La difracción de rayos X y la densidad electrónica. El fenómeno de difracción

La difracción de rayos X y la densidad electrónica El fenómeno de difracción Rafael Moreno Esparza Facultad de Química UNAM 2007 viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 1

Rayos X vs NMR Rayos X: Debe cristalizar La estructura puede modificarse por el empaquetamiento Es difícil caracterizar algunas propiedades de los átomos (estado de oxidación) Las moléculas pueden ser muy grandes Se obtiene mejor resolución En principio no se requiere de información adicional para determinar la estructura NMR: Debe ser soluble Sólo pueden caracterizarse moléculas pequeñas Es menos exacta La determinación de estructuras complejas es muy difícil Puede caracterizar sistemas dinámicos Se puede caracterizar el espín nuclear viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 2

El fenómeno de difracción Este es un fenómeno que se observa en todos los sistemas ondulatorios, una rendija lo produce: Difracción de una rendija Difracción de una rendija Plano incidente de ondas Plano incidente de ondas Interferencia constructiva Interferencia destructiva viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 3

El fenómeno de difracción Difracción de tres rejillas: viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 4

El fenómeno de difracción Difracción de cinco rejillas: viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 5

El fenómeno de difracción Difracción de mezcla de longitudes de onda: viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 6

El fenómeno de difracción Difracción de luz coherente: viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 7

El fenómeno de difracción Patrón de difracción de un enrejado 1D Enrejado Patrón de difracción Dirección viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 8

El fenómeno de difracción Patrón de difracción de un enrejado 2D Enrejado Patrón de difracción 5320 Líneas / cm ~ 660 nm Dirección viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 9

Sistemas cristalinos y celdas unitarias La celda unitaria, es el espacio reproducible de un cristal Parámetros de la celda unitaria a, b, c α = (b 0 c) β = (a 0 c) γ = (a 0 b) x a α z γ β c b y viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 10

Sistemas cristalinos y celdas unitarias Un objeto solo puede arreglarse en alguna de las siete clases cristalinas o en 14 lattices de Bravais viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 11

Sistemas cristalinos y celdas unitarias Arreglos de un cristal molecular Hidrocloruro de cafeína c a 0 b viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 12

Sistemas cristalinos y celdas unitarias Un cristal molecular, evidentemente tiene un arreglo particular determinado por las interacciones débiles entre las moléculas que lo componen Tiene un conjunto de dispersores de la radiación (los electrones que lo componen) Podrá difractar los rayos X, siempre y cuando existan las condiciones de difracción Una condición primordial para la difracción será la de que existan planos que permitan que haya interferencia de la radiación Si alejamos el cristal viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 13

Sistemas cristalinos y celdas unitarias Encontraremos los planos de dispersores que permitirán la difracción b viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 14 c

El fenómeno de difracción Para producir radiación, es necesario tener cargas aceleradas La carga y la masa de los electrones los hace sujetos ideales para producir radiación De esta manera tenemos que los electrones y el fenómeno de difracción están inextricablemente unidos Así, podemos pensar que la interacción entre los rayos X y la materia, es un proceso en donde el haz incidente al chocar contra los electrones será dispersado o reemitido en todas las direcciones desde los electrones contra los que choca Los rayos X dispersados desde diferentes electrones recorrerán diferentes distancias viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 15

El fenómeno de difracción De manera que diferirán en sus fases relativas y por tanto habrá interferencia al reunirse Algunas veces esta interferencia será constructiva cuando se unen en fase, de manera que la amplitud resultante sea la suma de las amplitudes individuales En otras, la interferencia será destructiva cuando se unen fuera de fase de manera que la amplitud resultante sea la diferencia de las amplitudes individuales O cualquiera de las posibilidades intermedias viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 16

