ESTRUCTURAS SIMETRICAS Las estructuras reales presentan con mucha frecuencia diseños que tienen la característica de ser simétricas con relación a algún plano, como por ejemplo las estructuras de muchos edificios o galpones de fábricas. También se presentan estructuras simétricas con relación a dos o más planos como es el caso de los tanques elevados de agua. Esta particularidad también se manifiesta en las cargas, como son las cargas producidas por el peso propio de las mismas estructuras. No obstante en general, las cargas no serán simétricas, pero veremos mas adelante que cualquier carga que actúa en una estructura simétrica siempre puede ser descompuesta en una carga simétrica más una antimétrica. En las estructuras planas el plano de simetría se transforma en eje de simetría que se genera por intersección del plano de la estructura con el plano de simetría. En adelante trataremos estructuras planas. Estas estructuras simétricas con cargas simétricas o antimétricas presentan relaciones particulares de simetría o antimetría en las solicitaciones internas (N, Q y M), en las deformaciones y en los desplazamientos, lo que nos permite anticipar sin cálculo algunos resultados en determinados lugares y simplificar la obtención del resto de los mismos. Las estructuras simétricas Una estructura es simétrica con respecto a un eje cuando se verifica simetría geométrica, física y de vinculación con relación a dicho eje. Existe simetría geométrica cuando las piezas estructurales están dispuestas simétricamente respecto a un eje y sus secciones transversales son iguales de manera que exista una imagen espejada de la media estructura ubicada a un lado del eje. La simetría física existe cuando estas secciones transversales dispuestas simétricamente tienen además las mismas propiedades mecano-elásticas (módulo de elasticidad longitudinal y transversal, coeficiente de dilatación térmica, etc.). Finalmente la simetría de vinculación se verifica cuando los vínculos, sean externos o internos, estén dispuestos simétricamente respecto del eje de simetría. 1 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Las cargas Todas las cargas que actúan sobre estructuras simétricas pueden ser descompuestas en la suma de una carga simétrica y una antimétrica. Estas cargas en realidad están formadas por dos, una a cada lado del eje que deberán cumplir determinadas condiciones. Un par de cargas serán simétricas respecto de un eje de simetría s-s si son entre sí imágenes especulares una de la otra, es decir que un observador situado en el eje s-s verá exactamente lo mismo a un lado y otro del eje de simetría. A su vez, dada una carga, su antimétrica se obtiene invirtiendo el sentido de su simétrica. Veamos las consecuencias de estas definiciones: Dos fuerzas simétricas estarán aplicadas en dos puntos simétricos de la estructura, serán concurrentes en un punto (propio o impropio) del eje de simetría y su resultante, que puede ser nula, estará ubicada sobre el mismo eje. Para fuerzas simétricas se cumple que sus componentes paralelos al eje de simetría tendrán el mismo sentido, en cambio las componentes perpendiculares deberán tener sentidos contrarios puesto que se dirigen al eje de simetría o se alejan del mismo. Dos fuerzas antimétricas estarán aplicadas en dos puntos simétricos de la estructura, serán concurrentes en un punto (propio o impropio) del eje de simetría y su resultante, que puede ser nula, será normal al mismo eje. Para fuerzas antimétricas se cumple que sus componentes paralelos al eje de simetría tendrán sentidos opuestos, y las componentes perpendiculares tendrán el mismo sentido. Esta definición muestra que en cargas arbitrarias, las cargas simétricas definen la componente paralela al eje y las cargas antimétricas la componente transversal. Dos momentos simétricos estarán aplicadas en dos puntos simétricos de la estructura, y tendrán sentidos opuestos. Dos momentos antimétricos estarán aplicadas en dos puntos simétricos de la estructura, y tendrán el mismo sentido. 2 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Descomposición de un sistema de cargas cualquiera en la suma de un sistema de carga simétrico y un sistema de cargas antimétrico Aplicando el principio de superposición podemos transformar un sistema de cargas cualquiera en la suma de un sistema de carga simétrico mas un sistema de cargas antimétrico. M M/2 M/2 M/2 M/2 P P/2 P/2 P/2 P/2 M/2 M/2 P/2 P/2 Cargas aplicadas en el eje de simetría Una fuerza P aplicada en el eje de simetría y coincidente con la dirección del mismo, es equivalente a dos cargas P/2 situadas a una distancia infinitesimal a cada lado del eje de simetría, lo que configura un estado de cargas simétrico. P P/2 P/2 Una fuerza P aplicada en el eje de simetría y perpendicular al mismo, es equivalente a dos cargas P/2 y mismo sentido situadas a una distancia infinitesimal a cada lado del eje de simetría, lo que configura un estado de cargas antimétrico. P P/2 P/2 3 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Un momento M aplicado en el eje de simetría es equivalente a dos momentos M/2 del mismo signo aplicados a una distancia infinitesimal a cada lado del eje de simetría lo que configura un estado de cargas antimétrico. M M/2 M/2 4 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Comportamiento