Elementos de Geometría

Elementos de Geometría Manuel Maia 19 de marzo de 2012 1 Puntos, Rectas, Planos y Ángulos Hay cuatro términos o conceptos que aceptaremos sin definición: conjunto, punto recta y plano. Estos se llaman términos indefinidos pues su significado se acepta sin definición. Solamente tratamos de describirlos o representarlos. Un conjunto es una colección de objetos tal que es posible determinar si un objeto dado pertenece o no a dicha colección, o recíprocamente, si dicha colección contiene al objeto dado. Por ejemplo, la lista de estudiantes de Elementos de la Matemática constituye un conjunto, pues podemos saber si un estudiante está o no en esa lista. Un punto puede representarse por una marca de lápiz en un papel. Usualmente, los puntos se denotan con letras mayúsculas. Un punto geométrico no posee longitud ni ancho, sólo indica una posición. Figura 1: Puntos,,. Una recta es un conjunto de puntos como indica el siguiente gráfico; un trazo hecho con lápiz y una regla sobre papel. Una recta geométrica no posee anchura ni espesor y se l Figura 2: La recta l. 1

extiende ilimitadamente (esto se indica con las flechas en los extremos). Usualmente, las rectas se denotan con letras minúsculas. Un plano es un conjunto de puntos que forman una superficie como una hoja de papel sobre una mesa. Mientras que una hoja de papel tiene bordes, un plano se extiende ilimitadamente en todas direcciones (no tiene bordes). Usualmente, los planos se denotan con letras griegas minúsculas. π Figura 3: El plano π. Una recta l en un plano π determina dos regiones separadas de este plano, llamadas semiplanos de π determinados por l. Un postulado es una proposición que aceptamos si demostración. He aquí los dos primeros. Postulado 1 ados dos puntos, existe exactamente una recta que los contiene. e manera más breve os puntos determinan una única recta o inclusive, por dos puntos pasa una única recta. (1) (2) Figura 4: Los puntos y (1) determinan la recta (2). Postulado 2 ada una recta, hay al menos dos puntos en esta recta. e hecho, hay infinitos puntos en una recta. En vista de los postulados 1 y 2, podemos denotar la recta que contiene o pasa por los puntos y por. 2

efinición 1 os o más puntos colineales son puntos que están en una misma recta. Figura 5: Los puntos, y son colineales;, y no lo son. La notación, ó también, denotará que, y son colineales y que está entre y, como en la figura 5. Postulado 3 ados tres puntos no colineales, existe exactamente un plano que los contiene. e manera más breve, tres puntos no colineales determinan un plano. Postulado 4 Si dos puntos están en un plano, entonces la recta que los contiene está en el plano. efinición 2 Sean y dos puntos diferentes. El segmento de recta,, es el conjunto de los puntos, y todos los puntos X de la recta determinada por y tales que X. Figura 6: Los puntos y son los extremos del segmento. Observaciones: La longitud del segmento se denota por, y es la distancia más corta entre los puntos y. Obsérvese también que si, entonces = +. Figura 7: Si, entonces + =. 3

Figura 8: Si =, entonces =. efinición 3 os segmentos de recta congruentes son dos segmentos que tienen la misma longitud. Si dos segmentos y son congruentes, lo denotamos por = y se lee es congruente con. La congruencia de segmentos tiene las siguientes propiedades: Sean,, EF segmentos. Entonces: 1. = (todo segmento es congruente consigo mismo). 2. Si =, entonces = (propiedad simétrica). 3. Si = y = EF, entonces = EF (propiedad transitiva). efinición 4 Un punto medio de un segmento es un punto M tal que M y M = M. M Figura 9: Si M = M, entonces M es el punto medio del segmento. Postulado 5 El punto medio de un segmento de recta existe y es único. Veamos el primer teorema. En general usuaremos un esquema de demostración donde se especifican claramente la hipótesis y la tesis, se acompaña con un dibujo que refleje la hipótesis y suposiciones y se justifican detalladamente cada una de las afirmaciones. 4

Teorema 1 El punto medio de un segmento de recta lo divide en segmentos cuya longitud es la mitad de la longitud del segmento de recta. M es el punto medio. M = 1 = M. 2 M emostración: firmaciones Razones (1) M es el punto medio de Hipótesis (2) M y M = M efinición de punto medio (3) M + M = M (4) M + M = (3) y M = M (5) M = 1 2 (4) (6) M + M = (3) y M = M (7) M = 1 (6) 2 efinición 5 Sean y dos puntos. El rayo,, es el conjunto formado por los puntos, y todos los puntos X tales que X ó X. Figura 10: El punto es el extremo del rayo. 5