El fenómeno de difracción Mucho del fenómeno de difracción entenderse cualitativamente si entendemos cuando las ondas se dispersan en fase En particular podremos entender por que los cristales amplifican la señal de manera que sea detectable Y por que los patrones de difracción se restringen a presentar manchas discretas Las manchas de difracción se les conoce como reflexiones porque se puede considerar que el cristal está compuesto de miles de espejos que reflejan los rayos X A estos espejos se les conoce como planos de Bragg viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 17

El fenómeno de difracción Cuando la luz es reflejada por un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión Lo mismo es cierto para los planos de Bragg, y la razón es que cuando el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, la radiación que choca con el plano en fase sale en fase del plano, sin importar donde chocan contra el plano En esta figura se puede ver por que: b d θ a θ c θ viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 18

El fenómeno de difracción En la figura se puede ver que los dos haces llegan en fase a la línea ab si las líneas ad y bc tienen diferente longitud entonces estarán fuera de fase Sin embargo, si estas líneas son idénticas, entonces estarán en fase Se puede ver que las líneas tendrán la misma longitud si y solo si el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión Nótese que el haz incidente y el de reflexión difieren en dirección por un ángulo total de 2θ viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 19

Las condiciones de la difracción Pero cuáles son las condiciones para la difracción? Antes que nada nos acordamos de la ley de Bragg Fue derivada por los físicos ingleses Sir W.H. Bragg y su hijo W.L. Bragg en 1913 Explica por que las caras de un cristal reflejan la radiación solo a ciertos ángulos Y se puede derivar fácilmente considerando las condiciones necesarias para hacer que las fases de las ondas de un haz coincidan cuando el ángulo incidente y el reflejado son iguales Las ondas que componen un haz incidente siempre están en fase y paralelas hasta el momento en que chocan contra un átomo Es claro que a partir de ese momento algunas de las ondas tendrán que recorrer diferentes distancias para encontrarse con otro dispersor viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 20

La ley de Bragg En la siguiente figura se puede ver que cuando la primera onda choca con el dispersor, la onda 2 debe recorrer una distancia adicional La distancia que debe recorrer la onda 2 mas que la onda 1 es igual a CB+BD viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 21

La ley de Bragg Si las dos ondas viajan adyacentes y paralelas, la única manera en que permanecerán en fase es que esta distancia sea un múltiplo de la longitud de onda del haz incidente, es decir: Como d es la hipotenusa del triángulo rectángulo ACB podemos usar la trigonometría para relacionar la distancia (d) y el ángulo (θ ) del haz incidente La distancia AB es el cateto opuesto a θ, entonces: Pero como CB = BD, entonces: Al sustituir la anterior en esta última: n! = 2dsen " n! = CB + BD CB = d sin! n! = 2CB ( ) d = n! ( ) 2sen " viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 22

La ley de Bragg Algunos ejemplos: viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 23

La ley de Bragg Ahora bien, esta última expresión: nos indica que hay una relación de proporcionalidad inversa entre el seno del ángulo y la distancia interplanar Es decir, al rearreglar esta expresión: Podemos concluir que: d = sen! sen (!) " 1 d n! ( ) 2sen " ( ) = n" 2d Que en última instancia es la relación que existe entre el espacio real y lo que conocemos como espacio recíproco viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 26

Difracción y transformada de Fourier Qué es la transformada de Fourier? Es una representación de alguna función en términos de un conjunto de ondas sinusoidales Este conjunto de ondas es ortogonal, es decir que ninguna de las funciones del conjunto puede obtenerse como una combinación lineal de las otras En particular un conjunto de ondas sinusoidales de diferente frecuencia es ortogonal Una buena analogía es la de los tres colores primarios (Rojo, verde y azul), no hay ninguna combinación de dos de ellos que produzca el tercero, pero con estos tres puedo generar cualquier color De manera similar mezclando ondas sinusoidales de cualquier frecuencia en las proporciones adecuadas se puede construir cualquier función arbitraria viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 27

Difracción y transformada de Fourier Se puede demostrar que es posible representar cualquier función continua sumando suficientes ondas sinusoidales de la frecuencia y amplitud apropiada Supongamos que un cristal imaginario que tiene tres átomos en la celda dos carbonos y un oxígeno La densidad electrónica de la celda se verá así: C C O viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 28

