ema Análisis y represenación de las señales. Represenación de las señales Desde el momeno que nos planeamos la necesidad de comprender el funcionamieno de los sisemas de ransmisión de daos, esamos planeando indirecamene la necesidad de disponer de herramienas que nos permian represenar las señales. Esas herramienas endrán carácer maemáico. No se puede hablar de la mejor o peor represenación, dependerá del ipo de señal que se esé considerando. Las señales pueden represenarse de muy diversas maneras. Además de disinguir enre señales analógicas, digiales y analógicas muesreadas, pueden hacerse oras clasificaciones... Definición Una señal es un fenómeno físico en el cual una o varias de sus caracerísicas pueden variar para represenar información. Las señales se pueden represenar de formas muy diversas. La más habiual es la represenación maemáica mediane funciones de una o más variables independienes. Por ejemplo, la voz podemos represenarla como una función del iempo, lo mismo que la música o los daos que se ransmien enre ordenadores. Es basane común suponer que la variable independiene es el iempo, aunque haya ocasiones en las que eso no sea del odo ciero... Clasificación de las señales... Señal analógica, analógica digializada, muesreada a) Señal analógica Se denominan señales analógicas a aquéllas que esán represenadas por funciones que pueden omar un número infinio de valores en cualquier inervalo de iempo. Oro problema diferene es el que planea la precisión de los aparaos de medida: puede no ser posible deecar odos los valores. Por ejemplo, un volímero puede que sólo sea capaz de deecar cambios de milésimas de volio, pero para pasar de,v. A,v. hay infinios valores que no leemos. 6
Un ejemplo ípico de señal analógica es la voz humana. Oro ejemplo se muesra en la Figura. s() Figura : Señal analógica b) Señal analógica digializada o analógica muesreada Cuando una señal analógica esá definida sólo en deerminados insanes de iempo se habla de señales analógicas muesreadas. Por ejemplo, el volaje es una señal analógica, pero si sólo se envían valores al volímero cada microsegundo lo que pasamos a ener es una función que sólo es conocida en deerminados insanes. Una señal analógica es una función coninua en el iempo y una señal analógica muesreada podría ser represenada por una sucesión. Gráficamene: Analógica Analógica muesreada Figura : Señal analógica muesreada c) Señal digial Son aquellas señales que esán represenadas por funciones que pueden omar un número finio de valores en cualquier inervalo de iempo. 7
Es un ipo de señal muesreada o discrea, pero en la que los valores permiidos perenecen a un ciero conjuno finio. En el ejemplo de la figura ese conjuno finio es:,.5, 5, 7.5, y -5. Figura 3: Señal digial Es muy habiual represenar esas señales mediane secuencias: x = x n < n < { [ ]} Por ejemplo una secuencia finia de 6 elemenos: x n =,.6,, 5,. 3., [] {.5} y si nos queremos referir a un elemeno: x =. [ ] 6 Normalmene se rabajará con secuencias de longiud infinia. Un ejemplo de ese ipo de secuencia lo obenemos al digializar una señal analógica-muesreada.... Señales periódicas y no periódicas Una señal periódica g() es una función del iempo que cumple: g () = g ( + ) donde: es el iempo es una consane llamada período. Indica cada cuáno iempo se repie la señal, es decir, define la duración de un ciclo compleo de la señal. Se mide en segundos. El inverso del período es la frecuencia, se define como el número de ciclos compleos que ienen lugar en una unidad de iempo (generalmene se oma como unidad el segundo) y sus unidades son: Herzio = =seg seg Una señal que no cumpla la anerior definición es una señal no periódica. Veamos unos ejemplos: 8
Señales periódicas Periodo Periodo Señal no periódica Figura 4..3. Señales deerminisas y aleaorias Una señal deerminisa es aquella sobre la que es posible conocer cualquier valor, ano del pasado, en el presene o en el fuuro. Es decir, son aquellas señales que se pueden definir como una función del iempo oalmene especificada. Una señal aleaoria o no deerminisa es aquella señal sobre la que no conocemos odos los valores anes de que ocurran. Ejemplos: f()= 3+, es una señal deerminisa Veamos los siguienes gráficos: Figura 5 La primera señal de la Figura 5 es deerminisa (además es periódica) y la segunda es no deerminisa y no periódica. 9
Comenarios: Una señal periódica es una señal deerminisa Una señal no periódica es una señal que puede ser deerminisa o no Una señal aleaoria es una señal no deerminisa..4. Señales de energía y de poencia La definición de las mismas se verá más adelane en el ema.. Propiedades de las señales y el ruido al y como hemos viso en el primer ema, el esquema básico de la comunicación es: Emisor Canal Recepor Figura 6 Además debe enerse en cuena que oda ransmisión se ve afecada por fenómenos de ruido y disorsión. Por eso, la información que el emisor pone en la línea no es la misma que el recepor recibe. En odo sisema de ransmisión de información (de daos) la forma de onda recibida en el recepor puede considerarse formada por dos componenes, la señal propiamene dicha y el ruido y la disorsión inroducidas en el canal. Veámoslo en un ejemplo, supongamos que al recepor llega la primera de las formas de onda (señales) que aparecen en la figura. Esa señal es la suma de la señal que el emisor quería enviar juno con el ruido inroducido en la ransmisión. La Error! No se encuenra el origen de la referencia. muesra el diagrama en VisSim para realizar el ejemplo de la señal con y sin ruido. A lo largo de ese ema lo que vamos a ver son écnicas para represenar y esudiar la forma de onda de las señales y del ruido. En general el ipo de formas de onda que nos van a ineresar serán las que provenienes de un volaje o de una corriene.
Durane odo el esudio que vamos a realizar sólo vamos a ineresarnos por aquellas señales (formas de onda) que cumplan unas deerminadas propiedades y en especial a aquellas que son físicamene realizables, es decir, son reproducibles en un laboraorio. Plo - 4 6 8 ime (sec) + + Plo - 4 6 8 ime (sec).5 Plo 4 6 8 ime (sec) Figura 7: Señal, ruido y señal más el ruido.. Señales físicamene realizables al y como se ha expueso en el aparado anerior vamos a cenrar nuesro esudio en las señales que son físicamene realizables porque son las únicas que se pueden ransmiir. Las señales para que puedan ser calificadas de físicamene realizables deben cumplir una serie de propiedades:. La señal debe omar valores disinos de cero en un inervalo finio de iempo. Esa condición es necesaria porque la ransmisión de daos y por lo ano las señales con las que se rabaja para ransmiir la información enre un emisor y un recepor sólo ienen lugar en periodos finios de iempo (una ransmisión no dura un iempo infinio, los sisemas se apagan cada ciero iempo).