Postulado del Segmento: ado un segmento y un rayo. Entonces existe un único punto P en tal que P =. P Figura 11: Postulado del segmento: ados y, existe P en, tal que P =. efinición 6 Un ángulo es un conjunto formado por dos rayos que tienen el mismo extremo. Este extremo se llama vértice del ángulo y los rayos se llaman lados del ángulo. interior de exterior de Figura 12: es el vértice del ángulo y, son los lados de. Observaciones: Nótese que en la notación del ángulo de la figura, la letra central () denota el vértice. sí, otra manera de denotar el mismo ángulo es, o inclusive,, si no hay confución. La medida del ángulo, que es la separación de los rayos medida en grados ( ) con un transportador, se denota. Sólo consideraremos ángulos con medidas de a lo sumo 180. Un ángulo determina, en el plano que lo contiene, dos regiones separadas. Estas son la parte interior y la parte exterior, como se ve en la figura 12. En ocasiones es conveniente, y más práctico, indicar los ángulos con un pequeño arco y una letra que lo denota. Si conocemos su medida, la indicamos junto al arco. 6

efinición 7 Un ángulo recto es uno cuya medida es 90. 90 Figura 13: es un ángulo recto. efinición 8 os ángulos congruentes son dos ángulos que tienen la misma medida. E F Figura 14: Si = E, entonces = E. Si dos ángulos y son congruentes, lo denotamos por = y se lee es congruente con. La congruencia de ángulos tiene las siguientes propiedades: Sean,, ángulos. Entonces: 1. = (todo ángulo es congruente consigo mismo). 2. Si =, entonces = (propiedad simétrica). 3. Si = y =, entonces = (propiedad transitiva). 7

Postulado del Ángulo: ados un ángulo y un rayo en un plano. onsideremos uno de los semiplanos determinados por. Entonces existe un punto P en ese semiplano tal que P =. P Figura 15: Postulado del Ángulo: ados, y, existe un P en el semiplano que está por encima de, tal que P =. efinición 9 os ángulos adyacentes son ángulos con el mismo vértice, O y O, tales que es un punto en el interior del ángulo O. O Figura 16: Los ángulos O y O son adyacentes. Observaciones: Nótese que si O y O son adyacentes, entonces O + O = O. 8

efinición 10 Una bisectriz de un ángulo es un rayo en el interior de, tal que =. Postulado 6 La bisectriz de un ángulo existe y es única. Figura 17: Si =, se tiene que es la bisectriz del ángulo. Teorema 2 La bisectriz de un ángulo lo divide en ángulos adyacentes cuya medida es la mitad de la medida del ángulo. emostración: La demostración es similar al teorema análogo para el punto medio. Se deja como ejercicio. efinición 11 os rayos opuestos son rayos y, con el mismo vértice, tales que. Figura 18: Los rayos y son opuestos, y en este caso, = 180. 9

efinición 12 os ángulos forman un par lineal cuando tienen un lado común y sus otros rayos son opuestos. Figura 19: Los rayos y son opuestos, y en este caso, los ángulos y forman un par lineal. Observaciones: Si dos ángulos y forman un par lineal (como en la figura 19), entonces ellos son adyacentes y por tanto + = = 180. efinición 13 os ángulos opuestos por el vértice son ángulos cuyos lados son rayos opuestos a los lados del otro ángulo. O Figura 20: y son rectas. sí, O y O son opuestos por el vértice, al igual que el par O, O. 10

Teorema 3 os ángulos opuestos por el vértice son congruentes. α y β son opuestos por el vértice. δ α O β α = β. emostración: firmaciones Razones (1) α + δ = 180 α y β forman un par lineal (2) α = 180 δ (1) (3) δ + β = 180 δ y β forman un par lineal (4) β = 180 δ (3) (5) α = 180 δ = β (2) y (4) (6) α = β (5) efinición 14 os rectas intersecantes son dos rectas que tienen exactamente un punto en común. m l Figura 21: Las rectas l y m se intersecan en. 11

efinición 15 os rectas perpendiculares son dos rectas que se intersecan formando un ángulo recto. m 90 O l Figura 22: Las rectas l y m son perpendiculares en O. Observaciones: Si dos rectas l y m son perpendiculares, lo denotamos por l m. La noción de perpendicularidad se extiende de manera natural a segmentos de recta y rayos. Se usa el mismo símbolo,, para denotar perpendicularidad. Por ejemplo, un rayo y una recta perpendiculares son un rayo y una recta que se intersecan formando un ángulo recto. Por otra parte, se puede demostrar (ejercicio) que si dos rectas son perpendiculares, entonces los cuatro ángulos que se forman son rectos. Figura 23: Un segmento y una recta perpendiculares. quí l. 12

