GRADOS EN INGENIERÍA CIVIL, DE TECNOLOGÍAS MINERAS Y DE RECURSOS ENERGÉTICOS MATEMÁTICAS I CURSO 2016 2017 Máximo Jiménez López Despacho: D-033 Correo electrónico: mjimenez@ujaen.es Página web: http://www4.ujaen.es/~mjimenez Datos del profesor Preparación de la asignatura La asignatura de Matemáticas I consta de 6 créditos de los que 4.5 corresponde a la parte de teoría y problemas y 1.5 a las prácticas con el ordenador. Para la realización de las prácticas utilizaremos el programa de cálculo simbólico Mathematica en su versión 6 o posterior. A fin de superar con éxito la presente materia estimamos conveniente que se tengan en cuenta las siguientes consideraciones: Las prácticas realizadas con el ordenador están íntimamente ligadas con los conceptos teóricos de la asignatura. Por lo tanto, con independencia de que se utilicen órdenes propias del Mathematica, el estudio de las Guías de prácticas ha de considerarse como parte de la materia de teoría y problemas. Las Guías de prácticas se encontrarán disponibles en la Plataforma virtual conforme se vaya impartiendo la asignatura. En la plataforma virtual, conforme se vayan explicando los temas en las clases de teoría, aparecerán una serie de relaciones de ejercicios especialmente elegidos por sus aportaciones didácticas y en relación con lo que se ha explicado en clase. Estos ejercicios se encuentran totalmente resueltos en los libros que se indican en la misma relación. Las relaciones de ejercicios tiene entre otros objetivos que el alumno disponga de bibliografía suficiente que le permita un manejo ágil de los conceptos que se desarrollan en las clases de teoría y problemas. Esto no excluye que el alumno pueda y deba acudir al uso de otros manuales dentro de la abundante bibliografía que existe en relación con el temario de la asignatura.
El temario de Matemáticas I consiste esencialmente en una ampliación de los conceptos matemáticos estudiados a lo largo de los cursos de bachillerato. Así, si el alumno es consciente que tiene dificultades sobre determinadas áreas de las matemáticas estudiadas en el bachillerato, sería conveniente que acuda a las tutorías de la asignatura para intentar subsanar dichas lagunas lo antes posible. La Universidad de Jaén ha programado, en especial para aquellos alumnos que no han adquirido una buena base matemática a lo largo del bachillerato, un Curso de Nivelación en Matemáticas y otras materias. Estos cursos de nivelación son gratuitos y se impartirán antes del comienzo del curso. El objetivo fundamental de los cursos de nivelación es intentar que el alumno alcance el nivel necesario para que pueda afrontar con éxito las enseñanzas relacionadas con las materias que se les impartirán en sus respectivos grados. El horario del curso de nivelación de matemáticas es el siguiente: CONTENIDO DEL CURSO La asistencia a las clases de teoría y prácticas, así como acudir a las tutorías para resolver las dudas que pudieran surgir en la asignatura, es la mejor herramienta que tiene el alumno para superar con éxito la presente materia. No obstante, es posible que por diversas circunstancias el alumno se vea temporalmente imposibilitado a asistir a clase. Por este motivo, vamos a ampliar el contenido de la materia que se encuentra recogida en la Guía docente oficial de la asignatura, con la salvedad de que el siguiente desarrollo no tiene carácter oficial alguno y sólo sirve para mostrar los conceptos que se van a explicar a lo largo del presente curso. Matrices. Definición de matriz sobre el cuerpo de los reales. Tipos especiales de matrices. Submatrices. Operaciones con matrices. Aplicación de la teoría de matrices. Cadenas de Markov. Partición de una matriz en bloques. Operaciones de matrices por bloques. Transposición de matrices. Transformaciones elementales en una matriz. Determinantes. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades de los determinantes. Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Menores complementarios de una submatriz cuadrada. Regla de Laplace. Matriz Adjunta.
Matriz inversa. Cálculo práctico de la matriz inversa. Filas y columnas independientes de una matriz. Rango de una matriz. Cálculo efectivo del rango de una matriz. Sistemas lineales. Sistema de ecuaciones lineales. Equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales. Sistema de Cramer. Método práctico para la resolución de sistemas lineales. Sistemas lineales homogéneos. Espacios vectoriales. Conjunto de los vectores libres del plano y del espacio. Definición de espacio vectorial. Propiedades y ejemplos. Subespacio vectorial. Dependencia e independencia lineal de vectores. Independencia de vectores y rango de una matriz. Base de un subespacio vectorial. Dimensión de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector. Cambio de base en un espacio vectorial. Ecuaciones paramétricas e implícitas de los subespacios vectoriales. Completación de una base de un subespacio vectorial. Intersección y suma de espacios vectoriales. Espacio vectorial euclídeo. Producto escalar en un R-espacio vectorial. Norma en un espacio vectorial euclídeo. Ángulo de dos vectores en un espacio vectorial euclídeo. Sistema ortonormal en un espacio vectorial euclídeo. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt. Producto vectorial en el espacio tridimensional de los vectores libres. Propiedades del producto vectorial e interpretación geométrica. Producto mixto en el espacio tridimensional de los vectores libres. Propiedades del producto mixto e interpretación geométrica. Proyección entre dos vectores. Proyección de un vector sobre un plano. Concepto de orientación en el espacio vectorial de los vectores libres. Aplicaciones lineales. Definición de aplicación lineal. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales. Relación entre las matrices de una aplicación lineal en bases distintas. Composición de aplicaciones lineales. Núcleo e imagen de una aplicación lineal. Imagen inversa de un subespacio vectorial. Clasificación de las aplicaciones lineales. Diagonalización de matrices cuadradas reales. Valores característicos y vectores característicos de una matriz. Procedimiento para hallar los subespacios característicos. Multiplicidad algebraica y geométrica de los valores característicos. Diagonalización de matrices por semejanza. Aplicaciones. Matrices simétricas y diagonalización por congruencia. Procedimiento para obtener una matriz diagonal por congruencia.