. El especro de la señal iene valores significaivos en un inervalo finio de frecuencias. Esa caracerísica es consecuencia de que los medios físicos a ravés de los que se realiza la ransmisión, ales como fibras ópicas o cables coaxiales, ienen un ancho de banda limiado (margen de frecuencias en el que iene lugar la ransmisión). 3. La señal es una función coninua el iempo. Esa propiedad es consecuencia de la anerior y cuando esudiemos el especro de una señal quedará clara. No obsane en ocasiones rabajamos con funciones que no son coninuas en el senido esrico maemáico (una sucesión de pulsos cuadrados es una función que es disconinua en odos aquellos punos donde cambia de valor). 4. El máximo o mínimo de la señal es un valor finio. Es una condición oalmene necesaria porque el volaje (diferencia de poencial) o la inensidad de los circuios sólo puede omar valores finios. 5. La señal oma sólo valores reales. Las señales del mundo real sólo oman valores reales, pero cuando se hace el esudio en frecuencia aparecen valores complejos. Algunas de esas condiciones pueden no cumplirse según el modelo maemáico que se escoja para represenar la señal, a pesar de ello se pueden seguir haciendo los esudios que vamos a ver. Figura 8.. Valor DC, valor de coninua o valor medio de la señal El valor de coninua o valor Dc se define como la media emporal de la señal w(): Wdc = lim w() d en el caso de las señales físicamene realizables sólo esamos ineresados en calcular el valor medio en un inervalo emporal:
w()d (ese cálculo es equivalene a calcular la media ariméica de un conjuno de valores. Como enemos una señal coninua en el iempo aparece la inegral - suma infinia -) (Figura 8). Por ejemplo, calculemos el valor medio de una señal en forma de onda cuadrada 3 7 4 g 3 5 6 + + 3 3 () = d + d + 3 d = = 4 5 7 6 Si la señal es periódica, el valor DC se puede calcular como: = + a W dc w() d + a donde a es una consane real que sólo sirve para indicarnos que el valor medio de una señal se calcula en uno de los periodos de repeición de la misma. Normalmene se suele omar a=. ampliud 4 4 desplazamieno F:\vissim\pracicas\ri.vsm Plo in [rs] Mean.5 5 7.5 ime (sec) Se muesra la media en cada insane. Plo.5 5 7.5 ime (sec) Figura 9: Cálculo de una media en VisSim 3
.3. Poencia de una señal En los sisemas de ransmisión la poencia de la señal nos va a indicar si es posible recuperar la señal en el recepor o no. Si la poencia es muy pequeña no es posible recuperarla. Más dealladamene: en los sisemas de daos, si la poencia media de la señal recibida es suficienemene grande comparada con la poencia media del ruido, enonces la información (daos) puede ser recuperada. - Volaje - 4 6 8 - Inensidad - 4 6 8 - Poencia insanánea - 4 6 8 Figura : Poencia insanánea de una señal Normalmene se define la poencia como el produco del flujo por el esfuerzo. Así definimos la poencia insanánea como el produco del volaje por la inensidad: p()=v()i() La Figura muesra un ejemplo de poencia insanánea, en esa caso se ha supueso que ano el volaje como la inensidad son funciones cosenoidales con igual periodo de repeición. La poencia media se define como: P = p( ) = v( ) i( ) = lim v( ) i( ) d Si enemos en cuena la ley de Ohm: 4
P = p() = V()=i()R v() i() = i () R = i () R P = v R ().4. RMS, Poencia normalizada y Energía Normalizada DEF. RMS (Roo Mean Square: Raíz Media Cuadráica) El valor RMS de una señal w() se define como: W RMS = es decir, la raíz cuadrada del valor medio de la señal. w () ohmio: En base a la definición anerior, se redefine la poencia media como: VRMS P = = IRMS R = VRMSIRMS R Se habla de poencia normalizada cuando el valor de R se susiuye por P = = I RMS VRMS La poencia media normalizada esá dada por: P = w () = lim w La energía oal normalizada será: E = lim w () d () d.5. Señales de energía y señales de poencia Algunos auores hablan de ondas de energía y de poencia. DEF: Señal de poencia Se dice que una señal es de poencia si y sólo si su poencia media normalizada es finia y diferene de cero: <P< DEF: Señal de energía Se dice que una señal es de energía si y sólo si su energía oal normalizada es finia y diferene de cero: <E< 5
Comenarios:. Una señal no puede ser a la vez de energía y de poencia. Una señal de energía iene poencia media cero 3. Una señal de poencia iene energía infinia 4. Las señales periódicas NO son señales de energía: Energía en un periodo de repeición: = + E x() Energía en n periodos de repeición: E = n x() x n x + Poencia media de una señal periódica: = + P x x() 5. Las señales aleaorias NO son de energía 6. Hay señales que no son ni de energía ni de poencia: a) E=, P=: g()= -. si b) E=, P= : g()= si d d d 7. Las señales físicamene realizables son señales de energía, pero en ocasiones se modelan (se usa una función) del ipo de poencia.6. Decibelio El decibelio es una medida logarímica de una relación de poencias: Psalida db = log P ambién se puede uilizar: V db = log V I = log I RMS RMS RMS RMS salida enrada salida enrada enrada + R log R R + log R Se obiene el mismo valor para los decibelios independienemene de rabajar con poencia, volaje o inensidades. Si se uiliza poencia normalizada: V RMS I salida RMS = salida db = log log VRMS enrada IRMS enrada enrada carga carg a enrada Si se conoce el valor de los dbs enonces: P P La relación señal ruido se define como: db salida enrada = 6
