III REPEM Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 00 CB 36 VISUALIZACIÓN INTERACTIVO DEL MÉTODO GAUSS LEGENDRE DOS NODOS Y REGLA DE SIMPSON ADAPTATIVA Oscar E. ARES, Fernando J. QUIROGA VILLEGAS Facultad de Ingeniería y Ciencias Económico Sociales - Universidad Nacional de San Luis - Argentina oares@fices.unsl.edu.ar javierqv@gmail.com Nivel Educativo: Educación Superior. Palabras Clave: Integración numérica, Gauss Legendre, regla de Simpson, visualización. RESUMEN En este trabajo presentamos una propuesta didáctica utilizando nuevas tecnologías para la enseñanza de dos temas de integración numérica, método de Gauss_Legendre y Regla de Simpson Adaptativa para alumnos de tercer año de la carrera de Ingeniería Electrónica en la asignatura Cálculo Numérico. Para la implementar la propuesta didáctica se realiza una programación utilizando la interfase gráfica de MATLAB, GUI (graphical user interface). La ingeniería didáctica esta basada en los ejes teóricos de: visualización interactiva y teoría de registros semióticos. INTRODUCCIÓN Considerando la unidad didáctica Integración y diferenciación numérica, y con el objetivo de aumentar la comprensión de los métodos de integración numérica que en esta propuesta didáctica se mencionan se utiliza una nueva herramienta computacional que permita la visualización de las técnicas iterativas y proporcione resultados numéricos que permitan entender definiciones abstractas, como exactitud, además de la propia técnica numérica considerada. En esta GUI de MATLAB se aborda, principalmente, la interpretación gráfica de los métodos numéricos y las condiciones requeridas para su aplicación. Para su diseño se ha tenido como eje la idea de que para enseñar a los alumnos un concepto matemático o método numérico se debe presentar la reunión de registros de representación semiótica, y su coordinación. Software: MATLAB El diseño propuesto, para dar tratamiento al tema ha sido elaborado con el software MATLAB. Este software permite integrar tres aspectos como lo son: la computación numérica y simbólica, su visualización, y su ambiente de programación. OBJETIVOS El objetivo principal es la visualización interactiva Gauss Legendre y Simpson adaptativa y la construcción de una imagen conceptual, del concepto de exactitud en integración numérica 46
III REPEM Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 00 con el método de Gauss Legendre. La utilización de esta GUI, sirve para verificar los cálculos realizados en actividades prácticas. En consecuencia se debe integrar a una guía de actividades que posibilite un estudio dirigido. CONTENIDOS MATEMATICOS Mathews autor de Métodos Numéricos con Matlab, en el tema método de integración de Gauss Legendre, plantea el siguiente problema: Queremos hallar el área limitada por la curva y=f(x), en - x Qué método proporciona la mejor respuesta si solo pueden hacerse dos evaluaciones de la función? Figura Nº Si se usan dos nodos distintos (en la figura x = - 0.6 y x = 0.6) interiores al intervalo [-,], entonces la recta definida por (x, f(x )) y (x, f(x )) corta a la curva y el área limitada por la recta (indicada por líneas verticales rojas) es una aproximación mejor, que la simple regla del trapecio, al área bajo la curva. La ecuación de esta línea recta es: y f ( x ) ( x x )( f ( x ) x x f ( x )), y el área del trapecio x x limitado por dicha recta es A trapecio f ( x ) f ( x ) w f ( x ) w f ( x ).Los x x x x coeficientes w, w se llaman pesos y los x, x nodos, es decir, cuatro incógnitas. La aproximación es f(x) =, x, x, x 3. fdx w y se pide que se exacta para las funciones f ( x) w f ( x ) f(x) = ; f(x) = x; dx w w xdx 0 w x w x 47
III REPEM Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 00 f(x) = x ; x dx 3 w x w x f(x) = x 3 ; x 3 dx 3 0 w x w x 3 Sistema no lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, que al ser resuelto proporciona, los siguientes valores: w = w =, -x = x = / 3. Esta descripción utilizando un registro simbólico es la que permite visualizar la GUI de este trabajo, utilizando la coordinación de un registro grafico y uno numérico. Diremos que una regla de cuadratura tiene grado de exactitud si halla exactamente la integral de cada polinomio de grado, pero no halla exactamente la integral de algún polinomio de grado. Un segundo concepto donde la utilización de esta GUI mejora la comprensión, es la exactitud, ya que le permite al alumno ingresar polinomios de distinto grado y verificar grafica y numéricamente, para polinomios de que grado se verifica la igualdad de valores entre el método de Gauss Legendre y el valor exacto de la integral. En este punto, el alumno se transforma participa mas activamente en la construcción de su propio aprendizaje. PANTALLA INICIAL DONDE SE INGRESAN LOS DATOS El alumno ingresa la función f(x) cuya integral definida en [a,b] se desea aproximar por GAUSS-LEGENDRE dos nodos, y los extremos a y b del intervalo. A continuación, pulsa el botón solución. Hay un segundo botón (limpia) que borra los datos ingresados, al final del proceso. Figura Nº 48
