UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI-NORTE SEDE ESTELI Carrera: Ingeniería de Sistemas Nombre de la asignatura: Investigación de Operaciones I Año académico: Tercer año Semestre: Sexto - Contenido I- Modelos de Transporte. Autor: Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro. e-mail: efonsecalfaro@gmail.com http://www.tchefonsecalfaro.wordpress.com
Contenido Introducción... 3 El problema de Transporte... 4 El Método de la Esquina Noroeste... 6 Método de Vogel... 8
Introducción El Problema de Transporte corresponde a un tipo particular de un problema de programación lineal. Este tipo de problemas se fundamenta en la necesidad que existe en los procesos de comercialización de bienes o servicios, y es aquí en donde el coste transporte juega un papel muy importante ya que afecta los márgenes de utilidad final que obtiene una empresa producto de sus ventas. Frecuentemente las empresas constructoras se enfrentan ante el desafío de reducir los costos operativos sin afectar la calidad de sus proyectos, y entre sus estrategias está en identificar los mecanismos de traslado de materiales de construcción (cemento, arena, piedrín, etc.), de tal manera que los costos sean mínimos. Otro caso que se puede analizar es el de transnacionales como la Coca Cola, quien después de producir grandes cantidades de bebidas, tiene que distribuirlas por todo el territorio Nicaragüense para su posterior venta, siendo este un caso de estudio muy claro en el que se necesita reducir al máximo los costos de transporte ya que este afecta directamente las utilidades de la compañía, pues es quien asume dicho costo de distribución y mientras más pague en concepto de transporte menor será la cantidad de dinero percibida en concepto de utilidades. La planificación en una empresa o institución, con sus metas y objetivos, se resume a un problema estratégico. La aplicación de la Investigación de Operaciones a estos tipos de problemas, y la frecuente recurrencia de los mismos, ha permitido identificar tipos de problemas que se agrupan según los modelos y procedimientos (técnicas) similares para su resolución. Entre estos problemas encontramos: asignación de recursos escasos, ordenamiento, secuenciación y coordinación de tareas, líneas de espera, mantenimiento y reemplazo de equipos, inventarios, costos y tiempos, gestión de proyectos. En esta unidad se abordará los problemas de transporte, transbordo y asignación, para su análisis y resolución mediante el Método de la Esquina Noroeste (Método de aproximación), Método de Vogel (método de la optimalidad), y el método Húngaro (en la solución de problemas de asignación de recursos escasos). Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro Página 3
El problema de Transporte Como se mencionó anteriormente el problema de transporte se fundamenta a partir de la necesidad de realizar envíos de bienes o artículos desde uno o varios centros de producción que llamaremos Origen, hasta uno o varios centros de consumo al que llameros destino. Tomando en consideración que los artículos se pueden enviar a través de la red vial, la empresa puede tomar varias alternativas o rutas para hacer llegar dichos artículos a su destino final, de aquí que cada ruta puede generar diferentes márgenes de utilidad dada la relación que existe entre el costo de envío y la cantidad de artículos distribuidos, o bien el cálculo del costo total de transporte en relación de la cantidad de millas o kilómetros recorridos en dicha ruta. De lo anterior se puede afirmar que es posible modelar y representar un problema de transporte como un flujo de red en las que se pueden conectar cada centro de distribución con cada centro de consumo mediante arcos o aristas en las que se reflejen ya sea el costo de envío o un margen de utilidad obtenida, y las cantidades disponibles por cada centro de distribución (oferta), y las cantidades requeridas por cada centro de consumo (demanda). La solución a este tipo de problema consiste en determinar las cantidades a enviar desde un