( S ) N db P = log P señal ruido V = log V RMSseñal RMSruido Los decibelios ambién pueden uilizarse como una medida absolua de los niveles de poencia con respeco a un nivel de referencia. Por ejemplo, con respeco a un miliwaio: Poencia(waios) dbm = log 3 3. Análisis en el dominio del iempo y de la frecuencia La mayoría de las señales, se miden en el dominio emporal. Es decir, lo que medimos es una función del iempo. Lo que normalmene represenamos es la ampliud de una señal a lo largo del iempo. Pero, eso puede que no sea la mejor represenación que podemos dar de la información conenida en esa señal. Hay deerminadas propiedades que no podemos observar en el dominio emporal y que sí se pueden ver en el de la frecuencia. Inuiivamene odos sabemos que la frecuencia esá relacionada con la velocidad de cambio: si 'algo' cambia rápidamene, decimos que iene una frecuencia ala y si cambia lenamene decimos que su frecuencia es baja, y si no cambia, diremos que su frecuencia es cero. Por ejemplo, la frecuencia de un periódico (publicación diaria: frecuencia diaria) es mayor de que la de una revisa (publicación semanal: frecuencia semanal). La frecuencia se mide en ciclos por segundo que es lo que se llama Herzios: f = = Hz segundo El especro de frecuencia de una señal consise en la represenación de las componenes de frecuencia de la misma. Esa represenación nos mosrará las frecuencias que exisen en la señal. Por qué necesiamos la información conenida en la frecuencia? Básicamene porque con la represenación emporal, pare de la información conenida en la señal no es evidene. Supongamos las señales de la Figura. A simple visa lo que podemos ver es que se raa de dos señales con forma de onda cuadrada y que la segunda cambia más veces de valor. Pero lo que no podemos saber es si podemos enviar las dos a la vez por la misma línea. Para poder averiguar eso, lo que se hace es un esudio en el dominio de la frecuencia. Ese esudio nos permie saber cuáles son las componenes en frecuencia de las señales y a parir de ahí esudiarlas. 7
Señal Señal Figura : Señales con diferene periodo de repeición Ora posible aplicación del esudio en el dominio de la frecuencia es el esudio de las causas de las disorsiones de las señales durane una ransmisión. El méodo más uilizado para el esudio en el dominio de la frecuencia de las señales es el "Análisis de Fourier", se basa en la descomposición de una señal en componenes sinusoidales. Es el méodo más uilizado como consecuencia de que cuando se aplica a un sisema una enrada sinusoidal (en general, una enrada periódica) el sisema responde dando como salida ora señal sinusoidal (de diferene fase y ampliud). Hay varios méodos de análisis de Fourier. La elección de uno u oro vendrá deerminada por el ipo de señal que se quiera esudiar. Para señales periódicas, se uilizan las series de Fourier (ondas sinusoidales relacionadas armónicamene). En el caso de señales no periódicas (señales de energía) se rabaja con la ransformada de Fourier. La serie de Fourier o la ransformada nos permien obener la descripción en el dominio de la frecuencia o especro de la señal, que nos va a dar un ipo de información que de ora forma sería muy difícil obener. La ransmisión en los sisemas de comunicaciones, ya sean analógicos o digiales se ven afecados fundamenalmene por dos facores: ancho de banda del canal ruido 8
Para poder enender oalmene la ineracción enre los daos y la velocidad de ransmisión, el ipo de modulación, la forma de las señales y el ancho de banda... es necesario ener unas pequeñas nociones de lo que sucede en el dominio de la frecuencia. Se raa de cambiar la represenación de las cosas, en vez de verlas en la forma radicional o convencional vamos a ser innovadores y esudiar qué sucede en el dominio de la frecuencia. Cuando se rabaja con Fourier no es posible 'ver' simuláneamene el dominio emporal y el dominio de la frecuencia. No obsane en la figura de la izquierda lo que se raa de mosrar es como señales con periodos de repeición pequeños ienen una componene de frecuencia más grande y las de periodos de repeición mayores, su frecuencia es más pequeña. La figura muesra la comparación enre el dominio del iempo y el dominio de la frecuencia. En la primera pare vemos la forma habiual de represenar una secuencia de pulsos recangulares. En la segunda pare se muesra como se represena la señal en el dominio de la frecuencia 4. Análisis de Fourier 9
Mediane la ransformada de Fourier vamos a esudiar las señales deerminisas no periódicas en el dominio de la frecuencia. Más adelane veremos como esudiar mediane las series de Fourier las señales deerminisas periódicas. 4.. Definición En los problemas de ransmisión de daos que vamos a considerar, las señales con las que rabajamos vamos a denoarlas de forma genérica como w(). Esa señal es una función del iempo, como consecuencia, va a haber unas frecuencias o rango de frecuencias que serán las que deberemos esudiar. En eoría, para saber las frecuencias que esán presenes, deberíamos esudiar la señal en odo el rango emporal, es decir - < <, de esa manera se aseguraría que no esamos despreciando ninguna componene en frecuencia imporane. El nivel relaivo de una frecuencia con respeco a ora viene dado por el especro de la señal y se calcula mediane la ransformada de Fourier. DEF. ransformada de Fourier La ransformada de Fourier (F) de una señal w() se define como: W ( f ) = F [ w( ) ] j πf = w( ) e d donde f es la frecuencia medida en Hz. ambién se conoce con el nombre de especro doble de w(), porque con la expresión anerior se obienen las componenes de frecuencia posiivas y negaivas. Dada la ransformada de Fourier W(f) es posible recuperar la señal original aplicando la fórmula de la ransformada inversa de Fourier: w( ) [ W ( f )] = j πf = F W ( f ) e df Se llama par de la ransformada de Fourier a las funciones w() y W(f), y se suele denoar por w () W( f ). 4.. Condiciones de Dirichle Para que la ransformada de Fourier de una señal w() exisa es suficiene, pero no necesario que se cumplan las condiciones siguienes: ) La función w() es univaluada y iene un número finio de máximos y mínimos en cualquier inervalo finio de iempo. ) La función w() iene un número finio de disconinuidades en cualquier inervalo de iempo finio. En odo momeno hablamos de señales deerminisas porque son las que vamos a poder represenar mediane esas écnicas 3
