Radicales y sus operaciones MATEMÁTICAS º CICLO E.S.O.
Objetivos: Simplificar radicales Efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación y división con radicales Racionalizar parte de una fracción
Notación: La raíz cuadrada de un número a, se representa por En general, la raíz enésima de a se representa por: a n a El índice n, es un número natural, n. En el caso de n =, raíz cuadrada, no hay que escribirlo.
El símbolo se conoce como radical. La parte dentro del radical se conoce como radicando. El número pequeño fuera del radical, se conoce como índice.
Definición: La raíz cuadrada de un número no negativo a, es un número no negativo b tal que al elevar b al cuadrado obtenemos a. a b si y solo si b = a Por eso decimos que la operación elevar al cuadrado, es inversa a la operación obtener la raíz cuadrada. Ejemplos: 9 porque 64 8 porque 8 9 64
En general, la operación radicación es inversa a la operación n exponenciación. Decimos que: a b Si y solo si b n = a, cuando a y b tengan el mismo signo. Se debe notar que 9 no es un número real porque no existe ningún número tal que al cuadrarlo de -9. Por eso decimos en general que: a existe en los reales si a > 0. Lo mismo sucede con todas las raíces de índice par.
Ejemplos: a) 7 porque = 7 b) 64 4 porque (-4) = -64 c) d) 4 16 porque (-) = - no es real porque ningún número real elevado a la cuarta potencia puede ser negativo.
Ejercicios: e) 4 81 f) 1000-10 g) 0.01 0.1 h) 8 1 1/ i) 4 9 /
Propiedades: Si n a R y b R n entonces, n a n b n a b Si n a R y n b R entonces, n n a b n a b
Ejemplos: a) 16 16 4 b) 8 1000 8 1000 10 1 c) 16 16 8 1 1 d) 81 4 16 4 4 81 16
Ejercicios: e) 9 6 1/ f) 0. 001 0.1 g) 18 1/ h) 1 4 81 1/
Sumas o restas en el radicando: Cuando tenemos una suma o una resta en un radicando, hay primero que efectuar la operación de suma o resta, para luego llevar a cabo la radicación. Esto es así porque: a b a b Bastaría un contraejemplo para demostrarlo: 8 4 4 4 4 4
Sabemos que 8 4 por lo tanto, confirmamos lo antes expuesto, a b a b Lo mismo ocurre con la resta y con radicales de otros índices.
Radicales semejantes: Decimos que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplos: Los siguientes pares de radicales son semejantes. y 8 y 4 4 y 4
Dos radicales semejantes se pueden combinar, esto es, se pueden sumar o restar. Veamos como: n n n n p a q a a ( p q) ( p q) a Esto es, usando la propiedad distributiva, o factorizando el término común de ambos términos. Finalmente, p y q se suman (o se restan si fuese el caso).
Ejemplos: a) ( ) b) 8 ( 8 ) 1 c) 4 (4 ) 7 d) ( ) ( ) En este último ejemplo combinamos sólo los radicales semejantes.
Pero si intentamos sumar: 7 48 Como no son radicales semejantes, no podemos combinarlos. Sin embargo, podemos simplificar cada uno de ellos. Veamos: 7 48 16 16 4 Por lo tanto, volviendo al ejercicio original, 7 48 = ( ) (4 ) = 10 1 =
Ejercicios: e) 7 10 f) 0 8 4 g) 0 8 h) 7 7 4 10 9 4
Extracción de factores: Como ya hemos visto, podemos descomponer un radicando como el producto de otros números de manera que alguno de los factores sea una raíz exacta y por ende pueda salir del radical, esto es, se pueda extraerse la raíz. Veamos el siguiente ejemplo: 00 100 100 10
Explicación: Como sabemos que 100 es un cuadrado perfecto, y 100 es un factor de 00, rescribimos 00 como 100 para poder extraer el 100 de la raíz cuadrada. Se puede notar, sin embargo que 00 es también 4 7, de modo que: 00 47 4 7 7
Aunque esto también es correcto, no está completamente simplificado porque 7 todavía tiene un factor que es un cuadrado perfecto:. 00 47 4 7 7 10 Ciertamente, este resultó más largo, pues no hallamos desde el principio el factor de 00 mayor que fuese un cuadrado perfecto.
Para simplificar un radical, debemos factorizar el radicando de manera que alguno de los factores sea una raíz perfecta: Ejemplos: a) 16 = 8 = = 8 b) 70 6 4 6 1 En este último caso, observa cómo hicimos la descomposición por pasos hasta encontrar todos los cuadrados perfectos que son factores de 70.
