UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DIVISIÓN Física y Matemáticas DEPARTAMENTO Matemáticas Puras y Aplicadas. CÓDIGO MA2321 ASIGNATURA Análisis I REQUISITOS Cálculo III (MA2136) HORAS/SEMANA T.4 P.2 L.0 UNIDADES CRÉDITO: VIGENCIA Propuesta a partir de septiembre 2010 AUTORES Sección de Análisis PROFESOR JUSTIFICACIÓN Este es un curso principalmente orientado al estudio riguroso de continuidad y diferenciabilidad de funciones reales de una variable real y de convergencia de sucesiones y series de números reales. A través de este curso el estudiante trabajará con las propiedades de la aritmética, el orden y la completitud que hacen del conjunto de los números reales un cuerpo ordenado arquimediano completo. Estudiará las propiedades de la topología de, en cuanto espacio métrico, y los distintos resultados asociados al estudio de continuidad y diferenciabilidad de funciones reales de una variable real. También conocerá en profundidad las demostraciones de los distintos criterios de convergencia para series de números reales. Al ser un curso de análisis de funciones reales de una variable real, está orientado principalmente a familiarizar a los estudiantes con las distintas demostraciones propias del Análisis, por lo cual se requerirá que el estudiante haya cursado y aprobado los cursos de Cálculo Avanzado para poder tomar este curso.
OBJETIVOS Generales: Analizar los conceptos básicos, principios y métodos que fundamentan la continuidad y la diferenciabilidad de funciones reales de una variable real. Estudiar la topología de IR. Estudiar los criterios de convergencia de series de números reales. Específicos: Una vez aprobada la asignatura el alumno debe estar en capacidad de: Conocer los axiomas que definen al conjunto de los números reales como cuerpo ordenado completo, y mostrar cómo otras propiedades de los números reales pueden ser deducidas a partir de estos axiomas. Trabajar con la noción de convergencia de sucesiones de números reales. Formular y demostrar las principales propiedades asociadas a la topología de. Conocer los criterios de convergencia de series y saber aplicarlos en ejercicios concretos. Formular y demostrar los principales teoremas que guardan relación con la continuidad y la diferenciabilidad de funciones reales de una variable real. CONTENIDO PROGRAMÁTICO 1. Números reales. Propiedades axiomáticas de los números reales como cuerpo ordenado. Racionales e irracionales. El número no es racional. Representación geométrica de los números reales. Valor absoluto y desigualdad triangular. Cotas superiores e inferiores, elemento máximo y mínimo, supremo e ínfimo, propiedades. Axioma de completitud de los números reales. Propiedad arquimediana de la recta real. Densidad de los racionales y los irracionales en la recta real. Representación decimal. Numerabilidad de los racionales. No numerabilidad de los irracionales. 2. Topología de. Sucesiones en. Convergencia, sucesiones monótonas, sucesiones de Cauchy. Puntos de acumulación de sucesiones. Subsucesiones convergentes. Conjuntos cerrados y abiertos. Puntos de acumulación de un conjunto en. Conjunto derivado. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Relación entre puntos de acumulación de una sucesión y de un conjunto. Límites superior e inferior de sucesiones. Compacidad. Teorema de Heine-Borel. 3. Series numéricas. Criterios de convergencia: Comparación, Raíz, Cociente, de la Integral. Criterio de Raabe. La serie geométrica. La serie armónica. Series absolutamente convergentes y series condicionalmente convergentes. Series alternadas. Rearreglos de series. Series dobles. 4. Límites y continuidad de funciones reales de una variable real. Límites por sucesiones y por vecindades. Infinitesimales equivalentes. Continuidad uniforme. Funciones monótonas.