3) La función w() es absoluamene inegrable, es decir: w ( ) d < En la prácica se suele uilizar ora condición para saber si exise o no la ransformada de Fourier: siempre que la energía de la señal sea finia, se puede calcular la ransformada de Fourier. Ese es el caso que sucede con odas las señales físicamene realizables. NOACIÓN: en ocasiones se suele uilizar como operador para rabajar con la ransformada de Fourier la frecuencia angular ω en lugar de la frecuencia f, ambas expresiones esán relacionadas mediane la expresión ω = πf, cuyas unidades son radianes por segundo. No obsane, en el raamieno de señal resula más inuiivo rabajar con la definición que nosoros hemos uilizado. NOAS: ) Debe quedar claro que el especro de una señal se obiene mediane cálculos maemáicos y que físicamene no forma pare del circuio real de forma física. ) f es sólo un parámero que denominamos frecuencia que deermina el puno de la función especral que se va a calcular. Por ejemplo, la frecuencia f=hz aparece en la señal w() si y sólo si W( ). 3) Para conocer el valor exaco de la función especral debería ser necesario conocer la señal en odo el dominio del iempo, como eso no es posible, se puede uilizar un analizador de especro para obener una aproximación (inegral en iempo finio) para la magniud de la ransformada de Fourier. Podemos simplificar diciendo que cualquier señal que sea físicamene realizable iene ransformada de Fourier. 4) Una señal queda oalmene definida por su represenación emporal o por la represenación mediane la ransformada de Fourier. 4.3. Especro coninuo La ransformada de Fourier nos proporciona una herramiena para la descomposición de una señal w() dada en sus componenes complejas ocupando odo el rango de frecuencias ( < f < ). En paricular, la ransformada de Fourier W(f) de la señal, define la represenación en el dominio de la frecuencia de la señal en la que se especifica las ampliudes relaivas de las componenes en frecuencia de la señal. Eso es equivalene a definir la función w() en cada insane de iempo. al y como ya se ha explicado aneriormene, la señal queda unívocamene definida por cualquiera de las represenaciones. 3
En general W(f) será una función compleja de la frecuencia, ya que e j una función compleja. Según eso W(f) puede descomponerse como suma de dos funciones reales: W(f)=X(f)+jY(f) Esa formulación es equivalene a la que se uiliza para escribir los números complejos como pares de números reales, de ahí que se la conozca como forma de cuadraura o forma Caresiana. ambién se puede uilizar la noación polar, donde endremos que el par de funciones reales nos va a denoar la magniud y la fase: jθ (f ) W(f ) = W(f ) e,donde W(f ) = X (f ) + Y (f ) θ (f ) = an Y(f ) X(f ) Esa es la represenación magniud-fase o forma polar (en ciera forma eso esá relacionado con el diagrama de Bode). En ocasiones se conoce como especro a la magniud de la ransformada de Fourier ya que para comprobar si cieras frecuencias esán presenes se debe acudir a la magniud de la función ransformada de Fourier. No obsane en general a la magniud de la ransformada de Fourier se la conoce como especro coninuo de ampliud y a la fase como especro coninuo de fase. Hablamos de especro coninuo porque ano la ampliud como la fase de W(f) esán definidas para odas las frecuencias. El especro que más se uiliza es el de magniud, por eso en ocasiones al referirse al especro de frecuencias de una señal, en forma implícia nos referimos al de magniud, el de fase es mucho menos uilizado. πf es Especro de señales w() reales El ipo de señales con el que rabajamos son señales que sólo oman valores reales. Por lo que hay unas cieras propiedades que podemos aplicar: ) El operador conjugado (*) de la ransformada de Fourier cumple: * W( f) = W ( f) ) Como consecuencia de la primera propiedad se va a cumplir que el especro de ampliud de f y -f es igual: Wf ( ) = W( f) es decir, que es una función simérica respeco al eje verical (función par). Por ejemplo, la frecuencia f=hz aparece en la señal w() si y sólo si W( ) 3
3) El especro de fase es una función impar, o lo que es lo mismo, anisimérica con respeco al eje verical: θ ( f ) = θ ( f ) Esas propiedades suelen resumirse diciendo que el especro de una señal real es simérico conjugado. 4.4. EJEMPLOS EJEMPLO. Pulso recangular Sea un pulso recangular de duración y ampliud A, su represenación aparece en la página siguiene juno con su ransformada de Fourier. La definición maemáica de un pulso de ampliud, cenrado en el origen y de duración es:, rec =, > en nuesro caso queremos un pulso recangular de ampliud A, así que la función será: A, g () = A rec =, > calculando la ransformada de Fourier de esa señal obenemos: jπf jπf sin πf jπf jπf e e G(f ) = F[ g() ] = g() e d A e d A A = = = = jπf πf sin A ( πf) Con el cálculo de la ransformada de Fourier hemos obenido una de las funciones que más aparecen en el análisis de eoría de señales, es la función sinc. Vamos a ver su definición: sin sinc ( λ) = A ( πλ) πλ para que el valor de G(f) se adape a esa forma enemos que hacer unos pequeños cálculos: G( f ) = F [ g( ) ] = e A jπf e jπf jπf sin πf sin = A = A πf πf ( πf ) = Asinc( f ) πf 33
y ( ) - ) (f Y 7.5 5.5 -.75 -.5.5.75 f ) (f Y g ( a r - - -.75 -.5.5.75 f Figura : Pulso recangular, y represenación en la frecuencia La muesra como podemos generar un pulso recangular en VisSim. 4.5 ampliud desplazamieno desplazamieno + - l r / abs l r ampliud < b f merge Plo Figura 3: Pulso recangular 4 6 8 ime (sec) 34
ampliud.5 desplazamieno rec.vsm 3 Inpu Daa Sream FF 3 4 5 6 7 8 9 ime (sec) 3..5..5..5 Magniud de la FF(-Fs/ o Fs/) (-/+ 5 Hz) -5-4 -3 - - 3 4 5 Frecuencia (Hz) Figura 4: Pulso recangular y especro de magniud EJEMPLO. ransformada de Fourier de un pulso riangular. Sea un pulso riangular de duración y ampliud A, su represenación aparece en la página siguiene juno con su ransformada de Fourier. La definición maemáica de un pulso de ampliud, cenrado en el origen y de, duración es: Λ = ri =, > en nuesro caso queremos un pulso recangular de ampliud A, así que la función será: A = =, g () = A Λ A ri, > jπf La ransformada de Fourier: G(f ) = F[ g() ] = g() e d = Asinc (f) 35
