Tema 6: Probabilidad

Tema 6: Probabilidad 1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral.... 2 2. Sucesos. Operaciones con sucesos.... 3 3 Definición de Probabilidad. Propiedades.... 6 4. Probabilidad condicionada... 7 5. Dependencia e independencia de sucesos.... 7 6. Tablas de contingencia y diagramas de árbol.... 8 7. Probabilidad total... 10 8. Teorema de Bayes... 13 9. Más ejercicios... 15 10. Más y más ejercicios... 16

TEMA 6: Probabilidad 1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria. Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar. La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios. A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral. Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E. Ejemplos: En un dado, E={1,2,3,4,5,6} En una moneda, E={C,+} Para empezar, vamos a prestar atención a experiencias aleatorias sencillas como lanzar dados o monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas

Ejercicios: 1. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a. Lanzar tres monedas. b. Lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. c. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. 2. Sucesos. Operaciones con sucesos. 2.1 Sucesos El espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo Salir múltiplo de 5: A={5,10,15} Salir número primo: C={2,3,5,7,11,13,17} Salir mayor o igual que 12: D={12,13,14,15,16,17,18} Un suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales. También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible, Ø, y el propio E, suceso seguro. Ejercicios: 3. Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea el suceso el hijo mayor es una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. Cuáles son los elementos de A y B?

2.2 Operaciones con sucesos. Dados dos sucesos, A y B, se llaman: Unión Es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B. Intersección Es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B. Intersección Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando = Ø (A y B son disjuntos) Suceso contrario o complementario El suceso =E - A se llama suceso contrario de A. Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o E. De manera análoga, decimos que: El suceso se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos El suceso se verifica cuando se verifican simultáneamente A y B El suceso, contrario de A, se verifica cuando no se verifica A. Dos sucesos incompatibles no se verifican simultáneamente.

Ejemplo: En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos: A = "sacar un número par". B = {1, 2, 3, 5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5". C = {4,6} = "obtener un 4 ó un 6". D = {2, 4, 6} = "obtener un 2, 4 ó 6". F = {1,3} = "obtener un 1 ó un 3". G = "obtener un múltiplo de 3". o A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales. o C está contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par. o B y C son incompatibles, ya que B C = Ø y complementarios, al cumplirse B C = E. o = "sacar un número par" {1, 2, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E. o A G = {2, 4, 6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos "sacar un número par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6". o C y F son incompatibles puesto que C F = Ø. Ejercicios 2 Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado". Responde a las cuestiones siguientes: a. Calcula los sucesos y. b. Los sucesos A y B, son compatibles o incompatibles? c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

3Definición de Probabilidad. Propiedades. 3.1Definición de Laplace Ejemplo: Consideremos el experimento "lanzar un dado de quinielas y anotar el resultado". El espacio muestral es E = {1, X, 2}. Las probabilidades de cada uno de los sucesos son: P(Ø) = 0 P({1}) = 1/3 P({X}) = 1/3 P({2}) = 1/3 P({1,2}) = P({1}) + P({2}) = 1/3 + 1/3 = 2/3 P({1,X}) = 2/3 P({2,X}) = 2/3 P({1,X,2}) = P(E) = 1 3.2 Propiedades 1. P( ) = 1 - P( A ) 2. P( Ø ) = 0 3. P( ) = P( A ) + P( B ) - P( ) IMPORTANTÍSIMO 0 PA ( ) 1 Cuando los sucesos elementales del espacio muestral no tengan la misma probabilidad utilizaremos diagramas de árbol, ampliaciones del espacio., cuando lleguemos, ya os explicaré cómo calcularlo

Ejercicios 3 En una baraja de 40 cartas, cuáles la probabilidad de as? y de oros?, 4 Al extraer una carta de la baraja anterior cuál será el suceso que tenga mayor probabilidad? 5 Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide: a. Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres. b. Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos? 6 En una caja hay 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos 3 bolas simultáneamente, cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color? 7 Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes: a. Que las dos cifras sean iguales. b. Que su suma sea 11. c. Que su suma sea mayor que 7 y menor que 14. 4. Probabilidad condicionada Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A. De esta igualdad se deduce: P( B A ) = P( B/A ) P( A ) - En los diagramas de árbol os recordaré la probabilidad condicionada, porque casi siempre ocurre que el primer suceso condiciona al segundo - 5. Dependencia e independencia de sucesos. El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí.

Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A ) Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) P( B ) ó P( A/B ) P( A ) Como consecuencia inmediata de la definición se tiene: Dos sucesos A y B son independientes si se cumple: P( B A ) = P( B) P( A ) 6. Tablas de contingencia y diagramas de árbol. En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol. Siempre que utilicemos este método, tenemos que indicar las probabilidades del suceso hay en cada celda, no sólo el valor. A B P( A B ) P( B ) TOTAL P( B ) P( A ) P( ) P( ) TOTAL P( A ) P( ) 1 En los diagramas de árbol, la probabilidad de que ocurra el segundo suceso, casi siempre depende de cómo haya sido el primero, tal y como se indica. Cuando utilicemos este método, no es necesario, que pongamos la nomenclatura, pero no olvidéis que es el caso más sencillo y más común de probabilidad condicionada.

8 Se lanzan dos dados: a. Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? b. Si la suma de puntos ha sido 7, cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres? 9 En un estudio realizado en cierta universidad, se ha determinado que el 20% de sus estudiantes no utilizan los transportes públicos para acudir a clase y que un 65% de los que utilizan los transportes públicos, también usan el comedor universitario. Calcula la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante de la universidad, resulte ser usuario de los transportes públicos y del comedor universitario. 10 En una encuesta sobre ocio, el 80% dice que ve la televisión o lee; el 35% realiza ambas cosas y el 60%, no lee: para un encuestado elegido al azar, calcula la probabilidad de que: a) Vea la televisión y no lea. b) Lea y no vea la televisión. c) Haga solamente una de las dos cosas. d) No haga ninguna de las dos. e) Son independientes los sucesos? son compatibles? 11 En una ciudad se publican dos periódicos A y B. La probabilidad de que una persona lea el periódico A es 0,1; la probabilidad de que no lea B es el 0,9 y la probabilidad de que lea ambos es 0,02. a) Calcula la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. b) Calcula la probabilidad de que una persona lea el periódico A pero no el B. c) Qué probabilidad hay de que no lea los dos periódicos? d) Y de que no lea ninguno de los dos? e) Son independientes los sucesos? Son compatibles? 12 Un ordenador personal está contaminado por un virus y tiene cargados dos programas antivirus que actúan independientemente uno del otro. El programa p 1 detecta la

presencia de virus con una probabilidad de 0,9 y el programa p 2 detecta el virus con una probabilidad 0,8. Cuál es la probabilidad de que el virus no sea detectado? 13 La fabricación de cierto tipo de objetos se hace en dos fases. La probabilidad de un defecto en la primera fase es de 0,04 y la probabilidad de un defecto en la segunda es de 0,01. Cuál es la probabilidad de que un objeto así fabricado, elegido al azar, no sea defectuoso? 14 Para la señalización de emergencia de una fábrica se han instalado dos indicadores que funcionan independientemente. La probabilidad de que el indicador A se accione en una avería es 0,99, mientras que la de que se accione el indicador B es de 0,95. Si se produce una avería: a) Cuál es la probabilidad de que se accione un solo indicador? b) b) Cuál es la probabilidad de no se accione ningún indicador? 15 Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera es 0,6, la de que pase la segunda es 0,8 y la probabilidad de que pase ambas es 0,5. Se pide: a) La probabilidad de que pase al menos una prueba. b) La probabilidad de que no pase ninguna prueba c) La probabilidad de que pase la segunda prueba, si se sabe que ha pasado la primera. d) La probabilidad de que sólo pase la primera prueba e) Son ambas pruebas sucesos independientes? 16 En un examen de sociología, un alumno sólo ha estudiado 15 temas de los 25 que contiene el cuestionario. El examen consiste en contestar a dos temas extraídos al azar del total de temas del cuestionario. Hallar la probabilidad de que los dos temas del cuestionario sean de los que estudió. 7. Probabilidad total Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A 1, A 2,...,A n que cumplen: 1. Son incompatibles dos a dos, A i A j = Ø 2. La unión de todos ellos es el suceso seguro

Teorema de la probabilidad total Sea A 1, A 2,...,A n un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/A i ), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión: Es muy fácil, aunque no lo parezca tanto, fijaos en los siguientes ejemplos: Ejemplo: Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería. Solución: El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L 1, L 2, L 3 ). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos: P (Av) = P (L 1 ) P (Av/L 1 ) + P (L 2 ) P (Av/L 2 ) + P (L 3 ) P (Av/L 3 ) (El Sistema completo de sucesos aparece en las primeras ramas) También se puede expresar como P( L A ) P( L A ) P( L A ) 1 v 2 v 3 v = 0,6 0,02 + 0,3 0,04 + 0,1 0,01 = 0,025 Ejemplo: Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F 1, F 2, F 3 y F 4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado? Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:

P (M) = P(F 1 ) P(M/F 1 ) + P(F 2 ) P(M/F 2 ) + P(F 3 ) P(M/F 3 ) + P(F 4 ) P(M/F 4 ) = = 0.4 0.01 + 0.3 0.02 + 0.2 0.07 + 0.1 0.04 = 0,028 Ejemplo: Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola? Solución: El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades correspondientes a la elección de la urna y, después, a la extracción de la bola. La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos caminando por todas las ramas que terminan en sacar bola blanca. P (B) = P (B/U I ) P (U I ) + P (B/U II ) P (U II ) + P (B/U III ) P (U III ) = 1 2 2 4 1 3 13 4 5 4 5 4 5 20

8. Teorema de Bayes En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados (Probabilidades a posteriori). El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes. Teorema de Bayes Sea A 1, A 2,...,A n un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/A i ). entonces la probabilidad P(A i /B) viene dada por la expresión: Quizá lo entiendas mejor si te pongo la fórmula como la de la condicionada P( Ai B) P( Ai / B) PB ( ) Observa bien que el numerador es el producto de dos ramas consecutivas, y el denominador la suma de las probabilidades de todos los sucesos que acaban en B Ejemplos: 1º) Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. Solución: Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P (D) = P (A) P (D/A) + P (B) P (D/B) + P (C) P (D/C) = También se puede expresar como P( A D) P( B D) P( C D) = 0.45 0.03 + 0.30 0.04 + 0.25 0.05 = 0.038 b. Debemos calcular P (B/D). Por el teorema de Bayes, 2º) Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A? Solución: Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas. La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

Ejercicio: 17 Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es un rey nos dirigimos a la urna A, que contiene 7 bolas blancas y 5 negras, y en caso contrario, nos dirigimos a la urna B, que contiene 6 bolas blancas y 4 negras. A continuación, extraemos una bola. Halla: a) El diagrama del experimento, indicando las probabilidades en cada rama. b) Probabilidad de que la bola extraída sea blanca. c) Si la bola extraída es blanca, probabilidad de que sea de la urna A. 9. Más ejercicios 1. La probabilidad de que un cazador cace una pieza es 1/3. Si dispara tres veces, Cuál es la probabilidad de cazar, al menos una pieza? 2. Se lanzan al aire tres monedas. Determinar la probabilidad de que se obtengan al menos dos cruces. 3. Se ha trucado una moneda de tal forma que la probabilidad de obtener cara es triple que la de obtener cruz. Cuál es la probabilidad de cada suceso elemental? 4. Se lanza un dado dos veces. Calcular la probabilidad de que en la segunda tirada se obtenga un número menor que en la primera. 5. Un dado ha sido trucado de manera que la probabilidad de sacar un número par es el doble que la de sacar número impar. Se lanza el dado y se pide: a) Probabilidad de obtener número par. b) Si se lanzan a la vez un dado trucado y otro no trucado, la probabilidad de obtener suma 9. 6. Hallar la probabilidad de obtener cuatro caras en cuatro lanzamientos de una moneda. 7. Se tiene una bolsa con 10 bolas rojas y 6 negras, de la que se extraen 2 bolas, hallar la probabilidad de que ambas sean negras. a) Con reemplazamiento b) Sin reemplazamiento 8. Una caja contiene 5 lámparas eléctricas. Se sabe que dos de ellas están defectuosas, y se van probando las lámparas hasta que sacamos las dos defectuosas. Cuál es la probabilidad de suspender el proceso en la tercera prueba? 9. Ídem pero devolviendo las lámparas a la caja. 10. Una urna contiene 3 bolas rojas y dos verdes, y otra contiene dos bolas Rojas y tres verdes. Se toma al azar una bola de cada urna. Escribir el espacio muestral. cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color? Y la de que sean de distinto color? 11. Se propone a Juan y a Pedro la resolución de un problema. Se estima, en función de sus evaluaciones que la probabilidad de que lo resuelva Juan es de 1/3 y la de que lo resuelva Pedro, de ¼. Cuál es la probabilidad de que el problema sea resuelto? y de que no sea resuelto?

12. La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es de ¼ y la probabilidad de que su mujer viva 10 años más es de 1/3. Suponiendo que ambos sucesos son independientes, calcular la probabilidad de que al menos uno de ellos siga vivo después de los 10 años. 10. Más y más ejercicios En la P.A.U siempre sale un ejercicio de probabilidad, si empezamos a practicar ya es más fácil que el que os salga sea parecido a alguno de los ya hechos. 1) Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero. a. Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido. b. Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un defensa. 2) Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se pide: a. Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. b. Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. Cuál es la probabilidad de que sea varón? 3) En una ciudad, el 35% vota al partido A, el 45% vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide: a. Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años. b. Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido. 4) Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5. a. Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica? b. Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes? c. Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes?