centro de distribución hasta un centro de consumo con el fin maximizar utilidades, o minimizar costos o distancia recorridas. En la formulación de un problema de transporte Los cuatro elementos principales a considerar son: 1. Datos m: número de orígenes n: número de destinos u i : la cantidad que debe enviarse desde el destino i v j : la cantidad que debe ser recibida en el destino j c ij : El costo de enviar una unidad desde el origen i al destino j CT: Costo total de envío 2. Variables X ij : La cantidad que se envía desde el destino i, hasta el destino j. Se supone que las variables deben ser no negativas. X ij 0; i = 1,..., m; j = 1,..., n Esto implica que la dirección de envío del producto está prefijada desde los distintos orígenes hasta los destinos. No obstante, otras hipótesis podrían tenerse en cuenta. Por ejemplo, podría no limitarse el signo de las variables X ij R, si no se quiere predeterminar cuáles son los puntos de partida y llegada. Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro Página 4
3. Restricciones Las restricciones del problema son: Dadas para la capacidad de envío de cada centro de producción (oferta), y las cantidades requeridas en cada centro de consumo (demanda) 4. Definición del objetivo del problema En el problema del transporte nos interesa normalmente minimizar los costes de envío (suma de los costes de envío por unidad de producto multiplicado por las cantidades enviadas); es decir, se debe minimizar no obstante también se encontrarán problemas en los que el objetivo en obtener al mas amplio margen de ganancias posibles, en este caso se debe maximizar. En esta sección se presenta y se describe el problema del transporte. Imagínese que un cierto producto debe enviarse en determinadas cantidades u 1,..., u m, desde cada uno de m orígenes, y recibirse en cantidades v 1,..., v n, en cada uno de n destinos. El problema consiste en determinar las cantidades x ij, que deben enviarse desde el origen i al destino j, para conseguir minimizar el coste del envío. A continuación se detalla algunos métodos de planteamiento y solución para este tipo de problema. Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro Página 5
El Método de la Esquina Noroeste El método de la esquina noroeste es considerado generalmente por ser el método más fácil al determinar una solución básica factible inicial (SBFI), sin embargo es el menos probable para dar una buena solución inicial de bajo costo porque no toma en cuenta la magnitud relativa de los costos cij. El procedimiento de resolución para éste método esta dado por los siguientes 3 pasos: Paso 1.- Seleccionar la celda de la esquina noroeste (esquina superior izquierda) para un envío. Paso 2.- Realice el envío tan grande como sea posible en la celda de la esquina noroeste. Esta operación agotará completamente la disponibilidad de suministros en un origen a los requerimientos de demanda en un destino. Así entonces el primer envío se realiza a la casilla X 11 (esquina noroeste) si el envío no agota la oferta entonces el siguiente envío se realiza a la celda X 12. Paso 3.- Corrija los números del suministro y requerimientos (actualice) para reflejar lo que va quedando de suministro y requerimiento y regrese al paso 1. Ejemplo 1. Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de [kwh] respectivamente (oferta). El valor máximo de consumo ocurre a las 2 PM y es de 45, 20, 30 y 30 millones de [kwh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente (demanda). El costo en dólares de enviar 1 [kwh] depende de la distancia que deba recorrer la energía. La siguiente tabla muestra los costos de envío unitario desde cada planta a cada ciudad. Matriz de costos Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta Planta 1 8 6 10 9 35 Planta 2 9 12 13 7 50 Planta 3 14 9 16 5 40 Demanda 45 20 30 30 Siguiendo los pasos del método de la esquina noroeste, el primer envío se hace asignando la cantidad máxima posible en la celda ubicada en la fila 1, columna 1 (celda X 11 ) sin considerar el costo de la misma. Se actualizan los datos de oferta y demanda de la planta y la ciudad que se involucran en este envío, recuerde que la asignación en la celda X 11, significa un envío desde la planta 1 a la ciudad 1, por tanto si la planta 1 puede suministrar 35 [KWh] y la ciudad 1 requiere 45 [KWh], la planta 1 se actualiza su oferta a 0 (ya no puede hacer mas envíos), y la demanda de la ciudad 1 se actualiza efectuando la siguiente operación: 45 [KWh demanda original ] 35 [KWh enviados desde la planta 1] = 10 [KWh insatisfecho]. Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro Página 6