III REPEM Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 00 PRIMERA PANTALLA Se observa la representación grafica de la función ingresada, en el intervalo prefijado. Pero lo fundamental, es que están indicados los dos nodos, sobre el eje x, que constituyen las raíces del polinomio de Legendre de grados dos y además marcados sobre la curva, donde definen la línea recta (color azul) que se puede observar en la gráfica. Para indicar cual es exactamente el área buscada, se diseñan dos registros de representación. La gráfica con rayado vertical y su valor numérico exacta como se observa en la segunda pantalla. Figura Nº 3 En la siguiente pantalla, se puede observar el valor exacto de la integral, indicada como I(f). En este caso f(x) = x en el intervalo [-, ]. Figura Nº 4 En esta pantalla queda definida el área subtendida por el método de integración numérica, Rayado color rojo debajo (o por arriba) de la recta. Registro gráfico que será coordinado con un registro numérico, el valor numérico de la aplicación del método de Gauss_Legendre dos nodos. 49
III REPEM Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 00 Figura Nº 5 La visualización interactiva diseñada, permite verificar un resultado previsto por la teoría, el valor numérico proporcionado por Gauss_Legendre Q(f), coincide exactamente, con el valor calculado analíticamente I(f), esto como puede observarse, es 9.33333. Por tanto, se verifica hasta aquí, que el método tiene exactitud dos. El alumno puede experimentar e ingresar cualquier función cuadrática y observará que se sigue cumpliendo la igualdad I(f) = Q(f). Aunque nuevamente este es un resultado previsto por la teoría, ya que si se cumple la igual I(f) =Q(f), para los polinomios de la base canónica automáticamente se verifica para cualquier polinomio, la verificación que realice el alumno contribuye a formar una clara imagen conceptual (concepto desarrollado por Tall y Vinner, bibliografía),del concepto de exactitud. Figura Nº 6 Se ingresa un polinomio de grado tres y se verifica la igualdad I(f) =Q(f). 430
III REPEM Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 00 Figura Nº 7 Se ingresa un polinomio de grado cuatro y no se verifica la igualdad I(f) =Q(f). Por lo tanto, el método de Gauss Legendre dos nodos tiene exactitud tres. Figura Nº 8 REGLA DE SIMPSON: INTEGRACION ADAPTATIVA Las reglas de cuadratura compuestas utilizan dan a todos los subintervalos de la partición la misma longitud. Para satisfacer, una precisión previamente establecida y con curvas con oscilaciones pronunciadas, es conveniente requerir incrementos más pequeños en unas partes que en otras. Se establece previamente un criterio de exactitud. Si este criterio no se satisface se particiona el intervalo considerado a la mitad y ahora aparecen dos parábolas, dos polinomios cuadráticos aproximando. Se aplica nuevamente el criterio de exactitud. Si se satisface, se continúa con otro intervalo. De lo contrario se particiona nuevamente el intervalo anterior. La regla compuesta de Simpson para el intervalo [a k, b k ] da: h S ( ak, bk ) ( f ( ak ) 4 f ( ck ) f ( bk )) donde c k = ( a k + b k ) /. 3 Particionado el intervalo [a k, b k ] en dos [a k, b k ] y [a k, b k ] y calculados los valores S a k, b ) y S a k, b ) se aplica el criterio de exactitud: ( k ( k 43
III REPEM Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 00 [ 0 S a k, b ) + S a k, b ) - S a k, b ) ] < ε k ( k ( k ( k PANTALLA INICIAL y CARGA DE DATOS Figura Nº 9 Figura Nº 0 Se pulsa el botón solución y comienza el desarrollo de la GUI Figura Nº Se pulsa sucesivamente siguiente y se observa la evolución de las pantallas. Cada pantalla informa la cantidad de nodos interviniente y el valor numérico del área de ese subintervalo. 43
III REPEM Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 00 Figura Nº Si el requerimiento de precisión no se satisface, se particiona nuevamente el intervalo como puede observarse y se aproxima con dos nuevas parábolas, donde se aplica Simpson. Figura Nº 3 En esta pantalla, se observa que el criterio de exactitud ha sido satisfecho, y aparece el área color verde. Figura Nº 4 433
III REPEM Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 00 El mismo proceso sobre otro intervalo de la partición. PANTALLA FINAL Figura Nº 5 Se observa el número de nodos involucrado y el valor numérico del área obtenido por el método de Simpson. Figura Nº 6 CONCLUSIONES Diseñar nuevas propuestas didácticas para la comprensión de temas y conceptos de cálculo numérico requieren de dedicación en la programación de software, en la planificación didáctica y en la puesta en funcionamiento de los distintos desarrollos. Este diseño persigue como metas que el alumno, posea una herramienta interactiva que le permita verificar, corregir, explorar, plantear y descartar hipótesis, visualizar y finalmente construir su propia imagen conceptual del tema. BIBLIOGRAFÍA Mathews, John (000). Métodos Numéricos con Matlab. 434
III REPEM Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 00 Duval, R. (998). Registros de Representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. En F. Hitt (Ed.), Investigaciones en Matemática Educativa II, (pp. 73-0). México: Departamento de Matemática Educativa. Cinvestav. Tall, D.; Vinner, S. (98). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics.. 435