Postulado de las Perpendiculares: ados una recta l y un punto P en un mismo plano, existe una única recta en el plano que es perpendicular a l y contiene a P. unque el Postulado de las Perpendiculares lo hemos enunciado como un postulado, y lo consideraremos como tal, en realidad se puede demostrar a partir del postulado del ángulo. La figura 24 ilustra el Postulado de las Perpendiculares en el caso en que el punto P no se encuentra sobre la recta. La figura 25 ilustra el caso en que el punto P se encuentra sobre la recta. m P P l l (1) (2) Figura 24: m P l P l (1) (2) Figura 25: 13

efinición 16 os rectas paralelas son dos rectas que están en un mismo plano y no se intersecan. Si l y m son rectas paralelas, escribimos l m. l m Figura 26: Si l y m están en un mismo plano y no se intersecan, entonces l y m son paralelas. Teorema 4 Si l n y m n, entonces l m. n l n y m n. Q O P l l m. m emostración: (Por contradicción). firmaciones Razones (1) Supongamos que l no es paralela a m Suposición de la demostración por contradicción (2) l y m se cortan en un punto P (1) (3) l n y m n Hipótesis (4) Por P pasan dos rectas perpendiculares a n (2) y (3) (5) Esto es una contradicción (4) y el Postulado de las Perpendiculares 14

onsideremos ahora una situación similar a la planteada en el Postulado de las Perpendiculares. ados una recta l y un punto P en un plano, existe una única recta paralela a l que pasa por P? n n P P P m l l l (1) (2) (3) Figura 27: Si l y m están en un mismo plano y no se intersecan, entonces l y m son paralelas. Es fácil demostrar que existe al menos una paralela, como indica la figura 27: dados la recta y el punto en el plano (1), existe una recta n (por el Postulado de las Perpendiculares) tal que n l (2) y finalmente, existe una recta m (por el Postulado de las Perpendiculares) tal que m n (3). En consecuencia, por el Teorema 4, se tiene que l m. Sin embargo no es posible demostrar que esta recta m es la única que es paralela a l y pasa por P. Por lo tanto necesitamos el siguiente postulado. Postulado de las Paralelas: ados una recta l y un punto P en un mismo plano, existe una única recta en el plano que es paralela a l y contiene a P. P P m l l (1) (2) Figura 28: Postulado de las Paralelas: ados una recta l y un punto P en un mismo plano (1), existe una única recta, m, en ese plano paralela a l que pasa por P (2). 15

Teorema 5 adas rectas l, m y n. Si l m y m n, entonces l n. n l m y m n. P l l n. m emostración: (Por contradicción). firmaciones Razones (1) Supongamos que l no es paralela a n Suposición de la demostración por contradicción (2) l y n se cortan en un punto P (1) (3) l m y m n Hipótesis (4) Por P pasan dos rectas paralelas a l (2) y (3) (5) Esto es una contradicción (4) y el Postulado de las Paralelas efinición 17 adas dos rectas en un plano, una recta transversal es una recta que interseca a los dos rectas en dos puntos distintos. t 1 2 3 4 5 7 6 8 m l Figura 29: La recta t es transversal a l y m. 16

omo vemos en la figura 29, una transversal forma con las otras dos rectas que interseca ocho ángulos diferentes. iertos pares tienen un nombre especial. Los ángulos 3 y 6 son alternos internos, al igual que el par 4, 5. Teorema 6a Si dos rectas forman con una transversal ángulos alternos internos congruentes, entonces las rectas son paralelas. emostración: La demostración se pospone hasta la próxima sección. Teorema 6b Si dos rectas son paralelas, entonces ellas forman con una transversal ángulos alternos internos congruentes. t La transversal t corta a m en y a n en y m n. m γ β α l α = β. n emostración: (Por contradicción). firmaciones Razones (1) Supongamos que α y β Suposición de la no son congruentes demostración por contradicción (2) Sea l la recta que pasa por Postulado del ángulo y Postulado 1 y para la cual γ = α (ejercicio: completar los detalles) (3) l pasa por y l n (2) y Teorema 6a (4) m pasa por y m n Hipótesis (5) Esto es una contradicción (3), (4) y el Postulado de las Paralelas sí, combinando los Teoremas 6a y 6b, tenemos: Teorema 6 os rectas son paralelas si y solo si forman con una transversal ángulos alternos internos congruentes. 17