d. Se sabe que un alumno aprobó la teoría. Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica? 5) En una baraja de 40 cartas. a. Se toman dos cartas sin reemplazamiento. Cuál es la probabilidad de que las dos sean de distinto número? b. Y si se toman tres cartas, Cuál es la probabilidad de que los tres números sean distintos? 6) Tenemos un dado con tres "1", dos "2" y un "3". Lo tiramos dos veces consecutivas y anotamos la suma de los resultados. a. Cuál es el Espacio Muestral? b. Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4? c. Cuál es la suma más probable? Cuánto vale su probabilidad? 7) Tenemos dos dados A y B, ambos trucados. En el dado A hay tres "1" y tres "2" y en el dado B hay dos "1" y cuatro "2". Se elige un dado al azar y se tira. a. Cuál es la probabilidad de obtener un "1"? b. Sabiendo que se ha obtenido un "2", Cuál es la probabilidad de que se haya elegido el dado B? 8) El 35% de los créditos de un banco es para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar. 9) El volumen de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1000 unidades en la segunda y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0.8% y 2%, respectivamente, calcula la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa. 10) El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? 11) Se toman dos barajas españolas de 40 cartas. Se extrae al azar una carta de la primera baraja y se introduce en la segunda baraja. Se mezclan las cartas de esta segunda baraja y se extrae una carta, que resulta ser el dos de oros. Cuál es la probabilidad de que la primera carta extraída fuese una espada? 2 3 5 12) De dos sucesos se sabe que P(A)=, P (B)= y P A B. Hallar: 3 4 8 a) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos.

b) La probabilidad de que no ocurra B. c) La probabilidad de que no se verifique ni A ni B. d) La probabilidad de que ocurra A pero no B. e) Son independientes los sucesos A y B? Son compatibles? 13) Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que P( A) 3. P( B), P ( A) P( B) 0, 8 y A B 0, 9 P. Calcula: a) A B P, y razona si los sucesos A y B son compatibles y si son independientes. b) Probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos. c) Probabilidad de que ocurra solamente uno de los dos sucesos. d) Probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos. 14) En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es cuatro veces la probabilidad de otro suceso B, y la diferencia entre la probabilidad de A y la del complementario de B es 0 (en el orden indicado). Se sabe además, que la probabilidad de la unión de A y B es 0,9. Calcular la probabilidad de que: a) Se verifique A y se verifique B b) Se verifique A y no se verifique B. c) Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B. d) No se verifique A y no se verifique B e) Son independientes los sucesos A y B? Son compatibles? 15) En una urna A hay 5 bolas rojas y 3 blancas, y en otra urna B hay 3 bolas rojas y 4 blancas. Se lanza un dado trucado en el que la probabilidad de obtener un 5 es el triple que la de obtener cualquier otro número. Si en el lanzamiento del dado sale un número menor que 4, se saca una bola de la urna A, y en otro caso se saca de la urna B: a) Calcula la probabilidad de obtener cada cara del dado. b) Haz el diagrama de árbol c) Determina la probabilidad de que la bola que se saque sea roja. d) Si la bola es blanca, calcula la probabilidad de que sea de la urna B 16) Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda el aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se retira una bola de la urna. Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra? 17) Se ha trucado un dado y la probabilidad de que salga 5 o 6 es el doble que el de las demás caras. Calcula la probabilidad de cada una de las caras. 18) Un barco dispone de dos sistemas de alarma: A y B. La eficacia del sistema A es del 80% y la del sistema B 65%. Halla la probabilidad de:

a) Funciona por lo menos una de las alarmas. b) Las dos alarmas funcionan simultáneamente c) Funciona una sola 19) En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es dos veces la probabilidad de otro suceso B, y la suma de la probabilidad de A y la probabilidad del suceso contrario de B es 1,3. Se sabe, además, que la probabilidad de la intersección de A y B es 0,18. Calcular la probabilidad de que: a) Se verifique A o se verifique B. b) Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B c) Son independientes los sucesos A y B? 20) Se dispone de tres monedas. La 1ª de ellas está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es 0,4. La 2ª moneda tiene dos cruces y la 3ª moneda también está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es 0,6. Se pide: a) Escribir el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de estas tres monedas, sucesivamente, y en el orden indicado. b) Probabilidad de que se obtengan exactamente 2 cruces c) Probabilidad del suceso A = (cara, cruz, cara) d) Probabilidad de obtener, al menos, una cara. 21) En un experimento aleatorio, se consideran dos sucesos A y B. La probabilidad de que no se verifique A es 0,1. La probabilidad de que no se verifique B es 0,4. La probabilidad de que no se verifique A ni B es 0,04. Hallar la probabilidad de que: a) Se verifique A o se verifique B b) Se verifique A y se verifique B. Son independientes los sucesos A y B?