estructural de las estructuras simétricas Vamos a estudiar el comportamiento de estructuras simétricas frente a sistemas de cargas simétricas y frente a sistemas de cargas antimétricas. (fig. 1). Cargas simétricas. Figura 1 Cargas antimétricas. Efectos estáticos y cinemáticos en estructuras simétricas En una estructura simétrica con cargas simétricas, todo el sistema es simétrico en todos sus aspectos y por lo tanto serán también simétricos los efectos estáticos (reacciones y solicitaciones internas) y cinemáticos (desplazamientos y deformaciones) de la estructura. Los efectos estáticos deben equilibrar las cargas exteriores simétricas, y por lo tanto las reacciones generadas por los vínculos externos o internos (N, Q, M) no puede escapar a la definición de las cargas simétricas. Si realizamos un corte en dos secciones ubicadas simétricamente sus fuerzas serán concurrentes en un punto del eje y su resultante también estará sobre el mismo. Los desplazamientos serán simétricos porque lo son las solicitaciones que los generan. La suma vectorial de estos desplazamientos simétricos, al igual que las fuerzas, da como resultado un vector paralelo al eje de simetría. Asimismo en una estructura simétrica con cargas antimétricas serán también antimétricos sus efectos estáticos que deberán equilibrar las cargas. Las reacciones y las solicitaciones internas (M,N,Q) deberán ser tales que la resultante de dos secciones ubicadas simétricamente será normal al eje de simetría. Los efectos cinemáticos (desplazamientos y deformaciones) deberán ser antimétricos porque las solicitaciones que los originan lo son. Aquí la suma vectorial de puntos simétricos da un vector normal al eje de simetría. 5 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Las solicitaciones internas (N, Q, M) Los diagramas de esfuerzos característicos, según sean las convenciones adoptadas para su dibujo, podrán mostrar también en su forma algunas de estas relaciones de simetría y antimetría. Veamos estas relaciones para barras horizontales o inclinadas: A B Cargas simétricas: Q En los puntos simétricos A y B tendremos momentos flectores y esfuerzos de corte simétricos. A A B B M Observesé que para que se cumpla la simetría en el caso del corte, es necesario que cambie de signo por lo que el diagrama de corte tendrá una forma antimétrica respecto al eje de simetría. Los diagramas de momento flector y esfuerzos axiles en cambio, tendrán forma simétrica. 6 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Cargas antimétricas: A A B B Q M De la misma manera, la condición de antimetría de las fuerzas cortantes, esfuerzos axiles y momentos flectores en A y B determinan diagramas de momentos y axiles con forma antimétrica y diagramas de corte con forma simétrica respecto al eje de simetría. A B Estas relaciones con la forma de los diagramas cambian en las barras verticales. Se deja para el alumno el análisis de las mismas. 7 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Valores de las solicitaciones internas N, Q, M y desplazamientos en secciones de la estructura sobre el eje de simetría Podemos anticipar también que algunas magnitudes deberán ser nulas en el eje de simetría para cargas simétricas y para cargas antimétricas: a) Cargas simétricas a.1) Respecto de las deformaciones: v 0 θ = 0 u = 0 La rotación y el desplazamiento horizontal de la sección perteneciente al eje de simetría s-s deberán valer cero, porque de tener un valor, no verificaría la condición de simetría. Si quisiéramos imponerle a las dos caras de la sección rotaciones y desplazamientos horizontales, no verificaría la condición de compatibilidad, porque a cada rotación y desplazamiento de un lado del eje debería tener su correspondiente al otro lado del mismo para que se cumpla la condición de simetría. Esto solo se cumpliría con una rotación y desplazamiento relativos en la dirección de la barra y que son nulos por una razón de continuidad, al no existir vínculos internos que permitan esos desplazamientos. 8 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
a.2) Respecto de las solicitaciones: Por la condición de equilibrio las solicitaciones internas en la sección coincidente con el eje de simetría deberán ser equilibradas, es decir, combinaciones de las siguientes: M Q N Podemos observar que M y N cumplen con la condición de simetría y Q no. Por lo tanto para que se cumplan simultáneamente las condiciones de simetría y equilibrio el esfuerzo de corte deberá ser nulo. b) Cargas antimétricas b.1) Respecto de las deformaciones. v = 0 θ 0 u 0 El desplazamiento vertical de la sección perteneciente al eje de simetría s-s deberá valer cero, porque de tener un valor, no verificaría la condición de antimetría cuyo desplazamiento siempre debe ser normal al eje. Si quisiéramos imponerle a las dos caras de la sección dos desplazamientos verticales que cumplan con la condición de antimetría, habría un desplazamiento 9 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