2 Triángulos efinición 18 Sea n = 3, 4, 5.... Un polígono de n lados es un conjunto de n segmentos P 1 P 2, P 2 P 3,..., P n 1 P n, P n P 1, tales que: los puntos consecutivos P 1, P 2,..., P n 1, P n son coplanares, ninguna terna consecutiva de ellos (esto es, P i, P i+1, P i+2 ) son colineales y los n segmentos se intersecan sólo en sus extremos. P 2 P 3 P 1 P 5 P 4 P 6 Figura 30: Un polígono de seis lados. Observaciones: Los segmentos P 1 P 2, P 2 P 3,...,P n 1 P n, P n P 1, se llaman lados del polígono, los puntos P 1, P 2,...,P n 1, P n, vértices del polígono y los ángulos P 1, P 2,..., P n 1, P n, ángulos del polígono. El polígono se denota P 1 P 2... P n 1 P n. os lados consecutivos son dos lados con un vértice común. efinición 19 Un triángulo es un polígono de tres lados. c a b Figura 31: Un triángulo. 18

Observaciones: Un triángulo de vértices,, lo denotamos por. Usualmente, cada lado se nombra con la letra minúscula correspondiente al vértice opuesto (vértice que no contiene el lado en cuestión). En el triángulo de la figura 31, y a son opuestos, y b son opuestos y y c son opuestos. efinición 20 Un triángulo equilátero es uno que tiene sus tres lados congruentes. E F Figura 32: Si = =, entonces es equilátero, y si E = EF, entonces EF es isósceles. efinición 21 Un triángulo isósceles es uno que tiene dos de sus tres lados congruentes. Informalmente, dos triángulos congruentes son dos triángulos que tienen el mismo tamaño y forma. ada ángulo de uno de los triángulos es congruente a un ángulo del otro y cada lado de un triángulo es congruente con un lado del otro. Supongamos que los triángulos y FE de la figura 33 son congruentes. Nótese que están denotados E F Figura 33: Si = =, entonces es equilátero, y si E = EF, entonces EF es isósceles. de manera que cada vértice de corresponde exactamente a un vértice de FE ( corresponde a F, a y a E). Esta relación se llama correspondencia uno a 19

uno. Esta correspondencia la podemos indicar de la siguiente manera: F, y E. El orden en que se nombran los vértices de los triángulos congruentes en la expresión = FE, indica la correspondencia: F E En los triángulos congruentes y F E de la figura 33, el vértice corresponde con el vértice F, así, los ángulos y F son ángulos correspondientes, y = F. e hecho, hay tres pares de ángulos correspondientes: = F, = y = E. En los triángulos congruentes y F E de la figura 33, como F y, se tiene que y F son lados correspondientes, y = F. e hecho, hay tres pares de lados correspondientes: = F, = E y = FE. La definición formal de triángulos congruentes es la siguiente: efinición 22 os triángulos son congruentes si y sólo si hay una correspondencia uno a uno entre sus vértices tal que ángulos correspondientes son congruentes y lados correspondientes son congruentes. La congruencia = FE establece seis hechos acerca de los triángulos congruentes y FE de la figura 33 que se resumen en la siguiente tabla: Triángulos orrespondencia ongruencias Igualdades congruentes entre vértices = F = F F = E = E = FE = FE = FE E = F = F = = = E = E 20

La definición de triángulos congruentes establece que hay que demostrar seis congruencias (o, equivalentemente, seis igualdades) si queremos demostrar que dos triángulos son congruentes. Sin embargo, en la práctica es posible demostrar que dos triángulos son congruentes demostrando sólo tres congruencias (o, equivalentemente, tres igualdades) como establecen los tres siguientes postulados, llamados postulados de congruencia de triángulos. Postulado LL (Lado-Ángulo-Lado) Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. Figura 34: Postulado LL. Ejemplo 1 = y es la bisectriz de. =. emostración: firmaciones (1) = (2) = Hipótesis Razones es la bisectriz de (3) = Todo segmento es congruente consigo mismo (4) = (1), (2), (3) y el Postulado LL 21

efinición 23 La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Postulado L (Ángulo-Lado-Ángulo) Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. Figura 35: Postulado L. Ejemplo 2 es la mediatriz de. =. emostración: firmaciones Razones (1) = es el punto medio de (2) = 90 = es perpendicular a (3) = (2) (4) = Todo segmento es congruente consigo mismo (5) = (1), (3), (4) y el Postulado L 22

El siguiente postulado en realidad es un teorema, pues puede demostrarse haciendo uso del Postulado L, entre otras cosas. Nosotros lo asumiremos sin demostración, es decir, lo enunciaremos como un postulado. Postulado LLL (Lado-Lado-Lado) Si los tres lados de un triángulo son respectivament congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. Figura 36: Postulado LLL. Ejemplo 3 = y es el punto medio de. =. emostración: firmaciones Razones (1) = Hipótesis (2) = es el punto medio de (3) = Todo segmento es congruente consigo mismo (4) = (1), (2), (3) y el Postulado LLL 23