Dado que la planta 1 ya no puede realizar más envíos, se tacha el resto de la fila correspondiente a la fila 1. En el caso de la ciudad 1 necesita 10 [KWh] mas, se hace la siguiente asignación de la planta 2 a la ciudad 1 (celda X 21 ) hasta satisfacer la demanda de la ciudad 1, y se actualizan nuevamente los datos de suministro (oferta) y requerimientos (demanda). Demanda ciudad 1 = 0 (demanda satisfecha), oferta de planta 2 se actualiza: 50 [KWh oferta inicial] 10 [KWh enviados a la ciudad 1] = 40 [KWh disponibles]. Dado que la demanda de la ciudad 1 ha quedado satisfecha, se tacha el resto de la columna correspondiente a la ciudad 1. La siguiente asignación se realiza desde la planta 2 a la ciudad 2 (celda X 22 ), se actualizan nuevamente datos de suministro de planta 2 = 20 [KWh disponibles] y requerimientos de la ciudad 2 = 0 [KWh] (demanda satisfecha). La siguiente asignación se realiza desde la planta 2 a la ciudad 3 (celda X 23 ), se actualizan nuevamente datos de suministro de planta 2 = 0 [KWh disponibles] y requerimientos de la ciudad 3 = 10 [KWh] (demanda insatisfecha). La siguiente asignación se realiza desde la planta 3 a la ciudad 3 (celda X 33 ), se actualizan nuevamente datos de suministro de planta 3 = 30 [KWh disponibles] y requerimientos de la ciudad 3 = 0 [KWh] (demanda satisfecha). Por último la siguiente asignación se realiza desde la planta 3 a la ciudad 4 (celda X 34 ), se actualizan nuevamente datos de suministro de planta 3 = 0 [KWh disponibles] y requerimientos de la ciudad 4 = 0 [KWh] (demanda satisfecha). Al final la tabla de asignación por medio del método de la esquina noroeste queda planteada de la siguiente manera: Solución Básica Factible Inicial (SBFI) Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta Planta 1 35 --- --- --- 35 Planta 2 10 20 20 --- 50 Planta 3 --- --- 10 30 40 Demanda 45 20 30 30 El costo de trasporte total (CT), se calcula mediante: Es decir la sumatoria de los costos de envío en C ij por las asignaciones en Xij. Por lo tanto el costo de transporte para este problema es: $ 1180.00 Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro Página 7
Método de Vogel Este método permite determinar la solución óptima para un problema de transporte a partir de una Solución Básica Factible Inicial (SBFI), que puede ser producto de la aplicación del método de la esquina noroeste, y reasigna las cantidades de envíos X ij desde los orígenes hacia los destinos en función de los costos C ij. Para encontrar la solución de un problema de transporte a través de vogel, es necesario construir la matriz de costos que contenga una SBFI con n + m 1 asignaciones; a partir de ésta, con las cantidades asignadas X ij y los costos C ij asociados al problema, se calcula los valores de U i, y V j con quienes se determinarán las nuevas asignaciones óptimas a partir del calculo de los coeficientes h ij, donde: h ij = C ij (U i + V j ) De manera general la matriz de costos tiene el siguiente formato: Para cada fila y columna se calcula el coeficiente h ij que determina la celda de menor costo de los casilleros sin marcar. Calculado el coeficiente, se selecciona la celda con el coeficiente h ij de menor valor (coeficiente más negativo), en donde se le asigna la máxima cantidad factible a su casillero. Luego, se equilibran las cantidades asignadas por fila y por columna y se verifican que los datos de suministro y requerimientos coinciden con las nuevas asignaciones en X ij. Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro Página 8