Difracción y transformada de Fourier Ahora trataremos de representar esta función en términos de ondas sinusoidales La primera tiene una frecuencia de 2 (es decir, se repite dos veces a lo largo de la celda) Uno de los picos representará al oxígeno y el otro a los dos carbonos viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 29

Difracción y transformada de Fourier La segunda onda tiene una frecuencia de tres (se repite tres veces) Pero tiene diferente fase (empieza en diferente lugar que la otra onda) Y además la amplitud es diferente (es más chaparrita) viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 30

Difracción y transformada de Fourier Finalmente, añadimos una onda con una frecuencia de cinco Que también tiene diferente amplitud Y además la alineamos con los dos átomos de carbono viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 31

Difracción y transformada de Fourier Ahora las ponemos juntas Y las sumamos: Freq. 2 Freq. 3 Freq. 5 Total Nótese que la suma de las tres ondas es una buena aproximación de la celda original viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 32

Difracción y transformada de Fourier Entonces habiendo escogido correctamente la amplitud, la frecuencia y el número de ondas pudimos representar correctamente la celda Ahora haremos la transformada de Fourier de la misma celda: El resultado muestra una serie de picos estando los mayores en 2, 3 y 5 en el eje x, los cuales corresponden a las ondas que elegimos viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 33

Difracción y transformada de Fourier Si analizamos con cuidado, nos encontramos además que la altura de los picos corresponden a la amplitud de las tres ondas Los picos pequeños de la transformada corresponden a ondas adicionales que se requirieron para ajustar perfectamente la densidad original Entonces la transformada de Fourier nos dice cual es la mezcla de ondas sinusoidales que se necesitan para hacer cualquier función Obviamente las ondas se siguen hasta el infinito, de manera que tenemos muchísimas copias de la celda unitaria Otras características de la transformada son que los valores de frecuencia pueden ser positivos o negativos y además son sus valores son complejos no reales viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 34

Difracción y transformada de Fourier Pero Cuál es la conexión entre la difracción de Rayos X y las transformadas de Fourier? Para responder esto, debemos deducir cómo un sólido cualquiera dispersará una onda incidente Así cuando la onda choca con el sólido, la radiación se dispersará Consideraremos la onda difractada en una dirección particular, y calcularemos la dispersión total sumando la dispersión en esa dirección desde cada uno de los puntos del sólido La dirección del haz incidente la representamos por el vector k El haz difractado en la dirección escogida será k Por conveniencia, hacemos que su!" magnitud sea el recíproco de la k longitud de onda del haz:!"! = k' = 1! viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 35

Difracción y transformada de Fourier Una gráfica que presenta esto es esta:!" k! r!"! k' Ahora debemos hacer la suma de la dispersión en todo el sólido y escoger un origen dentro del sólido Luego calculamos la diferencia entre la longitud de las trayectorias entre un haz dispersado desde un punto arbitrario y un haz imaginario dispersado desde el origen!" k r! θ φ! rcos! = r viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 36 "! " k!"! k'! rcos! = r "! " k

Difracción y transformada de Fourier La diferencia de en la longitud de la trayectoria se traduce en una diferencia de fase entre las dos ondas Al sumar la dispersión en todo el sólido tomando en consideración la capacidad de dispersión de cada punto, p(r) y de la representación compleja del cambio de fase Si sustituimos un nuevo vector s para la diferencia entre k y k, obtenemos la integral de Fourier estándar:! "!! "!" "! diferencia de trayectoria = r! k - r! k' = r! k diferencia de fase = 2!! "! "!"! "! " # r # k $ k' # k! "! "!" Definiendo s = k! k' ( )!! ( ) = p( r) F s V "!" - k' ( )"!" ( ) = 2! r ( $ k' ) y sumando para todas las r (! e 2"ir "! "!" #s )! dr viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 37