Podemos demostrar que segmentos o ángulos en una figura geométrica son congruentes usando el hecho de que partes congruentes de triángulos congruentes son congruentes, demostrando previamente que dos triángulos son congruentes. Ejemplo 4 y E ; = ; E y son opuestos por el vértice. E =. E emostración: firmaciones Razones (1) y E Hipótesis (2) y son ángulos rectos (1) (3) = mbos ángulos miden 90 (4) = Hipótesis (5) E y Hipótesis son opuestos por el vértice (6) E = Teorema 3 (7) E = (3), (4), (7) y Postulado L (8) E = Partes congruentes de triángulos congruentes son congruentes efinición 24 Un ángulo exterior de un polígono es un ángulo que forma un par lineal con un ángulo del polígono. ado un ángulo exterior de un polígono, los ángulos del polígono que no forman un par lineal con este ángulo se llaman ángulos remotos correspondientes al ángulo exterior dado. 24

Teorema 7 (Teorema del Ángulo Exterior) La medida de un ángulo exterior de un triángulo es mayor que la medida de cualquiera de los dos ángulos remotos correspondientes. es un ángulo exterior de. P M > y >. 1 2 emostración: Haremos la demostración para una de las conclusiones, pues la demostración de la otra conclusión es similar. firmaciones Razones (1) Sea M el punto medio de Postulado 5 (2) Por y M pasa una única recta Postulado 1 (3) Existe un punto P en M Postulado del Segmento tal que M = PM (4) Por y P pasa una única recta Postulado 1 (Ejercicio: completar los detalles) (5) M = PM (Ejercicio: completar los detalles) (6) = 1 Ángulos correspondientes de triángulos (7) = 1 (6) congruentes son congruentes (8) = 1 + 2 1 y 2 son adyacentes (9) 1 + 2 > 1 Si a, b son reales positivos, (10) > 1 (8) y (9) entonces a + b > a (11) > (10) y (6) 25

hora estamos en condiciones de demostrar el Teorema 6a de la sección anterior. El Teorema 6a afirma (ver figura 37) que si α = β, entonces l y m son paralelas. t l α β m Figura 37: Teorema 6a. Teorema 6a Si dos rectas forman con una transversal ángulos alternos internos congruentes, entonces las rectas son paralelas. l t α = β. α l m. m β P emostración: (Por contrarrecíproca) firmaciones Razones (1) Supongamos que l y m no son paralelas Suposición de la demostración por contrarrecíproca (2) l y m se cortan en un punto P (1) (3) α es un ángulo exterior del triángulo P Teorema del Ángulo Exterior y α > β (4) α no es congruente con β (3) 26

E E F F Teorema 8 Si en un triángulo dos lados son congruentes (el triángulo es isósceles), entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes. E = FE. E = F. F emostración: firmaciones Razones (1) E = FE Hipótesis (2) FE = E Hipótesis y propiedad simétrica (3) E = E Todo ángulo es congruente consigo mismo (4) EF = FE (1), (2), (3) y Postulado LL (5) = F (4) Ángulos correspondientes de triángulos congruentes, son congruentes Teorema 9 Si en un triángulo dos ángulos son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes (el triángulo es isósceles). = F. E E = FE. F emostración: La demostración es análoga a la demostración del teorema anterior y se deja como ejercicio 27

Teorema 10 La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180. es un triángulo. 1 2 3 E + + = 180. emostración: firmaciones Razones (1) Por y pasa una única recta, Postulado 1 (2) Por pasa una única recta, E, paralela a (3) Por y pasa una única recta, Postulado 1 (4) 1 = y 3 = Teorema 6b Postulado de las Paralelas (5) + 3 = 180 y 3 forman un par lineal (6) 1 + 2 = 1 y 2 son adyacentes (7) 1 + 2 + 3 = 180 (5) y (6) (8) + + = 180 (4), (7) y = 2 28

Teorema 11 La medida del ángulo exterior de triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos remotos. con ángulo exterior 2. 2 = +. 1 2 emostración: firmaciones Razones (1) + + 1 = 180 Teorema 10 (2) 1 + 2 = 180 1 y 2 forman un par lineal (3) 1 + 2 = + + 1 (1) y (2) (4) 2 = + (3) de la congruencia de segmentos Teorema 12 (Teorema de ongruencia L (Ángulo, Ángulo, Lado)) Si dos ángulos y un lado de un triángulo son congruentes con dos lados y un lado de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. =, = F, y = EF. E = FE. F 29

emostración: firmaciones Razones (1) + + = 180 Teorema 10 (2) + E + F = 180 Teorema 10 (3) = = (4) = F = F (5) = 180 (1) (6) E = 180 F (2) (7) = 180 = E (3), (4), (5) y (6) (8) = E (7) (9) = EF Hipótesis (10) = F Hipótesis (11) = FE (8), (9), (10) y Postulado L efinición 25 Un triángulo rectángulo es uno que tiene un ángulo recto. En vista del Teorema 10, sólo un ángulo de un triángulo rectángulo es recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Figura 38: es un triángulo rectángulo, es su hipotenusa, y son sus catetos. El siguiente teorema es válido sólo para triángulos rectángulos. 30

Teorema 13 (Teorema de ongruencia H (Hipotenusa-ateto)) Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un cateto de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. y EF son E triángulos rectángulos con y F rectos; = E y = EF. = EF. F G emostración: Trazamos F (Postulado 1) y elegimos G en F tal que FG = (Postulado del Segmento). Trazamos EG (Postulado 1). hora, en y GEF se tiene: = FG, = EFG = EF (ambos son ángulos rectos), y (Hipótesis). Entonces, por el Postulado LL, se tiene que = GEF. demás, GE = = E GE = E (lados correspondientes de triángulos congruentes, son congruentes), (Hipótesis), y así (propiedad transitiva de la congruencia de segmentos). sí, en el triángulo EG, se tiene que GE = E. Por lo tanto = G (por el Teorema 8). omo = GEF, se concluye que G = (ángulos correspondientes de triángulos congruentes, son congruentes). Se sigue que = (propiedad transitiva de la congruencia de ángulos), y así = EF por el Teorema de ongruencia L. 31

3 uadriláteros y Áreas efinición 26 Un cuadriláteros es un polígono de cuatro lados. os lados no consecutivos de un cuadrilátero se dice que son opuestos. efinición 27 Un rectángulo es un cuadrilátero tal que sus cuatro ángulos son rectos. E F H G Figura 39: EFGH es un cuadrilátero y es un rectángulo. efinición 28 Un cuadrado es un cuadrilátero tal que sus cuatro lados son congruentes. Figura 40: Si = = =, entonces es un cuadrado. Observaciones: Se puede demostrar (ejercicio) que lados opuestos de un rectángulo son paralelos y que un cuadrado es un rectángulo. Por otra parte, dos lados no consecutivos de un rectángulo se llaman base y altura del rectángulo. Es de hacer notar que los términos base y altura denotan tanto los segmentos como las longitudes de éstos. 32

Teorema 14 La suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero es 360. es un cuadrilátero. 4 3 + + + = 360. 2 1 emostración: firmaciones Razones (1) Por y pasa una única recta Postulado 1 (2) 1 + + 3 = 180 y Teorema 10 2 + + 4 = 180 (3) 1 + + 3 + 2 + + 4 = 360 (2) (4) 1 + 2 = y 1, 2 son adyacentes 3 + 4 = (5) + + + = 360 (3) y (4) y 3, 4 son adyacentes Teorema 15 Lados opuestos de un rectángulo son congruentes. es un rectángulo. = y =. 33

emostración: firmaciones Razones (1) Por y pasa una única recta Postulado 1 (2) Lados opuestos de un rectángulo son paralelos (3) = Teorema 6b (4) = Teorema 6b (5) = Todo segmento es congruente consigo mismo (6) = (3), (4), (5) y Postulado L (7) = y = Lados correspondientes de triángulos congruentes son congruentes efinición 29 Una región triangular es un conjunto formado por los puntos de un triángulo y los puntos interiores de éste (los puntos del plano que contiene al triángulo encerrados por los tres segmentos del triángulo). (1) (2) Figura 41: (1) un triángulo, (2) una región triangular. efinición 30 Una región poligonal es la unión de un número finito de regiones triangulares que se encuentran en un plano dado, y tales que, si se intersectan dos cualesquiera de ellas, la intersección es un segmento o un punto. 34

Figura 42: tres regiones poligonales. Postulado del Área: cada región poligonal le corresponde un número positivo llamado su área, tal que: 1. Regiones triangulares correspondientes a triángulos congruentes tienen igual área. 2. El área de una región poligonal que consiste de dos o más regiones poligonales que no se superponen es igual a la suma de las áreas de las regiones poligonales que la componen. Es claro que un rectángulo y sus puntos interiores (los puntos del plano que contiene el rectángulo encerrados por los cuatro segmentos del rectángulo) forman una región poligonal que podemos llamar región rectangular. En lo sucesivo, al referirnos al área de un triángulo o al área de un rectángulo nos estamos refiriendo a las áreas de las regiones triangular y rectangular, respectivamente. Postulado 7 El área de un rectángulo es el producto de la longitud de su base por la longitud de su altura. el Postulado 7 se concluye que el área de un cuadrado es el cuadrado de la longitud de cualquiera de sus lados. Figura 43: Si es un rectángulo, entonces área() = ó también área() =. 35

Teorema 16 El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de las longitudes de sus catetos. l m es un triángulo rectángulo con ángulo recto. área( ) = 1. 2 emostración: firmaciones Razones (1) Por y pasa una única recta Postulado 1 (2) Por pasa una única recta l, Postulado de las Paralelas paralela a (3) Por y pasa una única recta Postulado 1 (4) Por pasa una única recta m, Postulado de las Paralelas paralela a (5) l y m se intersecan en un único punto l y m no son paralelas (ejercicio: demostrarlo) (6) es un rectángulo (ejercicio: demostrarlo) (7) = (ejercicio: demostrarlo) (8) área( ) = área( ) Postulado del Área (1.) (9) área() = Postulado 7 (10) área() = área( ) + área ( ) Postulado del Área (2.) (11) = 2 área( ) (8) y (10) (12) área( ) = 1 (11) 2 36

efinición 31 Un segmento es una altura de un triángulo si es el segmento perpendicular desde uno de los vértices a la recta que contiene el lado opuesto. El lado es llamado base correspondiente. Todo triángulo tiene tres alturas. h F h J h E G H I K Figura 44: La figura 44 muestra que de acuerdo a la definición de altura, ésta puede estar dentro del triángulo, fuera del triángulo, o ser uno de sus lados. Teorema 17 El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de cualquier base por la longitud de la correspondiente altura. altura y base correspondiente. área( ) = 1. 2 emostración: firmaciones Razones (1) y son triángulos rectángulos y son ángulos rectos (2) área( ) = 1 2 Teorema 16 (3) área( ) = 1 2 Teorema 16 (4) área( ) = área( ) + área( ) Postulado del Área (2.) (5) área( ) = 1 + 1 2 2 (2), (3) y (4) (6) área( ) = 1 ( + ) 2 (5) (7) área( ) = 1 2 (6) y + = 37

La demostración se hizo para el caso en que la altura está dentro del triángulo. El caso en que la altura se encuentra fuera del triángulo se demuestra de manera similar (ejercicio). El caso en que la altura es uno de los lados es el Teorema 16. Teorema 18 (Pitágoras) En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. b a ado un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud c y catetos de a c c b longitudes a y b. b c c a c 2 = a 2 + b 2. a b Hay muchas demostraciones de este Teorema. En la página http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml se pueden hallar 94 demostraciones. Una de ellas se basa en la figura: emostración: El cuadrado grande se subdivide en cinco regiones poligonales. En consecuencia (por el Postulado del Área), el área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de las cinco regiones poligonales. sí, (a + b) 2 ( ) 1 = 4 2 ab + c 2 a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2 a 2 + b 2 = c 2 38

4 ircunferencias efinición 32 Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia dada de un punto fijo en el plano llamado centro de la circunferencia. Una circunferencia usualmente se denota por su centro. Por definición, el radio de una circunferencia O es la distancia entre O y cualquier punto P de ésta. El término radio también designa el segmento OP. efinición 33 Un radio de una circunferencia es un segmento de recta cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta. Por definición de circunferencia, en la figura se tiene que OP = OQ. Por lo tanto, OP = OQ. Esto demuestra el siguiente teorema. P O Q Figura 45: P y Q son puntos de la circunferencia O y OP, OQ son radios. Teorema 19 En una circunferencia todos los radios son congruentes. efinición 34 Una cuerda de una circunferencia es un segmento de recta cuyos extremos son puntos de la circunferencia. Un diámetro es una cuerda que contiene el centro de la circunferencia. e manera similar al término radio, el término diámetro designa un segmento de recta y también su longitud. Por definición de circunferencia, si es un diámetro de una circunferencia O, entonces O es el punto medio de. demás, todos los diámetros de una circunferencia son congruentes. En consecuencia, si d es diámetro de una circunferencia (la longitud de cualquier diámetro de ésta) y r es su radio, entonces d = 2r. 39

O Figura 46: es una cuerda y es un diámetro de de la circunferencia O. Teorema 20 Un diámetro perpendicular a una cuerda contiene el punto medio de ésta. es un diámetro de la circunferencia O y. O E emostración: E es el punto medio de. firmaciones Razones (1) Hipótesis (2) ibujamos O y O Postulado 1 (3) EO y EO son ángulos rectos (1) (4) O = O O y O son radios de la circunferencia O (5) OE = OE Todo segmento es congruente consigo mismo (6) EO = EO (4), (5) y Teorema de ongruencia H (7) E = E Segmentos correspondientes de triángulos congruentes son congruentes (8) E es el punto medio de (7) 40