Retomando la SBFI planteado en ejemplo 1 del método de la esquina noroeste tenemos: Paso 1: Encontrar una SBFI con (n + m) 1 asignaciones Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta Planta 1 35 --- --- --- 35 Planta 2 10 20 20 --- 50 Planta 3 --- --- 10 30 40 Demanda 45 20 30 30 Paso 2: Se determinan los valores de los U i y de los V j. Se plantean n + m 1 ecuaciones con n + m incógnitas, por lo que a una de ellas se le hace valer cero arbitrariamente, y se resuelve el sistema. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta U i Planta 1 8 6 10 9 35 35 --- --- --- U 1 = Planta 2 9 12 13 7 50 10 20 20 --- U 2 = Planta 3 14 9 16 5 40 --- --- 10 30 U 3 = Demanda 45 20 30 30 CT = 1180.00 V j V 1 = V 2 = V 3 = V 4 = El planteamiento de las ecuaciones se da según las celdas que tienen una asignación, por lo tanto la celda X 11 (U 1 -> V 1 ) tiene una asignación de 35 [KWh] y el costo asociado para ese envío es de $ 8.00 entonces la ecuación se define como U 1 + V 1 = 8 de igual manera se determinan el resto de las ecuaciones quedando así el siguiente sistema: U 1 + V 1 = 8 U 2 + V 1 = 9 U 2 + V 2 = 12 U 2 + V 3 = 13 U 3 + V 3 = 16 U 3 + V 4 = 5 Por conveniencia se hace arbitrariamente a U 2 = 0 y obtenemos inmediatamente los siguientes valores: V 1 = 9 V 2 = 12 V 3 = 13 Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro Página 9
Sustituyendo los valores encontrados en las demás ecuaciones se encuentra el valor de las demás incógnitas quedando: U 1 = -1 U 3 = 3 V 4 = 2 Paso 3: Se calcula el valor de los coeficientes h ij = C ij (U i + V j ) en las celdas en las que no hay asignación. Se determinan los hij para ver la variable que entra. Para todos los xij se tiene que hij=cij-(ui+vj). Si xij es variable básica, entonces hij= 0 y cij=ui+vj h 12 = C 12 (U 1 + V 2 ) h 12 = 6 (-1 + 12) h 12 = -5 h 13 = C 13 (U 1 + V 3 ) h 13 = 10 (-1 + 13) h 12 = -2 h 14 = C 14 (U 1 + V 4 ) h 14 = 9 (-1 + 2) h 12 = 8 h 24 = C 24 (U 2 + V 4 ) h 24 = 7 (0 + 2) h 12 = 5 h 31 = C 31 (U 3 + V 1 ) h 31 = 14 (3 + 9) h 12 = 2 h 32 = C 32 (U 3 + V 2 ) h 32 = 9 (3 + 12) h 12 = -6 Una vez calculado los coeficientes h ij se ingresan a la matriz de costos los coeficientes negativos, en el caso de los positivos únicamente se representan con un signo + Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta U i Planta 1 8-5 6-2 10 + 9 35 35 --- --- --- Planta 2 9 12 13 + 7 50 10 20 20 --- Planta 3 + 14-6 9 16 5 40 --- --- 10 30 U1 = -1 U2 = 0 U3 = 3 Demanda 45 20 30 30 CT = 1180.00 V j V 1 = 9 V 2 = 12 V 3 = 13 V 4 = 2 Paso 4: Entra la variable con el hij más negativo. Si no existe ningún negativo, se llegó al óptimo. Con la variable entrante se forma un circuito. Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro Página 10
Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta U i Planta 1 8-5 6-2 10 + 9 35 35 --- --- --- Planta 2 9 12 13 + 7 50 10 20 (-Ѳ) 20 +Ѳ --- Planta 3 + 14-6 9 16 5 40 --- +Ѳ 10 (-Ѳ) 30 U1 = -1 U2 = 0 U3 = 3 Demanda 45 20 30 30 CT = 1180.00 V j V 1 = 9 V 2 = 12 V 3 = 13 V 4 = 2 Paso 5: Se determina la variable que sale, en este caso esta definida por la celda que tiene el símbolo Ѳ, del cual se toma el de menor valor. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta U i Planta 1 8-5 6-2 10 + 9 35 35 --- --- --- Planta 2 9 12 13 + 7 50 10 20 (-Ѳ) 20 +Ѳ --- Planta 3 + 14-6 9 16 5 40 --- +Ѳ 10 (-Ѳ) 30 U1 = -1 U2 = 0 U3 = 3 Demanda 45 20 30 30 CT = 1180.00 V j V 1 = 9 V 2 = 12 V 3 = 13 V 4 = 2 Paso 6: Se actualizan los valores y se calcula nuevamente el costo total Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta U i Planta 1 8-5 6-2 10 + 9 35 35 --- --- --- Planta 2 9 12 13 + 7 50 10 10 30 --- Planta 3 + 14-6 9 16 5 40 --- 10 --- 30 U1 = -1 U2 = 0 U3 = 3 Demanda 45 20 30 30 CT = 1120.00 V j V 1 = 9 V 2 = 12 V 3 = 13 V 4 = 2 Paso 7: Se repite desde el paso 2 hasta que no se encuentren mas h ij negativas. Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro Página 11