Dispersión Para caracterizar las consecuencias de la relación recíproca entre el espacio recíproco y el real, analizaremos un conjunto de ejemplos que muestren el comportamiento de ciertos sistemas al pasar del espacio real al recíproco cuando se emplea el experimento de difracción Para ello presentaremos cada experimento empleando representaciones gráficas donde: En el lado izquierdo pondremos al espacio real, con sus consabidas coordenadas x, y, z En tanto que en el lado izquierdo tendremos al espacio recíproco el cual podrá ser caracterizado con unas coordenadas a las que llamaremos h, k, l Hay una relación biunívoca entre los puntos del espacio real y los del espacio recíproco viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 38

Dispersión Cuando tenemos un solo dispersor (átomo), observamos este comportamiento de la radiación difractada: Intensidad Un solo pico Coordenadas Atómicas, de la densidad electrónica ρ(x,y,z) Ángulos de reflexión, de las intensidades Ι (h,k,l) viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 39

Dispersión Que en 2D se verá así: viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 40

Dispersión Que ocurre cuando ponemos un par de dispersores?: Intensidad Pues que aparecen varios picos de difracción Coordenadas Atómicas, de la densidad electrónica ρ(x,y,z) Ángulos de reflexión, de las intensidades Ι (h,k,l) viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 41

Dispersión Cuyo perfil bidimensional es este: viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 42

Dispersión Y qué pasa cuando ponemos una hilera de dispersores?: Intensidad Pues que la señal se agudiza Coordenadas Atómicas, de la densidad electrónica ρ(x,y,z) Ángulos de reflexión, de las intensidades Ι (h,k,l) viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 43

Dispersión Y tiene este perfil: viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 44

El espacio recíproco El espacio recíproco y el espacio directo son recíprocos uno del otro Y están relacionados por la transformada de Fourier Al espacio recíproco se le llama también espacio de Fourier o espacio de fase En el espacio recíproco se puede definir la llamada lattice recíproca, como el conjunto de puntos imaginarios construidos de tal manera que la dirección de un vector desde un punto a otro del espacio recíproco, coincide con la dirección perpendicular a los planos del espacio real La separación de estos puntos (el valor absoluto del vector) es igual al valor recíproco de la distancia interplanar real viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 45

El espacio recíproco Ewald inventó una construcción geométrica para visualizar cuales de los planos de Bragg están correctamente orientados para que ocurra la difracción Los puntos en la red recíproca representan los planos que forman la red real (red cristalina) Entonces la red cristalina determina (a través de relaciones definidas) los vectores de la red recíproca, el espaciamiento de los puntos de la en la red y las direcciones recíprocas asociadas Si consideramos una red cristalina bidimensional definida por a, b y el ángulo γ, donde se muestran los planos d 100 y d 010 La red recíproca de esta, estará construida por los vectores recíprocos a* y b* y estarán separados por el ángulo γ a d 010 γ b d 100 viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 46

El espacio recíproco a* será perpendicular a los planos d 100 y su magnitud será igual al recíproco de la distancia entre dichos planos b 1 a γ d 010 1 γ b* a* d 100 De manera similar b* será perpendicular a los planos d 010 y su magnitud será igual al recíproco de la distancia entre dichos planos Y por tanto γ + γ =180º viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 47

El espacio recíproco Debido a las relaciones lineales que existen entre los planos se genera una red periódica! Estas relaciones lineales son como esta: d 200 = 1 $ " # 2% & d 100 En general la periodicidad de la red periódica estará dada por esta expresión: " * 1 %! hkl = $ ' # & La expresión vectorial de los vectores de la red que definen cada plano hkl es esta:! g hkl = n $ hkl # & " % Donde n es el vector unitario normal a los planos hkl viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 48 d hkl d hkl

El espacio recíproco Para las redes que no son primitivas, como por ejemplo una que sea centrada en el cuerpo, pueden presentarse ausencias sistemáticas en la red recíproca, esto se debe a la construcción de la red En esta figura se muestra como se usa una celda unitaria b mayor (en verde) en vez a de la primitiva (en rojo). b Esta celda tiene la ventaja del ángulo recto entre a y b a d 100 d 010 viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 49