Geometría afín. El plano afín. Espacio afín asociado a un espacio vectorial. Sistema de referencia y coordenadas de los puntos del plano afín. Cambio de sistema de referencia en el plano afín. Variedades afines. Ecuación de la recta en el plano de puntos afín. Haz de rectas en el plano afín. Ángulo de dos rectas en el plano afín. Distancia en el conjunto de puntos del plano afín. Distancia de un punto a una recta en el plano afín. Distancia entre dos rectas en el plano afín. Coordenadas polares en el plano afín. Espacio afín. Sistema de referencia y coordenadas de los puntos del espacio afín. El plano en el espacio afín. Haz de dos planos en el espacio afín. La recta en el espacio afín. Ángulo de dos rectas en el espacio afín. Ángulo de dos planos en el espacio afín. Ángulo de una recta con un plano en el espacio afín. Área del triángulo formado por tres puntos. Volumen de un tetraedro en el espacio afín. Distancia entre dos puntos en el espacio afín. Distancia de un punto a una recta en el espacio afín. Distancia de un punto a un plano en el espacio afín. Distancia entre dos rectas en el espacio afín. Cónicas en el plano afín. Lugares geométricos en el plano afín. Cónicas en el plano afín. Estudio de elipse, hipérbola y parábola en el plano afín. Invariantes métricos de las cónicas ante un cambio de sistema de referencia. Clasificación general de las cónicas. Intersección de una cónica con una recta. Tangente desde un punto a una cónica. Centro de una cónica. Diámetros de una cónica. Diámetros conjugados. Ejes de una cónica. Parámetro de la parábola. Asíntotas de una hipérbola. Cuádricas en el espacio afín. Cuádricas en el espacio afín. Breve estudio de las principales cuádricas. Cambio de sistema de referencia para obtener la ecuación reducida de una cónica no degenerada. Invariantes métricos. Clasificación de las cuádricas. Intersección de una recta con una cuádrica. Centro de una cuádrica.
Número reales. Funciones reales de variable real. Clasificación de los números. Números reales. Valor absoluto. Funciones reales de variable real. Estudio de las funciones elementales. Funciones inversas. Límite de una función en un punto. Estudio de las indeterminaciones. Regla de L Hôpital. Infinitésimos equivalentes. Continuidad. Tipos de discontinuidades. Teoremas fundamentales sobre aplicaciones continuas. Teorema de la conservación del signo. Teorema de los ceros de Bolzano. Teorema del valor intermedio. Teorema de Weierstrass. Sucesiones y series de números reales. Concepto de sucesión de números reales. Sucesión convergente. Algunas propiedades de las sucesiones. Series de números reales. Serie geométrica. Series de términos positivos. Criterios de convergencia para series de términos positivos. Series alternadas. Criterio de Leibniz. Series absolutamente convergentes. Derivabilidad de funciones reales. Derivada de una función. Derivadas de las funciones elementales. Función diferenciable. Diferencial de una función en un punto. Regla de la cadena. Invariancia de la diferencial de primer orden. Diferenciales de órdenes superiores. Diferenciales de órdenes superiores con variables intermedias. Teorema de Fermat. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Teorema del valor medio generalizado. Polinomio de Taylor. Extremos locales de una función real. Métodos de integración Primitiva de una función. Integrales inmediatas. Métodos de integración. Cambio de variable. Integración por partes. Integrales racionales. Integrales irracionales. Integrales trigonométricas. Integral definida. Concepto de la integral de Riemann. Existencia de la integral de Riemann y propiedades. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow. Cambio de variable en la integral de Riemann. Integrales impropias. Resolución numérica de ecuaciones.
Método de la Bisección. Método de la cuerda. Método de Newton-Raphson. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA - EXAMEN DE TEORÍA Y PROBLEMAS (85 %) Examen escrito que se realizará en la fecha fijada por la Universidad. En este examen se podrá exigir la materia contenida en las Guías de la parte práctica de la asignatura que estarán disponibles en la Plataforma. - REALIZACIÓN DE TRABAJOS, CASOS O EJERCICIOS (15 %) Al final de cada clase de ordenador el alumno enviará, a través de la Plataforma Virtual, la solución de los problemas propuestos al principio de la clase. - NOTA. Es posible que, por diversas circunstancias, un alumno no pueda asistir a las clases de prácticas. En este supuesto, y previo acuerdo con el profesor, el alumno podrá pedir que no se le puntúe la parte de realización de trabajos, casos o ejercicios, en cuyo caso, la parte del examen de teoría y problemas tendrá un peso del 100% en la nota final.