y ( ) -5-4 -3 - - 3 4 5 ) (f Y -5-4 -3 - - 3 4 5 f Figura 5: Ejemplo de ransformada de un pulso riangular ) (f Y g ( a r - -5-4 -3 - - 3 4 5 f Inpu Daa Sream - 4 6 8 4 6 8 ime (sec). Magniud de la FF(-Fs/ o Fs/) (-/+ 5 Hz).8.6.4. -4-3.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5.5.5 3 3.5 4 Frecuencia (Hz) Figura 6: ransformada de un pulso riangular usando Vissim 4.5. Propiedades de la ransformada de Fourier Las propiedades de las ransformadas nos permien relacionar una función (señal emporal) con su ransformada en el dominio de la frecuencia, vamos a poder saber cómo influyen cieros cambios en el dominio emporal al pasar al dominio de la frecuencia. 36
Propiedad. Linealidad o Principio de superposición Sean los pares señal/ransformada g() G( f) y g() G( f), enonces para cualesquiera consanes c y c, se cumple que: cg() + cg () cg( f) + cg ( f) IMPORANE: la propiedad se aplica a la ransformada, NO a la magniud ni a la fase por separado, lo que se cumplirá en el caso del módulo es: cg ( f ) + cg ( f ) = = c Re = = = ( c G ( f ) + c G ( f )) ( c G ( f ) + c G ( f )) ( G ( f )) + c Im( G ( f )) + c Re( G ( f )) + c Im( G ( f )) ( c Re( G ( f )) + c Re( G ( f ))) + ( c Im( G ( f )) + c Im( G ( f ))) c c ( Re( G ( f ))) + c ( Im( G ( f ))) + c ( Re( G ( f ))) + c ( Im( G ( f ))) Re( G ( f )) c Re( G ( f )) + c Im( G ( f )) c Im( G ( f )) ( Re( G ( f ))) + ( Im( G ( f ))) ) + c ( Re( G ( f ))) + ( Im( G ( f ))) ) + c ( Re( G ( f )) Re( G ( f )) + Im( G ( f )) Im( G ( f ))) c c esa es una de las posibles formas de expresar el resulado, podéis uilizar oras sin más que rabajar con los módulos de las funciones, en vez de con la pare real e imaginaria. Ejemplo: Supongamos un pulso recangular y oro riangular a los que vamos a aplicar esa propiedad. + Inpu Daa Sre. Inpu Daa Sre.5 3 4 5 3 4 5 Figura 7: Señales originales 3 Inpu Daa Sream 3 4 5 6 7 8 9 Figura 8: Señales originales 37
3. Magniud de la FF(-Fs/ o Fs/) (-/+ 5 Hz).5..5..5-5 -4-3 - - 3 4 5 Frecuencia (Hz) Figura 9: Especro de magniud de la suma Los módulos en VisSim que se han definido para realizar la operación en la fórmula visa aneriormene son: re_ri im_ri re_rec im_rec * pow pow pow pow + + + + + pow * $imesep * + + Figura : rascripción de la fórmula a VisSim Si ahora repeimos el mismo ejemplo, pero considerando que el pulso recangular esá desplazado dos segundos en vez de uno: *.5..5..5 Inpu Daa Sream.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Figura : Suma de pulso riangular desplazado seg. y pulso recangular desplazado seg. 38
3. Magniud de la FF(-Fs/ o Fs/) (-/+ 5 Hz).5..5..5-3 -.5 - -.5 - -.5.5.5.5 3 Frecuencia (Hz) Figura : Especro de magniud En la Figura se muesran dos especros de magniud, la línea malva (la exerior) corresponde a sumar direcamene los especros de magniud del pulso recangular y del pulso riangular, la línea inerior (la roja) es el especro de magniud calculado correcamene. Lo ineresane es que en ambos casos los punos de core con el eje horizonal cuando rabajamos con señales recangulares y riangulares son los mismos, pero si queremos realizar un análisis adecuado debemos realizar el dibujo con las fórmulas adecuadas. Es oalmene lógico que aplicando las fórmulas correcas el dibujo quede por denro del incorreco porque siempre se cumple que el módulo de una suma es menor que la suma de los módulos. Propiedad. Escalado en el iempo f Sea g() Gf (), enonces g(a ) G a a Noa: en el caso especial de a=-, g( ) G( f) Esa propiedad lo que nos dice es que si comprimimos una señal en el iempo, en la frecuencia se expande con el mismo facor. Análogamene, si expandimos una señal en el iempo, enonces se comprime en la frecuencia con el mismo facor. Desde un puno de visa maemáico lo que hacemos en la definición de la función es cambiar odos los siios donde aparece por a y en la frecuencia odos los siios donde aparece f por f/a. Ejemplo: En la Figura 3 se muesran dos señales en el dominio del iempo y sus correspondienes especros de magniud. La línea roja corresponde a un pulso recangular con =. La línea malva es el mismo pulso recangular, pero susiuyendo por. Así que en el iempo hemos comprimido la señal. En la frecuencia la línea roja represena el especro de magniud del pulso original, que cora a los ejes en,, 3, 4,.. y, -, -3, -4,... La línea malva es el especro de 39
magniud del nuevo pulso, esá expandido, y ahora cora al eje horizonal en,,... y en, -,... Inpu Daa Sream 3 4 5 6 7 8 9. Magniud de la FF(-Fs/ o Fs/) (-/+ 5 Hz).5..5-5 -.5 - -7.5-5 -.5.5 5 7.5.5 5 Frecuencia (Hz) Figura 3: Propiedad Propiedad 3. eorema de dualidad g( f) G( ) Si g() Gf (), enonces G () g( f) Cuál es el significado de esa propiedad?. Lo que nos quiere decir, independienemene del valor de las consanes es que hay una relación dual enre el dominio de la frecuencia y el del iempo, así si en el iempo enemos una función rec, en la frecuencia vamos a ener una función sinc y si en el iempo enemos una función sinc, en la frecuencia vamos a ener un pulso recangular. Lo mismo se aplica a cualquier oro ipo de señal. La formulación maemáica de esa propiedad nos ayuda a calcular los cambios que se producen en las consanes. Ejemplo: Vamos a considerar que g() = A sinc( ) g() = A sinc() Consideramos: A rec A sinc f =,A = rec rec rec () ( ) () sinc( f ) = f ( f ) sinc( ) ( f ) = rec( f ) G( f ) 4
rec ( f ) sinc( ) escalado: a f rec sinc linealidad : A A sinc = A ( ) f ( ) rec Propiedad 4. eorema de desplazamieno en el iempo Si g() Gf (), enonces g( ) Gf ( ) e j π f Esa propiedad significa que se desplazamos en dirección posiiva una función, el efeco en la ransformada es equivalene a muliplicarla por e j π f. Eso quiere decir que la ampliud de la ransformada no se ve afecada, pero en cambio la fase se muliplica por un facor lineal de πf. Esa propiedad lo que nos quiere decir es que da lo mismo que ransmiamos una señal ahora o denro de una hora, que las necesidades de ancho de banda y caracerísicas más relevanes de la ransmisión serán las mismas. Ejemplos: Las figuras muesran dos pulsos riangulares desplazados en el eje horizonal un deerminado valor, se ve que independienemene del desplazamieno en el iempo, el especro de magniud es el mismo. Inpu Daa Sream - 4 6 8 4 6 8 ime (sec). Magniud de la FF(-Fs/ o Fs/) (-/+ 5 Hz).8.6.4. -8-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 Frecuencia (Hz) Figura 4: Propiedad 4 4