El espacio recíproco Esta red recíproca se construye usando los diferentes vectores de la red y distancias interplanares Cuando se etiqueta respecto a los nuevos vectores de red recíprocos, las reflexiones vacías estarán ausentes b* a* viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 50

El espacio recíproco Estas ausencias ayudan a distinguir las diferentes clases de redes cristalinas pues cada una tiene tiene ausencias sistemáticas características En este caso los puntos con h+k es un entero impar están ausentes, debido a la definición de la celda unitaria Si consideramos un círculo de radio r con dos puntos X y Y en su circunferencia X A r θ 0 2θ Y viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 51

El espacio recíproco Si el ángulo XAY se define como θ, entonces por simple geometría el ángulo X0Y será 2θ, y si además: sin! = XY 2r Si esta geometría se construye en la en el espacio recíproco, tiene implicaciones muy importantes Si el radio se define como el inverso de la longitud de onda del haz de rayos X Si Y es es el punto 000 de la red recíproca y X es un punto cualquiera hkl, entonces la distancia XY es: Y por lo tanto: sin! = 1 d hkl 2 " # " = 2d hkl sin! ( ) = 1 d XY d hkl viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 52

El espacio recíproco, la esfera de Ewald Entonces resumiendo, el espacio recíproco representa a los conjuntos de planos de la red cristalina b* a* viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 53

El espacio recíproco, la esfera de Ewald Cada punto puede etiquetarse, de manera que el punto 000 es el origen del cristal y cada uno de los puntos representa una familia de planos del cristal b* a* viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 54

El espacio recíproco, la esfera de Ewald Este punto es donde incide el haz de rayos X, descrito por el inverso de su longitud de onda, pues estamos en el espacio recíproco 000 b* 1! Haz de rayos X a* viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 55

El espacio recíproco, la esfera de Ewald De esta manera podemos generamos una esfera con un radio igual al inverso de la longitud de onda y con el punto 000 tangente: 000 b* 1! a* viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 56

El espacio recíproco, la esfera de Ewald Si ahora giramos la dirección del haz de rayos X, veremos que en la superficie de la esfera aparece una reflexión 000 b* a* viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 57

El espacio recíproco, la esfera de Ewald Y veremos que las condiciones de difracción en ese ángulo se cumplen 000 1 d 220 b* 2! 220! 220 a* viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 58

El espacio recíproco, la esfera de Ewald Nótese que el haz difractado está a 2θ del haz incidente 000 Haz incidente b* 2θ Haz difractado a* viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 59

El espacio recíproco Consecuencias del la reciprocidad qué ocurrirá cuando pongamos un arreglo donde las distancias entre los dispersores son menores? Intensidad Pues que las señales de difracción se separan más para el caso de las distancias menores y esto ocurre porque: 1 Tamaño de la red cristalina = tamaño patrón de difracción viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 60

El espacio recíproco Consecuencias del la reciprocidad Y que pasará si pongo un cuadrado? Que el número de dimensiones con reflexiones aumenta Coordenadas Atómicas, de la densidad electrónica ρ(x,y,z) Ángulos de reflexión, de las intensidades Ι (h,k,l) viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 61

El espacio recíproco Consecuencias del la reciprocidad Si ahora pongo un rectángulo? Las reflexiones y su distribución cambian de forma Coordenadas Atómicas, de la densidad electrónica ρ(x,y,z) Ángulos de reflexión, de las intensidades Ι (h,k,l) viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 62

El espacio recíproco Consecuencias del la reciprocidad Si ahora pongo una red oblicua? Otra vez reflexiones y su distribución cambian de forma Coordenadas Atómicas, de la densidad electrónica ρ(x,y,z) Ángulos de reflexión, de las intensidades Ι (h,k,l) viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 63