5. Derivadas de funciones reales de una variable real. Extremos locales. Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Fórmula de De L Hôpital. Derivadas de orden superior. Fórmula de Taylor. Diferenciales. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS DE ENSEÑANZA- APRENDIZAJE El curso consiste de 6 horas semanales, distribuidas en 4 horas de teoría, donde el profesor expone el contenido del mismo, y 2 horas de práctica, donde el preparador y los estudiantes trabajan y/o discuten los ejercicios propuestos para cada tema. Opcional: También dependiendo de la metodología usada por el profesor para impartir sus clases, suelen asignarse tareas periódicas que motivan al estudiante a mantenerse al día con la materia y que en consecuencia facilitan su comprensión de las clases. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Usualmente al inicio de clases (Semana 1 del periodo lectivo) el profesor encargado del curso propone al estudiante un cronograma de evaluación que comprende las fechas, ponderaciones y los contenidos de cada evaluación. Algunos profesores de la sección distribuyen los porcentajes de la evaluación de la forma siguiente: Un 85% de la calificación del curso corresponde a la aplicación de tres exámenes parciales y el 15% restante corresponde a las actividades de práctica (distribuidas entre quices y/o tareas). Otros profesores de la sección distribuyen el 100% de la calificación del curso entre la aplicación de exámenes parciales. En cualquiera de los casos, las estrategias de evaluación del curso serán siempre presentadas a los estudiantes en la Semana 1. El profesor podrá incorporar a estas estrategias sugerencias provenientes de sus alumnos. BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Referencias básicas: 1. R. Courant, Differential and Integral Calculus. Wiley-Interscience. 1 st Edition. 1988. Vol. I: Capítulos I, II, V, VI y VIII. Disponible online en http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat6/startdiall.htm
2. M. Spivak, Calculus. Publish or Perish. 4 th Edition. 2008. Parte I: Capítulos 1 y 2. Parte II: Capítulos 5, 6 y 8. Parte III: Capítulos 9 y 11. También disponible en traducción al Castellano por Editorial Reverté. Referencias complementarias: 3. Y. Quintana, Análisis I. 4. S. Marcantognini, Análisis I. Enero 2009. 5. C. Margaglio, Guía de Análisis I. Disponibles en la página del Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas en http://ma.usb.ve/cursos/analisis/ma2311/guias/ 6. G.H. Hardy, A Course of Pure Mathematics. Cambridge Mathematical Library. 10 th Edition. 1996. 7. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 3 rd Edition. 1976. También disponible en traducción al Castellano por McGraw-Hill Madrid. 8. A. Taylor, Advanced Calculus. Blaisdell Publishing. 1956. 9. T. Apostol, Análisis Matemático. Editorial Reverté. 1974. 10. T. Apostol, Cálculo. Tomo I. Editorial Reverté. 1989. 11. R. Bartle, The Elements of Real Analysis. Wiley. 2 nd Edition. 1976. 12. R. Courant & F. John, Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1. Springer. 1998. 13. J. Marsden & M. Hoffman, Análisis Clásico Elemental. Addison-Wesley Iberoamericana. 2 da Edición. 1998. DISTRIBUCIÓN DE LAS CLASES A LO LARGO DEL TRIMESTRE. SUGERENCIA PARA EL PROFESOR ENCARGADO DEL CURSO Con la intención de que todos los temas propuestos en el programa sean impartidos y evaluados a lo largo del trimestre y dado que este programa debe ajustarse a los contenidos de los cursos de Cálculo Avanzado, la Sección de Análisis propone la siguiente distribución por clases de los contenidos de cada tema del curso:
Tema Nro. de clases de teoría T1: Números reales 4 T2: Topología en 4 T3: Series numéricas 4 T4: Límites y continuidad de funciones reales 3 de una variable real T5: Derivadas de funciones de una variable 3 real Distribución de clases y exámenes a lo largo del trimestre (esta distribución puede variar según el cronograma de evaluación propuesto por el profesor): Semana Clases semanales 1 T1 T1 2 T1 T1 3 T2 T2 4 T2 T2 5 Repaso-Examen 6 T3 T3 7 T3 T3 8 Repaso-Examen 9 T4 T4 10 T4 T5 11 T5 T5 12 Repaso- Examen