Inpu Daa Sream - 4 6 8 4 6 8 ime (sec). Magniud de la FF(-Fs/ o Fs/) (-/+ 5 Hz).8.6.4. -8-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 Frecuencia (Hz) Figura 5: Propiedad 4 Propiedad 5. eorema del desplazamieno en frecuencia jπffc Si g() Gf (), enonces e g() G( f fc), donde f c es una consane real. Eso es, la muliplicación de la función g() por el facor e equivalene a desplazar su ransformada de Fourier en dirección posiiva en una canidad f c. Esa propiedad ambién se denomina eorema de modulación porque se logra un desplazamieno en el rango de frecuencias mediane una modulación de la función de jπff la que se calcula la ransformada de Fourier. La señal poradora es e c. Esa propiedad y la anerior son duales. Lo que se cumple ahora es que si se calcula el módulo de la señal en el iempo, ano el que corresponde a la señal desplazada como a la no desplazada en la frecuencia van a ser el mismo. jπff c Propiedad 6. Area bajo g() Si g() Gf (), enonces g()d = G(). Es decir, el área de g() es igual al valor de su ransformada de Fourier en f=. Propiedad 7. Area bajo G(f) Si g() Gf (), enonces g() = G(f ) df. Es decir, el área de G(f) es igual al valor de g() en. Propiedad 8. Diferenciación en el dominio del iempo Si g () Gf (), y suponiendo que la primera derivada de g() exise, enonces 4
d g() jπfg(f ) d Podemos generalizar la expresión anerior: n d n g() jπf G(f n d ( ) ) Propiedad 9. eorema de inegración en el dominio del iempo Si g() Gf (). Suponiendo que G()=, enonces g( τ )dτ G(f ). Es jπf decir, la inegral en el dominio del iempo de g(), divide su ransformada de Fourier G(f) por el facor jπf, supueso que G() es cero. Ejemplo: Cálculo de la ransformada de Fourier de un pulso riangular. Propiedad. Funciones conjugadas Si g() Gf (), enonces g * () G * () f Propiedad. Convolución en el dominio emporal. eorema de convolución Sean g () G () f y g () G () f, enonces g( λ )g ( λ)dλ G(f )G (f ) La convolución de dos señales en el dominio emporal se ransforma en la muliplicación de sus ransformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia. Explicación de la imporancia de esa propiedad. Aunque a priori pueda parecer difícil su inerpreación y su relación con la asignaura de ransmisión de daos, es una de las propiedades más imporanes. Nuesro objeivo es conseguir que una señal enviada por un emisor pueda ser recibida por un recepor e inerpreada correcamene. Bueno, pues si consideramos el esquema básico: Señal a la enrada Emisor Canal Recepor Señal a la salida La señal en el recepor se obiene como una convolución en el dominio del iempo de la señal a la enrada (emisor) con la línea por la que se ransmie. Por eso sería conveniene enender el significado de esa operación y de realizarla. En el caso de la convolución resula mucho más sencillo la muliplicación en el dominio de la frecuencia de las señales que la realización de la convolución en el dominio del iempo. Propiedad. Muliplicación en el dominio del iempo. eorema de la muliplicación Sean g () G () f y g () G () f, enonces 43
g ()g () G( λ)g (f λ) dλ Esa inegral se conoce como inegral de convolución. La muliplicación de dos señales en el dominio emporal se raduce en la convolución de sus ransformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia. Explicación: podemos ver esa propiedad como una generalización del eorema de desplazamieno en la frecuencia. La forma de calcular la ransformada de Fourier cuando se muliplican dos señales en el dominio del iempo, es mediane la convolución de las mismas en el dominio de la frecuencia. La principal aplicación se produce en la modulación de señales: enviar una señal por una línea mediane una poradora. En el dominio del iempo se esá muliplicando las señales, pero en el de la frecuencia lo que se hace es una convolución. 4.6. Señales especiales 4.6.. Función dela de Dirac La función dela de Dirac o impulso uniario, se define como:, δ () =, al que, = δ ()d = al y como se presena esa definición más que una función, la dela de Dirac enra denro de la caegoría de disribuciones. Podemos considerar que se obiene a parir de un pulso recangular de área uniaria a medida que se le disminuye el inervalo de duración del mismo. Presena unas propiedades muy caracerísicas que la hacen muy ineresane para el esudio de los sisemas lineales: ) La convolución de cualquier señal con la dela de Dirac es la propia señal: δ ( )g( τ )d = δ ( τ )g()d = g() ) Su ransformada de Fourier es: o lo que es lo mismo: gráficamene: g() I πjf ( δ ()) = δ () e d = δ( ) G(f) f Propiedades de la dela de Dirac: 44
. δ ( ) = Aδ ( A ) A =. δ () d A Aδ () 3. () = 4. Aδ ( ) + Bδ ( ) = ( A + B) δ ( ) 5. [ y() ][ Aδ ( )] = Ay( ) δ ( ) Aδ siempre que sea disino de Aplicaciones de la función dela de Dirac: ) Por ser la una función par, se cumple: δ( ) y enonces δ( f ) ) Si a δ( f ) le aplicamos la propiedad de desplazamieno en frecuencia: πjf e c δ( f f ) c πjfc Es decir, que la función exponencial e se ransforma en el dominio de la frecuencia en una función dela que ocurre en f =. 3) Cálculo de la ransformada de Fourier de una señal sinusoide cos ( πfc). Aplicando la fórmula de Euler podemos escribir: jπfc jπfc cos( πf c ) = ( e + e ) Si aplicamos la propiedad de linealidad y la consecuencia del aparado : cos( πfc) ( δ( f fc) + δ( f + f c ) Es decir, el especro de la señal coseno, se compone de dos pulsos de Dirac para frecuencias ± f c. De forma análoga se puede realizar el cálculo para una señal sinusoidal: sin fc j e jπfc e jπfc ( π ) = ( ) y el par ransformada señal será: sin( π f c) ( δ ( f fc ) δ ( f + fc )) j 4) eorema de inegración La generalización del eorema de inegración se hace a ravés de la función dela de Dirac. La expresión quedará como: Si g() Gf ( ), enonces: g( τ )dτ G(f ) + G() δ (f ) πjf es decir, el hecho de que el valor de G() no sea cero se subsana mediane la función impulso uniario. f c 4.6.. Función salo uniario 45