Teorema 21 Si un diámetro contiene el punto medio de una cuerda que no es un diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda. es un diámetro de la circunferencia O y E es el punto medio de. O E. emostración: firmaciones Razones (1) ibujamos O y O Postulado 1 (2) E = E E es el punto medio de (3) OE = OE Todo segmento es congruente consigo mismo (4) O = O O y O son radios de la circunferencia O (5) EO = EO (2), (3), (4) y Postulado LLL (6) EO = EO Ángulos correspondientes de triángulos congruentes son congruentes (7) EO = 90 = EO mbos ángulos son congruentes (6) y forman un par lineal (8) (7) 41

Teorema 22 La mediatriz de una cuerda contiene el centro de la circunferencia. es una cuerda de la circunferencia O, M es el punto medio de y es la mediatriz de. O M O es un punto en. emostración: (Por contradicción) Supongamos que la mediatriz de,, no pasa por O como en la figura. Trazamos O, O y la recta OM (Postulado 1). Entonces OM = OM ( por qué?). En consecuencia MO = 90 = MO, y ambos ángulos son rectos ( por qué?). sí, OM y OM es la mediatriz de ( cuál teorema contradice esta conclusión?). Esto nos dice que la suposición de que no pasa por O es falsa. En consecuencia, O es un punto en. efinición 35 Un ángulo inscrito en una circunferencia es un ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y cuyos lados contienen cuerdas de la circunferencia. O Figura 47: O es el ángulo central correspondiente al ángulo inscrito. 42

efinición 36 Sea un ángulo inscrito en una circunferencia O. El ángulo central correspondiente al ángulo es el ángulo O. Teorema 23 La medida de un ángulo inscrito de una circunferencia es igual a la mitad de la medida del ángulo central correspondiente. Sólo demostraremos el caso en que el ángulo inscrito contiene el centro de la circunferencia. Los otros dos casos, (1) el centro está en el interior del ángulo ángulo inscrito y (2) el centro está en el exterior del ángulo inscrito, se deducen del caso que demostraremos y lo dejamos como ejercicio. es un ángulo inscrito en la circunferencia O y O es su ángulo central correspondiente. O = 1 2 O. emostración: firmaciones Razones (1) O = O O y O son radios (2) O es isósceles (1) de la circunferencia O (3) = O = O son ángulos de la (4) = O (3) (5) O = + O Teorema 11 (6) O = + (4) y (5) (7) = 1 O (6) 2 base de un triángulo isósceles 43

Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo inscrito en una circunferencia cuyos lados contienen los extremos del diámetro de la circunferencia, como el ángulo en el siguiente corolario. orolario 1 Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. es un ángulo inscrito en la circunferencia O y es un diámetro. O es un ángulo recto. emostración: = 1 2 O = 1 2 180 = 90 En consecuencia, es un ángulo recto. efinición 37 Una tangente a una circunferencia es una recta en el plano de la circunferencia que interseca a la circunferencia en un único punto. O l P Figura 48: Si l interseca a la circunferencia O únicamente en el punto P de ésta, entonces l es tangente a la circunferencia O. Postulado 8 ado un punto en una circunferencia, existe una única recta tangente a la circunferencia que contiene ese punto. 44

Teorema 24 Si una recta es perpendicular a un radio en su extremo de la circunferencia, entonces la recta es tangente a la circunferencia. En la circunferencia O se tiene que O. O La recta es tangente a la circunferencia O. emostración: (Por contradicción) Supongamos que no es tangente a la circunferencia O. Entonces interseca a O en un segundo punto, además de. omo O, se tiene que O = 90. omo O = O, pues O y O son radios, se tiene que O es isósceles y así, O = O (Teorema 8). En consecuencia O = O = 90. sí O es recto y O. hora, las rectas O y O son dos rectas perpendiculares a la recta y pasan por O. Esto es una contradicción, pues por un punto exterior a una recta pasa una única perpendicular a la recta. En consecuencia es tangente a la circunferencia O. Teorema 25 Si una recta es tangente a una circunferencia, entonces es perpendicular al radio en el punto de tangencia. es tangente a la circunferencia O en el punto. O O. 45

emostración: (Por contradicción) Supongamos que no es perpendicular a O. Sea O la recta perpendicular a que pasa por O (por un punto exterior a una recta pasa una única recta perpendicular a la recta dada). Entonces O. Por el Postulado del Segmento, en el rayo existe un punto tal que =. Trazamos O (por dos puntos pasa una única recta). hora, =, O = O y O = O (ambos ángulos son rectos) y en consecuencia, por el Postulado LL, O = O. Por lo tanto O = O. omo todos los radios son congruentes, se tiene que está en la circunferencia. Esto contradice el Postulado 8. En consecuencia O. 46