relativo perpendicular a la barra y no se cumpliría la condición de compatibilidad. El desplazamiento relativo perpendicular a la barra debe ser cero por una razón de continuidad, al no existir vínculo interno que permita ese desplazamiento. b.2) Respecto de las solicitaciones: Por la condición de equilibrio las solicitaciones internas en la sección coincidente con el eje de simetría deberán ser equilibradas, es decir, combinaciones de las siguientes: M Q N Podemos observar que Q cumple con la condición de antimetría y M y N no. Por lo tanto para que se cumplan simultáneamente las condiciones de antimetría y equilibrio el esfuerzo axil y el momento flector deberán ser nulos. Resumiendo: En la sección perteneciente al eje de simetría tendremos Cargas Simétricas Cargas antimétricas M N Q θ u v 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Partición de la estructura simétrica en dos media estructuras Vamos a utilizar nuestro conocimiento de que algunas magnitudes son cero en el eje de simetría para introducir algunas simplificaciones: a) Para cargas simétricas: Sabemos que en el eje de simetría el corte, el desplazamiento horizontal y el giro son nulos. Si una solicitación interna es cero, podemos eliminar el vínculo interno que la transmite. El comportamiento de la estructura (efectos estáticos y cinemáticos) no cambia. Podemos afirmar que la estructura ni se entera que hemos eliminado dicho vínculo. En este caso sabemos que el corte es nulo por lo tanto podemos eliminar el mecanismo de transferencia de corte con un aparato de corte. Si en un punto de la estructura un desplazamiento o giro es nulo, podemos colocar un vínculo externo que impida ese desplazamiento, y el comportamiento de la estructura no cambiará. Sabemos que ambas caras de la sección sobre el eje de simetría no giran y no se desplazan horizontalmente por lo que podemos agregar dos apoyos simples horizontales y dos impedimentos al giro que la estructura no modificará su comportamiento. Observesé que las fuerzas horizontales y los momentos que llegan al eje de simetría por efecto de las cargas exteriores serán tomados por los vínculos externos que hemos agregado y por lo tanto las dos bielas que cruzan el eje de simetría no trabajan. 11 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Por lo tanto podemos cortar las dos bielas, y hemos logrado dividir la estructura simétrica con cargas simétricas en dos media estructuras. Resolviendo una media estructura tendremos resuelta la estructura total, dado el conocimiento que tenemos de las relaciones de simetría que tienen los esfuerzos y las deformaciones. b) Para cargas antimétricas: Sabemos que en el eje de simetría el descenso vertical, el momento flector y el esfuerzo axil son nulos. Al no existir momento flector ni esfuerzo axil en el eje de simetría podemos eliminar los vínculos internos que transmiten esos esfuerzos y la estructura no modificará su comportamiento (solicitaciones internas y deformada). Pero además sabemos que ambas caras de la sección sobre el eje de simetría no se desplazan verticalmente por lo que podemos agregar dos apoyos simples verticales que la estructura no se enterará. Las fuerzas verticales que puedan llegar a la estructura por efecto de las cargas son tomadas por los apoyos simples, por lo que la biela no trabaja y la podemos eliminar. Hemos dividido la estructura en dos media estructuras. Resolviendo solamente una de ellas tendremos resuelta la estructura completa debido a nuestro conocimiento de las relaciones de antimetría que guardan los esfuerzos y las deformaciones respecto del eje de simetría. 12 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Barra coincidente con el eje de simetría Supongamos una barra b de una estructura simétrica coincidente con el eje de simetría. b A b Jb Para todos los puntos del eje de simetría valen las consideraciones cinemáticas realizadas anteriormente, o sea para cargas simétricas los desplazamientos normales al eje de simetría y los giros son nulos y por lo tanto los esfuerzos (M y Q) que originan estos desplazamientos son nulos. Para cargas antimétricas son nulos los desplazamientos paralelos al eje de simetrías y también debe serlo el esfuerzo axil N que lo origina. Cargas simétricas Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente para cargas aplicadas en el eje de simetría y la vinculación de la media estructura para cargas simétricas, podemos deducir que no tendremos M y Q en la barra coincidente con el eje de simetría. Sí tendremos un esfuerzo axil igual a la mitad del esfuerzo axil que tendrá en la estructura completa. Teniendo en cuenta que la elástica de la media estructura debe ser la real, es decir la de la estructura completa, debemos asignar a la barra coincidente con el eje de simetría la mitad de la sección real para que con la mitad del esfuerzo axil la deformación sea la misma que en la estructura completa. A * =Ab/2 J * =Jb/2 13 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Cargas antimétricas Teniendo en cuenta lo dicho para cargas aplicadas en el eje de simetría y la vinculación de la media estructura para cargas antimétricas, podemos deducir que no tendremos esfuerzo axil en la barra coincidente con el eje de simetría. Sí tendremos la mitad de M y Q de la estructura completa. Teniendo en cuenta que la elástica de la media estructura debe ser la real, es decir la de la estructura completa, debemos asignar a la barra coincidente con el eje de simetría la mitad del momento de inercia real. A * =Ab/2 J * =Jb/2 14 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm