RESOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS

Transcripción

1 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P. RSOLUIÓN STRUTURS SIMÉTRIS Se resolverá la siguiente estructura aplicando simetría IO J. RNUSHI yudante lumno átedra de structuras III y IV 5 T m 2 m 3 T/m Ts = 10 o Ti = 30 o 3 T/m 0.01m 3 m 5 T 2 m 3 m Propiedades de las barras Propiedades de los materiales ncho = 0.20 m hormigón = Tn/m 2 ltura = 0.40m acero (tensor)= Tn/m 2 φ tensor ()= 0.05 m λ = / o (ambos materiales) Vínculos externos poyo simple (2 1) 2 grados restringidos mpotramiento (2 3) 6 grados restringidos Vínculo interno + Marco cerrado 3 grados restringidos Total Restricciones 11 grados restringidos cuaciones particulares (2 articulaciones) 2 grados liberados cuaciones generales de la estática 3 grados Total de grados de hiperestaticidad 6 grados ualquier sistema de cargas aplicado sobre una estructura que cumple con simetría de geometría y materiales puede ser descompuesto en un sistema de cargas simétrico y otro antimétrico, de forma tal que la suma de ambos resulta ser el sistema que les dio origen. Se estudiará cada una de las cargas que intervienen en la estructura por separado con el fin de profundizar en el proceso de descomposición. 1

2 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P. arga concentrada en la barra 5 T Sistema de cargas 2.5 T 2.5 T Sistema de cargas simétricas 2.5 T 2.5 T Sistema de cargas antimétricas Se observa que la superponiendo ambos sistemas se obtiene el sistema de cargas original (en este caso la carga de 5 toneladas ubicada en la barra ) 5 T Sist. cargas simétricas + antimétricas Seguidamente se procederá a descomponer cada una de las cargas restantes en cargas simétricas y antimétricas. 2

3 TR STRUTURS III arga distribuida en la barra ULT INNIRI U.N.L.P. 3 T /m Sistema de cargas 1.5 T /m 1.5 T /m Sistema de cargas simétricas 1.5 T /m 1.5 T /m Sistema de cargas antimétricas arga distribuida en la barra 3 T/m Sistema de cargas 3

4 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P. 1.5 T/m 1.5 T/m Sistema de cargas simétricas 1.5 T/m 1.5 T/m Sistema de cargas antimétricas Momento en el nudo ste es un caso especial donde la carga se encuentra ubicada sobre el eje de simetría. s válido considerar una mitad del par ubicada un infinitésimo a la izquierda del eje de simetría y la otra mitad un infinitésimo a la derecha del eje, resultando un sistema de cargas antimétrico 5 T m Sistema de cargas Sistema de cargas simétricas 4

5 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P. 2.5 T m 2.5 T m Sistema de cargas antimétricas Puede observarse que en el sistema simétrico esta carga da como resultado la ausencia de cargas. Se analizarán otros casos particulares, más adelante, con un ejemplo. arga térmica en la barra Ts=10 Ti=30 Sistema de cargas Ts=5 Ts=5 Ti=15 Ti=15 Sistema de carga simétrico Ts=5 Ts= 5 Ti=15 Ti= 15 Sistema de carga antimétrico 5

6 TR STRUTURS III esplazamiento de vínculo en el apoyo ULT INNIRI U.N.L.P m Sistema de cargas m m Sistema de cargas simétrico m m Sistema de cargas antimétrico squema de cálculo Sistema de cargas simétricas onociendo que para un sistema de cargas simétrico en una estructura simétrica no habrá desplazamientos horizontales ni rotaciones sobre el eje de simetría, es posible plantear la semiestructura para cargas simétricas y resolver el sistema sobre la misma, para después aplicar el concepto de simetría y reproducir la parte faltante de la estructura. n el caso de la estructura planteada, tomando la semiestructura para cargas simétricas que se encuentra a la izquierda del eje de simetría es la siguiente 6

7 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P. Semiestructura para cargas simétricas Se analiza a continuación el grado de hiperestaticidad de esta semiestructura Vínculos externos poyo simple 1 grado restringido poyo doble (2 2) 4 grados restringidos mpotramiento 3 grados restringidos Total Restricciones 8 grados restringidos cuaciones particulares (1 articulación) 1 grado liberado cuaciones generales de la estática 3 grados Total de grados de hiperestaticidad 4 grados Se puede ver que el grado de hiperestaticidad (4 grados) es menor que el de la estructura completa (6 grados) siendo más sencilla su resolución. l esquema de cálculo surgirá de cargar esta semiestructura con las correspondientes al sistema de cargas simétrico ubicado a la izquierda del eje de simetría 1.5 T/m Ts = 5 o 1.5 T/m Ti = 15 o m 2.5 T Semiestructura con cargas simétricas sta estructura hiperestática puede resolverse utilizando el método de las fuerzas o el método de las deformaciones. Se incluyen a continuación los diagramas resultantes de su cálculo. 7

8 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P iagrama de axil en semiestructura con carga simétrica iagrama de corte para semiestructura con cargas simétricas iagrama de momentos para semiestructura con cargas simétricas Sistema de cargas antimétricas Para un sistema de cargas antimétrico en una estructura simétrica no habrá desplazamientos verticales sobre el eje de simetría. partir de esto, es posible plantear la semiestructura para cargas antimétricas y resolverla, aplicando el concepto de antimetría para obtener los esfuerzos en la parte restante de la 8

9 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P. estructura. n el caso de la estructura planteada, tomando la semiestructura para cargas antimétricas que se encuentra a la izquierda del eje de simetría, se tiene: Semiestructura para cargas antimétricas Haciendo el análisis de los grados de hiperestaticidad de la semiestructura Vínculos externos poyo simple (3 1) 3 grados restringidos mpotramiento 3 grados restringidos Total Restricciones 6 grados restringidos cuaciones particulares (1 articulación) 1 grado liberado cuaciones generales de la estática 3 grados Total de grados de hiperestaticidad 2 grados Nuevamente se observa que el grado de hiperestaticidad de la semiestructura (2 grados) es menor que el de la estructura completa (6 grados) Para el sistema de cargas antimétrico, el esquema de cargas será 2.5 T m m 1.5 T/m Ts = 5 o Ti = 15 o 1.5 T/m 2.5 T Semiestructura con cargas antimétricas La resolución de esta estructura hiperestática da como resultado los siguientes diagramas de esfuerzos internos: 9

10 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P iagrama de axil en semiestructura con cargas antimétricas iagrama de corte en semiestructura con cargas antimétricas iagrama de momentos en semiestructura con cargas antimétricas iagramas de esfuerzos en la estructura completa Los diagramas de esfuerzo en la estructura completa surgen de aplicar los conceptos de simetría y antimetría para los esfuerzos internos 10

11 TR STRUTURS III iagrama de esfuerzos para sistema simétrico ULT INNIRI U.N.L.P. Semiestructura erecha Semiestructura Izquierda arra horizontal o barra inclinada M (+) Q (+) N (+) M (+) Q ( ) N (+) arra vertical M (+) Q (+) N (+) M ( ) Q ( ) N (+) iagrama de axil para cargas simétricas

12 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P iagrama de corte para cargas simétricas iagrama de momentos para cargas simétricas m eformada para cargas simétricas iagrama de esfuerzos para sistema antimétrico 12

13 TR STRUTURS III Semiestructura erecha ULT INNIRI U.N.L.P. Semiestructura Izquierda arra horizontal o barra inclinada M (+) Q (+) N (+) M ( ) Q (+) N ( ) arra vertical M (+) Q (+) N (+) M (+) Q (+) N ( ) iagrama de axil para cargas antimétricas iagrama de corte para cargas antimétricas 13

14 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P iagrama de momentos para cargas antimétricas m structura deformada para cargas antimétricas iagrama de esfuerzos finales Los diagramas de esfuerzo finales para la estructura completa surgirán de superponer los diagramas para el sistema de cargas simétricas con el de las antimétricas iagrama de axil final

15 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P iagrama de corte final iagrama de momentos final eformada de la estructura 15

16 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P. on el fin de analizar los casos particulares con cargas sobre el eje de simetría y de barras coincidentes con el mismo se analizará la siguiente estructura. Se planteará el sistema de cargas simétrico y antimétrico sin llegar a dibujar sus diagramas de esfuerzos. 5 T 10 T m Ts=30 Ti=10 10 T 0.02 m continuación se plantean los sistemas de carga simétrico y antimétrico en la estructura completa. 5 T m 2.5 T 2.5 T 5 T m T=15 T=15 T=5 T=5 Sistema de cargas simétrico 5 T m 5 T m T=15 T=-15 T=-5 T=5 5 T 5 T 0.01 m Sistema de cargas antimétrico 0.01 m Puede verse en estos sistemas que para las cargas que se encuentran ubicadas sobre el eje de simetría se considera que una mitad se ubica un infinitésimo a la izquierda del eje de simetría y la otra mitad un infinitésimo a la derecha del eje. sí, por ejemplo, resulta que la carga vertical ubicada en el nudo es de por sí un sistema simétrico por lo que no toma valor en el sistema antimétrico. n el caso de la carga horizontal en la barra y del desplazamiento horizontal en el nudo, al separarlas en dos mitades a cada lado del eje, forman un sistema antimétrico y no aparecen en el sistema de cargas simétrico. 16

17 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P. También puede notarse que la carga térmica queda descompuesta en la temperatura en el centro de gravedad ( Tg=20 o ) para el sistema simétrico y en el gradiente de temperaturas ( Ti= 10, Ts=10 resultando Tg=0 o ) para el sistema antimétrico. e este modo en la semiestructura simétrica sólo habrá un estiramiento o acortamiento uniforme de la barra ubicada sobre el eje mientras que en la semiestructura antimétrica solamente se evidenciará la flexión. Para hacer el análisis sobre las semiestructuras se plantea como condición que los desplazamientos en la semiestructura deben ser iguales a los desplazamientos de la estructura completa. sto se logra tomando la mitad del área y del momento de inercia en la barra ubicada en el eje de simetría en las semiestructuras. J structura completa * =/2 J * =J/2 * =/2 J * =J/2 ivisión de la estructura completa continuación se plantean las semiestructuras para cargas simétrica y antimétrica. 5 T m 2.5 T T=20 T=20 * =/2 J * =J/2 Semiestructura con cargas simétricas 17

18 TR STRUTURS III ULT INNIRI U.N.L.P. 5 T m T=10 T= 10 5 T * =/2 J * =J/ m Semiestructura con cargas antimétricas n la semiestructura con cargas antimétricas, sabiendo que debemos obtener los desplazamientos reales de la estructura completa, es necesario considerar el desplazamiento de vínculo horizontal (carga antimétrica) con su valor real de 0.02 metros. Para obtener las solicitaciones en la barra coincidente con el eje de simetría se deberán duplicar los valores obtenidos sobre la misma. ajo un sistema de cargas simétrico, en la barra que coincide con el eje, no existen esfuerzos de corte ni momentos como puede deducirse de acuerdo a sus cargas y vinculación externa. e igual forma, bajo un sistema de cargas antimétrico no existe esfuerzo axil. n las siguientes figuras se ilustra lo enunciado. Semiestructura erecha Semiestructura Izquierda Semiestructura erecha Semiestructura Izquierda N/2 (+) + N/2 (+) = N(+) M/2 (+) + M/2 (+) = M (+) Q/2 (+) + Q/2 (+) = Q (+) Solicitaciones en el sistema simétrico Solicitaciones en el sistema antimétrico n la estructura completa, los diagramas resultantes en la barra coincidente con el eje tendrán el mismo signo que en la semiestructura pero su valor será el doble. 18