La función salo uniario se define como 3 :, >, > u ( ) =, = o u( ) =, <, < Esa función esá relacionada con la función impulso uniario de la siguiene forma: u() = δ ( λ)dλ δ (f ) + jπf Gráficamene: g() du() = δ () d (represenamos el especro de magniud) 4.6.3. Aplicación del eorema de inegración A parir del salo uniario podemos obener oras señales ineresanes como la parábola o curvas de orden superior. Inpu Daa Sream 8 /S /S 6 4 3 4 5 6 7 8 9 ime (sec) Figura 6: Generación de curvas de orden superior por la inegración de las de orden inferior 4.7. eorema de Parseval/Rayleigh y Densidad Especral de Energía radicionalmene la energía de una señal se define en el dominio emporal. No obsane es posible hacerlo mediane la ransformada de Fourier y dependiendo de la siuación puede resular más sencillo. Hemos viso que la energía oal de una señal w() se puede calcular como: 3 En =, la función presena una disconinuidad, por eso en ese caso se define el valor de la función como el puno medio enre los dos valores que oma la función 46
E = lim w () d = w () d El eorema de Parseval lo que nos dice es: Dadas w () y w (), enonces: si w ()=w (), enonces: w * * () w () d = W ( f ) W ( f ) () d = W( f ) E = w df De esa forma el cálculo de la energía, se puede simplificar. df De ese aparado sólo me ineresa que recordéis lo que viene a coninuación. Ahora definiremos la densidad especral de energía para señales de energía. Si enemos el par señal ransformada w() W(f), enonces la densidad especral de energía será: ESD(f)=E(f)= W(f) Basándose en la definición anerior se podrá calcular la energía como: E = ESD(f) df y si lo que nos ineresa es la ESD sólo en un deerminado inervalo de frecuencias: E f f f = f ESD(f) df + f f ESD(f) df 4.8. Densidad de Poencia Especral Dado el par señal ransformada w() W(f). La densidad de poencia especral o densidad especral de poencia (PSD: Power Sprecral Densiy) se calcula como: PSD(f)=P(f)= las unidades son waios/herzio ( ) W f lim La PSD es siempre una función real no negaiva de la frecuencia. Además no depende del especro de fase de la señal. 47
A parir de la PSD se puede redefinir el cálculo de la poencia media normalizada de una señal w() como: () = PSD( f ) P = w df Si lo que se quiere es calcular la poencia media normalizada en un inervalo de frecuencias [f,f ]: P f f f = f PSD(f) df + f f PSD(f) df Comenario: Por qué es ineresane poder calcular la energía oal o la poencia media de una señal mediane esas fórmulas?. Bueno, porque (como ya hemos comenado varias veces ) cuando en un dominio los cálculos son complicados, en el oro son mucho más sencillos, de esa forma se elegirá una u ora fórmula según la señal que haya que esudiar. 4.8.. Cálculo de la PSD en VisSim Para calcular la PSD de una señal en VisSim en el módulo que calcula la FF elegimos la opción Specral Densiy. Nos la da expresada en dbm/hz. 4.8.. Función de auocorrelación define como: La función de auocorrelación nos va a permiir calcular la PSD de una señal. Se R w + ( τ ) = w( ) w( + τ ) = lim w() w( τ ) se puede demosrar que la auocorrelación y la PSD de una señal definen un par de Fourier: R ( τ ) I( R ( τ )) PSD ( f ) w w = Esa nueva formulación nos permie calcular la poencia media normalizada de una señal como: () = PSD( f ) df = R ( ) P = w Lo único que debéis saber de la auocorrelación es que nos permie calcular la PSD y que el valor de la auocorrelación en el origen es la poencia media de la señal. w w d 4.8... Ejemplos de correlación 48
La dirección donde podéis usar el sofware con el que he generado los ejemplos es: hp://heliso.ripod.com/ eligiendo la opción DSP classroom. La correlación nos da una idea de los parecidas o diferenes que son dos señales. El parecido máximo lo endremos cuando hagamos la correlación de una señal con si misma: auocorrelación. Una de las principales aplicaciones de la correlación es para conocer la influencia del ruido sobre una señal y eliminarlo. 49
4.9. Series de Fourier 4.9.. Definición de las series de Fourier Las series de Fourier son la herramiena maemáica que vamos a uilizar para calcular la represenación en el dominio de la frecuencia de las señales periódicas uilizadas en la ransmisiónde daos. La ransformada de Fourier y las series de Fourier forman pare de una misma eoría y es posible pasar de una a la ora. Algunos auores presenan la definición de la ransformada a parir de la de las series, como el caso límie en el que el periodo de repeición de la señal iende a infinio. Oros, por el conrario definen la ransformada y después obienen la serie de Fourier como un caso paricular de la ransformada. Las dos meodologías son igualmene válidas. Lo que iene que quedar claro es que las series de Fourier sólo pueden uilizarse para señales periódicas, y que las ransformadas pueden uilizarse en ambos casos. El desarrollo en serie de Fourier permie represenar cualquier función en un inervalo de iempo dado. En el caso de las señales periódicas, la represenación mediane las series es válida en odo el dominio emporal 4, si se oma una f que sea la inversa del periodo de repeición de la señal. Sólo vamos a considerar las series de Fourier en el formao exponencial: 4 Esricamene hablando, una señal periódica puede escribirse mediane una serie de Fourier si y sólo si cumple las condiciones de Dirichle. No obsane, la inmensa mayoría de las señales que nos enconramos en la ransmisión de daos verifican esas propiedades y desde nuesro puno de visa no nos vamos a preocupar por el reso de las señales. 5
g () = c n = jnπf ( cn e ) n= g ()e,donde jnπf d,n =, ±, ±, ± 3,... Esa expresión se conoce como la serie de Fourier exponencial compleja 5. Los c n son los coeficienes de Fourier complejos. Es imporane señalar que dada una señal es posible consruir su serie de Fourier y dados los coeficienes de la serie de Fourier es posible reconsruir la señal de la que se paría. Según esa expresión, una señal periódica coniene odas las frecuencias (posiivas y negaivas) que esán relacionadas armónicamene con la principal. NOA: la presencia de frecuencias negaivas y de funciones complejas no iene significado físico, pero es necesario para dar una formulación robusa y adecuada al raamieno eórico y prácico de las señales periódicas. 4.9.. Propiedades de las series de Fourier Dada una señal real w(), se cumple que: *. cn = c n, (*: conjugado). Si w() es real y par (w()=w(-)), enonces la pare imaginaria de c n es cero. 3. Si w() es real e impar, enonces la pare real de c n es cero. a+ 4. El eorema de Parseval se reduce a: w() d = 5. La poencia media normalizada será: P = = a w c n n n= n= La densidad de poencia especral será: PSD ( f ) = c δ ( f n f ) w n c n 4.9.3. Especro de Fourier complejo ambién se conoce como especro de línea, o especro discreo. La señal ( ) g exise en odo el dominio del iempo, pero en el dominio de la frecuencia queda perfecamene descria, es decir, sólo presena componenes en las frecuencias, ± f, ± f, ± 3f,... Eso es lo que se conoce como especro. 5 cos sin jπnf jπnf ( πnf ) = ( e + e ) jπnf jπnf j jπnf jπnf ( πnf ) = ( e e ) = ( e e ) j 5
En el caso de señales periódicas el especro es discreo. Sólo se considerna las componenes de frecuencia que esán armónicamene relacionadas con la frecuencia fundamenal (inversa del periodo de repeición de la señal). Eso no quiere decir que se enga un número finio de elemenos. La represenación de una señal periódica mediane la serie de Fourier, es equivalene a la resolución de la señal en sus componenes armónicas principales. Una señal periódica, con periodo iene componenes en las frecuencias, ± f, ± f, ± 3f,... con f () g = (frecuencia fundamenal). La descripción en el dominio del iempo y la represenación en el dominio de la frecuencia esán relacionadas mediane la eoría de Fourier. En general los coeficienes c n son números complejos, así que los podremos expresar en la forma módulo-argumeno de un número complejo, o represenación polar6: j arg( c n ) c = c e n n donde: c n define la ampliud del armónico n-ésimo o componene armónica e-nésima arg(c n ) es el argumeno de c n Por lo ano el especro de magniud discreo lo obendremos al represenar respeco a la frecuencia c n y el especro discreo de fase lo obendremos a parir de la represenación respeco a la frecuencia del argumeno de c n, es decir, arg(c n ) Al igual que en el caso de la ransformada de Fourier de una señal, cuando rabajamos con señales periódicas en el dominio del iempo que sólo oman valores reales hay cieras propiedades que podemos aplicar. EOREMA Dada una señal periódica g() en el dominio del iempo, con periodo de repeición, el especro de la señal va a venir dado por: G( f ) = c δ ( f ) donde f n nf n= = y c n son los coeficienes de la serie de Fourier de la señal g(). Ese eorema nos dice que una señal periódica siempre iene un especro de línea (dado por la función dela de Dirac), con las líneas comenzando en f = nf y con pesos dados por los coeficienes c n. A parir de esa expresión podemos deducir la forma del especro discreo de magniud y el de fase. 6 Al igual que hicimos para el caso de la ransformada de Fourier y el cálculo del especro de magniud y el de fase. 5
Vamos ahora a ver un eorema que nos relaciona el cálculo de los coeficienes de la serie de Fourier con la ransformada de Fourier. EOREMA Si g() es una señal periódica con periodo de repeición, y la represenamos por: n= g () = h ( n) = ce n= n= jπnf n n= donde g(), < h() = 7, enonces, los coeficienes de Fourier que nos definen la serie de Fourier de g() vienen dados por: c n = fh( nf ) donde f = Hf ( ) =I( h ( )) 4.9.4. Especro de un único pulso Hasa ese momeno hemos rabajado con las series de Fourier o con la ransformada. En ese aparado se raa de dar una visión inuiiva de cómo calcular la represenación en la frecuencia de un único pulso, en vez de una secuencia periódica. 7 Esa función se define como la función g(), pero sólo durane un periodo de repeición 53
A medida que el periodo de repeición (o periodo fundamenal) de la señal emporal aumena, disminuye la frecuencia fundamenal de la serie de Fourier, hacienco que los diferenes armónicos esén más próximos los unos a los oros. El caso límie lo presena la señal compuesa por un único pulso (ercer gráfico de la figura), en el que la canidad de armónicos sería infinia y obendríamos la función sinc No obsane, para ser oalmene rigurosos, la evaluación correca de esa señal se hace mediane la ransformada de Fourier como ya hemos viso en aparados aneriores. 4.9.6. Aproximación de señales por sus armónicos principales En ese aparado se verá como una señal se puede aproximar por sus armónicos principales y como esa aproximación es ano mejor con cuanos más armónicos se consideren. EJEMPLO : Aproximación de dos pulsos recangulares por los cinco primeros armónicos 54
EJEMPLO : Aproximación de dos pulsos recangulares por los primeros armónicos EJEMPLO 3: Aproximación de un pulso recangular peródico de duración medio segundo y periodo de repeición de segundo con 7 armónicos El primer dibujo corresponde a la señal a aproximar. Debajo de él se van dibujando los armónicos: el primero, segundo, ercero,... 55
La segunda columna represena la comparación de la señal original con los armónicos que se consideran. Se aprecia como la mejor aproximación corresponde al úlimo caso, aquí se consideran 7 armónicos..5 - - - - - - -.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3 56
Ejemplo: Aproximación de un pulso recangular periódico de duración un. segundos y periodo de repeición de segundo con 7 armónicos.5 - - - - - - -.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3 57