Estos pasos pudieron haber sido otros o en otro orden, como por ejemplo descomponer en factores primos el radicando, pero siempre vamos a encontrar los mismos cuadrados perfectos. Probablemente conviene repasar los cuadrados y cubos perfectos:
Cuadrados perfectos: Cubos perfectos: 1 = 1 1 = 1 = 4 = 8 = 9 = 7 4 = 16 4 = 64 = = 1 6 = 6 6 = 16 7 = 49 8 = 64 9 = 81
Ejercicios: Simplifica (extrayendo todos los factores que sea posible): c) 4 d) 48 e) 640 4 8 10 f) 4
Suma y resta de radicales: Como vimos anteriormente, la suma o la resta de radicales consiste en sumar (o restar) los radicales semejantes. Antes de hacer esto, hay que simplificar los mismos completamente: a) 0 8 7 18 7 4 1 0 b) 16 4 4 10 9 9 19 9
Más ejercicios: c) 7 0 00 6 d) 7 000 4 0 4 e) 6 1 00 6
Multiplicación de radicales: Anteriormente vimos, con la propiedad 1 que: n a n b n a b Por lo tanto, podemos decir que cuando multiplicamos radicales con el mismo índice, el producto será un radical con el mismo índice y el producto de los radicandos.
Ejemplos: a) 6 10 18 10 0 b) ( ) ( ) 6 1 6 0 c) 1 6 1 6 1 Es importante reconocer que sólo se pueden multiplicar de esta manera, radicales con el mismo índice.
Ejercicios: d) ( 6) ( 8) 40 e) 4 4 0 f) 6 4 8 1 1
División de radicales: De la misma forma, la propiedad nos indica que: n n a b n a b Esto en palabras diría que, si tenemos dos radicales con el mismo índice y se están dividiendo, el resultado será un radical con el mismo índice y con la división de los radicandos.
Ejemplos: a) 48 48 16 4 b) 1 1 c) 1 1 7 4 7 De la misma forma, tenemos que hacer énfasis en que esto aplica sólo a radicales con el mismo índice.
Ejercicios: d) 0 10 e) 4 10 f) 1 18 / 6
Operaciones combinadas: Ahora veamos algunos ejemplos donde se combinan las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de radicales. Supongamos que tenemos el siguiente ejercicio: ( ) ( ) En este caso, utilizamos la propiedad distributiva, al igual que la usamos si tuviésemos la multiplicación de dos binomios.
Tenemos entonces: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 9 6 6 4 1 9 10 6 9 6 6 1 10 6 6 1 4 6
Ejercicios (usa las identidades notables cuando sea posible): a) 7 7 7 b) 7 4 c) 7 7 8 7 d) 6 6 10 e) 1 14 7
Racionalización: La fracción representa un número irracional pues no se puede escribir de forma equivalente como una división de dos números enteros. Aunque el numerador es racional, el denominador es irracional. En ocasiones se necesita que el denominador de una fracción sea racional. Podemos cambiar la fracción a una equivalente con el denominador racional.
Esto podemos hacerlo usando el principio en donde: a b a b k k En otras palabras, podemos multiplicar numerador y denominador por un mismo número (distinto de cero) y la fracción que se obtiene es equivalente.
En este caso, tenemos que buscar por cual número multiplicar el denominador, para que se vuelva entero. Si multiplicamos 4 queda racionalizado el denominador.
Hay que tener claro, que la fracción seguiría siendo irracional. Antes, había radical en el denominador, y ahora está en el numerador. A este proceso se le llama racionalizar el denominador. La razón por la que escogimos multiplicar al numerador y denominador por es porque así sabemos que el denominador sería 4 que es un número racional porque es entero.
Ejemplos: Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones: a) 8 8 16 4 En este caso pudimos haber multiplicado por 8 y también lo lográbamos pero luego tendríamos que simplificar.
b) En el siguiente ejemplo veremos una fracción con raíz cúbica. c) 9 9 7 9 9 En este caso, no podemos juntar los dos radicales del numerador en una sola fracción porque tienen diferente índice.
Ejercicios: d) 4 6 6 / e) 7 0 7 /10 f) 4 / 4 Sabrías cómo convertir las dos raíces con distinto índice del apartado f) en una sola? Recuerda que un radical es lo mismo que una potencia pero con exponente fraccionario
Y ahora a practicar