El espacio recíproco Consecuencias del la reciprocidad Si ahora hago una translación de la red oblicua? La translación hecha es tanto en el eje de las x como en el de las y viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 64

El espacio recíproco Consecuencias del la reciprocidad Un buen observador inmediatamente notará que esta vez no hay cambios en la distribución de reflexiones respecto al caso anterior Coordenadas Atómicas, de la densidad electrónica ρ(x,y,z) Ángulos de reflexión, de las intensidades Ι (h,k,l) viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 65

El espacio recíproco De esta manera, tenemos que es posible relacionar cualquier punto de la red real a un punto de la red recíproca Red cristalina Espacio real x, y, z Red recíproca Espacio imaginario h, k, l viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 66

El espacio recíproco Para pasar de uno a otro empleamos esta transformación: 2! Vector normal a los planos (-1, 0) Planos de la red d Red cristalina Espacio real x, y, z d = g -2 2-2 0-2 -2 2-2 0-2 viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 67 g 0 2 2 2 2 0 Red recíproca Espacio imaginario h, k, l

El espacio recíproco Esto mismo lo haremos con diferentes familias de planos Vector normal a los planos (-2, 1) d -2 2 0 2 2 2-2 0 g 2 0 Red cristalina Espacio real x, y, z -2-2 2-2 0-2 Red recíproca Espacio imaginario h, k, l viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 68

El espacio recíproco Esto mismo lo haremos con diferentes familias de planos Normal d -2 2-2 0 g 0 2 2 2 2 0 Red cristalina Espacio real x, y, z -2-2 2-2 0-2 Red recíproca Espacio imaginario h, k, l viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 71

Las transformadas de Fourier Un átomo y su transformada de Fourier: Nótese que ambas funciones tienen simetría esférica y mientras que el átomo aparece nítido su transformada es ancha y suave Esto ilustra la relación recíproca entre una función y su transformada viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 72

Las transformadas de Fourier Una molécula y su transformada de Fourier: La molécula consiste de 7 átomos, su transformada presenta cierto detalle pero la forma es todavía la de la transformada atómica Esta transformada es el producto de la trasformada atómica y las posiciones viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 73

Las transformadas de Fourier Una red y su transformada de Fourier: Los puntos de la red son puntos delta (exagerados) Nótese que la transformada de la red es una red con direcciones y espaciamientos recíprocos Este es el origen de la red recíproca viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 74

Las transformadas de Fourier Un cristal y su transformada de Fourier: Finalmente construimos un cristal haciendo una convolución de una molécula con una red El resultado es una estructura cristalina La transformada de Fourier es pues el producto de la transformada molecular y la red recíproca viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 75

Las transformadas de Fourier Un pato y su transformada de Fourier: Noten sus mercedes que la imagen real da a lugar a un patrón de difracción Hermitiano, al cual ustedes conocen bien viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 76

Las transformadas de Fourier inversas Un pato y su transformada de Fourier inversa: Si tenemos los términos de baja resolución del patrón de difracción obtenemos un pato de baja resolución Es decir hay una pérdida considerable viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 77

Las transformadas de Fourier inversas Un pato y su transformada de Fourier inversa: Si perdemos datos de resolución media Habrá aristas finas pero aparecerá chorreado viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 78

Las transformadas de Fourier inversas Un pato y su transformada de Fourier inversa: Cuando tenemos los términos de alta resolución solamente veremos los bordes del pato Será difícil distinguir las clases de átomos viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 79

Las transformadas de Fourier inversas Un pato y su transformada de Fourier inversa: Cuando tenemos que un segmento de los datos se ha perdido las características perpendiculares al segmento aparecerán borrosas Habrá serios problemas con los factores de temperatura viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 80

Las transformadas de Fourier inversas Un pato y su transformada de Fourier inversa: Si perdemos 10% de los datos en capas Se observa este efecto viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 81

Las transformadas de Fourier inversas Un pato y su transformada de Fourier inversa: Si perdemos 10% de los datos aleatoreamente Se promedian las pérdidas viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 82