Y TEÓRICOS Se realiza el comparativo de los resultados analíticos y experimentales de los elementos de la estructura. En la figura 4, se observan los resultados obtenidos por los dos métodos usados para obtener la deformación axial en los elementos en donde se grafica la deformación contra la carga y se aprecia que el elemento 1 se encuentra bajo una carga de tensión. 2 Elemento 1 igura 3. Configuración del banco experimental. La estructura es montada en dos soportes, un soporte está unido mediante un pasador que permite movimiento angular, el otro es un soporte simplemente apoyado que permite desplazamiento, estos representan soportes idealizados. La aplicación de la carga se lleva a cabo mediante un tornillo de potencia que se ubica en la en la parte inferior del lado derecho de la figura 3 con valor máximo de 5 N, cuenta con un indicador de carátula digital que indica el desplazamiento. Este banco cuenta con el software estructural versión 1.4 en el cual se llevan a cabo la recolección de datos de las rosetas de deformación, las cargas aplicadas y el desplazamiento en los miembros de la estructura. uerza [N] 15 1 5 1e-5 2e-5 3e-5 4e-5 igura 4. Gráfica de deformación vs carga del elemento 1, En las figuras 5, 6 y 7, se observa que los elementos 2, 3 y 4 se encuentran sometidos a una carga de compresión. -5 Elemento 2 En la siguiente tabla se muestras los datos recolectados para una carga de -2N aplicada verticalmente en la estructura. uerza [N] -1 Tabla 3 Esfuerzos y deformación experimentales de cada elemento estructural. Elemento Deformación experimental, με uerza experimental, N 1 29.5 175.3 2-32.3-191.6 3-32. -19.1 4-63.5-376.7 5 1.9 11.1 6 ------- ----- 7 47.4 281.2-15 -2-4e-5-3e-5-2e-5-1e-5 igura 5. Gráfica de deformación vs carga del elemento 2, sometido a compresión. ISBN 978-67-9539-9- Página 27 Derechos Reservados 213, SOMIM
25 al 27 DE SEPTIEMBRE, 213 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO Elemento 3 3 Elemento 7 25-5 2 uerza [N] -1-15 uerza [N] 15 1 Analítica 5-2 -4e-5-3e-5-2e-5-1e-5 igura 6. Gráfica de deformación vs carga del elemento 3 sometido a compresión. Elemento 4 1e-5 2e-5 3e-5 4e-5 5e-5 6e-5 igura 9. Gráfica de deformación vs carga del elemento 7, 35 Elemento 8-1 3 uerza [N] -2-3 uerza [N] 25 2 15 1-4 -8e-5-6e-5-4e-5-2e-5 igura 7. Gráfica de deformación vs carga del elemento 4, a compresión. En la figura 8, se observa que el elemento 5 se encuentra sometido a una carga de tensión en forma experimental, que se contrapone al método analítico el cual nos dice que el elemento no se encuentra sometido a ningún tipo de carga. uerza [N] 25 2 15 1 5 Elemento 5 1e-6 2e-6 3e-6 4e-6 igura. 8. Gráfica de deformación vs carga del elemento 5, En las figuras 9,1, se observa que los elementos 7 y 8 se encuentran sometidos a de tensión. 5 1e-5 2e-5 3e-5 4e-5 5e-5 6e-5 igura 1. Gráfica de deformación vs carga del elemento 8,. CONCLUSIONES. En este trabajo se presenta la evaluación comparativa de una estructura determinada con un elemento redundante, por un método analítico en rigideces y un experimental basado en la medición de reacciones, desplazamientos y deformaciones en los elementos, dentro de los límites elásticos. Con base en los resultados, se puede establecer que el modelo analítico utilizado se valida y se puede calibrar al compararse con los resultados de las pruebas experimentales, y puede ser utilizado en arreglos estructurales más complejos. Aun cuando el equipo utilizado durante las pruebas del presente artículo se utilice como un banco experimental para análisis de estructuras, se demuestra que la combinación de un método experimental con uno analítico clásico puede ISBN 978-67-9539-9- Página 28 Derechos Reservados 213, SOMIM
25 al 27 DE SEPTIEMBRE, 213 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO llevar a la posibilidad de realizar análisis más complejos, incluso agregar análisis fotoelásticos para enfocarlo a la optimación de estructuras en base a la relación cantidad de material/esfuerzo, en donde se puedan predecir y localizar las regiones de la estructura que deban ser reforzadas o material que puede retirarse sin afectar el estado tensional de la estructura. Incluso se puede aplicar el método para analizar estructuras de materiales no lineales, como el caso de compuestos, con los cuales se pueden lograr estructuras aligeradas a causa de su alta relación resistencia/peso y su gran resistencia a la fatiga y al daño. REERENCIAS. (1) T.H.G. Megson, An Introduction to Aircraft Structural Analysis,Elsevier Butterworth Heinemann, 4ta. Ed., 21. (2) T.H.G. Megson, Structural and Stress Analysis, Elsevier Butterworth Heinemann, 2da Ed. 25 (3) T.R. Chandrupatla y A.D. Belegundu, Introduction To inite Elements in Engineering, Prentice Hall, 3ra Ed., 22. (4) R. C. Hibbeler, Mecánica de Materiales, Pearson, 6ta. Ed., 26. (5) Beer erdinand, Mecánica de Materiales, McGraw-Hill, 5ta Ed., 21. ISBN 978-67-9539-9- Página 29 Derechos Reservados 213, SOMIM